数学单元考试（精选6篇）
篇1：数学单元考试
一.填空
1.三角形的底8厘米，高5厘米，面积()平方厘米..2.平行四边形的底是9厘米，高2分米，它的面积是()平方厘米.3.沿着平行四边形的任一对角线剪开，分成两个完全一样的()，它们的底和平行四边形的底().它们的()和平行四边形的高相等.每个三角形的面积是平行四边形面积的().4.一个三角形的面积是20平方厘米，它的高是8厘米，底是()厘米.5.一个平行四边形的底是5米，面积是45平方米，它的高是()米.6.梯形的下底6分米，上底9分米，高2分米，它的面积()平方分米.7.一个梯形的面积36平方厘米，它的上底3厘米，高8厘米，它的下底()厘米.二.判断题
1.两个面积相等的三角形能拼成一个平行四边形.()
2.两个不同形状的平行四边形，它们的面积也不相同.()
3.等底等高的平行四边形面积相等.()
4.平行四边形内最大的三角形的面积是平行四边形的一半.()
三.操作题(下面方格纸每格为1c㎡)
画出面积是8c㎡的平行四边形，6c㎡的三角形和12c㎡的梯形各一个.四、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)
1.如果某商店盈利800元,记作+800元,那么亏损100元,记作()元。
A.+100 B.-100
C.+700 D.无法表示
2.如果+5分表示比平均分高5分,那么-9分表示()。
A.比平均分低9分 B.比平均分高9分
C.和平均分相等 D.无法确定
3.如果顺时针旋转60°记作-60°,那么逆时针旋转45°记作()。
A.45° B.-45°
C.+60° D.无法表示
4.负数与正数比较,()。
A.负数比正数大 B.负数比正数小
C.正数和负数一样大 D.无法比较
篇2：数学单元考试
一、我是小小神算手。
1.口算。
40÷2= 900÷9= 240÷6= 63÷3= 0÷8=
637÷7= 400÷8= 160÷8= 3000÷6= 7200÷9=
2.用竖式计算，带号的要验算。
685÷5= 402÷8= 920÷8=
680÷4= 749÷7= 615÷6=
3.脱式计算
156÷3×4 150÷5÷3 (1000-172)÷4
4.列式计算。
(1)一个数的5倍是435，这个数是多少?
(2)被除数是576，除数是6，商是多少?
二、填一填，我能行!
1.两位数除以一位数，商可能是( )位数，也可能是( )位数。
2.口算120÷4时，可以这样想：120是( )个十，( )个十除以4等于( )个十;或者4×( )=120,所以120÷4=( )。
3.8个( )是248，( )个8是768。
4.608÷9的商是( )位数，商的最高位是( )位;343÷3的商是( )位数，商的最高位是( )位。
6.4□6÷4，要使商的中间有0，且没有余数，□里可填( )。
7.在□÷5=24……□中，余数最大是( )，这时被除数是( )。
8.括号里最大能填几?
9×( )< 70 4×( )< 38 ( )×5 < 42
三、请你来当小裁判。(对的打“√”，错的打“×”)
1.0×8=0÷8 ( )
2.0除以任何数都得0。 ( )
3.840÷7，商的.末尾一定有一个0。 ( )
4.任何不是0的除数除以0，都得0。 ( )
5.在有余数的除法中，除数是3，余数一定是1。 ( )
6.因为15×3+7=52，所以52÷3=15……7。 ( )
四、快乐手拉手。(把正确答案的字母填在括号里)
1.下面三个算式中，商是三位数的是( )
A.244÷6 B.356÷5 C.425÷3
2.花店新进了95朵花，每6朵扎成一束，最多可以扎成( )束。
A.15 B.16 C.17
3. 下面各数除以2余数都为0的一组是。
A.98，45，301B.39，48，52C.42，980，66
4. 一个数除以6，商是24，余数应该( )。
A.比6大 B.比24小 C.比6小
5.―个三位数除以2的商仍然是一个三位数，那么被除数的百位不可能是 ( ) A.1 B.2 C.3
五、走进生活，解决问题。
1.一部儿童电视剧共336分钟。分8集播放，每集播放多长时间?
3. 他们谁打的快?
4.水果店运来5筐苹果，卖了150千克，还剩60千克，平均每筐苹果重多少千克?
5.玩具厂生产了976个彩色玻璃球。每8个装一盒，每6盒装一箱。
(1)这些玻璃球可以装多少盒?
篇3：数学单元考试
一、选择题
1. 与椭圆有共同焦点, 且离心率互为倒数的双曲线方程是 () .
2.抛物线y2=4x的准线与双曲线的两条渐近线相交于两点, 若两交点间的距离为4, 则该双曲线的离心率为 () .
3.设F1, F2分别是双曲线的左、右焦点, P是双曲线上一点, 且满足PF1⊥PF2, 则的值是 () .
4.已知椭圆x2+ky2=2k的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合, 则该椭圆的离心率是 () .
5.若m是2和8的等比中项, 则圆锥曲线的离心率为 () .
6. (理) 如图1所示, 下列三个图中的多边形均为正多边形, M、N是所在边的中点, 双曲线均以图中的F1和F2为焦点, 设图 (1) , (2) , (3) 中的双曲线的离心率分别为e1, e2, e3, 则 () .
(文) 如图2, 边长为a的正方形组成的网格中, 设椭圆C1, C2, C3的离心率分别为e1, e2, e3, 则 () .
7. (理) 设M (x0, y0) 为抛物线C:y2=8x上一点, F为抛物线C的焦点, 若以F为圆心, |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交, 则x0的取值范围是 () .
(文) 设M (x0, y0) 为抛物线C:y2=px (p>0) 上一点, F为抛物线C的焦点, 若以F为圆心, |FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交, 则x0的取值范围是 () .
8.已知点F1, F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点, 点P是该椭圆上的一个动点, 那么的最小值是 () .
9.已知F1, F2分别是双曲线 (a>0, b>0) 的左、右焦点, 过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M, 若∠F1MF2为锐角, 则该双曲线的离心率的取值范围是 () .
10.设椭圆 (a>0, b>0) 的离心率, 右焦点F (c, 0) , 方程ax2+bx-c=0的两个根分别为x1, x2, 则点P (x1, x2) 在 () .
(A) 圆x2+y2=2内
(B) 圆x2+y2=2上
(C) 圆x2+y2=2外
(D) 以上三种情况都有可能
11.函数的图象与方程的曲线有着密切的联系, 如把抛物线y2=x的图象绕原点沿逆时针方向旋转90°就得到函数y=x2的图象.若把双曲线绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后, 能得到某一个函数的图象, 则旋转角θ可以是 () .
12.在平面直角坐标系xOy中, 抛物线y2=2x的焦点为F, 设A是抛物线上的动点, 若的最大值为m, 取得最大值时, 点A的横坐标为n, 则mn的值为 () .
13.P是双曲线的右支上一点, 点M, N分别是圆 (x+5) 2+y2=4和 (x-5) 2+y2=1上的动点, 则|PM|-|PN|的最小值为 () .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
14. (理) 若函数y=|x|-1的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点, 则实数λ的取值范围是 () .
(文) 设F是双曲线的左焦点, A (1, 4) , P是双曲线右支上的动点, 则|PF|+|PA|的最小值为 () .
15.设F1和F2分别是椭圆E:的左、右焦点, 过F1的直线l与E相交于A、B两点, 且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列, 则|AB|的长为 () .
16. (理) 椭圆上有n个不同的点P1, P2, …, Pn (n∈N*) , F是右焦点, {|PnF|}组成公差的等差数列, 则n的最大值为 () .
(文) 过双曲线 (a>0, b>0) 的左焦点F (-c, 0) (c>0) 作圆的切线, 切点为E, 直线EF交双曲线右支于点P, 若, 则双曲线的离心率为 () .
二、填空题
17.已知椭圆上一点M到两个焦点的距离分别是5和3, 则该椭圆的离心率为______.
18.过抛物线焦点的直线与抛物线交于A、B两点, O是坐标原点.则=______;若该抛物线上有两点M、N, 满足OM⊥ON, 则直线MN必过定点.
19. (理) 直线l与椭圆 (a>b>0) 交于不同的两点M, N, 过点M, N作x轴的垂线, 垂足恰好是椭圆的两个焦点, 已知椭圆的离心率是e, 直线l的斜率存在且不为0, 那么直线l的斜率是______.
(文) 直线l与椭圆 (a>b>0) 交于不同的两点M, N, 过点M, N作x轴的垂线, 垂足恰好是椭圆的两个焦点, 已知椭圆的离心率是, 直线l的斜率存在且不为0, 那么直线l的斜率是______.
20. (理) 在△ABF中, 点F的坐标为 (1, 0) , 如果点A、B分别在图3中抛物线y2=4x及圆 (x-1) 2+y2=4的实线部分上运动, 且AB总是平行于x轴, 那么△ABF的周长的取值范围为______.
(文) 设平面区域D是由双曲线的两条渐近线和抛物线y2=-8x的准线所围成的三角形 (含边界与内部) .若点 (x, y) ∈D, 则目标函数z=x+y的最大值为______.
21.设Q (x, y) 是曲线C:上的点, F1 (-4, 0) , F2 (4, 0) , 则|QF1|+|QF2|与10的大小关系是______.
22.如图4所示, 直线x=2与双曲线C:的渐近线交于E1, E2两点, 记.任取双曲线C上的点P, 若, 则a, b满足的一个等式是______.
23.已知A、B、P是双曲线上不同的三点, 且A、B两点关于原点O对称, 若直线PA, PB的斜率之积, 则该双曲线的离心率e=______.
24. (理) 若点P在曲线C1:y2=8x上, 点Q在曲线C2: (x-2) 2+y2=1上, 点O为坐标原点, 则的最大值是______.
(文) F是抛物线y2=2px (p>0) 的焦点, 过焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A, B两点, 设|AF|=a, |BF|=b, 且a>b, 则的值为______.
25.已知点F、A、B分别为椭圆C:=1 (a>b>0) 的左焦点、右顶点、上顶点, 且∠FBA为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是______.
三、解答题
26.已知椭圆C:的两焦点分别为F1 (-1, 0) , F2 (1, 0) , 并且C经过点.
(Ⅰ) 求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ) 已知圆O:x2+y2=r2 (b
27.如图5, 某旅游区拟在公路l (南北向) 旁开发一个抛物线形的人工湖, 湖沿岸上每一点到公路l的距离与到A点处的距离相等, 并在湖中建造一个三角形的游乐区MNC, 三个顶点M, N, C都在湖沿岸上, 直线通道MN经过A处.经测算, A在公路l正东方向200米处, C在A的正西方向100米处, 现以点C为坐标原点, 以线段CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.
(Ⅰ) 求抛物线的方程;
(Ⅱ) 试确定直线通道MN的位置, 使得三角形游乐区MNC的面积最小, 并求出最小值.
28. (理) 已知椭圆C的方程为=1 (a>0) , 其焦点在x轴上, 离心率.
(Ⅰ) 求该椭圆的标准方程.
(Ⅱ) 设动点P (x0, y0) 满足, 其中M, N是椭圆C上的点, 直线OM与ON的斜率之积为, 求证:x02+2y02为定值.
(Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的条件下, 问:是否存在两个定点A、B, 使得|PA|+|PB|为定值?若存在, 给出证明;若不存在, 请说明理由.
(文) 设C1是以F为焦点的抛物线y2=2px (p>0) , C2是以直线与为渐近线, 以为一个焦点的双曲线.
(Ⅰ) 求双曲线C2的标准方程;
(Ⅱ) 若C1与C2在第一象限内有两个公共点A和B, 求p的取值范围, 并求的最大值.
29.在平面直角坐标系xOy中, 抛物线C的焦点在y轴上, 且抛物线上的点P (x0, 4) 到焦点F的距离为5.斜率为2的直线l与抛物线C交于A, B两点.
(Ⅰ) 求抛物线C的标准方程及抛物线在P点处的切线方程;
(Ⅱ) 若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M, N两点 (M、N位于直线l两侧) , 当四边形AMBN为菱形时, 求直线l的方程.
30.分别以双曲线G:的焦点为顶点, 以双曲线G的顶点为焦点作椭圆C.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程.
(Ⅱ) 设点P的坐标为 (0, 3) , 在y轴上是否存在定点M, 过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点, 使以AB为直径的圆恒过点P?若存在, 求出M的坐标;若不存在, 说明理由.
31.已知椭圆 (a>b>0) 和圆O:x2+y2=b2, 过椭圆上一点P引圆O的两条切线, 切点分别为A, B.
(Ⅰ) (i) 若圆O过椭圆的两个焦点, 求椭圆的离心率e的值;
(ii) 若椭圆上存在点P, 使得∠APB=90°, 求椭圆离心率e的取值范围.
(Ⅱ) 设直线AB与x轴, y轴分别交于点M, N, 问:当点P在椭圆上运动时, 是否为定值?请证明你的结论.
32.在平面直角坐标系xOy中, 已知点, E为动点, 且直线EA与直线EB的斜率之积为.
(Ⅰ) 求动点E的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 设过点F (1, 0) 的直线l与曲线C相交于不同的两点M, N.若点P在y轴上, 且|PM|=|PN|, 求点P的纵坐标的取值范围.
参考答案
1. A.共同的焦点为F1 (0, -2) , F2 (0, 2) , 又椭圆的离心率为, 则双曲线的离心率为e′=2, 有, 而c=2, ∴a=1, 则b2=c2-a2=3.∴双曲线的方程为.
2. A.抛物线的准线为x=-1, 双曲线的两条渐近线为, 于是两交点之间的距离为, 即, 有b=2a.又c2=a2+b2,
3.A.设点P是双曲线右支上一点, 则, 两边平方得.又PF1⊥PF2, 有,
4.C.由题意知, k>0, 且椭圆的一个焦点为 (2, 0) , 则, 得k=3.
5.D.由题意得m2=16, 有m=±4.
6. (理) D.在图 (1) (2) (3) 中, 设|F1F2|=2.在图 (1) 中, ,
在图 (2) 中, 2a=|NF1|-|NF2|=,
在图 (3) 中, 2a=|PF2|-|PF1|=,
而, ∴e1=e3>e2.
(文) 由知, e→0, 椭圆越圆, 于是e2=e3>e1.
7.A. (理) 作MN⊥抛物线的准线于点N, 则圆心到准线的距离为, 圆的半径r=|MF|=|MN|=.
由题意知, , 即.
(文) 思路同理科, 只需将p=8代入即可.
8.C.椭圆的焦点为 (1, 0) , (-1, 0) , 设P (x0, y0) , 则0≤y02≤1,
另法:∵,
∴可转化为求|OP|最小值.此略.
9.D.由题意可设双曲线的渐近线为, 则可得.当∠F1MF2为锐角时, 则点M在以线段F1F2为直径的圆外,
另法:由题意可设MF的方程为:.
设, 则tan∠F1MM′
∴c2>a2+3a2, ∴e>2.故选D.
10.A.由题意知, , a2=b2+c2,
故点P在圆内.
11.C.双曲线的一条渐近线为, 它与y轴的夹角为60°.将该双曲线绕原点按逆时针方向旋转60°可得到一个函数的图象.
12.B.设, 而,
又k≠1, 则≥0.解之, 得, 即,
当k=34时, t=1, 有n=1, 于是.
13.C.设双曲线的左、右焦点分别为F1和F2, 有|PM|≥|PF1|-2, |PN|≤|PF2|+1,
14. (理) B. (1) 当λ=0时, x=±1, 满足题意.
(2) 当λ>0时, x2+λy2=1, 若λ=1, 有x2+y2=1与y=|x|-1的图象有3个不同交点;若0<λ<1, 椭圆x2+λy2=1与y=|x|-1的图象有2个不同交点;若λ>1, 椭圆x2+λy2=1与y=|x|-1的图象有4个不同交点;
(3) 当λ<0时, 若-1≤λ<0, 双曲线x2+λy2=1与y=|x|-1的图象有2个不同交点;
若λ<-1, 双曲线x2+λy2=1与y=|x|-1的图象有4个不同交点.
(文) D.双曲线的右焦点为F2 (4, 0) , 有
15.A.椭圆E:, a=1, ∵|AF1|+|BF1|=2a=1, |AF2|+|BF2|=1, 相加得|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=2, |AF2|+|BF2|=2-|AF1|-|BF1|=2-|AB|, |AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列, 2|AB|=|AF2|+|BF2|=2a=1, 于是2|AB|=2-|AB|, ∴.
16. (理) D. (n≥2) , 因为, 所以 (n≥2) .
进而有:n<100 (|PnF|-|P1F|) +1 (n≥2) , 若使n的值最大, 只需100 (|PnF|-|P1F|) +1 (n≥2) 最大, 即使|PnF|-|P1F|最大, 而 (|PnF|-|P1F|) max=3-1=2,
∴n<201, ∴n的最大值为200.故选D.
(文) C.圆的半径为, 由知, E是FP的中点, 设F′ (c, 0) .
由于O是FF′的中点,
由双曲线的定义知, FP=3a, 因为FP是圆的切线, 切点为E, 所以FP⊥OE,
从而∠FPF′=90°.由勾股定理知, .
17..
18., (0, 2) .抛物线x2=2y的焦点为, 设直线AB:, A (x1, y1) , B (x2, y2) .
直线MN:y=kx+2经过定点 (0, 2) .
19. (理) 由题意知, 直线MN过原点.
点在直线MN上,
由对称性得直线l的斜率为.
(文) . (详见理科思路)
20. (理) (4, 6) .延长BA交抛物线的准线于点M, 则△FAB的周长l=|FA|+|AB|+FB|=|AM|+|AB|+|FB|=|BM|+2.
x=1或x=-3 (舍去) ,
另解:设A (xA, yA) , B (xB, yB) ,
又AB∥x轴, xB≠1, 即1
(文) 3.双曲线的两条渐近线方程为,
抛物线y2=-8x的准线方程为x=2.
当直线y=-x+z过点A (2, 1) 时, zmax=3.
21.|QF1|+|QF2|≤10.∵点Q是菱形上一点, 设Q′是椭圆C′:上一点, 则|QF1|+|QF2|≤|Q′F1|+|Q′F2|=2a=10.
22.4ab=1.双曲线C的渐近线为, 令x=2, 得E1 (2, 1) , E2 (2, -1) .
设P (x, y) .由, 得
又点P在双曲线C上,
23..设A (x1, y1) , B (-x1, -y1) , P (x0, y0) .由, 得
24. (理) .设.
由抛物线的定义知,
另解:设P (x0, y0) , 则.
等号成立.
(文) 3.由题意可知, 抛物线的准线为l:, 焦点为.作AA′⊥l于点A′, 作BB′⊥l于点B′, 作FM⊥AA′于点M, 作BN⊥x轴于点N, 又∠AFM=∠FBN=30°,
∴, 即a=2p.又, 有, 则, 于是.
25..由题意可得.
由∠FBA为钝角知,
由c2=a2-b2消去b, 整理得
解之, 得或 (舍去) .
又0
另解:由,
∴a2-c2
26.解: (Ⅰ) 方法1:由椭圆的定义知,
方法2:依题意知, a2-b2=1. (1)
将点M (1, 23) 坐标代入, 得
由 (1) (2) 解得a2=4, b2=3.
故C的方程为.
(Ⅱ) 直线l的斜率显然存在, 设直线l的方程为y=kx+t.
由直线l与圆O相切, 得
因为直线l与椭圆C相切,
所以Δ= (8kt) 2-4 (3+4k2) (4t2-12)
=0, 得t2=3+4k2. (4)
将 (4) 代入 (*) 式, 得
由ON⊥MN,
将 (6) 代入 (5) 得, 当且仅当时, 等号成立.
所以.
27.解: (Ⅰ) 依题意, 设所求的抛物线方程为:y2=2px (p>0) .
∵抛物线的焦点A (100, 0) ,
∴, 故所求的方程为y2=400x.
(Ⅱ) 设点M (x1, y1) , N (x2, y2) , 直线MN的方程为x=ny+100.
∴当n=0时, 即MN⊥AC时, S△CMN取得最小值20000.
答:直线通道MN与AC垂直时, 游乐区的面积最小, 最小面积为20000平方米.
28. (理) 解: (Ⅰ) 由, 解得
故椭圆的标准方程为
(Ⅱ) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 则由, 得 (x0, y0) = (x1, y1) +2 (x2, y2) ,
设kOM, kON分别为直线OM, ON的斜率,
(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 知, 点P是椭圆上的点, ,
∴该椭圆的左、右焦点和满足为定值,
因此存在两个定点A, B, 使得|PA|+|PB|为定值.
(文) 解: (Ⅰ) 设双曲线C2的标准方程为.
则由题意知,
∴双曲线C2的标准方程为.
(Ⅱ) 将y2=2px (p>0) 代入并整理, 得2x2-3px+6=0.
设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 其中x1>0, x2>0, y1>0, y2>0,
, 当且仅当时, 等号成立.∴的最大值为9.
29.解: (Ⅰ) 依题意可设抛物线C:x2=2py (p>0) , ∴准线方程为.
因为点P到焦点F的距离为5,
∴点P到准线的距离也为5.
而P (x0, 4) 在抛物线C上, 所以由抛物线准线方程可得, p=2.
∴抛物线的标准方程为x2=4y,
∴抛物线在点P (-4, 4) 处的切线方程为y-4=-2 (x+4) , 即2x+y+4=0;
抛物线在点P (4, 4) 处的切线方程为y-4=2 (x-4) , 即2x-y-4=0.
∴抛物线在P点处的切线方程为2x+y+4=0或2x-y-4=0.
(Ⅱ) 设直线l的方程为y=2x+m, A (x1, y1) , B (x2, y2) .
即AB的中点为Q (4, 8+m) .
∴AB的垂直平分线方程为
由四边形AMBN为菱形, 得M (0, m+10) , M、N关于Q (4, 8+m) 对称,
∴N点坐标为N (8, m+6) , 且点N在抛物线上, 有64=4× (m+6) , 即m=10,
∴直线l的方程为y=2x+10.
30.解: (Ⅰ) 双曲线G:的焦点为 (±5, 0) , 顶点为 (±4, 0) ,
即c=5, a=4, ∴b=3.
所以所求椭圆C的方程为.
(Ⅱ) 假设存在点M (0, a) , 过点M且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点, 使以AB为直径的圆恒过点P, AB的方程为y=kx+a, 代入方程9x2+25y2=225, 消去y, 得
设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则
由, 得17a2-27a-72=0, 即 (17a+24) (a-3) =0, ∴a=3 (舍) 或,
故点M存在, 点M的坐标为.
31.解: (Ⅰ) (i) ∵圆O:x2+y2=b2过椭圆的焦点, ∴b=c.
(ii) 由∠APB=90°及圆的性质可知,
(Ⅱ) 设P (x0, y0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则.
则切线PA的方程为, 即x1x+y1y=x1x0+y1y0.
又, 有x1x0+y1y0=x21+y21=b2, 故PA的方程为x1x+y1y=b2.
由点P在切线PA上, 有
同理有x2x0+y2y0=b2.
∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2.
32.解: (Ⅰ) 设动点E的坐标为 (x, y) .
依题意可知, ,
整理得.
所以动点E的轨迹C的方程为.
(Ⅱ) 当直线l的斜率不存在时, 满足条件的点P的纵坐标为0.
当直线l的斜率存在时, 设直线l的方程为y=k (x-1) .
将y=k (x-1) 代入并整理, 得
设MN的中点为Q, 则
由题意可知, k≠0,
又直线MN的垂直平分线的方程为
当k>0时, 因为,
当k<0时, 因为,
综上所述, 点P纵坐标的取值范围是.
十二、概率、统计部分
(理含计数原理、随机变量及其分布)
一、选择题
1.某学校为了调查高三年级的200名文科学生完成课后作业所需时间, 采取了两种抽样调查的方式:第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行调查;第二种由教务处对该年级的文科学生进行编号, 从001到200, 抽取学号最后一位为2的同学进行调查, 则这两种抽样的方法依次为 () .
(A) 分层抽样, 简单随机抽样
(B) 简单随机抽样, 分层抽样
(C) 分层抽样, 系统抽样
(D) 简单随机抽样, 系统抽样
2. (理) 若ξ~N (-2, σ2) , 且P (-4<ξ<-2) =0.3, 则P (ξ>0) 的值为 () .
(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.7 (D) 0.8
(文) 某校共有学生2000名, 各年级男、女生人数如下表所示, 已知在全校学生中随机抽取1名, 抽到二年级女生的概率是0.19, 现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生, 则应在三年级抽取的学生人数为 () .
(A) 24 (B) 18 (C) 16 (D) 12
3. (理) 有10件不同的电子产品, 其中有2件产品运行不稳定.技术人员对它们进行一一测试, 直到2件不稳定的产品全部找出后测试结束, 则恰好测试3次就结束测试的方法种数是 () .
(A) 16 (B) 24 (C) 32 (D) 48
(文) 将容量为n的样本中的数据分成6组, 若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1, 且前三组数据的频数之和等于27, 则n的值为 () .
(A) 70 (B) 60 (C) 50 (D) 40
4. (理) (a+b+c) 6的展开式中合并同类项后共有 () .
(A) 28项 (B) 35项
(C) 42项 (D) 56项
(文) 在正四面体的6条棱中随机抽取2条, 则其2条棱互相垂直的概率为 () .
5.连续投掷两次骰子得到的点数分别为m, n, 向量a= (m, n) 与向量b= (1, 0) 的夹角记为α, 则的概率为 () .
6. (理) (1-x2) (2x+1) 5的展开式中x4的系数是 () .
(文) 从等边三角形的三个顶点及三边中点中随机地选择4个, 则4个点构成平行四边形的概率等于 () .
7. (理) 某市端午节期间安排甲、乙等6支队伍参加端午赛龙舟比赛, 若在安排比赛赛道时不将甲安排在第一及第二赛道上, 且甲和乙不相邻, 则不同的安排方法有 () .
(A) 96种 (B) 192种
(C) 216种 (D) 312种
(文) 2011年中国·池州首届绿色运动会上, 七位评委为某比赛项目打出的分数的茎叶图如图1所示, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为 () .
8.已知椭圆G: (a>b>0) 的离心率为, ⊙M过椭圆G的一个顶点和一个焦点, 圆心M在此椭圆上, 则满足条件的点M的个数是 () .
(A) 4 (B) 8 (C) 12 (D) 16
9. (理) 设, 则= () .
(文) 先后掷骰子 (骰子的六个面上分别标有1、2、3、4、5、6个点) 两次, 落在水平桌面后记正面朝上的数字分别为x, y, 则概率P (5≤x+y≤6) = () .
10. (理) 学校组织一年级4个班外出春游, 每个班从指定的甲、乙、丙、丁四个景区中任选一个游览, 则恰有2个班选择了甲景区的选法共有 () .
(A) A42·32种 (B) A42·A32种
(C) C42·32种 (D) C42·A32种
(文) 某地区共有10万户居民, 其中城市住户与农村住户之比为2∶3.现利用分层抽样方法调查了该地区1000户居民电脑拥有情况, 调查结果如下表所示, 那么可以估计该地区农村住户中无电脑的总户数约为 () .
(A) 0.24万 (B) 1.6万
(C) 1.76万 (D) 4.4万
11. (理) 盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球, 从中随机取出一个记下颜色后放回, 当红球取到2次时停止取球.那么取球次数恰为3次的概率是 () .
(文) 已知样本数据1, 2, x, 3的平均数为2, 则样本的标准差是 () .
12. (理) 在二项式的展开式中, 所有二项式系数的和是32, 则展开式中各项系数的和为 () .
(A) 32 (B) -32 (C) 0 (D) -1
(文) 某车间为了规定工时定额, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了5次试验.根据收集到的数据 (如下表) , 由最小二乘法求得回归方程.
现发现表中有一个数据模糊看不清, 请你推断出该数据的值为 () .
(A) 60 (B) 62 (C) 68 (D) 75
13. (理) 在的展开式中的常数项为p, 则= () .
(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 11
(文) 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛, 他们取得的成绩 (满分100分) 的茎叶图如图2所示, 其中甲班学生的平均分是85, 乙班学生成绩的中位数是83.则x+y的值为 () .
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
14. (理) 从0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标 (x, y, z) , 若x+y+z是3的倍数, 则满足条件的点的个数为 () .
(A) 252 (B) 216 (C) 72 (D) 42
(文) 一个样本容量为10的样本数据, 它们组成一个公差不为0的等差数列{an}, 若a3=8, 且a1, a3, a7成等比数列, 则此样本的平均数和中位数分别是 () .
(A) 13, 12 (B) 13, 13
(C) 12, 13 (D) 13, 14
15.某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查, 现从中随机抽出100名司机, 已知抽到的司机年龄都在[20, 45) 岁之间, 根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图3所示, 利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是 () .
(A) 31.6岁 (B) 32.6岁
(C) 33.6岁 (D) 36.6岁
二、填空题
16.已知x, y的取值如下表:
从散点图中可以看出y与x线性相关, 且回归方程为, 则a=______.
17.某单位招聘员工, 从400名报名者中选出200名参加笔试, 再按笔试成绩择优录取40名参加面试, 随机抽查了20名笔试者, 统计他们的成绩如下:
由此预测参加面试所划的分数线是______.
18. (理) 设随机变量ξ服从正态分布N (3, σ2) , 若P (ξ>m) =a, 则P (ξ>6-m) =______.
(文) 甲乙两人参加某体育项目训练, 近期的五次测试成绩得分情况如图4所示:
则甲得分的中位数为______, 乙得分的众数为______.
19.若m∈{-2, -1, 1, 2}, n∈{-2, -1, 1, 2, 3}, 则方程表示的曲线是双曲线的概率为______.
20. (理) 如图5, 圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sin x与x轴围成的区域记为M (图中阴影部分) , 随机往圆O内投一个点A, 则点A落在区域M内的概率是______.
(文) 在区间[0, 9]上随机取一实数x, 则该实数x满足不等式1≤log2x≤2的概率为______.
21. (理) 将3个小球随机地放入2个盒子中, 记放有小球的盒子个数为X, 则X的均值E (X) =______, X的方差D (X) =______.
(文) 某工厂对一批产品进行了抽样检测, 图6是根据抽样检测后的产品净重 (单位:克) 数据绘制的频率分布直方图, 其中产品净重的范围是[96, 106], 样本数据分组为[96, 98) , [98, 100) , [100, 102) , [102, 104) , [104, 106], 已知样本中产品净重小于100克的个数是36, 则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是______.
22.甲、乙两位同学在相同的5次数学测试中, 测试成绩如图7所示, 设S甲, S乙分别为甲、乙两位同学数学测试成绩的标准差, 则S甲, S乙的大小关系是______.
23.在区间[0, 9]内任取两个数, 则这两个数的平方和也在[0, 9]内的概率为______.
24. (理) 已知随机变量X服从正态分布, 且, 则=______.
(文) 甲、乙两艘船都需要在某个泊位停靠8小时, 假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达, 则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是______.
25.已知集合A={x|x=a0+a1×2+a2×22}, 其中ai∈{0, 1, 2} (i=0, 1, 2) , 且a2≠0, 则集合A中所有元素之和是______.
三、解答题
26.第十二届全国人民代表大会第一次会议将于2013年3月在北京召开, 为了搞好对外宣传工作, 会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作, 调查发现, 男、女记者中分别有10人和6人会俄语.
(Ⅰ) 根据以上数据完成以下2×2列联表:
并回答能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关?
(Ⅱ) (理) 若从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组, 则小组中既有男又有女的概率是多少?
(文) 会俄语的6名女记者中有4人曾在俄罗斯工作过, 若从会俄语的6名女记者中随机抽取2人做同声翻译, 则抽出的2人都在俄罗斯工作过的概率是多少?
(Ⅲ) (理) 若从14名女记者中随机抽取2人担任翻译工作, 记会俄语的人数为ξ, 求ξ的期望.
参考公式:.
参考数据:
27. (理) 某工厂2012年生产的A, B, C, D四种型号的产品产量用条形图表示如图8, 现用分层抽样的方法从中选取50件样品参加今年五月份的一个展销会.
(Ⅰ) 问A, B, C, D型号的产品各抽取多少件?
(Ⅱ) 从50件样品中随机地抽取2件, 求这2件产品恰好是不同型号产品的概率;
(Ⅲ) 50件样品中, 从A, C型号的产品中随机抽取3件, 用X表示抽取的A种型号产品的件数, 求X的分布列和数学期望.
(文) 某企业员工500人参加“学雷锋”志愿活动, 按年龄分组:第1组[25, 30) , 第2组[30, 35) , 第3组[35, 40) , 第4组[40, 45) , 第5组[45, 50], 得到的频率分布直方图如图9所示.
(Ⅰ) 下表是年龄的频数分布表, 求正整数a, b的值;
(Ⅱ) 现在要从年龄较小的第1, 2, 3组中用分层抽样的方法抽取6人, 年龄在第1, 2, 3组的人数分别是多少?
(Ⅲ) 在 (Ⅱ) 的前提下, 从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动, 求至少有1人年龄在第3组的概率.
28. (理) 今年雷锋日, 某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当雷锋志愿者, 学生的名额分配如下:
(Ⅰ) 若从20名学生中选出3人参加文明交通宣传, 求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率;
(Ⅱ) 若将4名教师安排到三个年级 (假设每名教师加入各年级是等可能的, 且各位教师的选择是相互独立的) , 记安排到高一年级的教师人数为X, 求随机变量X的分布列和数学期望.
(文) 某地区农科所为了选择更适应本地区种植的棉花品种, 在该地区选择了5块土地, 每块土地平均分成面积相等的两部分, 分别种植甲、乙两个品种的棉花, 收获时测得棉花的亩产量如图10所示.
(Ⅰ) 请问甲、乙两种棉花哪种亩产量更稳定, 并说明理由;
(Ⅱ) 求从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地, 这两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率.
29. (理) 某公司准备将100万元资金投入代理销售业务, 现有A, B两个项目可供选择:
(1) 投资A项目一年后获得的利润X1 (万元) 的概率分布列如下表所示:
且X1的数学期望E (X1) =12;
(2) 投资B项目一年后获得的利润X2 (万元) 与B项目产品价格的调整有关, B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整, 两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p (0
(Ⅰ) 求a, b的值;
(Ⅱ) 求X2的分布列;
(Ⅲ) 若E (X1)
(文) 某校为了解学生的视力情况, 随机抽查了一部分学生视力, 将调查结果分组, 分组区间为 (3.9, 4.2], (4.2, 4.5], …, (5.1, 5.4].经过数据处理, 得到如下频率分布表:
(Ⅰ) 求频率分布表中未知量n, x, y, z的值;
(Ⅱ) 从样本中视力在 (3.9, 4.2]和 (5.1, 5.4]的所有同学中随机抽取两人, 求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率.
30. (理) 计算机考试分理论考试与实际操作考试两部分进行, 每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”, 两部分考试都“合格”者, 则计算机考试“合格”并颁发“合格证书”.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为:, 在实际操作考试中“合格”的概率依次为:, 所有考试是否合格相互之间没有影响.
(Ⅰ) 假设甲、乙、丙3人同时进行理论与实际操作两项考试, 谁获得“合格证书”的可能性大;
(Ⅱ) 求这3人进行理论与实际操作两项考试后, 恰有2人获得“合格证书”的概率;
(Ⅲ) 用X表示甲、乙、丙3人在理论考试中合格的人数, 求X的分布列和数学期望EX.
(文) 2012年3月2日, 国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》.其中规定:居民区的PM2.5年平均浓度不得超过35微克/立方米, PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据, 数据统计如下:
(Ⅰ) 从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中, 随机抽取2天, 求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ) 求样本平均数, 并根据样本估计总体的思想, 从PM2.5的年平均浓度考虑, 判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
31. (理) 佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管, 已知这种灯管使用寿命ξ (单位:月) 服从正态分布N (μ, σ2) , 且使用寿命不少于12个月的概率为0.8, 使用寿命不少于24个月的概率为0.2.
(Ⅰ) 求这种灯管的平均使用寿命μ;
(Ⅱ) 假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管, 使用12个月时进行一次检查, 将已经损坏的灯管换下 (中途不更换) , 求至少两支灯管需要更换的概率.
(文) 设函数f (x) =x2+bx+c, 其中b, c是某范围内的随机数, 分别在下列条件下, 求事件A“f (1) ≤5且f (0) ≤3”发生的概率.
(Ⅰ) 若随机数b, c∈{1, 2, 3, 4};
(Ⅱ) 已知随机函数Rand () 产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}, b, c是算法语句b=4*Rand () 和c=4*Rand () 的执行结果. (注:符号“*”表示“乘号”)
32.某城市为准备参加“全国文明城市”的评选, 举办了“文明社区”评选的活动.在第一轮暗访评分中, 评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分, 每项评分均采用5分制.若设“社区服务”得分为x分, “居民素质”得分为y分, 统计结果如下表:
(Ⅰ) 若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分 (即x≥3且y≥3) 的社区可以进入第二轮评比, 现从50个社区中随机选取一个社区, 求这个社区能进入第二轮评比的概率;
(Ⅱ) (理) 若在50个社区中随机选取一个社区, 这个社区的“居民素质”得分y的均值 (即数学期望) 为, 求a, b的值.
(文) 若在50个社区中随机选取一个社区, 这个社区的“居民素质”得1分的概率为, 求a, b的值.
参考答案
1.D.第一种是简单随机抽样, 第二种是系统抽样.
2. (理) A.∵μ=-2, 有P (-4<ξ<0) =2P (-4<ξ<-2) =2×0.3=0.6,
(文) C.x=2000×0.19=380, 一年级有373+377=750人, 二年级有380+370=750人, 三年级有2000- (750+750) =500.
∴在三年级应抽取=16人.
3. (理) C.由题意知, 第3次测试的必为不稳定品, 且前2次测试中, 必有1件稳定品和1件不稳定品, 则有8×2×1+2×8×1=32种.
(文) B.设第一至第六组的频率分别为2x, 3x, 4x, 6x, 4x, x,
解之, 得n=60.
4. (理) A. (a+b+c) 6的展开式中项的形式为apbqcr, p+q+r=6, p≥0, q≥0, r≥0, 该方程解的组数为C82=28.
本题也可化为[ (a+b) +c]6求解. (此略)
(文) C.从6条棱中任取2条, 有5+4+3+2+1=15种, 其中互相垂直的有3对.
其概率为.
5. B.由, 得
向量a= (m, n) 共有36个, 满足m>n的有5+4+3+2+1=15个,
∴其概率为.
6. (理) C.在 (2x+1) 5的展开式中, Tr+1=C5r (2x) 5-r=25-rC5rx5-r.令5-r=2得r=3, 含有项22C53x2=40x2;令5-r=4得r=1, 含有项24C51x4=80x4.
所求的系数为80-40=40.
(文) C.从6个点中取4个点的种数等于从6个点中取2个点的种数, 共有5+4+3+2+1=15种, 4个点能构成平行四边形的共有3种, 故概率为.
7. (理) D.若甲在第三道, 则有3A44=72种, 同理, 甲在第四、五道也均有72种.若甲在第六道, 则有4A44=96.
故共有3×72+96=312种.
(文) C.所剩数据的平均数, 其方差为.
8.C.由得a2=2c2, 而c2=a2-b2, 有b=c, 则椭圆G每个焦点与任一顶点的中垂线与椭圆的两个交点均可作为圆心M, 共2× (4×2) =16, 而椭圆的焦点与上、下顶点的中垂线与椭圆的4个交点重复算了两次, 于是所求的点M的个数为16-4=12个.
(文) B.当x=1, 有4≤y≤5, 即y=4, 5;
当x=2, 有3≤y≤4, 即y=3, 4;
当x=3, 有2≤y≤3, 即y=2, 3;
当x=4, 有1≤y≤2, 即y=1, 2;
当x=5, 有0≤y≤1, 即y=1;
当x=6, 有-1≤y≤0, 无解.
10. (理) C.从4个班中选2个到甲景区, 有C42种, 在剩下的2个班中, 每个班都有3种选择, 故有C42·32种.
(文) B.由所给的表格数据知, 该地区农村住户中无电脑的总户数约为
户, 即1.6万户.
11. (理) B.由题意知, 第3次抽到红球, 前2次1个红球、1个白球, 其概率为
(文) B.由题意得1+2+x+3=2×4,
12. (理) D.由所有二项式系数和为2n=32, 得n=5, 则展开式中各项系数和为
(文) C.由题可得珚x=30, 代入回归方程得, 设看不清处的数为a, 则62+a+75+81+89=75×5, ∴a=68.
13. (理) D.
, 令15-5r=0, 得r=3.
(文) B.由题意得 (70×2+80×3+90×2+8+9+0+x+5+6+2) =85, 有x=5, 而乙班学生成绩的中位数是83, 得y=3,
14. (理) A.将所给的数字除以3后, 按余数分别为0, 1, 2分为3类:A={0, 3, 6, 9}, B={1, 4, 7}, C={2, 5, 8}, 在A中任取3个数, 其和是3的倍数, 有C43=4种;在B中取3个数或在C取3个数, 其和也是3的倍数, 这时有2种;在A、B、C中各取一个数, 有4×3×3=36种.故所取的3个数组成空间坐标有
(4+2+36) A33=252种.
(文) B.由{an}的公差为d, a3=8得a1=8-2d, a7=8+4d, 而a1, a3, a7成等比数列, 则82= (8-2d) (8+4d) .解之, 得d=2或d=0 (舍去) .∴a1=8-2d=4, 样本的平均数为
15.C.在[25, 30) 岁的频率为1- (0.01+0.07+0.06+0.02) ×5=0.2, 用平均数估计其中位数得22.5×0.05+27.5×0.2+32.5×0.35+37.5×0.3+42.5×0.1=33.5≈33.6.
16.2.6., ∵, ∴中心点 (2, 4.5) 在回归直线上, 得a=2.6.
17.80.要从200名参加笔试者中按成绩择优录取40名, 则需在20名笔试者中择优录取4名, 在所给的数表中, 有4人的成绩在[80, 95) 上, 于是分数线应划为80.
18. (理) 1-a.∵m与6-m的中点为μ=3, 于是P (ξ>m) =a=P (ξ<6-m) ,
(文) 13, 12.由题可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为:
甲:10分, 13分, 12分, 14分, 16分;
乙:13分, 14分, 12分, 12分, 14分.
将甲的得分从小到大排列为10, 12, 13, 14, 16, 中位数为13;乙得分的众数为12和14.
19..方程表示的曲线是双曲线时, 有mn<0.
当m=-2时, n=1, 2, 3;
当m=-1时, n=1, 2, 3;当m=1时, n=-2, -1;当m=2时, n=-2, -1, 共10种,
其概率为.
20. (理)
∴所求的概率为.
(文) .由1≤log2x≤2得2≤x≤4,
∴所求的概率为.
21. (理) .X的取值可能为:1, 2.
(文) 90.样本个数
=120,
故所求的产品个数为
22.s甲>s乙.由题可得 (100×2+110×3+5+7+8+6+4) =112,
23..设x, y∈[0, 9], 由几何概型知, 满足的概率为.
24. (理) 0.6826.∵μ=3, 则
(文) .设甲、乙两船到港的时刻分别x, y, 则满足的概率为.
25.99.∵a2≠0, ∴当a2=1时, x=a0+a1×2+4, 有x=4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;
当a2=2时, x=a0+a1×2+8, 有
其和为=99.
26.解: (Ⅰ) 如下表:
假设:是否会俄语与性别无关.
由已知数据可求得
所以在犯错的概率不超过0.10的前提下不能判断会俄语与性别有关.
(Ⅱ) (理) 从会俄语的记者中随机抽取3人成立一个小组, 则小组中既有男又有女的概率为.
(文) 会俄语的6名女记者, 分别设为A, B, C, D, E, F, 其中A, B, C, D曾在俄罗斯工作过.则从这6人中任取2人有AB, AC, AD, AE, AF, BC, BD, BE, BF, CD, CE, CF, DE, DF, EF共15种, 其中2人都在俄罗斯工作过的是AB, AC, AD, BC, BD, CD共6种.
所以抽出的女记者中, 2人都在俄罗斯工作过的概率是.
(Ⅲ) (理) 会俄语的人数ξ的取值分别为0, 1, 2.其概率分别为:
所以ξ的分布列为:
27. (理) 解: (Ⅰ) 从条形图上可知, 共生产产品有50+100+150+200=500 (件) ,
样品比为.
所以A, B, C, D四种型号的产品分别取,
即样本中应抽取A产品10件, B产品20件, C产品5件, D产品15件.
(Ⅱ) 从50件产品中任取2件共有C250=1 225种方法, 2件恰为同一产品的方法数为
所以2件恰好为不同型号的产品的概率为.
(Ⅲ) 解X的可能取值为0, 1, 2, 3, 则
故X的分布列为:
(文) 解: (Ⅰ) 由题设可知, a=0.08×5×500=200, b=0.02×5×500=50.
(Ⅱ) 因为第1, 2, 3组共有
50+50+200=300人,
利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生, 每组抽取的人数分别为:
第1组的人数为, 第2组的人数为, 第3组的人数为,
所以第1, 2, 3组分别抽取1人, 1人, 4人.
(Ⅲ) 设第1组的1位同学为A, 第2组的1位同学为B, 第3组的4位同学为C1, C2, C3, C4, 则从六位同学中抽两位同学有: (A, B) , (A, C1) , (A, C2) , (A, C3) , (A, C4) , (B, C1) , (B, C2) , (B, C3) , (B, C4) , (C1, C2) , (C1, C3) , (C1, C4) , (C2, C3) , (C2, C4) , (C3, C4) , 共15种可能.
其中2人年龄都不在第3组的有: (A, B) , 共1种可能,
所以至少有1人年龄在第3组的概率为
28. (理) 解: (Ⅰ) 设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A, 则
∴若从选派的学生中任选3人进行文明交通宣传活动, 他们中恰好有1人是高一年级学生的概率为.
(Ⅱ) 方法1:ξ的所有取值为0, 1, 2, 3, 4.由题意可知, 每位教师选择高一年级的概率均为.
随机变量ξ的分布列为:
所以.
方法2:由题意可知, 每位教师选择高一年级的概率均为,
则随机变量ξ服从参数为的二项分布, 即.
随机变量ξ的分布列为:
所以.
(文) 解: (Ⅰ) 由茎叶图可知, 甲种棉花的平均亩产量为:,
方差为:[ (95-104) 2+ (102-104) 2+ (105-104) 2+ (107-104) 2+ (111-104) 2]=28.8.
乙种棉花的平均亩产量为:,
方差为:[ (98-104) 2+ (103-104) 2+ (104-104) 2+ (105-104) 2+ (110-104) 2]=14.8.
因为S2甲>S乙2,
所以乙种棉花的平均亩产量更稳定.
(Ⅱ) 从种植甲种棉花的5块土地中任选2块土地的所有选法有: (95, 102) , (95, 105) , (95, 107) , (95, 111) , (102, 105) , (102, 107) , (102, 111) , (105, 107) , (105, 111) , (107, 111) , 共10种,
设“亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量”为事件A,
包括的基本事件有 (105, 107) , (105, 111) , (107, 111) , 共3种.
所以.
所以, 两块土地的亩产量均超过种植甲种棉花的5块土地的总平均亩产量的概率为.
29. (理) 解: (Ⅰ) 由题意知,
解之, 得:a=0.5, b=0.1.
(Ⅱ) X2的可能取值为4.12, 11.76, 20.40.
所以X2的分布列为:
(Ⅲ) 由 (Ⅱ) 可知, E (X2) =4.12p (1-p)
因为E (X1)
所以12<-p2+p+11.76.
所以0.4
当选择投资B项目时, p的取值范围是 (0.4, 0.6) .
(文) 解: (Ⅰ) 由表可知, 样本容量为n, 由, 得n=50, 由;
(Ⅱ) 设样本视力在 (3.9, 4.2]的3人为a, b, c, 样本视力在 (5.1, 5.4]的2人为d, e.
由题意从5人中任取两人的基本事件空间为:Ω={ (a, d) , (a, e) , (b, d) , (b, e) , (c, d) , (c, e) , (a, b) , (a, c) , (b, c) , (d, e) },
∴n=10, 且各个基本事件是等可能发生的.
设事件A表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”, 则事件A包含的基本事件有:
故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为.
30. (理) 解: (Ⅰ) 记“甲获得合格证书”为事件A, “乙获得合格证书”为事件B, “丙获得合格证书”为事件C,
所以丙获得合格证书的可能性大.
(Ⅱ) 设3人考试后恰有2人获得“合格证书”为事件D,
X的分布列为:
(文) 解: (Ⅰ) 设PM2.5的24小时平均浓度在 (50, 75]内的三天记为A1, A2, A3, PM2.5的24小时平均浓度在 (75, 100) 内的两天记为B1, B2.
所以5天任取2天的情况有:A1A2, A1A3, A1B1, A1B2, A2A3, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, 共10种.
其中符合条件的有:A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, 共6种.
所以所求的概率.
(Ⅱ) 去年该居民区PM2.5年平均浓度为:12.5×0.25+37.5×0.5+62.5×0.15+87.5×0.1=40 (微克/立方米) .
因为40>35, 所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准, 故该居民区的环境需要改进.
31. (理) 解: (Ⅰ) ∵ξ~N (μ, σ2) , P (ξ≥12) =0.8, P (ξ≥24) =0.2,
∴P (ξ<12) =0.2,
显然P (ξ<12) =P (ξ>24) ,
由正态分布密度函数的对称性可知, , 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月.
(Ⅱ) 每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2.
假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支, 则η~B (4, 0.2) ,
故至少两支灯管需要更换的概率
(文) 由f (x) =x2+bx+c知, 事件A“f (1) ≤5且f (0) ≤3”, 即
(Ⅰ) 因为随机数b, c∈{1, 2, 3, 4}, 所以共等可能地产生16个数对 (b, x) , 列举如下: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) .
事件A:包含了其中6个数对 (b, c) , 即: (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (2, 1) , (2, 2) , (3, 1) .
所以, 即事件A发生的概率为.
(Ⅱ) 由题意, b, c均是区间[0, 4]中的随机数, 产生的点 (b, c) 均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中 (如图) , 其面积S (Ω) =16.
事件A:所对应的区域为如图所示的梯形 (阴影部分) ,
其面积为:.
所以,
即事件A的发生概率为.
32.解: (Ⅰ) 从表中可以看出, “居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分 (即x≥3且y≥3) 的社区数量为24个.
设这个社区能进入第二轮评比为事件A,
所以这个社区能进入第二轮评比的概率为.
(Ⅱ) (理) 由表可知“居民素质”得分y有1分、2分、3分、4分、5分, 其对应的社区个数分别为 (a+4) 个、 (b+4) 个、15个、15个、9个.
所以“居民素质”得分y的分布列为:
因为“居民素质”得分y的均值 (数学期望) 为,
因为社区总数为50个,
所以a+b+47=50.
解之, 得a=1, b=2.
(文) 从表中可以看出, “居民素质”得1分的社区共有 (4+a) 个,
因为“居民素质”得1分的概率为,
所以.
解之, 得a=1.
因为社区总数为50个,
所以a+b+47=50.解之, 得b=2.
十三、算法与推理证明部分
一、选择题
1.已知, 依照以上各式的规律, 得到一般性的等式为 () .
2.给出下面类比推理命题 (其中Q为有理数集, R为实数集, C为复数集) () .
(1) “若a, b∈R, 则a-b=0a=b”类比推出“a, b∈C, 则a-b=0a=b”.
(2) “若a, b, c, d∈R, 则复数a+bi=c+di⇒a=c, b=d”类比推出“若a, b, c, d∈Q, 则.
(3) 若“a, b∈R, 则a-b>0a>b”类比推出“a, b∈C, 则a-b>0a>b”.
其中类比结论正确的个数是 () .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
3.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案, 则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖 () 块.
(A) 80 (B) 100 (C) 120 (D) 160
4.根据输入的x的值计算y的值的程序框图如图1所示, 若x依次取数列中的项, 则所得y值的最小值为 () .
(A) 4 (B) 8 (C) 16 (D) 32
5.在平面几何里, 有:若△ABC的三边长分别为a, b, c, 内切圆半径为r, 则三角形的面积为.拓展到空间, 类比上述结论:若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1, S2, S3, S4, 内切球的半径为r, 则四面体的体积为 () .
6.运行图2所示的程序框图, 当n0=6时, 输出的i和n的值分别为 () .
(A) 8, 1 (B) 7, 1 (C) 8, 2 (D) 7, 2
7. 在整数集Z中, 被4除所得余数k的所有整数组成一个“类”, 记为[k], 即[k]={4n+k|n∈Z}, k=0, 1, 2, 3.给出如下四个结论:
(4) “整数a, b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]”.
其中正确的个数为 () .
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
8. 若执行图3所示的程序框图, 则输出的结果是 () .
(A) 5 (B) 8 (C) 13 (D) 21
9. (理) 执行图4所示的程序框图, 若输入x=2, 则输出y的值为 () .
(A) 2 (B) 5
(C) 11 (D) 23
(文) 阅读图5所示的程序框图, 为使输出的数据为31, 则 (1) 处应填的数字为 () .
(A) 4 (B) 5
(C) 6 (D) 7
10.对于平面直角坐标系内的任意两点P1 (x1, y1) , P2 (x2, y2) , 定义运算:P1⊗P2= (x1, y1) ⊗ (x2, y2) = (x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) , 若点M的坐标为 (2, 3) , 且M⊗ (1, 1) =N, 则∠MON= () .
11.执行图6所示的程序框图所表达的算法, 如果最后输出的S值为, 那么判断框中实数a的取值范围是 () .
(A) 2 012
(B) 2 012≤a≤2 013
(C) 2 012
(D) 2 012≤a<2 013
12.设S是实数集R的非空子集, 如果∀a, b∈S, 有a+b∈S, a-b∈S, 则称S是一个“和谐集”.下面命题为假命题的是 () .
(A) 存在有限集S, S是一个“和谐集”
(B) 对任意无理数a, 集合{x|x=ka, k∈Z}都是“和谐集”
(C) 存在S1≠S2, 且S1, S2均是“和谐集”, 使得S1∩S2≠Ø
(D) 对任意两个“和谐集”S1, S2, 若S1≠R, S2≠R, 则S1∪S2=R
13.执行图7中程序框图表示的算法, 若输入m=5 535.75, n=2 013, 则输出d= () .
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)
(A) 2 013 (B) 1 509.75
(C) 1 006.5 (D) 503.25
14.已知实数x∈[0, 8], 若执行图8所示的程序框图, 则输出的x不小于55的概率为 () .
15.函数f (x) 的定义域为D, 若存在闭区间[a, b]⊆D, 使得函数f (x) 满足:
(1) f (x) 在[a, b]上是单调函数;
(2) f (x) 在[a, b]上的值域为[2a, 2b], 则称区间[a, b]为y=f (x) 的“倍值区间”.
下列函数:
则其中存在“倍值区间”的函数的个数是 () .
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
二、填空题
16.定义运算法则如下:.若, 则M+N=______.
17.已知函数.如下定义一列函数:f1 (x) =f (x) , f2 (x) =f[f1 (x) ], f3 (x) =f[f2 (x) ], …, fn (x) =f[fn-1 (x) ], n∈N*, 那么由归纳推理可得函数fn (x) 的解析式是fn (x) =______.
18.若等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 前n项的和为Sn, 则数列为等差数列, 且通项为.类似地, 请完成下列命题:若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1, 公比为q, 前n项的积为Tn, 则数列______.
19.计算Cn1+2Cn2+3Cn2+…+nCnn, 可以采用以下方法:
构造恒等式:
两边对x求导, 得Cn1+2Cn2x+3Cn3x2+…+nCnnxn-1=n (1+x) n-1.
在上式中令x=1, 得Cn1+2Cn2+3Cn3+…+nCnn=n·2n-1.
类比上述计算方法, 则Cn1+22Cn2+32Cn3+…+n2Cnn=______.
20. (理) 阅读图9所示的程序框图, 为使输出的数据31, 则 (1) 处应填的条件是______.
(文) 已知观察以上等式, 若 (a, t均为正实数) , 则a+t=______.
21.已知曲线C的方程是, 给出下列三个结论:
(1) 曲线C与两坐标轴有公共点;
(2) 曲线C既是中心对称图形, 又是轴对称图形;
(3) 若点P、Q在曲线C上, 则|PQ|的最大值是.
其中, 所有正确结论的序号是______.
22.两千多年前, 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题, 他们在沙滩上画点或用小石子来表示数, 按照点或小石子能排列的形状对数进行分类, 如图10中的实心点个数1, 5, 12, 22, …, 被称为五角形数, 其中第1个五角形数记作a1=1, 第2个五角形数记作a2=5, 第3个五角形数记作a3=12, 第4个五角形数记作a4=22, …, 若按此规律继续下去, 则a5=______, 若an=145, 则n=______.
23.“无字证明” (proofs without words) 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现, 如图11.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系, 写出该图所验证的一个三角恒等变换公式______.
24.如果复数z=cosθ+isinθ, , 记n (n∈N*) 个z的积为zn, 通过验证n=2, n=3, n=4, …的结果, 推测zn=_____ (结果用θ, n, i表示) .
25.已知函数则f[f (x) ]=______;
下面三个关于f (x) 的命题:
(1) 函数f (x) 是偶函数;
(2) 任取一个不为零的有理数T, f (x+T) =f (x) 对x∈R恒成立;
(3) 存在三个点A (x1, f (x1) ) , B (x2, f (x2) ) , C (x3, f (x3) ) , 使得△ABC为等边三角形.
所有真命题的序号是______.
三、解答题
26.若数列{An}满足An+1=An2, 则称数列{An}为“平方递推数列”.已知数列{an}中, a1=2, 点 (an, an+1) 在函数f (x) =3x2+2x的图象上, 其中n为正整数.
(Ⅰ) 证明数列{3an+1}是“平方递推数列”, 且数列{lg (3an+1) }为等比数列;
(Ⅱ) 设 (Ⅰ) 中“平方递推数列”的前n项之积为Tn, 即Tn= (3a1+1) (3a2+1) … (3an+1) , 求数列{an}的通项及Tn关于n的表达式;
(Ⅲ) 记bn=log3an+1Tn, 求数列{bn}的前n项和Sn, 并求使Sn>2013的n的最小值.
27.平面内一动点P (x, y) 到两定点F1 (-1, 0) , F2 (1, 0) 的距离之积等于1.
(Ⅰ) 求动点P (x, y) 的轨迹C的方程, 用y2=f (x) 形式表示;
(Ⅱ) 类似椭圆、双曲线、抛物线的性质的研究方法, 请你研究轨迹C的性质, 请直接写出答案;
(Ⅲ) 求△PF1F2周长的取值范围.
28.已知函数y=f (x) , x∈D, 如果对于定义域D内的任意实数x, 对于给定的非零常数m, 总存在非零常数T, 恒有f (x+T) >m·f (x) 成立, 则称函数f (x) 是D上的m级类增周期函数, 周期为T.若恒有f (x+T) =m·f (x) 成立, 则称函数f (x) 是D上的m级类周期函数, 周期为T.
(Ⅰ) 试判断函数f (x) =log12 (x-1) 是否为 (3, +∞) 上的周期为1的2级类增周期函数?并说明理由;
(Ⅱ) 已知函数f (x) =-x2+ax是[3, +∞) 上的周期为1的2级类增周期函数, 求实数a的取值范围;
(Ⅲ) 已知函数f (x) =x2-4x, 当x∈[0, 4]时, 若f (x) 是[0, +∞) 上周期为4的m级类周期函数, 且y=f (x) 的值域为一个闭区间, 求实数m的取值范围.
29.若正整数N=a1+a2+…+an (ak∈N*, k=1, 2, …, n) , 则称a1×a2×…×an为N的一个“分解积”.
(Ⅰ) 当N分别等于6, 7, 8时, 写出N的一个分解积, 使其值最大;
(Ⅱ) 当正整数N (N≥2) 的分解积最大时, 证明:ak (k∈N*) 中2的个数不超过2;
(Ⅲ) 对任意给定的正整数N (N≥2) , 求出ak (k=1, 2, …, n) , 使得N的分解积最大.
参考答案
1.A.由题目条件观察可知, 所给的每个等式左边的分母之和为0, 分子之和为8, 只有A具有此规律.
2.C.在 (1) 中, 由a-b=0⇒a=b,
∴ (1) 对; (2) 正确;
在 (3) 中, 取a=2+i, b=2+i, 有a-b>0, 但a>b不正确, ∴ (3) 错.
3.B.设第n个图案中有an块黑色瓷砖, 由 (1) (2) (3) 的规律知, an=2 (n+4) +2n=4n+8, 则a23=100.
4.C., 当n=4时取等号.
当n=1时, , 输出
当n=2时, , 输出
当n=3时, , 输出
当n=4时, , 输出
当n=5时, , 输出
当n>5时, 输出的y值递增.
5.B.设球心为O, 则VA-BCD
6.A.当n0=6时, 输出的i, n的值为:
∴输出的i, n的值分别为8, 1.
7.C.∵2012=4×503, 有2012∈[0],
∴ (2) 对; (3) 与 (4) 均对.
8.C.由所给的程序得其输出的相关数据如下:
故z=13.
9. (理) D.若输入x=2时, y=5, |2-5|>8 (否) , 则x=5;若y=11, |5-11|>8 (否) ,
则x=11;若y=23, |11-23|>8 (是) ,
∴输出y=23.
(文) B.运行程序输出的S与i的值分别为:
∴ (1) 处应填的数字为5.
10.A. (2, 3) ⊗ (1, 1) = (2×1-3×1, 2×1+1×3) = (-1, 5) , 有
又∠MON∈[0, π], 则.
11. D.运行程序输出的相关数据如下:
而2 013≤a (否) , 2 012≤a (是) ,
12.D.存在S={0}为“和谐集”, A为真命题;当k1, k2∈z, a为无理数, k1a+k2a= (k1+k2) a∈S, k1a-k2a= (k1-k2) a∈S, B为真命题;存在S1={x|x=2k, k∈z}, S2={x|x=3k, k∈z}, C为真命题;D为假命题.
13.D.运行程序输出的相关数据如下:
这时d=n, 输出d=503.25.
14.A.运行所给的程序, 输出的相关数据如下:
由8x+7≥55得x≥6, 又0≤x≤8,
故所求的概率为.
15.C.函数f (x) =x2 (x≥0) 为增函数, 由知, 其存在满足a
∴该函数存在“倍值区间”[0, 2].
f (x) =ex (x∈R) 为增函数, 由且a
故f (x) =ex (x∈R) 不存在“倍值区间”.
函数 (x≥0) 存在“倍值区间”[0, 1].
18.是等比数列, 且通项公式为.
19.n (n+1) 2n-2.
对C1n+2C2nx+3C3nx2+…+nCnnxn-1
=n (1+x) n-1, 两边求导得
取x=1.得2×1·Cn2+3×2·Cn3+…+n (n-1) Cnn=n (n-1) 2n-2,
20. (理) 运行程序输出的S与i的值分别为:
∴ (1) 处应填的条件i<5 (或i≤4) .
(文) 71.由题意得a=8, 则.解之, 得t=63, 有a+t=71.
21. (2) (3) .当x>0, y>0时, (x-1) 2+ (y-1) 2=8;
当x>0, y<0时, (x-1) 2+ (y+1) 2=8;
当x<0, y>0时, (x+1) 2+ (y-1) 2=8;
当x<0, y<0时, (x+1) 2+ (y+1) 2=8.
其图象如图所示, 则 (1) 错, (2) 对.
而, 于是 (3) 正确.
22.35, 10.由题意可得a1=1, a2=a1+4, a3=a2+7, a4=a3+10,
解之, 得n=10或 (舍去) .
23.sin (α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ.甲、乙图中大矩形的面积相等, 甲图中阴影部分的面积为S1=sin (α+β) , 在乙图中, 阴影部分的面积S2等于2个阴影小矩形的面积之和, 即sinαcosβ+cosαsinβ.而面积S2还等于大矩形的面积S减去2个小空白矩形的面积, 再由2个图中空白部分的面积相等, 可得S1=S2, 从而得结论.
24.zn=cos nθ+isin nθ.由条件
推测zn=cos nθ+isin nθ.
25.1, (1) (2) (3) .当x∈Q时, f[f (x) ]=f (1) =1, 当x∈瓓RQ时, f[f (x) ]=f (0) =1,
当x∈Q时, -x∈Q, 有f (-x) =1=f (x) , 当x∈瓓RQ时, -x∈瓓RQ,
有f (-x) =0=f (x) , 故f (x) 是偶函数,
∴ (1) 正确;当x∈Q时, x+T∈Q,
有f (x+T) =1=f (x) , 当x∈瓓RQ时, x+T∈瓓RQ, 有f (x+T) =0=f (x) , ∴ (2) 对;
取, 则△ABC为等边三角形, ∴ (3) 正确.
26.解: (Ⅰ) 证明:∵an+1=3an2+2an, 3an+1+1=3 (3a2n+2an) +1= (3an+1) 2,
∴数列{3an+1}是“平方递推数列”.
由以上结论可知,
∴数列{lg (3an+1) }为首项是lg 7, 公比为2的等比数列.
27.解: (Ⅰ) ∵|PF1|·|PF2|=1,
(Ⅱ) 性质: (1) 对称性:关于原点对称, 关于x轴对称, 关于y轴对称;
(2) 顶点: (0, 0) , ;
(3) 范围:x的范围:, y的范围:.
28.解: (Ⅰ) ∵ (x+1-1) - (x-1) 2=- (x2-3x+1) <0, 即 (x+1-1) < (x-1) 2,
即f (x+1) >2f (x) 对一切x∈ (3, +∞) 恒成立,
故是 (3, +∞) 上的周期为1的2级类增周期函数.
(Ⅱ) 由题意可知, f (x+1) >2f (x) ,
即- (x+1) 2+a (x+1) >2 (-x2+ax) 对一切[3, +∞) 恒成立, 有
令x-1=t, 则t∈[2, +∞) , 在[2, +∞) 上单调递增,
所以g (t) min=g (2) =1.
所以a<1
(Ⅲ) ∵当x∈[0, 4]时, y∈[-4, 0], 且有f (x+4) =mf (x) ,
∴当x∈[4n, 4n+4], n∈Z时,
当0
当-1
当m=-1时, f (x) ∈[-4, 4];
当m>1时, f (x) ∈ (-∞, 0];
当m<-1时, f (x) ∈ (-∞, +∞) .
综上可知, -1≤m<0或0
29.解: (Ⅰ) 6=3+3, 分解积的最大值为3×3=9;
7=3+2+2=3+4, 分解积的最大值为3×2×2=3×4=12;
8=3+3+2, 分解积的最大值为3×3×2=18.
(Ⅱ) 证明:由 (Ⅰ) 可知, ak (k=1, 2, …, n) 中可以有2个2.
当ak (k=1, 2, …, n) 有3个或3个以上的2时,
因为2+2+2=3+3, 且2×2×2<3×3, 所以, 此时分解积不是最大的.
所以, 此时分解积不是最大的.
因此, ak (k∈N*) 中至多有2个2.
(Ⅲ) (1) 当ak (k=1, 2, …, n) 中有1时,
因为1+ai= (ai+1) , 且1×ai
所以, 此时分解积不是最大, 可以将1加到其他加数中, 使得分解积变大.
(2) 由 (Ⅱ) 可知, ak (k=1, 2, …, n) 中至多有2个2.
(3) 当ak (k=1, 2, …, n) 中有4时,
若将4分解为1+3, 由 (1) 可知分解积不会最大;
若将4分解为2+2, 则分解积相同;
若有两个4, 因为4+4=3+3+2, 且4×4<3×3×2, 所以将4+4改写为3+3+2, 使得分解积更大.
因此, ak (k=1, 2, …, n) 中至多有1个4, 而且可以写成2+2.
(4) 当ak (k=1, 2, …, n) 中有大于4的数时, 不妨设ai>4, 因为ai<2 (ai-2) ,
所以将ai分解为2+ (ai-2) 会使得分解积更大.
综上所述, ak (k=1, 2, …, n) 中只能出现2或3或4, 且2不能超过2个, 4不能超过1个.
于是, 当N=3m (m∈N*) 时,
使得分解积最大;
当N=3m+1 (m∈N*) 时,
使得分解积最大;
当N=3m+2 (m∈N*) 时,
使得分解积最大.
十四、复数与选讲部分
一、选择题
1.复数的共轭复数是a+bi (a, b∈R) , i是虚数单位, 则ab的值是 () .
(A) -7 (B) -6 (C) 7 (D) 6
2.复数a2-a-6+ (a2+a-12) i (a∈R) 为纯虚数的充要条件是 () .
3.已知a, b为实数, 则“|a+b|<1”是“|a|<且|b|<”的 () .
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件
(D) 既不充分也不必要条件
4.如果复数是实数 (i为虚数单位, a∈R) , 则实数a的值是 () .
(A) -4 (B) 2
(C) -2 (D) 4
5.在平面直角坐标系xOy中, 点P的直角坐标为 (1, ) .若以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则点P的极坐标可以是 () .
6.在复平面内, 复数 (i是虚数单位) 对应的点位于 () .
(A) 第一象限 (B) 第二象限
(C) 第三象限 (D) 第四象限
7.直线 (t为参数) 交极坐标方程为ρ=4cosθ的曲线于A, B两点, 则|AB|等于 () .
8.已知i是虚数单位, 复数在复平面内对应的点位于第四象限, 则实数a的取值范围是 () .
9.过点引圆ρ=4sinθ的一条切线, 则切线长为 () .
10.如图1所示, AB是圆的直径, 点C在圆上, 过点B、C的切线交于点P, AP交圆于D, 若AB=2, AC=1, 则PD= () .
11.以平面直角坐标系的原点为极点, 以x轴的正半轴为极轴, 建立极坐标系, 则曲线C1: (φ为参数, φ∈R) 上的点到曲线C2:ρcosθ+ρsinθ=4 (ρ, θ∈R) 的最短距离是 () .
12.如图2所示, 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点, ∠BAC=30°, 过C作圆O的切线l, 过A作直线l的垂线, 垂足为D, 则CD的长为 () .
13.如图3, PA是圆O的切线, A为切点, PBC是圆O的割线.若, 则= () .
14.如图4, 两圆相交于A、B两点, P为两圆公共弦AB上任一点, 从P引两圆的切线PC、PD, 若PC=2cm, 则PD= () cm.
15.如图5, AB为⊙O的直径, C为⊙O上一点, AP和过C的切线互相垂直, 垂足为P, 过B的切线交过C的切线于T, PB交⊙O于Q, 若∠BTC=120°, AB=4, 则PQ·PB= () .
16.已知函数, 则不等式的解集等于 () .
二、填空题
17.已知线性方程组的增广矩阵为, 若该线性方程组的解为, 则实数a=______.
18.已知不等式|x-2|>1的解集与不等式x2+ax+b>0的解集相等, 则a+b的值为______.
19.在极坐标系中, 已知直线l:ρ (sinθ-cosθ) =a把曲线C:ρ=2cosθ所围成的区域分成面积相等的两部分, 则常数a的值是______.
20.如图6, 已知圆中两条弦AB与CD相交于点F, CE与圆相切, 交AB延长线上于点E, 若DF=CF=2槡2, AF∶FB∶BE=4∶2∶1, 则线段CE的长为______.
21.在极坐标系中, 曲线ρ=2与cosθ+sinθ=0 (0≤θ≤π) 的交点的极坐标为______.
22.若不等式对于一切非零实数x均成立, 则实数a的取值范围是______.
23.如图7, AB是圆O的直径, CD⊥AB于D, 且AD=2 BD, E为AD的中点, 连结CE并延长交圆O于F.若, 则EF=______.
24.在极坐标系中, 曲线和ρcosθ=1相交于点A、B, 则线段AB的中点E到极点的距离是______.
25.如图8, ⊙O的直径AB与弦CD交于点P, , PD=5, AP=1, 则∠DCB=______, sin∠PBC=______.
26.如图9, 圆O的半径为5cm, 点P是弦AB的中点, OP=3cm, 弦CD过点P, 且, 则CD的长为______cm.
27.设f (x) =|x-1|+|x+1|, 若不等式对任意实数a≠0恒成立, 则x取值范围是______.
三、解答题
28.设复数z=-3cosθ+2isinθ.
(Ⅰ) 当时, 求|z|的值;
(Ⅱ) 若复数z所对应的点在直线x+3y=0上, 求的值.
29.如图10, 直线AB经过⊙O上的点C, 并且OA=OB, CA=CB, ⊙O交直线OB于E、D, 连结EC, CD.
(Ⅰ) 求证:直线AB是⊙O的切线;
(Ⅱ) 若, ⊙O的半径为3, 求OA的长.
30.已知关于x的不等式
(Ⅰ) 求m的取值范围;
(Ⅱ) 在 (Ⅰ) 的条件下求函数f (m) =m+的最小值.
31.在平面直角坐标系内, 直线l过点P (1, 1) , 且倾斜角.以坐标原点O为极点, x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(Ⅰ) 求圆C的直角坐标方程;
(Ⅱ) 设直线l与圆C交于A、B两点, 求|PA|·|PB|的值.
32. (Ⅰ) 已知函数f (x) =|x+3|, g (x) =m-2|x-11|, 若2f (x) ≥g (x+4) 恒成立, 求实数m的取值范围.
(Ⅱ) 已知实数x、y、z满足2x2+3y2+6z2=a (a>0) , 且x+y+z的最大值是1, 求a的值.
参考答案
1.C., 其共轭复数是7+i=a+bi, ∴a=7, b=1, 即ab=7.
2.B.由题意得
3.B.当且时, |a+b|≤|a|+|b|<1, 反之不成立.
4.D.∵是实数, ∴, 即a=4.
5.B.由得点P的极坐标可以是, 但不可能为.
7.A.直线的普通方程为x+y=4, 而ρ=4cosθ的普通方程是x2+y2=4x, 即 (x-2) 2+y2=4, 圆心 (2, 0) 到直线x+y-4=0的距离,
8.A.由题意可得
其对应的点在第四象限,
∴且.解之, 得a<-1.
9.D.设过点A的直线与圆C:ρ=4sinθ相切于点P, 则|AC|=2+4=6, |CP|=2,
另解:由题意知, 圆心C为 (0, 2) .
设切线长为x, 则由切割线定理知,
∴, 即切线长为.
10.B.连结BC.在Rt△ABC中, AB=2, AC=1, 有∠CAB=60°,
则∠PCB=∠CAB=60°, ∴△PBC为正三角形, 而,
再由PB2=PD·PA, 得
11.B.曲线C1与C2的普通方程分别为x2+y2=7与x+y=4, 则圆心C1 (0, 0) 到直线C2的距离, ∴所求的最短距离为.
12.C.连结BC, 在Rt△ABC中, AB=6, ∠BAC=30°, 得BC=3, .
13.A.由, 设, BC=2t, PB=x.
由PA2=PB·PC得=x (x+2t) .
解之, 得x=t或x=-3t (舍去) ,
14.B.由切割线定理可知,
15.C.连结AC, BC, OC.由OB⊥BT, OC⊥TC知, 四点O、B、T、C共圆, 而∠BTC=120°, 得∠BOC=60°, 于是△OBC为正三角形, 则BC=OB=2, .
由∠ACP=∠ABC知,
16.C.当x≥1时, .于是由.即:当x≥1时, ;当0
17.-1.由题意知, 方程组的解为∴4+2a=2, 得a=-1.
18.-1.由|x-2|>1得x-2<-1或x-2>1, 即x<1或x>3,
∴1, 3是方程x2+ax+b=0的两个实数根, 有
即a+b= (-4) +3=-1.
19.-1.直线l的普通方程为y-x=a, 圆C的普通方程为 (x-1) 2+y2=1.
由题意知, 直线l经过圆C的圆心 (1, 0) ,
∴0-1=a, 即a=-1.
20..设BE=t, 有FB=2t, AF=4t, 而,
由FB·FA=FD·FC, 得
由CE2=BE·EA=7, 即.
22.1
23..∵AD=2BD, 设BD=t, 则AD=2t, 在Rt△ABC中, CD⊥AB于点D, 由射影定理得CD2=AD·DB,
又E为AD的中点, ∴AE=ED=t=1, 有,
而EB=ED+DB=2, 由EF·EC=AE·EB知, .
25.45°, .由PA·PB=PC·PD, 得PB=7, 则AB=PA+PB=1+7=8,
∴OD=4.而PO=OA-PA=3,
∴∠POD=90°, 则AD=BD, 有∠DAB=45°, ∴∠DCB=∠DAB=45°.
在△PBC中, 由正弦定理得
另解:设DAB=α, ∠ADC=β, 则由正弦定理知, , ∴sinα=5sinβ.
令sinβ=t, 则, 则
26..连结OA, 由P是AB的中点知, OP⊥AB, 而OP=3, OA=5, AP=4.
设CP=t, 由, 得PD=2t.
由PA·PB=CP·PD, 得
4×4=t·2t, 则,
由绝对值的几何意义知,
28.解: (Ⅰ) 当时,
(Ⅱ) ∵复数z所对应的点在直线x+3y=0上,
∴-3cosθ+6sinθ=0, 即.
29.解: (Ⅰ) 证明:如图, 连结OC.
又点C在圆上,
∴AB是⊙O的切线.
∴.设BD=x, 则BC=2x.BCEC2
解之, 得x1=0, x2=2.
30.解: (Ⅰ) ∵关于x的不等式对于任意的x∈[-1, 2]恒成立.由柯西不等式知,
所以, 当且仅当时, 等号成立, 故.
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 得m-2>0, 则
31.解: (Ⅰ) ∵ρ=4sinθ,
∴ρ2=4ρsinθ, 则x2+y2-4y=0,
∴圆C的直角坐标方程是x2+y2-4y=0.
(Ⅱ) 由题意知, 直线l的参数方程为 (t为参数) , 将该方程代入圆C的方程x2+y2-4y=0, 得
32.解: (Ⅰ) 函数f (x) 的图象恒在函数g (x) 图象的上方, 即x∈R, 2f (x) =2|x+3|≥g (x+4) =m-2|x+4-11|=m-2|x-7|, 从而有m≤2 (|x-7|+|x+3|) .由绝对值不等式的性质知, 2 (|x-7|+|x+3|) ≥2|x-7- (x+3) |=20.
因此, 实数m的取值范围为 (-∞, 20].
(Ⅱ) 由柯西不等式知,
因为2x2+3y2+6z2=a (a>0) ,
所以a≥ (x+y+z) 2.
因为x+y+z的最大值是1, 所以a=1,
篇4：小学数学单元检测新说
近年来，由于学校教育经费的减少，加上受指导性文件精神的影响，学校对教师出检测试卷这一教学环节已不太重视，而许多教师也乐于让学生买现成的各种检测资料，既省时又省力。但是，笔者一直都不认同这样的做法。要知道单元检测作为一个重要的教学活动。一方面可以考察教师对某一单元所教内容重难点的把握情况，教师经常设计、编制较高质量的试卷，可以促进自己专业水平的提高；另一方面，教师结合自己所教班级学生的实际状况，编写出来的试卷更能考查学生在学习中易犯的错误和遇到的困难，从而有利于师生双方通过测试的反馈，采取适当的补救措施，提高教学效率。本着这样的想法，几年来，笔者一直从以下几个方面对单元测验的教学做了尝试与探索。
一、组织好单元测验前的整理与复习
小学数学苏教版国标本实验教材每一单元后面都安排了相关的整理与复习，这是新教材编排体系的特点之一。一方面，可促使学生在测验之前对教材内容进行复习、巩固、梳理和综合，提高学生综合运用知识的能力；另一方面，为教师积累测试命题的素材，了解学生在本单元学习中的薄弱环节及时提供信息。与其检测后亡羊补牢，不如检测前通过复习训练。提高学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力，从而养成严谨、认真、负责的学习态度，促进其非智力因素的养成。
在组织这一环节教学时，笔者首先要求学生课前能有序地整理并罗列本单元的相关知识点。引导学生学会自己编写知识网络。课堂上以小组形式进行反馈。在帮助学生构建完整的知识体系，优化出最清晰的知识脉络后，引导学生根据相关知识点回忆并编写相关练习题，最后全班交流。其次，在基本练习题的基础上，要求学生能针对知识的重难点和易错点，在一些共性错误中发现问题，并抓住问题的本质编出相应命题。
例如。学习乘法分配律时，有学生编一道“37×99+99”习题。全班近60％的学生都做成了“37×(99+1)”。分析原因，仅仅是学生对乘法分配律不理解吗?为什么改为“37×45+45”，学生的错误率却很低呢?更深层次的原因是学生对乘法分配律的感知还很粗浅，容易受一些像“99”这些能读成整十、整百的数的诱惑，还不能灵活运用相关的运算律。通过这样的编题练习，可以促进学生思维的深层次发展。在这一过程中，有意识地将学生编写出一些好的习题收集到笔者的题库中去，偶尔在试卷上出现，将会极大地调动学生编题的积极性，促使他们更加认真的参与进来。最后，结合学生对本单元知识的整体掌握情况。适当增加一些变式题、拓展题，从而使整理与复习这一环节的教学成为一个有结构的、系统的、循环往复不断提高的可控过程。为学生学习的进步和优异成绩的获得提供充分的前提条件。
二、编制好单元测试卷的内容与标准
一份高质量的单元检测试卷应该要让大多数学生获得肯定性评价，使学生产生心理上的满足感。从而强化其学习的积极性。而检测内容、评价标准往往会成为学生学习的内容和标准，左右学生努力的方向、学习的重点和学习力量的分配。因此。编制试题前，教师要认真钻研教材。吃透大纲要求。笔者在编制单元测试卷时，主要从以下几方面去考虑。
首先，要遵循试题编制的基本原则。一份好的单元测验试卷要能全面地反映出所要测验目标的各个方面和层次要求。难易程度适中，切合大多数学生的水平，以调动学生学习的积极性。
其次，试题的内容和形式应来源于学生的学习。现在出版的教辅材料，试题集中，往往有许多偏题、难题、怪题，与学生检测的本单元知识没有根本联系。笔者认为，试题的来源一是要以“本”为本，紧扣教材。把握本单元的基本教学要求，不要随意拔高考查要求。二是要以“生”为本，将学生平时反复出错的一些知识重难点进行重现。既可以考查学生的纠错情况。也可以考查学生平时的听课效率。让学生在一个个“小陷阱”面前保持清醒的头脑与敏捷的思维。同时，通过每次的考查促进学生良好非智力因素的养成，从而使教学活动形成一种良性循环。三是要以“师”为本，教师应把单元检测与对学生的日常观察结合起来。把从学生的课堂行为中获得的经常性反馈、与同事交流的课后得失以及各班级学生的共性错误加以收集和分析，以不同形式的命题出现，从而了解并提高自己的课堂教学效率。
例如，教学三角形分类时，我们往往会让学生辨析这样一个错误命题：“只有一个(两个)锐角的三角形一定是锐角三角形。”学生不经过思考，只看到一个锐角就认为是错的，养成一种惰性思维。针对现状，单元检测时。笔者出了这样一个正确的命题：“一个三角形最小角是46度，那么这个三角形一定是锐角三角形。”几个班做下来几乎全军覆没，只有不到5％的学生做对。在下一次检测中，笔者又出了这样一个类比式的错误命题：“一个三角形最小角是45度，那么这个三角形一定是锐角三角形。”结果却只有5％的错误率。显然，这两题的思维含量很高，而学生由于前一次碰过壁，再做这样的辨析题时就会不由自主地投入到紧张的思考中去，从而避免了思维定势的产生，使得命题检测更具有实效性。
最后，试题的评分标准要关注学生的情感。在实施素质教育的今天。虽说分数已不是评价学生的唯一标准，但学生、教师、家长对分数的关注仍是非常现实的。因此，笔者认为作为单元检测的试卷，其目的主要是使教学成为一个“自我纠正活动”，而不是选拔活动。所以，对于一些综合性强、预测区分度较大的题目可适当降低分值，这样可以更好地通过学生的情感反应，加强学生进一步学习的动机和积极性，以免使一些能力较低的学生因为反复获得低分而失去学习的信心和兴趣。
三、利用好单元检测后的反馈与分析
单元检测的结果既可以表明学生在学习过程中存在的缺陷和碰到的困难，也可以从学生产生一些共性的问题上找出教师在某一知识环节教学上的失误或不足，这就要求师生双方要充分重视单元检测后的反馈与分析。首先，作为教师，当发现某个或某些题目全班学生出现共性错误时，就要分析原因，对症下药。重新讲解或予以补充、拓展，并加以复习。对于学生个别的错误，则可以进行个别辅导，而不需要全班性的讲解。其次，作为学生，教师则建议每次将单元检测中的错题予以订正。分析出错的原因并记录下来，收集到错题集中去。学生经常性地翻看错题集，可以淡化自己的薄弱点，巩固旧知。最后，因为学生对前一个单元的掌握往往是学习下一个单元的基础。所以师生双方要根据检测的结果和分析，进一步改进本班的课堂教学，找出教学中的薄弱环节，制定切实可行的补救计划，在下一单元的教学中适时进行渗透和复习，从而使得教学在不断的检测、反馈、修正和改进中趋于完善。提高教学效率。
篇5：数学单元考试
一、直接写得数。 1÷4/5= 7/10÷1= 1/9÷5=
1/2+2/3= 3/8÷5/8 = 9÷3/4 =
6×7/12 = 2/7÷2/7 = 2/5÷5=
6+1/6= 3/5×1/3= 1/3-1/4=
二、想一想，填一填。
1、120的2/3是( ); 甲数的3/4是240，甲数是( )。
2、把2/7×1/4=1/14 改写成除法算式是( )。
3、在内О填上>、<或=
5/12÷1/3О5/12 1/4÷1/2О1/2÷1/4 10/11О1÷10/11
4、1/2里面有( )个1/10; 3吨的2/3是( )吨。
5、5.6∶4.2化成最简单的整数比是( )，比值是( )。
6、( )∶( )=0.75 = 12÷( )=( )/32
7、5/12÷1/8 =( )×( )=( )
8、一个比的比值是2/3,如果这个比的前项是10,那么后项是( )。
9、女生人数是男生人数的3/5，女生人数与男生人数的比是( )，
男生占全班人数的( )/( )。
10、填合适的`分数 250千克=( ) 吨 3/4时=( )分。
三、请你来当小裁判。
1、两个分数相除，商一定大于被除数。 ( )
2、化简15∶5的结果是5。 ( )
3、把1/2米的铁丝平均分成4段，每段长1/米。 ( )
4、9/10÷3/4÷8=10/9×3/4×1/8=5/27 ( )
5、5厘米∶20米=5÷20=1/4 ( )
四、用心选一选。(将正确答案的序号填在括号里)
1、a是b的1/4，b就是a的( )。
A、4倍 B1/4、C、3/4
2、“乙的7/11相当于甲”，应该把( )看作单位“1”。
A、甲 B、乙 C、无法确定
3、1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是( )。
A、1∶100 B、100∶1 C、1∶101
4、从家到学校，姐姐用8分，妹妹用9分。姐姐和妹妹每分所行路程的比是( )。
A、8∶9 B、9∶8 C、8∶17
5、最简比的前项和后项一定是( )。
A、质数 B、奇数 C、互质数
6、“什么数的1/6是2/9，求这个数 。”正确的算式是( )。
A、1/6÷2/9 B、2/9÷1/6 C、1/6×2/9
五、计算题。
1、计算下面各题。
2/25÷8/25 (7/8+13/16)÷13/16 (1-3/5)x=1/10 (解方程)
2、先化简比，再求比值。
24∶8 1/12∶5/24 3千克∶800克
3、一个数的2倍比3/4少5/8，求这个数。(用方程解)
】六、解决问题。
1、一条苹果牌牛仔裤128元,是一件茄克衫的4/5,一件茄克衫多少钱?
2、果园有梨树450棵，杏树的棵树是梨树的3/5，又是桃树的6/7，果园有桃树多少棵?
3、学校把350本图书按3∶2的比例分给甲乙两个班，甲班分得图书多少本?
4、李明家养鸡35只，养的鸭比鸡少5只，鸭的只数占鸡的几分之几?
※八、试一试。
长方形的周长是48厘米，长与宽的比是5∶3，长方形的面积是多少?
分 数 的 乘 法
一、想一想，填一填。
1、2/7 + 2/7 + 2/7 + 2/7 =( )×( )
2、12个5/6是( )，24的2/3 是( )。
3、一个正方形的边长是3/4分米，它的周长是( )分米。
4、一堆煤，每天用去1/9吨，3天一共用去( )吨。
5、在○内填上>、<或=
21×5/7○5/7×21 1/5×10○1/5 0×6/11○6/11
6、( )和1/8 互为倒数， 11/13的倒数是( )。
7、1/2×( )= 5/6×( )=14×( )
8、六(1)班有50人，女生占全班人数的 2/5，女生有( )人，男生有( )人。
二、请你来当小裁判。
1、假分数的倒数都小于1。 ( )
2、1吨的4/5和4吨1/5同样重。 ( )
3、食堂买来100千克大米，吃了1/5 ，还剩99千克。 ( )
4、0的倒数是它本身。 ( )
5、4×2/5= 4/5×2=4/10 ( )
6、同样长的绳子，分别剪去1/4和1/4米后，剩下的绳子一定一样长。( )
7、因为2/5+2/3=1，所以2/5和3/5互为倒数。 ( )
8、60的2/5相当于80的3/10。 ( )
三、选一选。(将正确答案的序号填在括号里)
1、( )的倒数一定大于1。
A、任何数 B、真分数 C、假分数
2、比35的2/7多8的数是( )。
A、20 B、10 C、18
3、打一份书稿，每天完成3/16，5天完成书稿的几分之几?正确的算式是( )。
篇6：数学单元考试
一、直接写得数。 1÷4/5= 7/10÷1= 1/9÷5=
1/2＋2/3= 3/8÷5/8 = 9÷3/4 =
6×7/12 = 2/7÷2/7 = 2/5÷5=
6＋1/6= 3/5×1/3= 1/3－1/4=
二、想一想，填一填。
1、120的2/3是（ ）； 甲数的3/4是240，甲数是（ ）。
2、把2/7×1/4=1/14 改写成除法算式是（ ）。
3、在内О填上＞、＜或=
5/12÷1/3О5/12 1/4÷1/2О1/2÷1/4 10/11О1÷10/11
4、1/2里面有（ ）个1/10； 3吨的2/3是（ ）吨。
5、5.6∶4.2化成最简单的整数比是（ ），比值是（ ）。
6、（ ）∶（ ）=0.75 = 12÷（ ）=（ ）/32
7、5/12÷1/8 =（ ）×（ ）=（ ）
8、一个比的比值是2/3,如果这个比的前项是10,那么后项是（ ）。
9、女生人数是男生人数的3/5，女生人数与男生人数的比是（ ），
男生占全班人数的( )/( )。
10、填合适的`分数 250千克=( ) 吨 3/4时=（ ）分。
三、请你来当小裁判。
1、两个分数相除，商一定大于被除数。 ( )
2、化简15∶5的结果是5。 （ ）
3、把1/2米的铁丝平均分成4段，每段长1/米。 ( )
4、9/10÷3/4÷8=10/9×3/4×1/8＝5/27 （ ）
5、5厘米∶20米=5÷20=1/4 （ ）
四、用心选一选。（将正确答案的序号填在括号里）
1、a是b的1/4，b就是a的（ ）。
A、4倍 B1/4、 C、3/4
2、“乙的7/11相当于甲”，应该把（ ）看作单位“1”。
A、甲 B、乙 C、无法确定
3、1克盐放入100克水中，盐与盐水的比是（ ）。
A、1∶100 B、100∶1 C、1∶101
4、从家到学校，姐姐用8分，妹妹用9分。姐姐和妹妹每分所行路程的比是（ ）。
A、8∶9 B、9∶8 C、8∶17
5、最简比的前项和后项一定是（ ）。
A、质数 B、奇数 C、互质数
6、“什么数的1/6是2/9，求这个数 。”正确的算式是（ ）。
A、1/6÷2/9 B、2/9÷1/6 C、1/6×2/9
五、计算题。
1、计算下面各题。
2/25÷8/25 （7/8＋13/16）÷13/16 （1－3/5）x=1/10 (解方程)
2、先化简比，再求比值。
24∶8 1/12∶5/24 3千克∶800克
3、一个数的2倍比3/4少5/8，求这个数。（用方程解）
】六、解决问题。
1、一条苹果牌牛仔裤128元,是一件茄克衫的4/5,一件茄克衫多少钱？
2、果园有梨树450棵，杏树的棵树是梨树的3/5，又是桃树的6/7，果园有桃树多少棵？
3、学校把350本图书按3∶2的比例分给甲乙两个班，甲班分得图书多少本？
4、李明家养鸡35只，养的鸭比鸡少5只，鸭的只数占鸡的几分之几？
※八、试一试。
长方形的周长是48厘米，长与宽的比是5∶3，长方形的面积是多少？
分 数 的 乘 法
一、想一想，填一填。
1、 2/7 ＋ 2/7 ＋ 2/7 ＋ 2/7 =（ ）×（ ）
2、12个5/6是（ ），24的2/3 是（ ）。
3、一个正方形的边长是3/4分米，它的周长是（ ）分米。
4、一堆煤，每天用去1/9吨，3天一共用去（ ）吨。
5、在○内填上＞、＜或=
21×5/7○5/7×21 1/5×10○1/5 0×6/11○6/11
6、（ ）和1/8 互为倒数， 11/13的倒数是（ ）。
7、1/2×（ ）= 5/6×（ ）=14×（ ）
8、六（1）班有50人，女生占全班人数的 2/5，女生有（ ）人，男生有（ ）人。
二、请你来当小裁判。
1、假分数的倒数都小于1。 （ ）
2、1吨的4/5和4吨1/5同样重。 （ ）
3、食堂买来100千克大米，吃了1/5 ，还剩99千克。 （ ）
4、0的倒数是它本身。 （ ）
5、4×2/5= 4/5×2=4/10 ( )
6、同样长的绳子，分别剪去1/4和1/4米后，剩下的绳子一定一样长。( )
7、因为2/5＋2/3=1，所以2/5和3/5互为倒数。 （ ）
8、60的2/5相当于80的3/10。 （ ）
三、选一选。（将正确答案的序号填在括号里）
1、（ ）的倒数一定大于1。
A、任何数 B、真分数 C、假分数
2、比35的2/7多8的数是（ ）。
A、20 B、10 C、18
3、打一份书稿，每天完成3/16，5天完成书稿的几分之几?正确的算式是（ ）。