Gibbs现象

2022-09-11

1 Gibbs现象的来由

自从法国数学家傅里叶 (Fourier) 发明了傅里叶级数, 关于级数理论的研究随即走向了一个新时代的里程碑, 傅里叶级数在纯粹数学、应用数学、物理, 乃至工业应用上都取得了辉煌的成就, 其优点是光滑性好, 收敛条件要求低 (尤其是大范围一致收敛比幂级数要求低得多) , 但是它也并不是完美无缺的, 19世纪末, 美国数学家J.W.Gibbs在研究一个函数的三角级数展开时, 发现了这种级数展开的缺点, 即不只在被展开函数的不连续点处, 甚至在该点附近, 其傅里叶级数也不收敛到该函数, 这就是著名的Gibbs (吉布斯) 现象。下面给出一个具体实例, 展示Gibbs现象的实质。

2 实例展示及分析

根据傅里叶级数收敛的Fejer法则, 我们知道, 在函数的连续点处, 傅里叶级数在Cesaro意义下收敛到, 但如果函数以2π为周期延拓后是间断的, 问题就不是那么简单了。

考虑函数f (x) = (π-x) /2, , 在0

注意到sinnx及f (x) 关于 (π, 0) 呈中心对称, 所以研究区间只限于 (0, π) 。作图如下:

可以发现, 差距函数εn (x) =Sn (x) -f (x) 在x=0右侧附近并不是随着的增大而减少。下面求出εn (x) 在[0, π]上的最值点, 并研究其规律:

利用Din i法则知道:, 下面考虑内部极值点, 令, 鉴于x的范围, m=1, 2…n。而令, 则, 从而对于每个固定的m, , 这是一个惊人的结果, 因为对于固定的, 所以该式说明f (x) 的傅里叶级数在x=0附近并不会收敛到f (0) , 相反它会有一个稳定的差距, 因为, 且是Leibniz级数, 所以当时, 差距函数取最大值, 且随着m的递增, 的绝对值递减趋于0, 但是是正负交错的。所以该函数的傅里叶级数的在0点附近的形态就完全清楚了:随着的n增大, 最值点都从右向左平移, 趋近于0点, 但这些最值点处的傅里叶级数值与原函数的差值并不会随着的增大而减少, 而是取一系列稳定的值:

这就是现象:傅里叶级数的部分和数列在函数的间断点处并不会因为部分和项数的增加而有更好的逼近效果。这也是傅里叶级数的一个缺陷, 也是应用数学中使用傅里叶级数必须注意的问题。

摘要：本文介绍了傅里叶级数理论中Gibbs现象的来由, 并举出了具体实例展示Gibbs现象的实质。

关键词：傅里叶级数,间断点,部分和,收敛