知到高等数学上

知到高等数学上（精选6篇）

篇1：知到高等数学上

《高等数学》（上）课程教学大纲

一、课程简介

（一）课程代码084020

2（二）课程名称高等数学Higher Mathematics（上）

（三）修读对象信工

（三）总学时与学分90学时5个学分

（四）考核方式

采取平时考核与期末考试相结合的考核方式。平时考核包括作业、提问、上课发言等方面的考核，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%,考试要严格要求，实行考教分离，同一教学计划的班级，期末考试要统一命题，统一评分，统一流水阅卷。

（五）相关课程

本课程是工科类专业的重要基础课，课程基础性、理论性强，与后继课程密切相关。

（六）内容提要(不超过200字)

《高等数学》（上）主要内容是一元微积分，包含函数，函数极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用，向量代数和空间解析几何。

二、教学目的和教学方法

教学目的高等数学是国家教委指定的工科类各专业核心课程之一，是最重要的一门基础理论课。《高等数学》（指微积分）为研究事物的变化发展规律提供了基本的数学基础和框架，在各种实际问题中有着广泛的应用；它具有丰富的内容和深刻的思想，是进入科学领域的大门，是高校数学教学的核心课程，也是学习后继课程和科学技术知识的基础，尤其是工程技术和计算科学等专业，通过数学学习，使学生掌握该课程的基本思想和方法，使学生能用所学的知识分析、解决实际问题，能对这些问题进行定性和定量的分析研究。训练学生的数学推理的严密性，使学生有一定的数学修养，能用数学的语言描写各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论与方法。培养学生具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息与计算科学的基础理论、方法与技巧和技能。使学生具有使用当代的科技成果能力和习惯.培养学生学习数学的兴趣，帮助学生形成良好自学的习惯，给学生以后从事科学研究和工程技术工作打好基

1础。通过本课程的学习，要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。

教学方法 本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课关系密切，以课堂讲授为主，讨论法、读书指导法和练习法为辅。教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的思想背景，理解概念的本质，避免学生死记硬背。要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导）的有机联系, 特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与专业课学习之间的关系，充分调动学生的学习兴趣。

三、理论与实验教学学时分配90个理论学时

四、选用教材和主要教学参考书

教材

同济大学应用数学系，高等数学（上、下）第五版[M].北京：高等教育出版社2007

主要教学参考书

1、《数学分析》上下册，华东师范大学数学系编（第三版），高等教育出版社出版。

2、《微积分》上下册，同济大学应用数学系编（21世纪教材），高等教育出版社出版。

3.《工科数学分析基础》上下册，马知恩、王绵森主编（21世纪教材），高等教育出版。

4.《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社。

五、理论教学内容（分章节编写，包括主要讲授内容、学时分配、教学重点与难点、练习等）

第一章函数与极限16学时

1.教学内容：集合、常量与变量，一元函数的概念(单值、多值)，函数的属性(有界性、单调性、奇偶性、周期性)，反函数，基本初等函数的概念、性质及其图形，复合函数，初等函数，数列极限，函数极限，无穷小与无穷大，无穷小与极限之间的关系，无穷小与无穷大之间的关系，极限的运算法则，极限存在的判别法则，两个重要

极限，无穷小阶的比较，函数的连续性，函数的间断点及其类型，连续函数的运算定理，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的基本性质。

2.教学要求：理解函数的概念。了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。了解函数和复合函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。能列出简单实际问题中的函数关系。了解极限的N,定义(对于给出求N或，不作过高要求)，并能学习过程中逐步加深对极限思想的理解。掌握极限四则运算法则。了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则)，会用两个重要极限求极限。了解无穷小，无穷大的概念，掌握无穷小的比较。理解函数在一点连续的概念，会判断间断点的类型。了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续函数的性质(介值定理和最大值、最小值定理)。

3.重点、难点：

重点：函数的概念、极限概念、无穷小、极限的四则运算，函数的连续性。

难点：复合函数，极限的N、定义，函数在一点处连续的定义。

4.思考题或练习题：

（1）求函数的反函数；

（2）求函数的定义域、值域，建立函数关系实例；

（3）指出复合函数的组成；

（4）证明数列极限（用极限定义）；

（5）求函数的极限；

（6）讨论函数的连续性；

（7）指出分段函数的间断点及类型。

第二章导数与微分14学时

1.教学内容：导数的概念、几何意义，函数可导与连续的关系，基本初等函数的导数，函数的和，差、积、商的导数，反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的求导问题，双曲函数与反双曲函数的导数，高阶导数，隐函数的导数，参数方程的导数，微分的概念及运算法则，微分形式不变性、微分在近似计算与误差估计中的应用。

2.教学要求：理解导数和微分的概念。了解导数的几何意义及函数的可导性与连续之间的关系。能用导数描述一些物理量。熟悉导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式。了解高阶导数概念。能熟练地初等函数的一阶、二阶导数。掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。

3.重点、难点：

重点：导数的概念，导数的几何意义，初等函数的导数求法。微分的概念。

难点：复合函数的微分法，隐函数和参数式所确定的函数的二阶导数的求法。

4.思考题或练习题：

（1）导数几何意义及应用；

（2）求函数的导数，高阶导数；

（3）求函数的微分；

（4）微分在近似计算中的应用。

第三章中值定理与导数的应用16学时

1.教学内容：微分中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理)，罗必塔法则，函数单调性的判别、函数的凸凹性及拐点的判别、函数的极值概念及求法，最大值与最小值及其应用，函数图形的水平渐近线与铅直渐近线，函数作图，泰勒公式及其应用，弧微分、曲率和曲率半径及计算、方程近解的二分法和切线法。

2.教学要求：理解罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理。了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。会应用拉格朗日定理。理解函数的极值概念。掌握求函数的极值，判断函数的增减性与函数图形的凸凹性，求函数图形的拐点等方法。能描绘函数的图形（包括水平和铅直渐近线）。会解较简单的最大值和最小值的应用题。掌握罗必塔法则。知道曲率半径的概念，并会计算曲率和曲率半径。知道求方程近似解的二分法和切线法。

3.重点、难点：

重点：拉格朗日定理，罗比塔法则、单调性的判别、极值的求法。

难点：拉格朗日定理的证明和应用。

4.思考题或练习题：

（1）中值定理的运用；

（2）利用罗必塔法则求极限；

（3）利用导数判断函数的单调性、利用函数的单调性证明不等式；

（4）求函数的极值和最值；

（5）作函数的曲线图形；

第四章不定积分14学时

.教学内容：原函数与不定积分的概念，不定积分的基本性质，积分基本公式，换元积分法，分部积分法，有理函数的积分，三角函数有理式的积分，简单无理函数的积分，积分表的使用。

2.教学要求： 理解不定积分的概念及性质。熟悉不定积分的基本公式，熟练掌握

不定积分的换元积分和分部积分法。掌握较简单的有理函数的积分。

3.重点、难点：

重点：原函数与不定积分概念。不积分的性质，基本积分公式。换元积分法和分部积分法。

难点：不定积分的换元积分法。

4.思考题或练习题：

（1）有关不定积分的概念题；

（2）利用不定积分的性质和基本积分公式求不定积分；

（3）用换元法求函数的不定积分；

（4）用分部积分法求函数的不定积分；

（5）求有理函数，三角函数，无理函数的不定积分；

（6）用积分表求函数的不定积分。

第五章 定积分13学时

1.教学内容：定积分的概念，定积分的基本性质、中值定理、微积分基本定理，定积分的换元积分及分部积分法，定积分的近似计算（矩形法、梯形法、抛物线法），无穷区间上的广义积分，被积函数有无穷间断点的广义积分。

2.教学要求：理解定积分的概念及性质。熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法。理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。熟悉牛顿－莱布尼兹公式。了解广义积分的概念。知道定积分的近似计算（矩形法、梯形法、抛物线法）。

3.重点、难点：

重点：定积分的概念，定积分的中值定理，定积分作为可变上限的函数及其求定理，牛顿－莱布尼兹公式。

难点：定积分的构造型定义。

4.思考题或练习题：

（1）用定积分的定义计算定积分及定积分的几何意义；

（2）利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分；

（3）利用换元积分法和分部积分法求定积分；

（4）广义积分的计算；

第六章定积分的应用10学时

1.教学内容：定积分的元素法，平面图形的面积（直角坐标情形、极坐标情形），体积（旋转体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积），平面曲线的弧长、功、水压力、和引力，函数的平均值、均方根。

2.教学要求：熟练掌握用元素法建立积分表达式的方法。掌握面积、体积的计算方法。会求平面曲线的弧长、功、水压力和引力。

3.重点、难点：

重点：微元法、定积分的几何、物理应用。

难点：微元法。

4.思考题或练习题：

用定积分的微元法计算定积分几何、物理方面的应用题。

第七章 空间解析几何与向量代数17学时

1.教学内容：空间直角坐标系，两点间距离公式，向量的概念，向量的加减法，向量与数的乘积，向量的分解与向量的坐标，两向量之间的关系（平行、垂直），向量的坐标运算（加、减、数乘、数量积、向量积），平面方程及其求法，直线方程及其求法，曲线与曲面的概念，球面、柱面、投影、柱面、旋转曲面、椭球面、抛物面、双曲面的方程及图形、空间曲线的参数方程及一般方程。

3.教学要求：

理解向量的概念。掌握向量的运算（线性运算、点乘法、叉乘法）。掌握两个向量夹角的求法与垂直、平行的条件。熟悉单位向量、方向余弦及向量的传票坐标的表达式。熟练掌握用坐标表达式进行向量运算。熟悉平面的方程和直线的方程及其教学法求法。理解曲面方程的概念。掌握常用二次曲面的方程及其其图形、掌握以坐标为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。知道空间曲线的参数方程和一般方程。

3.重点、难点：

重点：向量的概念，向量的坐标，向量的数量积和矢量积，平面方程（点法式、一般式、截距式），直线方程（参数式、对称式、一般式），标准二次曲面方程，投影柱面。

难点：矢量积，投影柱面的概念，标准二次曲面的图形。

4.思考题或练习题：

（1）进行向量的运算；

（2）求平面的方程和直线的方程；

（3）求旋转曲面的方程。

篇2：知到高等数学上

高等数学B上（随堂练习）5.函数A． B．的定义域是（）C．

D．

参考答案：C 6.函数A． B．

C．的定义域是()

D．

参考答案：C 7.函数A． B． C．的定义域是（）D．

参考答案：A 8.若A．C．参考答案：A 9.若A． B．，C．

D．，则

()B． D．，则

()

参考答案：D

10.设，则()A． B． C． D．

参考答案：A

11.()A． B． C． D．

参考答案：B

12.()A． B．不存在 C． D．参考答案：D

13.()A．不存在 B． C． D．

参考答案：C

14.()A． B．不存在 C． D．参考答案：D

15.()A． B． C． D． 参考答案：A 16.()A． B． C． 不存在 D．

参考答案：B 17.当时，下列变量是无穷小的是()A． B． C． D．

参考答案：C 18.当时，与

等价的无穷小是()A． B． C． D．

参考答案：A 19.()A．0 B． C． D．1 参考答案：B

20.()A．8 B．2 C． D．0 参考答案：D

21.()A．0 B．1 C． D．2 参考答案：D

22.下列等式成立的是()A． B．

C．参考答案：C 问题解析： 23.A． D．

()B．1 C．不存在 D．

参考答案：A

24.A．1 B．()C．不存在 D．

参考答案：D

25.A．0 B．1 C．参考答案：C

()D．

26.设函数A．2 B．4 C．1 D．0 参考答案：A

在点处极限存在，则()27.设A．0 B．-1 C．1 D．2 参考答案：C，则()

28.设，则A．1 B．2 C．0 D．不存在 参考答案：A

()29.设A．1 B．2 C．0 D．不存在 参考答案：A

在处连续，则=()C．参考答案：B 5.设直线 D．

是曲线的一条切线，则常数()A．-5 B． 1 C．-1 D．5 参考答案：D

6.设函数，则()A． B． C． D．

参考答案：C

7.设函数，则()A． B．

C． D．

参考答案：A 8.设函数A．C． D．，则 B．

()

参考答案：A 9.设函数A．C．参考答案：D

，则 D．

()B．

10.设函数，则()A． B．

C． D．

参考答案：B 11.设函数A．C．参考答案：C 12.设函数，则

()B． D．，在

()A． B．

C．参考答案：A D．

13.设函数，则()A． B． C． D．

参考答案：C 14.设函数A． B．，则 C．

()

D．

参考答案：D

15.设函数A．C． B． D．，则

()参考答案：C

16.设函数A． B．，则 C．

()D．

参考答案：A

17.设函数，则()A． B． C． D．

参考答案：B

18.设确定隐函数，则()A． B． C． D．

参考答案：B

19.设A．4 B．-4 C．1 D．-1 参考答案：C 20.设方程

函数，则()

所确定的隐函数为，则()

A．参考答案：B B． C． D．

21.设函数由方程所确定，则()A．0 B． C． D．

参考答案：B

22.设方程所确定的隐函数为，则()A． B． C． D．

参考答案：A

23.设方程所确定的隐函数为，则()A． B．0 C． D．

参考答案：D 问题解析： 24.设A．C．参考答案：A D．，则 B．

()

25.设函数，则()

A． B．

C．参考答案：B 26.设函数A．C． D．，则 B．

()

D．

参考答案：B 27.设，则

()A． B．

C． D．

参考答案：A

参考答案：A

3.()A． B．参考答案：B C． D．不存在

4.()A． B．参考答案：A C．1 D．不存在

5.()A． B．参考答案：A 6.C．1 D．不存在

()A． B．参考答案：A 7.函数A． C．1 D．0 的单调减少区间是()B．

C．

D．

参考答案：A 8.函数A． B．的单调区间是()

C．

D．

参考答案：A 9.函数A． B．的单调增加区间是()

C．

D．

参考答案：A 10.函数A． B．的单调增加区间为()． C．

D．

参考答案：C 11.函数A． B．的单调减区间为()C．

D．

参考答案：B 12.函数A． B．的单调增加区间为()

C．

D．

参考答案：D 13.函数A．1 B．0 C．参考答案：C 14.函数A． B．的极值为()C．0 D．1 的极值等于()D．

参考答案：A 15.函数A．1 B．0 C．参考答案：A 的极值为()D．

16.函数的极大值为()A．-16 B．0 C．16 D．-7 参考答案：B 问题解析： 17.函数A．3 B．1 C．-1 D．0 参考答案：A 的极大值为()18.有一张长方形不锈钢薄板，长为，宽为长的．现在它的四个角上各裁去一个大小相同的小正方形块，再把四边折起来焊成一个无盖的长方盒．问裁去小正方形的边长为()时，才能使盒子的容积最大． A． B． C．

D．

参考答案：B

19.设有一根长为的铁丝，分别构成圆形和正方形．为使圆形和正方形面积之和最小，则其中一段铁丝的长为()A． B． C．

D．

参考答案：A

20.欲围一个面积为150m2的矩形场地，围墙高3米．四面围墙所用材料的选价不同，正面6元/ m2，其余三面3元/ m2．试问矩形场地的长为()时，才能使材料费最省．

A．15 B．10 C．5 D．8 参考答案：A

21.设两个正数之和为8，则其中一个数为()时，这两个正数的立方和最小．

A．4 B．2 C．3 D．5 参考答案：A

22.要造一个体积为的圆柱形油罐，问底半径为()时才能使表面积最小．

A． B． C． D．

参考答案：C

23.某车间靠墙壁要盖一间方长形小屋，现有存砖只够砌20m长的墙壁．问围成的长方形的长为()时，才能使这间小屋的面积最大．

A．8 B．4 C．5 D．10 参考答案：D 24.曲线的下凹区间为()A． B．

C．

D．

参考答案：A 25.曲线的拐点坐标为()A． B． C．

D．不存在

参考答案：B

3.下列函数中，()是的原函数

A． B． C． D．

参考答案：D 4.()是函数的原函数．

A． B． C． D．

参考答案：D

5.下列等式中，()是正确的 A． B．

C．参考答案：D 6.若

D．，则()A． B． C． D．

参考答案：B 7.若A．满足 B．

C．，则 D．

（）．

参考答案：B 8.()

A.B．

C．参考答案：D 问题解析： D．

9.()A． B． C． D．

参考答案：B 10.()A．参考答案：A 11.B． C． D．

()A． B．

C．参考答案：B D．

12.()A． B． C． D．

参考答案：B

13.()A． B．

C． 参考答案：A 14.D．

()A． B．

C．参考答案：C D．

15.()A．C．参考答案：A B． D．

16.()A． B．

C． D．

参考答案：A

问题解析： 17.()A．C． B． D．

参考答案：A 18.A．C．参考答案：D 19.()()B． D．

A． B．

C．参考答案：A 20.D．

()A． B．

C． 参考答案：B 21.()

D．

A． B．

C．参考答案：C 22.D．

()A． B．

C．参考答案：A

D．

5.()A．2 B．0 C．1 D．-1 参考答案：B 6.设函数A． B．在 C．

上连续，D．，则

()参考答案：C

7.设A． B．，则 C．

等于()D．

参考答案：D

8.()A． B． C． D．

参考答案：C 9.A．0 B． C．1 D．

参考答案：B 10.A．1 B．0 C． 参考答案：D 11.D．-1

A． B． C． D．1 参考答案：C

12.()A．4 B．9 C．6 D．5 参考答案：A

13.()

A．1 B．2 C．参考答案：B D．

14.()A．2 B．

C．参考答案：D D．

15.()A． B． C．1 D．

参考答案：A 16.()A． B． C．1 D．

参考答案：B

17.A．()B．1 C．

D．

参考答案：D

18.()

A． B．0 C．1 D．参考答案：A

19.()A．0 B． C．1 D．

参考答案：B

20.A．1 B．参考答案：B 21.A． B．

()C． D．

()C．

D．1 参考答案：A

22.()A． B．1 C． D．2 参考答案：C

23.A． B．()C．

D．1 参考答案：A 24.()

参考答案：A

25.A．C．()B． D．

参考答案：C 26.()A． B．1 C． D．

参考答案：A 27.()A． B．1 C． D．

参考答案：B 问题解析： 28.()

A．1 B． C．0 D．参考答案：A

29.()A． B．

C． D．

参考答案：B 30.()A． B．

C．1 D．参考答案：A 31.()A． B． C． D．1 参考答案：C 32.广义积分

()A． B．不存在 C．0 D．1 参考答案：A

33.广义积分()A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：A

34.广义积分()A．1 B．不存在 C．0 D．参考答案：B 35.由抛物线于()A．2 B．1 C．参考答案：A 36.由直线，D．，直线，及所围成的平面图形的面积等

及曲线所围成的平面图形的面积等于()A． B．1 C． D．

参考答案：A 37.由抛物线

与直线

及

所围成的封闭图形的面积等于()A． B． C．2 D．1 参考答案：A

38.由曲线与直线及所围成的平面图形的面积等于()A． B．2 C．1 D．

参考答案：A 39.由曲线与

所围图形的面积等于()A．1 B． C．3 D．

参考答案：B 40.由，所围成的封闭图形的面积等于()A． B．1 C．3 D．2 参考答案：A 41.由及在点（1，0）处的切线和y轴所围成的图形的面积等于()A．1 B． C．2 D．3 参考答案：B 问题解析： 42.由曲线与

所围图形的面积等于()A． B．1 C．参考答案：A 问题解析： 43.设由抛物线 D．

；，及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A． B． C．

D．

参考答案：D 44.设由直线，及曲线

所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A． B．

C．

D．

参考答案：A

45.设由曲线与直线及所围成的平面图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A． B． C．

D．

参考答案：B 46.设由抛物线

与直线

及

所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()

参考答案：D 47.设由曲线与直线，及

所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋转一周所得旋转体的体积等于()A． B．参考答案：C 48.设由曲线

与直线

及

所围成的封闭图形为D，则D绕轴旋 C．

D．

转一周所得旋转体的体积等于()A．C．参考答案：A

篇3：知到高等数学上

哲学是自然知识、社会知识、思维知识的概括和总结, 是世界观和方法论的统一[1]。爱因斯坦说:“如果把哲学理解为在最普遍和最广泛的形式中对知识的追求, 那么, 哲学显然就可以被认为是全部科学之母。”

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科, 是各门科学的基础和工具。

“没有哲学, 难以得知数学的深度, 没有数学, 也难以探知哲学的深度。”数学家波尔达斯的话说明了数学与哲学是相互依存的。数学一直以来都是哲学家们的重要案例, 而哲学也是数学家们热衷研究的对象。在古希腊和17世纪的欧洲, 兼具数学家和哲学家头衔的人比比皆是, 如毕达哥拉斯、亚里士多德、伽利略、笛卡尔、牛顿、莱布尼兹等[2]。实际上, 二者“都属于为理解我们周围世界所做的最初的理智上的尝试”[3]。

哲学研究世界本质的共性, 数学研究特殊规律的个性。数学需要哲学的指引, 需要哲学为其提供研究方向和探索工具。数学史上的三次危机的出现和解决, 都离不开哲学思辨。同时数学的文化精髓和积极成果又反过来影响着哲学观点, 丰富和发展哲学本身的形式和内涵。

恩格斯说:“微积分进入了数学, 辩证法就进入了数学。”高等数学作为哲学在自然科学领域中的具体体现, 处处蕴含着哲学思想。

1 数学中蕴含的哲学思想

1.1 对立统一规律

对立统一规律是唯物辩证法的实质和核心, 它揭示出任何事物以及事物之间都包含着矛盾性, 事物矛盾双方又统一又斗争推动事物的运动、变化和发展。高等数学中有很多对立的概念, 体现出这一规律, 下面用几对重要的哲学范畴举例说明:

(1) 整体与局部。整体与局部相互依赖, 互为存在和发展的前提。作为微积分的三大基本公式, 牛顿-莱布尼兹公式、格林公式和高斯公式都将内部计算转化为边界计算, 都刻画了函数在某种几何形体上的总体性质和在边界上的局部性质之间的关系。

(2) 共性与个性。共性指不同事物的普遍性质, 个性指一事物区别于他事物的特殊性质。虽然研究微积分的数学家很多, 但之所以他们没有成为微积分的创始人, 是因为他们研究的都是个例形态, 而牛顿和莱布尼兹则超越他们, 透过现象看到本质, 从众多个例中提炼出共性的东西———无穷小分析, 并将其提升, 确立为数学理论。

(3) 运动与静止。运动是物质的存在形式和固有属性, 相对静止是事物存在和发展的必要条件。极限概念的发展史便是这一对矛盾的最好诠释。最开始, 极限是通过“无限增大”、“想多小就多小”这种描述性的定义给出的, 而这种不严密的叙述无法用于证明, 直接动摇了微积分的根基。直到ε-N语言的出现, 它用静态观点刻画了运动趋势, 完美的将二者融为一体。[4]

(4) 具体与抽象。这是人类认识事物过程的两个阶段。如为了求解瞬时速度和切线问题, 我们抽象出了导数的定义。然后我们又可以在现实世界中广泛的应用它:求电流强度、角速度、线密度、边际成本等。很多数学概念的形成都是源于客观实际的需要, 之后又服务于生活:从具体到抽象, 再由抽象到具体。

(5) 相对与绝对。通过相对才能体现绝对, 绝对不能离开相对而独立存在。如对于二元函数, 存在两个绝对的自变量, 但当求偏导数时, 却需要相对的将其中一个看作常量;同样, 求二重积分时, 需要先将一个自变量看作常量, 然后再视其为变量。这个例子很好的体现了相对与绝对的辩证关系。

(6) 有限与无限。这是世界固有的矛盾之一。比如若我们要求无穷级数的和, 需要先求出前有限项的和, 然后借助于极限将其推广到无限项之和, 这恰恰说明无穷级数是有限和无限的统一:有限构成了无限、无限不能脱离有限而独立存在, 有限包含着无限, 有限体现着无限。

1.2 质量互变规律

它是在事物量与质、量变与质变的辩证关系中揭示事物发展的形式、状态的唯物辩证法的基本规律。

高等数学中也处处能体现出这一规律。比如, 在取极限的过程中, 当时间趋于零时, 平均速度变成了瞬时速度;当动点无限接近于定点时, 割线的斜率变成了切线的斜率;当边数无限增大时, 圆内接正多边形的面积变成了圆的面积;当分割无限细时, 小平顶柱体的体积之和变成了曲顶柱体的体积。这些例子无不说明事物的发展总是先从量变开始, 量变达到临界点超出了度, 就导致质变。

1.3 肯定否定规律

也称为否定之否定规律, 揭示了事物内部肯定和否定矛盾的对立统一, 即事物由肯定达到对自身的否定, 进而再由否定到否定之否定, 从而显示出事物在曲折前进和螺旋式上升的辩证过程。在引入定积分时, 我们计算了曲边梯形的面积:先将其分割成很多个小曲边梯形, 把它们近似看成矩形, 然后将所有小矩形面积求和, 当小矩形个数趋于无限大时, 就可以将其视为梯形的面积。这种“化整为零, 积零为整”、“以直代曲、由曲到直”的思想恰是否定之否定规律的绝妙体现。

1.4 普遍联系原理

普遍联系的观点, 是唯物辩证法的本质特征之一。它指出:任何事物内部的各个部分、要素是相互联系的;任何事物都与周围的其他事物相互联系着。

如高等数学中共有七种形式的积分:一元积分、二重积分、三重积分、两类曲线积分、两类曲面积分。这些积分通过定义、两类曲线、面积分之间的联系及多元微积分的三大公式呈现出错综复杂的关系, 相互之间可以转化。由于所有的积分都是通过“分割、近似求和、取极限”的思想来定义的, 所以它们实际上并没有分家, 而是一个结构精妙的统一体系。再如微分中值定理作为研究函数的有力工具, 也是相互联系的。其中拉格朗日定理是罗尔定理的推广, 同时也是柯西中值定理的特殊情形。可见在学习数学时, 我们也应坚持联系的观点, 用普遍联系的观点看问题。

1.5 主要矛盾和次要矛盾相互关系原理

唯物辩证法认为, 矛盾有主次之分, 主要矛盾和次要矛盾相互依赖、相互影响, 并在一定条件下相互转化。这就要求我们在观察和处理事物时, 要抓住主要矛盾, 从而掌握工作的中心环节。

如在求解二重积分时, 有些题目用直角坐标计算, 但按照已有次序是解不出的, 必须要交换积分次序才行;而有些题目无论怎样交换积分次序都做不出, 因为它用直角坐标的方法是无解的, 但如果转化成极坐标来计算, 问题就会迎刃而解[5]。

2 哲学与高等数学在教学上的相互渗透

哈佛大学有一个著名的口号:“一流的工科要有一流的理科, 一流的理科要有一流的数学, 一流的数学要有一流的文科, 一流的文科要有一流的哲学!”可见在世界顶级的高等教育学府中, 学科间的相互融合、相互促进、相互提升已被摆在很重要的位置上。

我们也可以在教学上做些学科交叉融合的尝试, 同世界先进的教育理念接轨。

2.1 在哲学教学中渗透数学的思想

(1) 哲学教学现状。在我国科技飞速发展、经济日益腾飞的今天, 实用价值观和功利主义的知识观正在影响着当代大学生。大家在学一门知识前先要问“学了有什么用”?由于哲学不像其他的自然科学和现代技术, 能够让人在短时间内学到某一个领域的专业技能, 所以很多学生都是采用背诵概念、临阵磨枪的方式来对待这种“既务虚又不实用”的课。而且, 教科书体系化的理论哲学给人更多的印象是晦涩抽象。如果教师仅就哲学论哲学, 难免会窒息了哲学的灵性, 进而扼杀了学生的求知欲, 禁锢了他们心灵的思考。 (2) 渗透数学思想。实际上, 哲学教育应多多关注于对现实的关照, 否则, 高深的理论体系就没有存在的意义。如果教师在教学中能够结合高等数学中所蕴含的种种哲学思想进行列举, 一定会获得良好的教学效果, 因为:第一, 这样给学生以新鲜感、惊艳感, 将那些患有“人文逃避症”的理工科学生重新拉回课堂;第二, 让学生切身感受到, 哲学作为世界观和方法论, 的确有它的意义和价值, 纠正它留给大家的深奥难懂的错误印象。事实上, 哲学作为人文学科不但同自然科学不矛盾, 反而两者是紧密相连的;第三, 让学生在对具体问题的探讨和分析中学会如何进行哲学式思考, 如何使用哲学思维的方法。这才是我们教书育人的最终目的。

当然, 还应该告诉学生, 哲学从功利的角度上虽然不能提供即学即用的价值, 但“它能够给人们提供一种终极精神关怀和精神目标, 并在这种关怀中来培养人们的一种超越性的思维方式和生活境界。”[6]

2.2 在数学教学中渗透哲学的思想

(1) 高等数学教学现状。学习高等数学的都是刚入学的大一新生, 初等数学与高等数学之间的巨大差别让他们不适应, 再加上高等数学严密的逻辑性、高度的抽象性使这门课更显得枯燥无趣。久而久之, 大部分学生逐渐丧失了学习的动力、热情和目标。 (2) 渗透哲学思想。要想提高高等数学的教学效果, 可以运用多种教学方法和手段, 其中在课堂中充分解析和体现哲学思想无疑是最为精彩的一项, 因为:第一, 这样能使充满逻辑与理性的课堂兼具人文情怀, 让有“数学焦虑症”的学生感受到远离科学的亲切, 进而引起他们的共鸣, 于无形之中减轻他们对数学的焦虑;第二, 改变传统沉闷的课堂气氛, 代以轻松愉快的氛围;第三, 一些在数学范围内难以被学生理解的问题若换成哲学角度来解释, 反而能起到意想不到的一点就透的效果[7];第四, 让学生学会从多个角度、不同视角考虑问题;第五, 当一个数学上的具体问题背后的哲学思想呈现出来时, 学生就已经站在比原来更高的一个层次上, 对问题的认识自然也就上升了一个层面。这种高屋建瓴的对问题的洞悉力和理解力所体现出的学生的科学素质, 也正是我们孜孜以求的教育的目标。

摘要：文章分析了高等数学中所蕴涵的哲学思想, 并指出在教学中两者应相互渗透, 此举能培养学生辩证的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力, 从而不断提高学生的科学素质。

关键词：哲学,高等数学,教学方法

参考文献

[1]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州:兰州大学出版社, 2006:14-16.

[2]陶有德, 王霞, 路振国.哲学思想在高等数学中的体现及应用[J].高师理科学刊, 2011, 31 (5) :87-90.

[3]斯图尔特.夏皮罗.数学哲学:对数学的思考[M].上海:复旦大学出版社, 2009:64-65.

[4]朱匀华.数学分析的思想方法[M].广州:中山大学出版社, 2001:6-14.

[5]王淑萍.哲学观点在高等数学中的应用[J].江苏教育学院学报:自然科学版, 2006, 23 (4) :63-64.

[6]王翠英.马克思主义哲学原理[M].兰州:兰州大学出版社, 2006:19-20.

篇4：知到高等数学上

关键词高等数学;初等数学;衔接

中图分类号G4 文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)042-0177-01

国家中长期教育改革和发展规划纲要(2010-2020)指出,深化教育体制改革,关键是更新教育观念,核心是改革人才培养体制,目的是提高人才培养水平。树立系统培养观念,推进大中小学有机衔接,教学、科研、实践紧密结合,学校、家庭、社会密切配合,加强学校之间、校企之间、学校与科研机构之间合作以及中外合作等多种联合培养方式,形成体系开放、机制灵活、渠道互通、选择多样的人才培养体制。随着基础教育的进一步深化,高等教育如何改革以适应教育发展需要,成为人们关注的焦点。

1初等数学与高等数学的区别联系

初等数学研究的是常量,高等数学研究的是变量。初等数学是常量的、静态的数学,它只能解决和解释常量的几何问题和物理问题,比如规则图形的长度、面积和体积,匀速直线运动,常力沿直线的作功,质点间的吸引力等;高等数学是变量的、动态的数学,它解释和解决那些变化的几何问题和物理过程,特别是描述一些物体的渐近行为和瞬时物理量等,比如不规则图形的面积,曲线的长度,变力作功等。

从系统论的角度来看,数学与教学之间必须相互配合协调、有机衔接,才能产生良好的教学效果,提高教学质量,否则,将会出现数学兴趣低、效果差等不良现象,直接或间接影响高技能人才的培养和教育资源的极大浪费。长期以来,在初等数学和高等数学的实际教学过程中,存在一些问题:一是由于教学课程改革,把有些在大学学习的内容放到中学讲授,增加了中学数学教材内容,而实际上大学和中学教材缺乏统一的标准,各自为政,教学内容没有明确合理的分配、重复多、前后脱节,衔接不到位。二是由于应试教育的负面影响,中学的教学方式以灌输式为主,进度慢、理论深度不高,教师教授某个内容后,一般都要求学生反复练习,不断巩固,直到掌握;而高等数学课程起点高,难度大,讲授速度快,抽象性强,教师只是提纲挈领,课后交流辅导少。学习方式转变为由随从变主动,教学由灌输变自主。

初等数学和高等数学都是对客观现实进行不断抽象进而从量与关系方面进行研究的一种模式,是来源于社会实践的需要。数学在自身向前发展的同时,又日益促进着社会的发展,无论是初等数学还是高等数学,其研究的对象并不像物理学、化学一样具有客观实物形象,而是抛弃了具体事务的质的特性而仅仅从量与关系方面进行描述的一种模式。随着希尔伯特形式化公理系統的提出,数学研究的这种模式越来越远离现实和一般人的常规思维。

2加强初等数学与高等数学联系的意义

近些年来,高校不少学生对学习高等数学存在不少看法,如:“现在学习的高等数学好像与初等数学联不大系”,“学习高等数学对今后工作作用不大”,有的甚至提出:“高等数学在初等数学中基本用不上”等等。其实,这完全是认识上的偏见。高等数学是初等数学的延续和发展,而初等数学是高等数学的基础。作为学习和研究数学的途径,无疑应该先学习和掌握初等数学,然后才能学习和掌握高等数学。反之,学习高等数学能加深加宽对初等数学的理解,可以提高我们的数学修养,开阔思路,提高解决问题的能力。

1)对初等数学的学习和教学具有指导作用。高等数学是在初等数学的基础上发展起来的,前者是后者的延续和补充,如《高等几何》、《高等代数》就分别是在《初等几何》、《初等代数》基础上逐步发展起来的。高等数学的发展使我们对初等数学的认识更加深刻全面,如:用初等数学的方法研究数学的增减性,凹凸性,求极值,最值等种种特性有很大的局限性,而在高等数学中利用导数知识就可比较完美研究函数的特性。学习高等数学可以帮助学生形成正确的数学观念。近些年来,许多教育家提出:数学教育的目的是培养学生的数学观念,把数学科学理解为一个巨大的相互联系的整体。在初等数学中,代数、几何、三角等各自分离门户,各有个的观点和方法。然而在需要运用数学知识解题时却往往要综合运用各科知识,而学生长期习惯于分门别类地学习,往往错误的认为它们是各自孤立的学科,因而难于综合运用各门知识,可以说,这样的学生形成了不正确的数学观念。2)对初等数学理论上的支持。在初等数学的发展中当时不能或不易解决的问题,运用高等数学的理论和方法可得到圆满的解决。如高次求根问题,初等几何问题等都得到了圆满的解决。还比如在现行中学教材中的数学归纳法,只讲怎样用数学归纳法而不谈数学归纳法的证明,中学教材这样处理是考虑中学生的知识水平,年龄特征等。但在高等数学中不但给出了数学归纳法的原理,还可以由该原理演变出各种形式的归纳证明方法:第一数学归纳法、第二数学归纳法、反向归纳法、无穷递降归纳法等,用这些方法可以解决用其他数学方法难于处理的许多问题。总之,高等数学与初等数学有着千丝万缕的联系,初等数学中的一些思想方法至今仍在高等数学中起着非常重要的作用,而初等数学的研究对高等数学的发展也起了很大的促进作用。

3如何加强高等数学的教与学

高等数学是理工科院校一门重要的基础学科。作为一门科学,高等数学有其固有的特点,就是高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。抽象性是数学最基本、最显著的特点——有了高度抽象和统一,我们才能深人地揭示其本质规律,才能使之得到更广泛的应用。因此,学好高等数学对我们来说相当重要。然而,很多学生对怎样才能学好这门课程感到困惑。要想学好高等数学,至少要做到以下几点:

1)理解概念。数学,特别是现代形态的数学,是一种很空洞抽象的东西。从形式上看,数学是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的推演系统,她远离人的直接经验,具有一定的超现实性。完全纯粹的数学,对于常人来说,无疑是一部“天书”。为了理解数学中的每一个概念,读懂“天书”中的每一个词,我们必须坚持语言文字、数学公式、图形列表、数值计算和物理实例四方面并重,力求通过不同侧面来理解数学概念、思想和方法。2)演算解题。高等数学,单靠教师把课讲好是远远不够的。只有调动学生学习的积极性和主动性,促使他们自觉地接受经常、充分而又严格的数学训练,才能使他们真正走近数学,取得切身的体会,从而加深对数学的理解。在认真复习的基础上做好习题,是和课堂教学联系最直接与紧密,同时也最利于经常实施和长期坚持的一项重要的数学训练。多讲不如多练,对数学这样一门注重思考的学科,情况更是如此。只有通过严格的训练,使学生手脑并用,才能启迪心智,推动思维,使认识不断深入。学习高等数学,不仅要求学生掌握高等数学中的一些基本概念、基本性质和基本方法;更重要的是掌握高等数学的知识体系、知识框架,期望学生通过学习高等数学,提高抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和运用所学只是分析问题和解决问题的能力。3)逻辑结构。在现代数学中,符号演算在课程中常占着较大的比例,比如微积分中的极限演算,导数和各种积分演算等。而事实上,符号演算仅仅是数学中的形式部分,也是比较简单的部分;数学中的逻辑结构才是它的理性思辨的精髓所在,它虽然不同于物质的物理结构,但是它们所产生神妙的结构性功能,却是可以类比的。比如一种机械在装配前,只是一堆死的零部件,若加以精密的装配,就是赋予一种结构,于是这堆零件就回变成钟表、计算机、电视机和汽车等等,产生出各种奇妙的功能,因此结构是各种机械的灵魂。数学,特别是高等数学是具有很精密而系统的建构性,它的任何章节,所有概念和定理无不是由严密的逻辑因果网编织连接在一起的。可以说,数学的逻辑结构乃是数学科学的本质与灵魂,是它的原理和精神的所在。4) 数学与现实。从形式上看,数学乃是由无物质内容的形式符号按一定的“游戏规则”所组成的符号推演系统,它远离人的直接经验。但是追本溯源,它的任何分支都是由更初级的内容演化发展而来的,是对现实世界的无限高度抽象和概括而得到的。我们在学习的时候,不要抛弃微积分本来

(下转第174页)(上接第177页)的具体实例、直观思维等实实在在的东西,不要被它的严肃刻板的ε-d、ε-N语言所吓倒,这只是微积分保护自己的盾牌而已。数学这种形式上的“超现实性”在某种程度上是其在各种自然科学和社会科学中都有广泛而深刻的应用的保证。但是,我们在学习这些抽象的数学时,一定要结合具体而生动的实例加以理解,还抽象数学以其现实本性,只有这样我们才会觉得数学是活的、生动的、具体的、可以捉摸的,而且会体会到它为什么会是这样的,为什么会必然是这样的,做到知其然,更要做到知其所以然。5)深入浅出。数学思维是思辨性的演绎思维,它不同于自然科学中的观察、归纳、总结、分析这样的归纳思维。粗略地说,归纳思维是人有生以来认识了解周围世界的一种主要思维方法,是人生来就熟悉的自然思维;而演绎思维是归纳思维的一种逆向思维,是一种更为复杂的理性思维。只有通过一定的训练,我们才能熟悉、掌握和运用。数学逻辑的演绎,从思维结构上看是“串联”的,也即在逻辑演绎的推理链只需有一个环节不连续、衔接不上,其后续的推理就失去了依据,整个演绎就不能继续。因此我们在学习过程中必须做到十分细致、缜密,深刻理解数学演绎中的每一个环节,以及环节与环节之间的联系,做到事出有据,这是“深入”。但是如果只有“深入”,使得我们埋头于每一步骤的细节,往往会使我们只见树木不见森林,全然不知所云!这就要求我们还要“浅出”,从高处俯览、远处远眺所学的内容,即对内容作全局性、宏观性的总结和概括。就像要了解一台精密的设备,仅仅了解它的所有零部件是远远不够的,我们必须要宏观地懂得它的结构构造,运作功能和配合原理。只有“浅出”,结合现实,才使我们的学习有了明确的目标意识,纷繁复杂的“深入”才能呈現处清晰的主干脉络,才能激发我们的自觉性和能动性,改变被动地带带公式、套套定理的学习状态。

参考文献

[1]王玉国,赵宝群.高等教育与基础教育的衔接初探.河北建筑科技学报,2001.

[2]萧树铁.高等教育改革研究报告.数学通讯,2002.

[3]牛海军.初等数学与高等数学衔接问题研究[M].辽宁师范大学,2008,06.

[4]徐利治.关于高等数学教育与教学改革的看法及建议[J].数学教育学报,2000.

作者简介

篇5：高等数学(上)重要知识点归纳

第一章 函数、极限与连续

一、极限的定义与性质

1、定义（以数列为例）

limxna0,N,当nN时，|xna|

n

2、性质

f(x)Af(x)A(x)，其中(x)为某一个无穷小。(1)limxx0f(x)A0，则0,当xU(x0,)时，(2)(保号性）若limxx0of(x)0。

(3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。

二、求极限的主要方法与工具

1、*两个重要极限公式

(1)lim0sin1

1(2)lim(1)e 

2、两个准则

(1)*夹逼准则

(2)单调有界准则

3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0时

（1)sin~

（2）tan~

（3）arcsin~

（4)arctan~（5）ln(1)~

（6）e1~（7）1cos~

2（8）n11~

12 n 2

4、分子或分母有理化法

5、分解因式法

6用定积分定义

三、无穷小阶的比较*

高阶、同阶、等价

四、连续与间断点的分类

1、连续的定义*

f(x)在a点连续

limy0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)

x0xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）

2、间断点的分类 无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他

3、曲线的渐近线*(1)水平渐近线：若limf(x)A,则存在渐近线：yAx(2)铅直渐近线：若limf(x),则存在渐近线：xaxa

五、闭区间连续函数性质

1、最大值与最小值定理

2、介值定理和零点定理

第二章 导数与微分

一、导数的概念

1、导数的定义* y|xaf(a)dyyf(ax)f(a)f(x)f(a)|xalimlimlimx0x0xadxxxxa

2、左右导数

左导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa右导数f(a)limx0yf(x)f(a)limxaxxa

3、导数的几何意义* y|xa曲线f(x)在点（a,f(a))处的切线斜率k

4、导数的物理意义

若运动方程：ss(t)则s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）

5、可导与连续的关系:

可导连续，反之不然。

二、导数的运算

1、四则运算(uv)uv

(uv)uvuv

()uvuvuv

2vdydyduu

2、复合函数求导 设yf[(x)]，一定条件下 yuxdxdudx3、反函数求导 设yf(x)和xf1(y)互为反函数，一定条件下：yx1 xy4、求导基本公式*（要熟记）

5、隐函数求导* 方法：在F(x,y)0两端同时对x求导，其中要注意到：y是中间变量，然后再解出y

xx(t)

6、参数方程确定函数的求导* 设，一定条件下

yy(t)y(t)tdyytdyytxtytxtxxt（可以不记）y,yxx3dxxtdxxt(xt)

7、常用的高阶导数公式（1）sin(n)xsin(x),(n0,1,2...)

n（2）cosxcos(x),(n0,1,2...)

2(n)n2（3）ln(1x)(1)(n)n1(n1)!,(n12...)n(1x)1n(1)nn!),(n0,1,2...)（4）(n11x(1x)（5）（莱布尼茨公式）(uv)Cnku(nk)v(k)

(n)k0n

三、微分的概念与运算

1、微分定义 * 若yAxo(x)，则yf(x)可微，记dyAxAdx

2、公式：dyf(x)xf(x)dx

3、可微与可导的关系* 两者等价

4、近似计算 当|x|较小时，ydy，f(x)f(xx)f(x)x

第三章 导数的应用

一、微分中值定理*

1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上连续(2)f(x)、g(x)在(a,b)内可导（3）g(x)0,则：f()f(b)f(a)（a,b),使得：g()g(b)g(a)当取g(x)x时，定理演变成：

2、拉格朗日中值定理*

（a,b),使得：f()f(b)f(a)f(b)f(a)f()(ba)

ba当加上条件f(a)f(b)则演变成：

3、罗尔定理* （a,b),使得：f()0

4、泰勒中值定理 在一定条件下：

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)nRn(x)

n!f(n1)()(xx0)n1o((xx0)n),介于x0、x之间.其中Rn(x)(n1)!当公式中n=0时，定理演变成拉格朗日定理.当x00时，公式变成:

f(n)(0)n5、麦克劳林公式 f(x)f(0)f(0)x...xRn(x)

n!

6、常用麦克劳林展开式

x21n（1）e1x...xo(xn)

2!n!xx3x5(1)n12n1xo(x2n)（2）sinxx...3!5!(2n1)!x2x4(1)n2nxo(x2n1)（3）cosx1...2!4!(2n)!x2x3(1)n1n（4）ln(1x)x...xo(xn)

23n

二、罗比达法则* 记住：法则仅能对,型直接用，对于0,,1,00,0,转化后用.幂指函数恒等式*fgeglnf

三、单调性判别*

1、y0y,y0y

2、单调区间分界点：驻点和不可导点.四、极值求法*

1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变负为极大，由负变正为极小.4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为0时，是极值点.正为极小，负为极大.五、闭区间最值求法* 找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.00 7

六、凹凸性与拐点*

1、y0y,y0y

2、拐点：曲线上凹凸分界点(x0,y0).横坐标x0不外乎f(x0)0,或f(x0)不存在，找到后再加以判别x0附近的二阶导数是否变号.七、曲率与曲率半径

1、曲率公式K|y|(1y2)

12、曲率半径R

K32

第四章 不定积分

一、不定积分的概念* 若在区间I上，F(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx，则称F(x)为f(x)的原函数.称全体原函数F(x)+c为f(x)的不定积分，记为f(x)dx.二、微分与积分的互逆关系

1、[f(x)dx]f(x)df(x)dxf(x)dx

2、f(x)dxf(x)cdf(x)f(x)c

三、积分法*

1、凑微分法*

2、第二类换元法

3、分部积分法* udvuvvdu

4、常用的基本积分公式(要熟记).第五章 定积分

一、定积分的定义 af(x)dxlimf(i)xi x0i

1二、可积的必要条件

有界.三、可积的充分条件

连续或只有有限个第一类间断点或单调.四、几何意义

定积分等于面积的代数和.bn 9

五、主要性质*

1、可加性 aac

2、估值 在[a,b]上，m(ba)af(x)dxM(ba)

3、积分中值定理* 当f(x)在[a,b]上连续时：af(x)dxf()(ba),[a,b]

4、函数平均值：babcbbbf(x)dxba

六、变上限积分函数*

1、若f(x)在[a,b]连续，则F(x)af(t)dt可导，且[af(t)dt]f(x)

2、若f(x)在[a,b]连续，(x)可导，则：[a

七、牛-莱公式* 若f(x)在[a,b]连续，则af(x)dx[f(x)dx]|bF(b)F(a)

axx（x）f(t)dt]f[(x)](x)

b

八、定积分的积分法*

1、换元法

牢记：换元同时要换限

2、分部积分法

audvuv|avdu

babb3、特殊积分（1）aa0,当f(x)为奇函数时f(x)dxa

20f(x)dx,当f(x)为偶函数时（2）当f(x)为周期为T的周期函数时：

aanTf(x)dxn0f(x)dx,nZ

T（3）一定条件下:0xf(sinx)dx0f(sinx)dx

2 10

(n1)！，n是正奇数时（4）02sinnxdx02cosnxdxn!

(n1)！，n是正偶数时!2n！（5）0sinxdx202sinnxdx n

九、反常积分*

1、无穷区间上

a

其他类似 f(x)dxlimaf(t)dtF(x)|aF()F(a)xx2、p积分：ap1时收敛1 dx(a0):pxp1时发散

3、瑕积分：若a为瑕点：

b则af(x)dxlimf(t)dtF(x)|F(b)F(a)

其他类似处理

axaxbb

第六章

定积分应用

一、几何应用

1、面积（1）A（y上-y下）dxaA（x右-x左）dyabb

xx(t),(t),则A|y(t)x(t)|dt（2）C:yy(t)C:(),与，，（)围成图形面积（3）12A（）d2

2、体积*（1）旋转体体积*Vxay2dx

Vycx2dy

或Vy2axydx（2）截面面积为AA(x)的立体体积为VaA(x)dx

bbdb 11

3、弧长

（1）sa1y2dx(axb)（2）sx2(t)y2(t)dt,(t)（3）s22d,()

二、物理应用

1、变力作功

一般地：先求功元素：再积分waF(x)dx dwF(x)dx,x[a,b]，克服重力作功的功元素dw=体积g位移

2、水压力

dP=水深面积g

第七章

微分方程

一、可分离变量的微分方程

dy形式：f(x)g(y)

dxbb二、一阶线性微分方程*

1、线性齐次：yp(x)y0 通解公式*：yCep(x)dx

2、线性非齐次

yp(x)yq(x)通解公式*：ye

篇6：知到高等数学上

密★启用前

大连理工大学网络教育学院

2014年3月份《高等数学》（上）课程考试 模拟试卷答案

考试形式：闭卷 试卷类型：A

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1、D

2、C

3、A

4、C

5、B

6、B

7、C

8、A

9、C

10、D

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1、2 6、2、3 23、27、

4、f(x)

5、e(1)exnx

xC ax1ln|34x|C48、xeeC x9、5610、F(xa)F(2a)

三、计算题（本大题共5小题，每小题8分，共40分）

1、出处：参考课件第一章函数与极限第五节极限存在准则—两个重要极限。步骤：

1、根据倍角公式cos212sin（4分）

2、根据第一个重要极限lim2sinx1（4分）

x0x2、出处：参考课件第二章导数与微分第一节导数的概念。步骤：

1、求左导数（2分）

2、求右导数（2分）

3、判断左导数与右导数的关系（2分）

4、得出结论（2分）

3、出处：参考课件第二章导数与微分第二节导数的求导法则。步骤：先用复合函数的求导法则（4分），再用商的求导公式（4分）。

4、出处：参考课件第四章不定积分的概念和性质第二节换元积分法与分部积分法

（一）。步骤：

1、根据三角函数中的积化和差公式，变换被积函数。（4分）

大工《高等数学》（上）课程考试 模拟试卷（A）答案 第1页

共2页

2、利用第一换元法求不定积分（4分）

5、出处：参考课件第五章定积分第三节定积分的性质。步骤：

1、判断被积函数大小（4分）

2、根据定积分的性质，得出结论（4分）

四、应用题（本大题1小题，共10分）

出处：参考课件第五章定积分第二节定积分的概念。步骤：

1、计算交点（3分）

2、根据定积分的几何意义，得出所求面积公式（3分）并计算结果（4分）。

大工《高等数学》（上）课程考试 模拟试卷（A）答案 第2页