一道习题潜在价值的开发

教材中习题是教材编著者精心挑选或设计出来的, 具有典型性、示范性和明确的针对性, 而且是学生十分熟悉的, 对习题的能在学生“最近发展区”产生认知冲突, 从而构建新的知识体系, 能使学生认识到教材才是“最好的参考书”, 从而脱离“题海”与“书海”之苦, 并且也是符合新课程理念和高考要求的.因为第一, 标准倡导教师立足教材, 强调教师不仅是教材的使用者, 更应是教材的开发者和再设计者, 要创造性的合理使用好教材.前苏联数学教育家奥加涅相指出:“必须重视, 很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……”。第二, 新世纪后高考命题的一个基本理念之一是:以课本为本, 试题源于课本而高于课本.我们已看到, 在近几年高考中每年都有大量的试题是课本习题的变式题, 因此, 探究习题变式对提高数学成绩是大有益处的, 当然, 更重要的是通过对习题的变式与引伸能揭示知识与方法的内在联系, 下面就以高中《数学第二册 (上) 》第132页第6题来进行剖析说明。

在椭圆上求一点P, 使它与俩焦点的连线互相垂直。

一、解题策略

解法一: (交轨法) 设点P (x, y)

∵PF1⊥PF2, ∴P点在以F1F2为直径的圆上, 既x2+y2=25

又∵点P在椭圆:上, 联立上述两个方程, 解得点P的坐标为 (3, ±4) , (-3, ±4)

解法二: (应用斜率) 设点P (x, y)

既x2+y2=25, 以下同解法一。

解法三: (应用焦半径) 设点P (x, y)

以下同解法一。

解法四: (面积法) 设点P (x, y) , 则

y=±4以下同解法一。

说明:此题从不同的切入点, 多角度, 多方位对解法进行探究, 优化解题的过程。从而提高了学生的发散思维和创新能力。

二、引伸为张角问题

1、张角:已知椭圆:的两个焦点分别为F1, F2, 点P是椭圆上的任意点, 则称∠F1PF2为张角。

2、教师提出问题:当点P (x, y) 的横坐标在什么样的取值范围内, 张角为锐角、直角、钝角?它与椭圆的离心率之间有何关系?

(教师) :这个开放式问题, 应采取什么样的策略进行探究?请同学们考虑它的特殊性。

(学生1) :因为直角是锐角、钝角的分水岭, 故可以由原题目的解法一, 可以联想到求解问题的实质。

(教师) :对原题目的解法一作进一步分析, PF1⊥PF2实质的等价转化是什么呢?

(学生2) :实际上是P点在以F1F2为直径的圆上, 求P点的坐标, 即为求以F1F2为直径的圆与椭圆的交点横坐标, 可判定交点的个数。

(教师) :能否从直观上来加以分析说明呢?请同学们参见教材P161例5

(例5:如图, 以坐标原点为圆心, 分别以a, b (a>b>0) 为半径作两个圆。点大圆是半径OA与小圆的交点, 过点A作AN⊥ox, 垂足为N, 过点B作BM⊥AN, 垂足为M。求半径OA绕点O旋转时点M的轨迹的方程是 (椭圆)

(学生3) :依据例五可知:如果c>b, 则有4个交点;如果c=b, 则有两个交点, 且这两个交点就是短轴的两个端点;如果c

(教师) :回答得非常好。接下来请同学们完成下列变式题。

(1) (04湖南) 已知F1, F2是椭圆C:的两个焦点, 在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为______。

(2) (2000年天津、江西) 、椭圆的焦点为F1, F2, 点P为其上的动点, 当∠F1PF2为钝角时, 点P的横坐标的取值范围是__________。

(3) (2004年福州) 已知P点是椭圆上的一点, F1, F2是两个焦点, 且∠F1PF2=60°, 则△F1PF2的面积是__________。

通过这一系列的变式训练, 使学生在这一过程中有所感悟。体会特殊与一般的辩证关系, 善于归纳总结, 找出问题解决的一般规律。提高学习的效率。最后给出问题的答案。

一般地有:

通过这个开放式问题的教学, 促进了师与生、生与生之间的合作交流, 促进了学生的全面发展。在这个学生体验的过程中, 培养了学生自主探究能力和创新意识。实现了教育教学的价值。

三、对案例的反思

通过这个开放式问题的探究, 以此刺激学生学习数学的好奇心, 使他们积极主动地参与到数学学习活动中来, 激发了学生的学习兴趣, 增强了学习数学的信心。挖掘它的潜在教育价值功能。这是教师专业水平发展和提高学生数学素养的需要。注意题目的引伸、变式、推广等, 落实学生的“三维”目标和创新意识的培养。培养了学生用数学思想解决问题的意识, 与建构观相辅相承。

波利亚指出:学习最好的途径是自己去发现。学生如能在教师创设的情景中像数学家那样去“想数学”, “经历”一遍发现、创造的过程, 那么在获得知识的同时还能培养他们的创造精神。