同行交流能够及时解决教学疑难问题

2022-11-08

有一道考题，几乎难倒了所有的学生和老师。

题目：如图1所示，△A B C为等边三角形，△A E F为等腰三角形 (A E=A F) ，四边形A C D E和四边形A B G F都是长方形，试问：四边形A B G F能通过旋转到达四边形A C D E的位置吗?如果能，请你指出旋转中心和旋转的角度;如果不能请说明理由。 (2 0 0 8届江西省九年级数学人教版同步测试卷七第15题，该题图形源自于2002年高考文科第2 2 (1) 题的答案中的折叠图形)

1 柳暗

面对该考题，数学组5位老师考前试着旋转了几次都未成功，便拿出答案来看，参考答案是：“不能，长方形A B G F旋转任意角度都不可能与长方形A C D E重合。”真可谓是英雄所见略同。

考试结束后，全校九年级4 6 2名学生中竟有461名学生赞同老师们给出的参考答案。

2 花明

学生中却有一个爱跟老师叫板的!他的答案是：“能，旋转中心是A B、A C垂直平分线的交点O1，旋转角是1 2 0°”

经过2位老师会诊，证实了这个学生的答案是正确的，考后第二天，又有学生找到了一个新答案：“能，旋转中心是等腰△A E F两腰的垂直平分线的交点O2，旋转角是60°。”

3 背景

3.1 证明新答案的正确性

题目核心是“四边形A B G F能旋转到四边形A C D E的位置吗?”它并不要求整个图形旋转120°或60°之后，旋转之前的整个图形与旋转之后的整个图形完全重合。如图1，以点O1为旋转中心，顺时针旋转120°，只旋转四边形A B G F (矛盾的主要方面) ，它便能旋转到达四边形A C D E的位置.对应点为A→C, B→A, G→E, F→Dㄢ

以点O2为旋转中心，逆时针旋转6 0°，只旋转四边形A B G F (矛盾的主要方面) ，它便能旋转到达四边形A C D E的位置.对应点为A→E, B→D, G→C, F→Aㄢ

学生先猜测重合的多种可能性, 然后加以动手操作说明正确答案:将画有四边形A B G F的透明纸绕旋转中心旋转后与四边形A C D E重合, 找出对应顶点。

将旋转中心分别与2个长方形的8个顶点进行连结，只需证明4组对应线段相等，每个旋转角都等于1 2 0°即可，方法是根据4个特殊图形的性质和全等三角形的性质进行证明。

3.2 探究新答案的解题思路

新答案的解题思路是怎样产生的呢?作为教师，我们怎样“让解题思路来得自然而然”?我们又怎样才能使其真正成为“可以理解的”、“可以学到手的”和“能够加以推广运用的”呢?通过分析新答案的解题过程，我们捕捉到了引发解题思路的诱因。

3.2.1 能否将问题特殊化

如果将长方形A B G F特殊化“压缩”成线段A B，将长方形A C D E特殊化“压缩”成线段A C，那么问题立即特殊化为：线段A B能通过旋转到达A C的位置吗?

(1) 原图形变成了等边△A B C。从等边△A B C考虑 (直接用上已知条件) ，如图2，立即可找到新答案中的旋转中心点O1和旋转角为1 2 0°。因课本、学生练习册都有此题，由于BA对应AC，即可猜测GF对应EDㄢ

(2) 原图形变成等边△A B C后，再拆掉BC边 (紧盯解题目标，隐去无关信息) ，就变成了∠B A C图形 (用2根木棒进行数学演示实验，结论更明显逼真) 。如图3，从∠B A C图形考虑，很快可找到新答案中的旋转中心点O2和旋转角为60°。由于AB对应A C或E D，又可能猜测G F对应D E或A Cㄢ

回归原题，答案可猜测为：四边形A B G F绕点O1顺时针旋转1 2 0°后的对应点为A→C, B→A, G→E, F→D.绕点O2逆时针旋转6 0°后的对应点为A→E, B→D, G→C, F→Aㄢ

3.2.2 能否将问题熟悉化

由新答案的解题过程可知，最为关键的解题步骤是确定旋转中心的位置 (更是求解的第一个目标) , 于是问题可改编为“在平面上任取一点O，将四边形A B G F绕点O顺时针旋转4 0°, 得到四边形A1B1G1F1，然后根据2个四边形的位置关系反过去确定旋转中心O的位置?”由旋转性质得O A=O A1, O B=O B1，所以点O在线段A A1、B B1的垂直平分线上。

回归原题，假设四边形A B G F通过旋转到达四边形A C D E的位置，则对应点可能是A→C, B→A, G→E, F→D。作线段A C和B A的垂直平分线，其交点即为旋转中心点O1;旋转中心点O2也同样如此。