局部对称共形平坦伪黎曼流形中的紧致类空子流形

1 引言

设Npn+p是指标为p的n+p维伪黎曼流形, 为等距浸入到Npn+p中的n维黎曼流形, 即Npn+p的类空子流形。用S、H分别表示Mn的第二基本形式长度平方与Mn的平均曲率, R、r分别表示Npn+p的Ricci曲率的上、下确界, K表示其数量曲率。

徐兆棣在[1]中证明了:

定理A设Mn是局部对称共形平坦黎曼流形Nn+p (p>1) 中具有平行平均曲率向量的紧致子流形, 如果

则Mn位于Nn+p的一个全测地子流形Nn+1中。

本文将外围空间推广到局部对称共形平坦伪黎曼流形Npn+p上, 得到了定理1:设Mn是局部对称共形平坦伪黎曼流形Npn+p中具有平行平均曲率向量的紧致类空子流形, 如果

则Mn位于Npn+p的一个全测地子流形N1n+1中。

定理2设Npn+p为局部对称共形平坦伪黎曼流形, Mn是Npn+p的紧致极大类空子流形, 若

则Mn是全测地的。

2 预备知识

在Npn+p中选取局部正交标架场e1, …, en+p, 使得限制在Mn上, e1, …, en是Mn的切向量场。令ω1, …, ωn+p为其对偶标架场, 并约定指标的取值范围为:

不声明时, ∑表示重复指标求和。

则Nn+pp的结构方程为:

其中KABCD是Npn+p的曲率张量分量, εi=1和εα=-1。限制在Mn上有

从这些公式得到Mn的结构方程:

其中

以上各式中的hαij是Mn的第二基本形式的系数, Mn的平均曲率向量为.令Hα表示矩阵 (hαij) , 则第二基本形式长度的平方, 称为平均曲率的长度。

令hαijk和hαijkl分别表示hαij的一阶和二阶导数, 定义如下:

将Kαijk看作是T⊥M⊗T*M⊗T*M⊗T*M的截面曲率的分量, 定义Kαijkl为其共变导数的分量:

KABCD的共变导数KABCD, E限制在Mn上有

Npn+p为局部对称的, 即

Npn+p是共形平坦的, 故

其中KAC=∑εCKABCB是Ricci张量的分量, K=∑εAKAAs是数量曲率。由 (2.14) , K是常数。

引理1[2]如果a1, …, an;b1, …, bn为2n个实数, 满足∑bi=0。则有

引理2

3 定理的证明

从现在开始, 假设Mn是Npn+p中的紧致类空子流形, Npn+p为局部对称的。由 (2.10) , (2.11) 得

将 (2.8) , (2.9) , (2.13) 代入 (3.1) , 则有

应用 (2.15) , (3.2) 化为

定理1的证明:由假设条件, ∇⊥ξ, 则H=常数。假定ξ≠0, 令en+1=Hξ, 则有

因此, 由 (3.3) 及 (3.7) 得到

对固定的α≠n+1, 将 (hαij) 对角化, 即hαij=λiαδij。则

又由引理2及 (3.7)

(3.5) 满足引理1的条件, 因此有

将 (3.9) - (3.12) 代入 (3.8) 得

因此, 由 (3.13) 知

由 (3.13) , (3.14) 和 (3.16) 得

通过用与[3]类似的方法知, Mn位于Npn+p的一个全测地子流形N1n+1中。至此, 定理1证明完毕。

定理2的证明:由假设条件Mn是Npn+p的极大类空子流形, 因此H=0。由此及 (3.3) , 有

重复定理1的计算过程, 有

类似于定理1的证明, 知S为常数, 因此

因此必有S=0, 则Mn是全测地的。定理得证。

摘要：本文讨论局部对称共形平坦伪黎曼流形中的紧致类空子流形问题, 将徐兆棣的《局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形》中关于黎曼流形中的紧致子流形的结果推广到伪黎曼流形中的紧致类空子流形。

关键词：局部对称,共形平坦,平行平均曲率向量场,全测地

参考文献

[1] 徐兆棣.局部对称共形平坦黎曼流形中的紧致子流形[J].数学研究与评论, 1996 (1) .

[2] 陈卿等.On compact submanifolds in a sphere[J], 数学研究与评论, 1992 (4) .