巧用数学思想出奇制胜

1 专题概述

数学思想是教学内容的进一步提炼和概括, 是对数学内容的一种本质认识, 它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中, 因此, 灵活运用各种数学思想方法是提高解题能力根本之所在, 也是高考考查的重点。因此, 复习时注意总结体会各类数学试题中的思想和方法, 培养用数学思想方法解决问题的能力。

数学思想方法有很多, 高中数学重点考查的主要有函数与方程的思想, 数形结合的思想, 分类与整合的思想, 化归与转化的思想, 有限与无限的思想, 特殊与一般的思想, 本文着重论述前四种方法的重要性。

2 题型展示

2.1 化归与转化的思想

所谓化归与转化的思想就是通过某种技巧方法, 将复杂问题简单化, 陌生问题熟悉化, 抽象问题具体化……它是反映数学技巧与手段的一种十分重要的思想。高考十分重视对化归和转化思想的考查。因此, 我们在数学学习中, 应学会数学转化思想, 有意识地用“转化”思想解决问题, 从而提高数学解题能力。

例1已知x, y∈R且x 2+y 2=4, 则的最小值为 ()

从题意看似乎考查考生利用圆上的点的性质特点求最值。但实际是考查考生化归与转化的数学思想, 同时也考查了换元的思想。

解∵x, y∈R且x2+y2=4∴可设x=2cosβ, y=2sinβ (β∈R)

∴当时的最小值故本题应选 (A)

点评:求与圆或椭圆有关的代数式的最值问题, 常利用三角函数的有界性转化为三角问题来解决。

2.2 数行结合的思想

数形结合的思想就是将数 (量) 与形 (图) 结合起来解决问题的一种数学思想。是高考考查的重点, 特别在选择题和填空题尤为重要, 历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50%。

例方程lgx=sinx的实根个数有 ()

(A) 1, (B) 2, (C) 3, (D) 无穷多

解:如图1, 在同一坐标系中作出y1=lgx和y2=sinx的图象。注意到lg10=1, 由图易得原方程的实根个数是3个答案C

点评:本题若用解方程的方法求出解来, 再判断有几个根是根本不可能的。若做出图形来, 确定两图形的相对位置关系。从而使抽象问题直观化。复杂问题简单化。一般的利用形的直观来研究方程根的情况, 讨论函数的值域 (或最值) , 求解变量的取值范围等, 运用数形结合思想能把烦琐的数量运算变得简捷。

2.3 分类与整合的数学思想

分类与整合的数学思想不仅是高考的重点与热点, 也是高考的难点。解决这类题目的关键是选取恰当的分类标准, 然后根据对象的属性, 把它们不重不漏地划分为若干个类别, 等问题解决完之后再把它们整合到一起。

例设函数f (x) =2|x+1|-|x-1|, 求使的x的取值范围。

解:由于y=2x是增函数, 等价于

(1) 当x≥1时, |x+1|-|x-1|=2所以 (1) 式成立

(2) 当-1

(1) 式化为即

(3) 当x≤-1时|x+1|-|x-1|=-2 (1) 式无解。

综上所述, x取值范围是

点评:分类与整合有以下几种情况:定义的概念不同, 数学公式或性质的限制条件, 运算要求不同、实数的大小及图形位置的不确定或实际问题的情况不同等。

2.4 函数与方程的思想

函数与方程的思想就是将数学问题中的部分量视为未知量或变量, 从而将这些量同已知量一起, 用于分析和研究具体问题中的数量关系的一种数学思想, 高考把函数与方程的思想作为7种思想方法的重点来考查。在选择题和填空题中考查函数与方程的基本运算, 而在解答题中, 则从更深的层次。

例 (2006全国高考题) 已知向量

(I) 若a⊥b, 求θ; (Ⅱ) 求|a+b|的最大值。

解: (I) ∵a= (sinθ, 1) , b= (1, cosθ) , ∴a·b=0, sinθ+cosθ=0

根据正弦函数的性质, 当θ=π/4时,

点评:本题第 (I) 问应用了方程的思想。第 (Ⅱ) 问应用了函数的思想, 将|a+b|化为θ的函数形式, 从而使问题简单化。

总之, 数学思想方法是隐含在概念的形成, 公式的推导、法则的论证、定理的发现, 习题的解决等过程中, 这就要求同学们在复习时加强对数学思想的复习和运用, 解题时仔细推敲、认真研究、深入挖掘, 不断提炼、只有这样, 才能深刻领悟和熟练掌握蕴涵于数学知识中的数学思想方法。

摘要：从最近几年的高考试题及各省市的高考模拟试题来看, 命题者在考查数学核心内容与基本能力的同时, 考题中都突出了数学思想方法的理解和综合运用。有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度, 本文对高考试题所涉及的一些重要数学思想方法进行了论述。

关键词：数学,思想,制胜

参考文献

[1] 2008年普通高等学校招生全国统一考试大纲说明 (理科) .教育部考试中心.