高等数学下复习纲要

第一篇：高等数学下复习纲要

高等数学复习

高等数学2考试知识点

总题型：填空(10空)，选择题(5个)，计算题(A-9,B-8)，证明题(2个)

第8章：填空选择题型：向量的数量积和向量积的计算，运算性质，两向量平行与垂直的充分必要条件即向量积为零向量和数量积为零，两向量数量积的模表示以这两向量为邻边的平行四边形的面积，点到平面的距离公式，旋转曲面方程的特点即出现两个变量的平方和且其对应系数相等，球面的一般方程;

计算题型：根据直线和平面的关系求平面方程或直线方程;

第9章：填空选择题型：多元函数的定义域，简单函数的二重极限计算，多元函数的极限、连续和偏导数的关系，多元函数取极值的必要条件;

计算题型：偏导数的计算，空间曲线的切线法平面，空间曲面的切平面法线，函数在已知点沿已知向量方向的方向导数，多元函数的极值和条件极值;

证明题型：证明与偏导数有关的等式;

第10章：填空选择题型：重积分的性质，计算被积函数为常数且积分区域比较特殊的二重积分或三重积分，二次积分交换积分次序;

计算题型：二重积分计算，极坐标系下二重积分的计算，三重积分的计算(球面坐标结合高斯公式)，曲顶柱体的体积;

第11章：填空选择题型：第一第二类曲线曲面积分的性质，计算被积函数为常数且积分曲线或积分曲面比较特殊的第一类曲线积分或第一类曲面积分;

计算题型：曲线型构建的质量(已知线密度，且曲线为圆弧)，对坐标的曲线积分使用格林公式，高斯公式(积分区域为球的三重积分)，全微分求积(求原函数)

第11章：填空选择题型：级数收敛的定义，收敛级数的性质，简单级数的绝对收敛和条件收敛以及发散的判定，幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数的间接展开(利用指数函数和三角函数)，傅里叶级数的收敛定理，记住奇偶函数在对称区间的傅里叶级数展开为正弦与余弦级数;

计算题型：正项级数的审敛法，一般的级数判定其绝对收敛还是条件收敛，幂级数求和函数，幂级数的展开(分式展开，主要利用1/(1-x)的展开式，要注意收敛的范围); 证明题型：利用296页的Weierstrass判别法证明函数项级数是一致收敛的;

第二篇：高等数学复习提纲

第一章 函数与极限 复习重点：

1、求极限

1)四则运算法则

注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个;

四则运算法则的条件是充分条件

有理分式函数求极限公式：

a0mm1 xxxambaaamm101m1nnnn a0xa1xam1xam0xxxxlim0limnn1 bxnbxn1bxbxxbxxxn01n1nbbb01n1nnnn xxxx2)两个重要极限

nmmnmnlimsinxsin01()x0x01x101lim(1x)lim(1)xe((10))x0xx

3)两个准则

准则一： 若(1)ynxnznnN则{xn}有极限,且limxnan (2)limynlimznann

准则二：单调有界数列必有极限

单调递增有上界的数列其极限为最小的上界(上确界)

单调递减有下界的数列其极限为最大的下界(下确界) 4)无穷小量

a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量;

b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小; c.利用无穷小量求极限

无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量

等价无穷小量替代求极限

注意：下面给出关系式是在x0时才成立

等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行

1sinx~x 1cosx~x2

2 x　arcsinx~x e1~x

tanx~x ax1~xlna

xn　ln(1x)~x 1x1~ n

2、连续性和间断点 1)连续定义

x0limy0,limf(x)f(x0)

xx0要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性

2)间断点

第Ⅰ类间断点：f(x00)，f(x00),即左右极限均存在 01f(x00)f(x00)跳跃间断点 0 2f(x00)f(x00)　而f(x0)无定义可去间断点0 3limf(x)f(x0)xx0

第Ⅱ类间断点：f(x00)，f(x00)至少有一个不

间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点

要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

3、闭区间上连续函数的性质

1)最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。 注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。

2)零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0。 要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。

第二章 一元函数微分学 复习重点：

1、导数的定义f(x0)limf(x)f(x0)y limx0xxx0xx0要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限;

2、导数的几何意义 表示曲线f(x)在xx0处切线的斜率 要求会求切线方程法线方程;

3、微分的定义 dyf(x0)x(一点可微);dyf(x)dx(点点可微)

4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系

可导必可微，可微必可导;可导一定连续，连续不一定可导

5、导数的计算 a.复合函数求导

b.高阶导数

常见高阶导数公式如下：

yexy(n)ex

yxny(n)n!,y(n1)0

nysinxy(n)sin(x) 2 nycosxy(n)cos(x) 2 (1)n1(n1)!(n)yln(1x)y (1x)nc.隐函数求导

隐函数求导方法两边同时对x求导; 注意y是关于x的函数;

隐函数求导的结果还是隐函数;

隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。 d.对数求导法

适用于幂指函数、无理分式函数 e.参数方程求导

注意二阶导数

6、求微分

dyf(x)dx注意不要缺失dx 第三章 中值定理和导数的应用

1、中值定理

1)罗尔定理 若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)0。

注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立;

b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至

少有一根;强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根;

c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根;注意反之不成立;

d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。 2)拉格郎日定理

若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点x0(a,b)，使得f(x0)应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。 3)柯西定理

若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且x(a,b),F(x)0则至少存在一点x0(a,b)，使得

f(b)f(a)。

baf(x0)f(b)f(a)。 F(x0)F(b)F(a)应用于等式的证明。

2、洛必达法则

定理1若limfx0limFx0xaxa

2在a,fxFx都存在且Fx0 fxfxfx3lim或则limlim

xaFxxaFxxaFx 0,,0,00,1,0等不定型极限 0xsinx1cosxlim注意：lim极限不存在，此时洛必达法则不适用。

xxx1洛必达法则应用于解决,

3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，会作图 1)单调性的判定

设函数yf(x)在a,b连续，在(a,b)可导，

x)a)如果在(a,b)内f(0，那么f(x)在a,b上

b)如果在(x)a,b)内f(0，那么f(x)在a,b上 注： a、该条件为函数严格单调的充分条件 b、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内严格单增(减)的充要条件为：

对一切x(a,b)，有f(x)0(f(x)0)

在(a,b)内,任何使f(x)0的点必是孤立点 c、若函数f(x)在(a,b)内可导，则f在(a,b)内单增(减)的充要条件为： 对一切x(a,b)，有f(x)0(f(x)0)d、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点 要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间;

会利用单调性证明不等式;

会利用严格单调性证明根的唯一性。 2)凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，在(a,b)内若f(x)0，则f(x)在[a,b]是凹的;在(a,b)内若f(x)0，则f(x)在[a,b]是凸的。

3)拐点：凹凸区间的分界点

拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点 判定定理1：若f(x)在x0处可导，在U(x0)内二阶可导，则

当xx0与xx0时，f(x)变号，(x0,f(x0)就是拐点;

当xx0与xx0时，f(x)不变号，(x0,f(x0)就不是拐点;

判定定理2：若f(x)在x0处三阶可导，且f(x0)0,f(x0)0,则(x0,f(x0)是拐点。 注意，对于判定定理2，若f(x0)0,f(x0)0,结论是(x0,f(x0)可能是拐点也可能不 是拐点。 4)极值

极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对xU(x0)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极大值，x0为f(x)的一个极大值点。

极小值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对xU(x0)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个极小值，x0为f(x)的一个极小值点。

0最大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0(a,b)，对任意x(a,b)，若f(x0)f(x)，则称f(x0)为f(x)的一个最大值，x0为f(x)的一个最大值点。

注意：极值反映的函数局部的性质，它只是和极值点附近点的函数值相互比较而言它是大的

还是小的，有可能出现极小值大于极大值的情况;而最值反映的是函数全局的性质， 它是和整个区间上所有点的函数值相互比较。 一个区间上的最大值和最小值是唯一的，但取得最值点不唯一;而一个区间上极值是 不唯一的，可以有几个极大值和极小值。

在区间内部，最大值一定是极大值，最小值一定是极小值。 极值点的疑似点：

判定定理：驻点和一阶不可导点

必要条件：可导的极值点一定是驻点。(使一阶导函数为0的点称之为驻点) 第一充分条件：若f(x)在x0处连续，在U(x0)内可导，则

当xx0与xx0时，f(x)变号，x0就是极值点;

当xx0与xx0时，f(x)不变号，x0就不是极值点;

第二充分条件：若f(x)在x0处二阶可导，且f(x0)0,f(x0)0,则x0就是极值点。

0f(x0)0,x0是极大值点;f(x0)0,x0是极小值点。

注意：在第二充分条件中，若f(x0)0,f(x0)0,则x0可能是极值点也可能不是。

第四章 不定积分(计算)

1、换元法(第一种，第二种(去根号))

2、分部积分法

3、倒代换

4、整个根式换元

5、有理函数积分

6、三角函数积分

nb第五章 定积分

f(x)dxlimfixi.a0

1、定积分的定义

i1定积分的结果是常数，表示的是曲边梯形面积的代数和，与积分区间和被积表达式有关，和积分变量无关。

2、可积的两个充分条件和一个必要条件 f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

f(x)在[a,b]有界且有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 f(x)在[a,b]可积，在f(x)在[a,b]上有界。

3、定积分的几何意义

4、定积分的重要性质

(1)无论a,b,c三者位置关系如何，

baf(x)dxf(x)dxf(x)dx

accbbb(2)不等式性质： x[a,b],f(x)g(x),f(x)dxg(x)dx

aab(3)估值定理：x[a,b],mf(x)M,m(ba)f(x)dxM(ba)

ab(4)积分中值定理：f(x)在[a,b]上连续，则至少存在[a,b],f(x)dxaf()(ba)

5、会用定积分的定义求极限

6、定积分的计算

(1)换元法

与不定积分相比要换积分上下限，最后不用回代 (2)分部积分法

公式 nn22 Insinxdxcosxdx00  31n1n3 nn2422 n1n3421 53nn2

(3)积分区间是对称区间的要考虑被积函数的奇偶性和非奇非偶性 aaaf(x)dx(f(x)f(x))dx

0aTT(4)周期性

f(x)dxf(x)dxa0

anTT

f(x)dxnf(x)dxa0

(5)常见公式

22(1)fsinxdxfcosxdx 00

 (2)xfsinxdxfsinxdx002  (3)f(sinx)dx22f(sinx)dx00

第六章 定积分的几何应用 求面积(1)直角坐标系

(2)参数方程 (3)极坐标系 

第三篇：高等数学复习要点

第一章：

1.“抓大头”法求函数极限的公式，P15公式(1-3)

2. 无穷大量、无穷小量的概念;无穷小量的比较(高阶、低阶、等价无穷小的区分);利用等价无穷小的式子求极限(P23第二行四个表达式);无穷小量乘以有界变量仍是无穷小(P21例1.34)

3.利用两类重要极限求极限

4.会判断分段函数在分界点处是否有极限(P12例1.20及相应课后习题)

5.会求函数的连续区间(类型P31 T6 T7)

6.闭区间上连续函数的性质(P29 定理1.8; 推论1.3;例1.47)

第二章：

1.会用基本导数公式求导数

2.会求函数在某点的导数(先求导函数再带入点,求该点导数值)

3.导数的几何意义(会求曲线的切线法线方程)

4.复合函数求导

5.利用微分定义求函数的微分(先求导再乘以dx)

6.会求高阶导数(例如函数的四阶导数，注意高阶导数的符号表示y(n)n≥4)

7.可导与连续的关系(函数在某点可导一定连续，反之连续不一定可导;函数连续是函数函数可导的必要条件)

第三章：

1.会用洛必达法则求极限(特别型，P82例3.8及习题3-2T15 T16)

2.会用导数判断函数单调性，求极值点、极值(三步走)

3.注意函数的极值点与驻点的关系(P85 定理3.8及其下面一段的文字说明)

4.利用导数求闭区间上函数的最大最小值(例如P87 例3.16的类型)

5.求函数的凹凸区间及拐点(三步走)

6.会求曲线的垂直渐近线

第四章：

1.熟记不定积分的基本公式

2.导数与不定积分互为逆运算(P96 第三行至第八行)

3.直接积分法(P98)

3.凑微分法求函数积分(两类：1:复合函数凑内层函数 2:凑公式)

十个解答题考察类型：

1. 求极限()2求四阶导

3.求不定积分(凑微分法)4.求曲线的凹凸与拐点.

4.利用第二个重要极限求极限(或者讨论函数的极限是否存在，若存在，极限值是多少.)

5.函数的极值.

6.证明方程在某区间内至少有一个实根.

7.求曲线在某点处的切线方程和法线方程. (曲线在何处的切线平行于已知直线)

9. 求函数的微分.

10. 求不定积分(直接积分法)

第四篇：高等数学3复习要点

《高等数学3》复习要点 一元、多元函数的定义域;

一元函数极限与连续

利用代数变形(如有理化)、无穷小性质、等价代换、两个重要极限、洛必达法则计算未定式极限; 分段函数的的极限与连续性;

一元函数的导数与微分

导数的定义;

导数的几何意义;

复合函数的导数或微分计算;

隐函数方程求导; 判断函数的单调性、极值、凹凸性与拐点;

不定积分

原函数与不定积分的关系;

变限积分求导;(未定式极限计算) 不定积分计算：拆、凑、分

定积分

会利用定积分的几何意义计算定积分;

会利用奇零偶倍性质计算对称区间上的具有奇偶性的函数的定积分;

定积分计算：拆、凑、代、分; 定积分的几何应用(面积、体积);

多元函数微分学

多元显函数或隐函数方程的偏导数计算(一阶、二阶);

计算多元函数的全微分;

多元函数的极值;

多元函数积分学：

交换二重积分积分序; 二重积分计算(直角坐标、极坐标);

微分方程

求以下方程的通解或特解：

可分离变量的微分方程的解;

一阶线性微分方程的解(齐次、非齐次); 可降阶的微分方程yf(x)的解;

无穷级数

级数收敛的必要条件;

熟知等比级数、调和级数、P级数的敛散性：

判断任意项级数的敛散性(绝对收敛或条件收敛);

求幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域;

第五篇：高等数学复习经验总结

本人本科时候读的是外语专业，没有学过高等数学这门课程。在决定考研，尤其是想考经济类的研究生后，没有办法只能从零开始学习高等数学、概率论与数理统计和线性代数。对于大一入学的时候读工科的同学来说，即使大一的时候没有努力去学的话，在这个时候自学高等数学的知识也不是什么难事，但是对我这个从来没有学过高等数学的门外汉来说，这其中的苦头可想而知了。第一年考研的时候就是折在了数学上，考了66分，连几个的成绩都没有达到;第二年的时候经过整整一年的努力分数终于提高到了126分，不敢说是不错的成绩，对于一个从来没有学过高等数学的我来说这已经够了。虽然最后也没有进入自己理想的学校，毕竟还是调剂回了我的母校哈尔滨工业大学，读了一个一般人都不怎么知道的专业—政治经济学。与很多有过相同考研经验的同学相比，我是幸运的，我还可以调剂回自己的母校。在这里要感谢所有曾经帮助过我的同学。

有人讲数学只要思路通了就可以了，不用费太多的功夫去做题。从我的实践经验来看，这样的观点是错误的或者说对于没有数学基础的同学来讲是坑人的。数学不仅仅需要悟性，更多还是需要扎实的基本功。很多工科专业的同学，在他们大一的时候就已经开始学习高等数学，并且整个过程下来做了至少也得有2000道题了吧，这样的基础对于我这种从来没有接触过高等数学的人来说是没有办法与之相比的。要想超过他们只能先打到他们的训练的标准才可以。有了相应的计算的基础、计算的能力后就要解决解题思路的问题。这种能力建立在第一种能力的基础之上，试想连基本的计算都搞不定的，既使有再好的思路，再好的想法也是镜中花、水中月，都不可能将这种想法转变为卷面上实实在在的分数。练习的重要性在这里就是不言而喻了，希望每一名有志于通过研究生入学考试继续学习的同学一定要将这问题重视起来。

哈尔滨有个鸿鹏考研辅导学校，这里的主讲老师卜长江老师全国线性代数学会常务理事，是一位很有思想、很有见地的一位老师;听他的讲授高等数学是一种没学的享受。他提出了一种FIC的学习方法。所谓FIC就是基础、思想、分类这几个英文单词的首字母。基础包括教材上的各种数学原理，这也是整个高等数学的基础。思想就是针对不同类型的问题应用不同的解题方法，全部数学问题归纳起来一共就那么几个类型，大家可以到网上找来看看。为什么在这里还要强调基础的作用呢?因为在硕士研究生入学考试的试卷当中，基本难度的实体大概占到了70%，中等难度的问题占到了20%，只有10%的问题是难题。试想大家在学习的过程中将全部的基本问题都解决了稳拿70%的分数就是105分了，中等问题如果再能拿到10%左右的话就可以拿到120分了。数学120分的话对于考一般的院校来说已经够用了，但是各位如果有志于全国一流的大学去读的话，恐怕这个标准就要提高到135分了。

市面上考研的辅导教材可谓是多如牛毛，浩如烟海。在我的复习过程中我主要是李永乐老师编写的那本数学复习全书为中心展开的，如果你能把这本书做5编以上，正确率达到90%以上，可以说考任何的地方都没有问题了。在复习的时候偷了个懒这本书只做了一遍，然后一直在做考研班的复习资料。教材上面的经典的例题一定要会算。我记得我在复

习的时候遇到一个概率积分的问题，这道题在2010年的研究生入学考试中就考了，这个就是书上的经典例题的一个变形，对于书上的这些东西不但要熟记，还要熟练的计算才行。鸿鹏考研班的复习资料可谓都是精品吧，整个高等数学的题不多，但是涵盖了全部高等数学的内容。考研班的复习资料我大概做了有3边吧，这个时候就差不多要10月底了，这个时候开始做400题，这套资料也是李永乐老师编写的，老师说这套资料的难度不低。刚刚开始做的时候备受打击，1天都做不完1套题。后来随着对有些问题理解的加深，做题的熟读上来了，熟练的程度提高了，感觉效果还不错。这套题的平均分数我一般维持在110左右。我复习的时候容易分心，经常出现溜号的现象，希望同学们复习的时候不要像我一样。

在完成了400题之后就进入了冲刺阶段，这个时候要我报的数学考研冲刺班开班了，我以每天2套题的速度花了5天的时间将全部的题目完成了。感觉这个收获还是非常大，他让我找到了一种考场的状态。在考前的1个月左右的时间内，我基本上就是真题了，将历年的真题做了2边，平均分数维持在了130左右，这样和我最后在考试中取得的成绩来看上下浮动没有超过5分。所以选择一本好的资料、把真题做好还是非常必要。

关于数学的复习资料。推荐同济大学出版社出版的高等数学教材，线性代数的话大家可以找来李永乐老师在考研班上讲的视频来看看，就用本科的时候上课用的教材就可以了。我的概率论与数理统计用的我们学校的本科教材，这本教材可以说是概率论与数理统计的经典教材，我将整本教材的课后题做了大概有4边的样子。再就是复习全书了。上面这些教材选择那一本那一套都一样。因为这些教材讲的都是基础知识，认真看、认真理解看那一本的差别都不大。重点推荐考研数学的必读书目高等教育出版社出版的高等数学分析，数的名字我记不太清除了，每年9月份都会出版。内容是针对历年研究生入学考试试题进行分析，难点解析，上面有很多经典的例题。所有的考题都是围绕他的中心思想来出题的，希望大家重视这个问题。

关于复习是的心态。在考研的过程中，我们每一位打算参加这个考试的同学从开始准备考试的那一刻起，压力就已经开始了。面对同样的压力有的同学泰然处之、有的同学压力倍至难以专心学习。与一般同学相比，因为我没有学习过数学，所以我面临的压力可想而知，尤其是当看到周围的同学都可以很快的完成数学，可以有时间忙其他的东西，这个时候更是让人心慌的。开始的时候总觉得自己不行，但是当仔细分析了利弊之后，你会发现每个人的情况都是不一样的，别人的学习方法不一定适合你。要找到适合自己的复习方法、把握好自己学习的节奏就非常重要了。别人怎么做只可以参考，但是不能照做。在分析完这些因素之后，我坚定信心，每天按照自己的复习计划展开复习，不管别人怎么做，也不看别人做什么只关注每天完成了多少东西，还有多少东西没有完成，没有完成的原因是什么，坚持每天给自己留出一些思考的时间。“吾日三省吾身”每天都要反省自己学习中、生活中、思想中存在的问题，加以总结，然后改正自身存在的不足。

关于锻炼身体。考研那会儿总觉得自己身体还行不错，不用去锻炼。现在读研了发现自己患上了脂肪肝。无论做什么事情都不要放弃锻炼身体。锻炼可以是踢球、打羽毛球、乒乓球等等这些，也可以是跑步。我现在选择了跑步这项运动，每天早上5点半起床，然

后到学校的体育场，围着400米的跑道跑10圈，刚好半个小时。我选择这样的锻炼方法，一方面可以杜绝睡懒觉的坏毛病，另一方面这样的锻炼方法效率比较高。时间宝贵，试想如果是去打球或者踢球什么的，估计没有一个下午是不够的。所以这样在每天做事情效率低的时候来锻炼身体，时间是比较划算。建议大家也选一种适合自己的锻炼方式，在考上自己理想的学校的同时，也有一个健康的身体。

最后送大家诸葛亮的《诫子书》“君子之行，静以修身，俭以养德。非淡泊无以明志，非宁静无以致远。夫才须学业，学须静也;非学无以广才，非志无以成学。慆慢则不能研精，险躁则不能理性。年与时驰，意与岁去，遂成枯落，悲守穷庐，将复何及!”以此与众君共勉。