数学教学中的概念建构

2022-09-10

数学学习的基础是数学概念的学习。中等学校数学, 所涉及的概念不但数量多, 而且范围广泛, 包括代数学、几何学、三角学、概率统计等数学分支科学的数学概念。这些概念中有的简单, 有的综合, 有的形象, 有的抽象。显然, 对于综合性强及抽象程度高的概念, 学生在理解和接受的过程中会产生各种困难。怎样帮助学生正确理解并掌握这些概念便成了教师教学设计的重点和难点。建构主义认为, 学习的过程不是教师向学生传授知识的过程, 而是学生作为认知主体积极主动建构的过程。因此, 在概念教学的过程中, 教师应集中精力考虑该怎样指导和帮助学生主动建构, 在进行教学设计时, 应更多考虑采取哪些具体的教学手段来帮助学生完成建构过程。

研究对象确定为中等学校数学教材中关键的数学概念及那些学生在理解和接受过程中感到困难的数学概念。首先从教学的角度罗列并分析这些概念中的特点, 学生在学习和认识过程中会产生怎样的困难及为什么产生这样的困难;然后思考并探索这些概念的教学策略。通过分析不同类型的数学概念的逻辑结构, 概念的背景和发展情况;分析学生当时的知识结构, 智力水平和学习态度, 利用教学实验进行探索。根据教学效果总结了以下几方面。

1 模型建构教学

多数抽象的数学概念, 我们可以为其找到具体的模型。在教学过程中, 我们可以通过对具体模型的学习和认识来帮助学生掌握抽象概念的性质及特点, 具体模型的建立可以有助与学生对抽象概念产生形象的认识。我们把对具体模型的操作和学习看做是概念抽象和构建前的操作活动。通过为抽象概念建立具体模型, 促进学生对概念的主动建构。举例来说, 等差数列性质的学习, 我们可以先选择一个具体的等差数列, 如{an}:1, 3, 5, 7……来考察它的特点, 再推广到一般的性质, 如an=am+ (nm) d;若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq, 等。利用模型帮助学生主动建构, 不仅可以帮助建构概念本身, 可以帮助理解概念所体现出来的数学思维方式及数学思想方法。

2 类比建构教学

类比是寻找联系的有效方法。把类比方法用于两个并行 (或者说并列) 的概念有较好的学习效果。同时, 在类比的过程中学生完全可以通过自己思维活动的实践, 主动建构对相应并列并列概念的理解。在整个中等学校数学教学中, 指数与对数;指数函数与对数函数;排列与组合;椭圆、双曲线与抛物线等概念, 我们都可以借助他们之间这种特殊关系, 利用已知概念来实现对相应概念的理解和建构, 并且这种建构过程可以交给学生来完成, 教师在其中只要充当一个引导者就够了。例如:指数运算与对数运算其实是逆运算的关系, 我们完全可以提示学生通过指数运算的性质来主动寻找对数运算相应的性质。椭圆、双曲线、抛物线都是圆锥曲线, 在学生完全理解并掌握了椭圆的概念及性质后, 我们可以要求学生利用认识椭圆概念的方法和规律自己研究双曲线和抛物线, 学生通过自己主动的思维活动得到结果, 应该更容易理解和掌握。再如, 平面角和二面角其实是二维平面和三维空间的不同表示形式, 我们可以借助二维平面上角的概念来帮助学生理解和掌握三维空间角的度量的有关概念。

3 活动建构教学

中等学校数学教材中有这样一些概念, 在学生的原有认知结构中很少有与之关联的内容, 概念本身也显得较为独立。例如计数问题中的排列与组合概念, 概率统计中的概率等概念。即使学生有较强的逻辑思维能力和形式运算能力, 但要在已有的认识结构中建构这些概念仅仅依靠思维运算是不够的, 至少效率不高。我们主张教师在进行教学设计时应考虑为学生创设一种活动情景, 让学生动手做教学, 在活动过程中接触概念, 使用概念, 体验概念。同时教师还应该帮助并引导反思活动过程和活动结果, 促进学生对概念的主动建构。例如, 为帮助学生建构排列的有关概念, 我们可以创设情境, 让学生自己去罗列某个排列的各种可能, 让学生在罗列的过程中去体验什么叫排列, 什么叫一个排列, 什么叫排列数;在这个过程中又可以帮助学生反思乘法原理, 促进学生对排列知识的主动建构。再如, 为帮助学生理解概率这个概念, 我们可以让学生通过扔硬币、抛图钉, 自己去收集数据, 分析数据, 在活动过程中体验概率与可能性的关系, 去体会计算概率方法的合理性, 引导学生对活动的过程和结果进行反思, 促进学生主动建构概率的有关知识。

4 演绎建构教学

建构主义观念强调通过个体的体验即对自己经验活动的反思来主动建构。在罗列出中等学校数学教材中的全部概念后, 我们发现, 不少概念之间有着密切的联系, 更确切的讲有密切的逻辑关系, 例如:函数与指数函数、对数函数、三角函数, 反函数与反三角函数就是一般与特殊的关系。概念之间的密切联系, 本身就为我们帮助学生主动建构这些概念指明了方向。因为从概念理解的理论看, 概念的学习本身就是一个“同化”或“顺应”的过程, “同化”或“顺应”是通过概念间的联系来界定的。概念间的逻辑联系对学生来讲应该成为最有效的联系, 这种联系的确定不仅帮助学生建立了一种较牢靠的知识结构, 也帮助学生体会了一般到特殊, 或者从特殊到一般的认知规律。所以对于那些与学生原有认知结构中的概念有逻辑关联的概念, 我们可以通过逻辑演绎过程, 帮助学生主动构建概念。仅以三角函数为例, 很多学生把这个概念单纯的认为是三角知识, 意识不到三角函数是一类特殊的函数。其实我们可以通过利用函数概念的思想方法加深对三角函数的理解, 一切显得顺理成章, 只不过多了几个特殊性质而已。这样处理对学生来说, 三角函数不再是孤立的三角学知识了, 而是函数知识体系中一个特殊的结点。

总之, 我们主张深刻分析概念本身的特点, 考虑学生在学习概念过程中可能出现的困难的基础上, 根据实际情况采用各种教学方法。在揭示知识的发生、发展过程, 对概念进行“再创造”等教学原则的指导下, 会有更加优化的建构教学产生。

摘要：对于综合性强及抽象程度高的概念, 学生在理解和接受过程中会产生困难, 教师应帮助学生主动建构。较优化的教学方式包含模型建构、类比建构、活动建构、演绎建构等方面。

关键词：数学教学,教学设计