关于高师数学分析课程教学的几点探讨

2022-11-17

高师数学分析作为数学专业的一门重要的基础课, 不仅是进一步学习其他后继课程的基础, 而且还承担着培养学生用数学分析的有关理论和知识居高临下地分析和处理好中学教材的任务。早在1994年国家教委师范司组织制定的《普通高等师范学校数学教育专业 (本科) 教育教学基本要求》中就指出“以函数或方程为主要研究对象的分析数学是现代科学技术所必需的数学工具, 它是数学科学的一个重要分支”, 要求学生“掌握分析数学的基本概念、基本理论和基本方法, 初步具有分析问题和解决问题的能力;并对中学数学中的函数、极限、方程、面积、体积等有关教学内容具有搞观点分析和处理教材的能力”。然而由于近年高师课程体系在社会需求下不断调整而基础课程的课时缩减, 还因受传统教学方法的影响使得教学往往只偏重于教材知识的传授和逻辑性的训练上, 而忽视了数学分析课程对中学数学的指导作用。下面结合我在数学分析教学的实践, 就这方面对高师数学分析教学做出一些探讨。

1 让学生体会数学分析的原理、方法在中学数学中的应用

数学分析研究内容与中学数学内容的联系非常广泛, 一些中学数学中不能完全讲清楚的基本概念或方法, 有了数学分析后就如高屋建瓴, 使许多在中学数学中由于受到知识的局限而无法深入讨论的问题得到解决。所以在高师数学分析教学的过程中要注意让学生体会到数学分析的原理、方法在中学数学中的应用。

数学分析以函数为其主要研究对象。在高中代数中, 初等函数占据上册中的绝大部分内容。由于受中学数学知识的限制, 在中学数学中对初等函数性质的研究只能停留在“原始”的水平上, 例如讨论函数的单调性只能根据其定义, 计算很繁琐, 对某些函数甚至无法判别, 而根据微分学中严格单调的充分条件的定理:“若对, 有 (或) , 则函数在内严格增加 (或严格减少) 。”[1]则可使解法简化, 并能使问题得以深化和拓展。所以在教学过程中必须格外重视应用导数判断函数的单调性、凹凸性、极值和拐点, 利用极限求渐近线的理论知识精确的做出函数的草图这些知识点。

数列与极限是中学代数中的一章, 每年数学科高考题中也必有关于数列或极限的题目。在现行中学教学教材中, 虽然也给出了数列极限的精确的数学定义, 但要使学生能真正理解这一定义是有困难的, 而函数极限则作为选学内容, 大多数中学均不讲授。在数学分析中, 对数列和函数的极限有了详尽的讨论。

有关面积与体积的计算问题, 在中学数学中对一些规则平面图形或空间立体的面积体积和表面积给出了计算的公式, 但其中相当一部分公式无法给出推导的方法, 在研究体积计算问题时常用的一个重要定理——祖恒原理也只能当作公理介绍。而在数学分析中, 有关面积, 体积的计算完全可利用积分或重积分精确地计算出来, 祖恒原理只须用定积分的定义便可简捷地给出证明。

级数理论是数学分析中的一个重要内容, 利用函数的级数展开式可进行近似计算, 中学数学用表中的三角函数表、常用对数表等均是利用级数理论求出其近似值来制作。中学教师掌握了这些知识后, 在教学中, 就不但能教学生如何查表, 还可说明造表的理论依据, 使学生更加信服, 另外还可为开展中学数学课外活动提供素材。

从以上分析, 足可看出数学分析对中学数学教学起着非常重要的指导作用, 作为高等师范院校的数学教师, 不但要清醒地认识到这种作用, 而且应该在教学中自觉地向学生讲述和分析这种作用, 使学生能深刻地领会这种作用, 增强学习自觉性, 从而在将来数学教学实践中充分发挥这种作用, 不断提高他们的数学教学质量。

2 注重对学生进行数学思想的培养

数学分析是以概念、定义、定理、公式、法则作为其基本“骨架”, 以数学思想为灵魂。作为未来教师的接班人, 师范生应该吸取其中蕴涵的数学思想方法。这不仅能加深其对数学分析原理、方法在中学数学中应用的理解, 更能够使其在教授学生的过程中, 向学生灌输这些数学思想, 从而培养出优秀的数学人才。所以在高师数学分析的教学中就应该注重对学生进行数学思想的培养。

2.1 符号化思想

数学符号体系作为独特的数学语言, 是数学区别于其他学科的显著特点。由于符号语言具有精确、简练和通用性强的特点, 能提高数学思维的准确性和敏捷性。作为一种数学思想, 它贯穿于数学分析的整个内容之中, 在教学中注意指导学生把数学概念、判断、推理和论证的自然语言抽象为符号语言, 不仅能让学生从形式语言的角度准确地掌握其理论知识, 还能从逻辑上培养学生演绎推理的严谨性, 养成逻辑思维的习惯, 能够有条理的进行思考、推理、表达与交流。

2.2 极限思想

数学分析以极限为工具研究函数, 对许多问题的处理是通过“任意分割”“近似代替”“取极限达到精确”来完成。如曲线的弧长、曲边梯形的面积等, 极限思想使人们的思维方式进入无限小的领域, 认识客观世界的视野由有限拓展到无限。在教学中引导学生认识极限的思想方法, 有利于培养他们从宏观和微观的不同角度去分析问题的能力。

2.3 几何思想

是指将数学的一些概念结论赋予几何意义, 从而借助几何直观和空间想象来理解数学问题的思想方法。事实上数学分析根植的土壤——实数集R就是一个完备的度量空间, 数学分析中的很多结论也都将被泛函分析抽象概括为更一般性的结论。至于象切线、切平面、弧长、面积、体积等等几何问题都是数学分析的实例或进一步研究的问题。对具体问题加以几何直观化或用几何语言加以表达, 可以加深学生对知识的理解, 同时对于培养学生的空间想象能力和后继课的学习有很大帮助。

2.4 比较与分类思想

数学分析中的比较与分类是常用的方法。如:函数间断点的分类:级数的分类等等。在教学中指导学生认识其内容和方法的分类原理, 有助于他们归纳总结所学知识, 使之系统化、条理化, 逐步形成一个完整的知识结构网络, 有助于他们用分类思想对不同的问题寻求合理的解决途径, 从而得到清晰的科学解法。

2.5 变换与转化思想

众所周知数学解决问题总是一个不断转化的过程。数学分析中通过一定的方法将复杂的问题转化为简单的问题, 将未知转化为已知仍是基本的思想。如:幂指数函数的极限是通过复合函数转化重要极限来计算;多元函数的微分是根据变量之间的关系转化为一元函数的微分来处理等。由不同的问题, 学生往往很难知道通过何种途径用什么方法转化。因此, 在教学过程中总结处理各类问题的转化方法, 既有利于训练学生思维的灵活性, 也有助于培养他们以辩证的观点认识事物。

2.6 抽象与概括思想

抽象与概括在数学分析是普遍存在的。除上述概念的符号化、舍去实际意义提取函数具有的特征和规律概括抽象外, 概念之间的关系、定理、公式都是抽象或再抽象的结果。向学生展示理论知识的抽象与概括的过程, 有助于他们加深理解和认识。此外, 抽象和概括的思想方法还应当用于对学生学习的指导之中, 使得学生对所学内容脉络清晰、结构明确, 从而提高学习效率。

2.7 数学美是数学知识中潜流着的一种数学思想——美学思想

数学分析中体现数学美的内容比比皆是:极限, 体现了意境美;牛顿-莱布尼兹公式不仅使得不定积分与定积分联系起来, 还将所以闭区间上的连续函数的积分统一为其原函数在该区间上的改变量、导数公式、积分公式等, 这些都体现简单美与统一美;又如函数图像的对称美等等。每一个学习数学分析的人, 如果不能欣赏这样的美, 等于进了宝山之后却空手而归。所以在教学过程中注意发掘教材的美学资源, 这样有助于提高学生理解和欣赏其美学价值与文化内涵, 从而陶冶他们的情操, 提高他们的文化品位。

3 培养创造性思维, 提高学生创新能力

当今知识飞速发展、日新月异, 没有主动学习知识、自我发展、自我创新的能力, 势力会造成知识枯竭, 难以适应教育的发展要求。在传授学生知识的同时, 必须培养他们的创新思维模式, 提高他们的创新能力。数学分析中从有限到无限、从一元到多元、从具体的实际应用到抽象的概念方法无不体现着创新的过程。教学中应打破传统的“老师讲, 学生记”教学模式, 实施以开发学生潜能、启迪心智的教学改革。在对某些概念或性质的分析中, 可适当加强、放宽或改变某些条件的限制, 采用“质疑—辩论—总结”的模式, 启迪学生从概念性质的内涵与外延出发进行发散思维、多方探讨, 扩大思维空间, 对概念和性质进行多角度的讨论、认识、总结。这样既加强了学生对知识深刻的理解, 更主要的是培养学生创造性思维, 锻炼创新能力, 从而为他们在以后的工作中取得创造性的成果打下夯实的基础。

义务教育和高中课程标准的改革, 在教学理念、教学内容、教学模式等多个方面对中学教师提出了更高的要求。高师数学专业的学生作为未来中学教师的接班人就必须具有较高的专业素质和综合素质, 所以高师数学分析的教学也要与时俱进, 任重而道远。

摘要：由数学分析课程对中学数学的指导作用出发, 从让学生体会数学分析的原理、方法在中学数学中的应用、注重对学生进行数学思想的培养、培养创造性思维, 提高学生创新能力三方面探讨高师数学分析教学改革。

关键词：数学分析,中学数学,数学思想,创新