非均分网格下二阶导数的紧致差分格式

1 引言

差分法是解偏微分方程的一种主要数值方法。由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算, 所以任何一种用计算机解题的方法, 都必须把连续问题离散化, 最终化成有限形式的线性方程组。用差分方法将连续问题离散化, 然后从定解问题的微分或积分形式出发, 用数值微商或数值积分公式导出相应的线性代数方程组, 从而把微分方程的定解问题化为线性代数方程组的求解问题。差分格式建立的方法最常用的是Taylor级数展开方法。差分近似的精度依赖于函数Taylor级数展开的近似程度, 精度愈高, 导数的差分近似公式中包含的离散点愈多, 这对于边界点及接近边界点的导数计算带来很大的困难。近年来, 人们广泛采用紧致的高精度格式, 它的出发点是利用较少的离散点计算导数的近似值, 而又可获得较高精度。紧致有限差分方法被广泛的应用于空间数值导数的离散上, 所以研究各种紧致差分格式的精度就变得十分重要。

2 非均分网格下的差分格式的构造

差分离散方法的基本思想是利用节点 (离散点) 上数值 (fi) 的线形组合来逼近节点上的导数值。其表达式称为导数的差分逼近式。为函数的差分逼近式, 有

其中系数由差分逼近式的精度确定。也可以用节点上函数值的线性组合来逼近节点上导数值的线性组合, 这种方法称为紧致格式:, 将导数的逼近式代入方程, 就可得到数值模拟的差分方程[2]。

对于非均分网格下, 导数的差分格式较均分网格下的差分格式要复杂的多, 节点与节点间的距离是各不相同, 所以对于非均分网格下的差分格式的推导过程中, 首先定义的是网格间距, 即节点与节点之间的距离。定义为第i个节点与第i-1个节点间的距离, 即。比如要计算1阶或2阶导数, 可以采用如下格式:

其中是或的差分逼近式, j+k表示在处的值。为确定, 利用Taylor级数展开式:

将其带入式 (1) , 比较相同导数的系数, 可以得到关于系数, 的线性方程组, 求解方程组就可以确定系数, 。其精度由p来确定, 1阶导数的精度是p-1阶的;2阶导数的精度是p-2阶的。

综上所述, 对于非均分网格下, 不同位置上的二阶导数的紧致差分格式, 推导如下[1, 3, 5, 6]:

(1) 边界结点二阶精度差分格式 (迎风格式) :

将Taylor级数展开式代入上式, 可得关于的线性方程组, 如下:

解方程组可以得到:

此差分格式的截断误差为:

由此我们可以知道p=4, 其满足的精度为

(2) 中间结点三阶精度差分格式 (中心差分格式) :

关于的线性方程组:

解方程组得:

此差分格式的截断误差为:

由此我们可以知道p=5, 其满足的精度为p-2阶精度, 即, 其中。

3 数值验证

作为一个模型问题, 为了验证上述差分格式的精确性和可靠性, 我们对函数进行考核, 考核其在非均分网格下其二阶导数的紧致差分格式的准确性问题。

考核问题:

非均分网格我们采用由密渐稀, 再由稀渐密。将边界结点及中心点的差分格式结合起来, 用Fortran77语言进行编程[4], 进而对函数的二阶导数的紧致差分格式与函数导数的真实结果进行比较, 得出结果 (如图一[a], [b], [c]所示) , 其截断误差曲线如图二所示。由此, 我们得出的差分格式满足其精度要求, 此差分格式是合理可靠的。

4 结语

本文对二阶导数利用Taylor级数展开式导出其在非均分网格下具有二阶精度及三阶精度的紧致差分格式, 此格式具有良好的稳定性, 满足精度要求, 利用较少的离散点计算导数的近似值, 而又获得了较高精度。

摘要：本文分析了非均分网格下二阶导数的紧致差分格式形式, 应用Taylor级数展开方法来得出具体的差分格式表现形式, 并将其应用于具体实例, 进而考察其准确性及可靠性。

关键词：非均分网格,Taylor级数,节点,紧致差分格式,精度

参考文献

[1] 孙志忠.偏微分方程数值解法[M].北京:科学出版社, 2005.

[2] 张兆顺, 崔桂香, 许春晓.湍流理论与模拟[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[3] 陆金甫, 关治.偏微分方程数值解法 (第二版) [M].北京:清华大学出版社, 2004.

[4] Lubin Vulkov, Jerzy Waniewski, Plamen Yalamov.Numerical analysis and its applications[M].Berlin;New York:Springer, c2001.

[5] Dr.Urmila Ghia.Higher-order accu-rate solution for flow through a tur-bine linear cascade[D].B.Tech., Jawaharlal Nehru Technological University, 2000.

[6] 傅德薰, 马延文.计算流体力学[M].北京:高等教育出版社, 2002.