对被7整除的新判别法的探究

对一个正整数是否能被7整除, 一般常用的方法是“三位分节加减法”, 即将原数从个位开始, 从右到左每三位分一节形成一个节位数, 一直分到最后的一节 (如果最后的一节不够三位, 也把它当成一节) , 这样就形成了许许多多的节位数, 然后把这些分好的节位数按原数的顺序从左到右 (从右到左也可以) 进行编号, 分别编成第1号、第2号、第3号等等一直下去, 再将所有奇数号的节位数相加在一起, 将偶数号的节位数相加在一起, 最后看这两个和数的差是否能被7整除, 如果可以, 那么原数就能被7整除;否则就不整除。

例如, 要判别1234567是否能被7整除, 我们将其分成1, 234, 567这三个节, 奇数号的节位数相加是1+567, 偶数号的节位数只有234一个, 568与234的差是334, 334不能被7整除, 所以原数1234567不能被7整除。而对于12345676, 因为12+676与345的差343能被7整除, 所以12345676能被7整除。

我们知道, 要判别一个数是否能被2、3、4、5、6、8、9整除, 都有比较简单的方法, 可是要判别一个数是否能被7整除, 却为什么这么麻烦呢?

有没有简单一点的办法?我们说, 有。下面我们就来研究被7整除的新判别法。

判别法1:去掉原数的末位数字得到一个新数, 再减去刚刚去掉的末位数的2倍, 得到一个差数;对这个差数, 又去掉它的末位数字, 再减去刚刚去掉的末位数的2倍;如此一直做下去直到在某一时候, 很容易知道这个差数能否被7整除时为止。如果这个差数能被7整除, 那么原数就能被7整除;否则就不整除。

我们不妨将判别法1简称为“去尾减2倍尾法”。

这种判别法为什么可以成立呢?原来对于个位是A的数, 我们不妨设其为10X+A, 它的去掉末位数后再减去末位数的2倍的数是X-2A, 因为原数10X+A与作一次去尾减2倍尾的运算后所得到的数X-2A有如下关系

(10X+A) -3 (X-2A) =7X+7A=7 (X+A) , 是7的倍数, 所以10X+A与3 (X-2A) 要么同为7的倍数, 要么同时都不是7的倍数, 而3与7互质, 所以如果3 (X-2A) 是7的倍数, 那么X-2A一定是7的倍数, 反之则不然。

例1、判别1 2 3 4是否被7整除。

我们对1234进行如上的重复“去尾减2倍尾”运算

显然, 1不能被7整除, 所以1234不能被7整除。

如果我们不愿做减法, 能不能改成做加法呢?我们说是可以的。经过研究, 我们发现有

判别法2:去掉原数的末位数字得到一个新数, 加上刚刚去掉的末位数的5倍, 得到一个和数;对这个和数, 又去掉它的末位数字, 再加上刚刚去掉的末位数的5倍;如此一直做下去直到在某一时候, 很容易知道这个和数能否被7整除时为止。如果这个和数能被7整除, 那么原数就能被7整除;否则就不整除。我们不妨将此判别法简称为“去尾加5倍尾法”。

证明:因为2 (10X+A) + (X+5A) =21X+7A=7 (3X+A) 是7的倍数, 如果X+5A是7的倍数, 那么2 (1 0 X+A) =7 (3 X+A) - (X+5A) 是7的倍数;如果X+5A不是7的倍数, 那么2 (10X+A) =7 (3X+A) - (X+5A) 一定不是7的倍数。这里X可以是任意整数, 即可以是多位数, A是个位数, 为不超过9的非负整数 (自然数) 。

例2、判别3 6 8 2能否被7整除。

解:对3682进行上述操作, 得到

77显然能被7整除, 所以3682能被7整除。

我们在这里要问, 当要判别的数比较大, 而一个数一个数地去尾是不是慢了点, 能不能将这个数的十位与个位当作一个尾 (我们不妨称它为这个数的2节尾) , 然后也来个加 (减) 多少倍尾, 从而判断这个数是否被7整除?显然这是一个大胆的想法。

经过试算与实验, 我们竟然发现了以下方法

判别法3:去掉原数的末两位数, 再加上前面刚刚去掉的两位数的4倍, 对所得的和数又重复以上过程, 如此一直做到很容易判别这个和数能否被7整除时为止。如果这个和数能被7整除, 那么原数就能被7整除;否则不整除。我们不妨将此判别法称为“去2节尾加4倍尾法”。

证明方法同判别法1的证明, 只要注意到

(100x+10A+B) +5[X+4 (10A+B) ]=105X+210A+21B=7 (15 X+30A+3B) 是7的倍数。

例3、请判别65212是否被7整除。

解:对65212试行“去2节尾加4尾”法

显然700是7的倍数, 因此65212能被7整除。

对于判别法2所做的“去2节尾加4倍尾”的运算, 能不能改成“去2节尾减3倍尾”而成为新的判别法呢?经过实验与研究, 我们又发现了一个新的判别法。

判别法4:先将原数的末两位数去掉, 将这个两位数乘以3, 所得到的积与前面去掉末两位数后得到的数作差运算 (用大数减小数) , 如此一直做到很容易知道这个差数能否被7整除时为止。如果这个差数能被7整除, 那么原数就能被7整除;否则不整除。我们不妨将此判别法称为“去2节尾减3倍尾法”。

证明方法同上。请读者自己完成。

对于6节位我们得到了一个更为有意思的判别方法, 这里仅叙述如下

判别法5:将原数从个位数开始, 每六位分一节形成一个节位数, 如果最后的一节不足六位也算一节。将这些节位数全部相加, 如果所得和能被7整除, 那么原数就能被7整除, 否则就不整除。

去一节尾、去两节尾、三位分节加减法、六位分节全相加等等判别方法成功之后, 我们还能不能考虑去3节尾、去4节尾、去5节尾、去6节尾等等方法来判别一个较大的数能否被7整除呢?由于篇幅所限, 这些问题就留待读者自己研究。

如果将这些内容作为中学生数学活动课或研究性学习课的活动素材, 在实施新课程标准的今天, 无论对于教师的创新示范还是对于学生的创新体验, 我们相信这都是非常有意义和有价值的。

摘要：本文通过对被7整除的判别法的研究, 发现了多种被7整除的新的判别方法。这种新判别法对以前的用“每隔三位分节, 奇数位节之和与偶数位节之和的差”能否被7整除来判别一个整数是不是被7整除, 有所简化与创新。同时, 这些新判别法的发现, 对新课程实施研究性学习提供了资源与课题。

关键词：数学,整除判别法,探究