高中数学数列求通项公式习题

高中数学数列求通项公式习题（共8篇）

篇1：高中数学数列求通项公式习题

补课习题

（四）的一个通项公式是（），A、anB、anC、anD、an2．已知等差数列an的通项公式为an32n , 则它的公差为（）

A、2B、3C、2D、

33．在等比数列{an}中, a116,a48,则a7（）

A、4B、4C、2D、

24．若等比数列an的前项和为Sn，且S1010，S2030，则S30

5．已知数列an通项公式ann210n3，则该数列的最小的一个数是

6．在数列{an}中，a1于．

7．已知{an}是等差数列，其中a131，公差d8。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{an}从哪一项开始小于0？

（3）求数列{an}前n项和的最大值，并求出对应n的值． 11nan且an1，则数列nN的前99项和等2n1anan

8．已知数列an的前项和为Snn23n1，（1）求a1、a2、a3的值；

（2）求通项公式an。

9．等差数列an中，前三项分别为x,2x,5x4，前n项和为Sn，且Sk2550。

（1）、求x和k的值；

（2）、求Tn=1111;S1S2S3Sn

(3)、证明: Tn

1考点：

1.观察法求数列通项公式;2.等差数列通项公式;3.等比公式性质;4.等比公式前n项和公式应用;5.数列与函数结合;6.求通项公式;7.基本的等差数列求通项公式及其应用;8.求通项公式;9.等差数列性质应用及求和与简单的应用

答案：

1.B;2.C;3.A;4.70;5.-22;6.5049.7.（1）an398n（2）n=5(3)sn76、n=4;

8.（1）a1

5、a2

6、a38（2）an5;n1)2n2;n2)

9.（1）由4xx5x4得x2,an2n,.Snn(n1),k(k1)2550得k50

(2).Snn(n1),Sn111 n(n1)nn1

T1111111111n12334n1nnn1n1n1

11且0（3）Tn1n1n1

Tn1

篇2：高中数学数列求通项公式习题

方法一解：

a2×a5=(a3/q)(a4*q)=a3*a4=128

a3*a4=24

a3和a4为方程

x^2-24x+128=0两解

（x-16）（x-8）=0

a3=8a4=16

q=16/8=2

a1=a3/q^2=8/4=2

an=2x2的n-1次方=2的n次方

方法二解：

设公比为q, q>1

因为 a5*a2 =(a3*q^2)*(a3/q)= q*a3^2 = 128

所以 q*a3^2=128

因为 a3+a4=24

所以 a3+a3*q=24

所以 a3=24/(1+q)

所以 q*[24/(1+q)]^2=128

2q^2-5q+2=0

(2q-1)(q-2)=0

q=1/2(舍去)或者 q=2

所以 a3=24/(1+q)=8

所以 a1=a3/q^2=2

所以 an=2^n

在三角形ABC中，ABC的对边分别为abc，且asinA+(c-a)sinC=bsinB第一问求角B的值第二问:若向量BA×向量BC=2.b=2 求三角形ABC的面积

解：在任意△ABC中，存在 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(其中R是外接圆半径)

所以 sinA=a/(2R), sinB=b/(2R), sinC=c/(2R)

由题意，a^2/(2R)+(c-a)c/(2R)=b^2/(2R)

所以 a^2+c^2-ac=b^2

所以 a^2+c^2-b^2=ac

根据余弦公式，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)=ac/(2ac)=1/2

所以 B=60°

因为 向量BA×向量BC=2

所以 ∣BA∣*∣BC∣*cosB=2

所以 ∣BA∣*∣BC∣=4

篇3：高中数学数列求通项公式习题

类型1an+1-an=f (n) (n=1, 2, 3……)

解法:由递推式依次可得:a2-a1=f (1) , a3-a2=f (2) , …, an-an-1=f (n-1) 。

将此n-1个式子相加可得:an-a1=f (1) +f (2) +…+f (n-1) 。

将此n-1个式子相乘可得:=f (1) ·f (2) ·…·f (n-1) 。

例1已知数列{an}满足a1, a2-a1, a3-a2, …, an-an-1, …是首项为1, 公比为的等比数列, 求{an}通项公式。

解析:由条件得a1=1, 当n≥2时, an-an-1=。

例2数列{an}满足a1=2, 对于任意的n∈N*都有an>0, 且 (n+1) an2+an·an+1-na2n+1=0, 求数列的通项an。

解析:由条件得[ (n+1) an-nan+1]· (an+an+1) =0

类型3:an+1=pan+q (其中p、q为非零常数)

解法 (待定系数法) :把原递推关系转化为:an+1+λ=p (an+λ) , 其中λ=, 再利用换元法转化等比数列求解。

类型4:an+1=pan+qn (或an+1=pan+r·qn) (其中p、q、r均为常数)

解法先在原递推公式两边同除以qn+1, 得, 引入辅助数列{bn} (其中bn=) , 得到:再用待定系数法解决。

类型5:an+1=pan+an+b (p≠1, 0;a≠0)

解法:利用待定系数法构选等比数列, 令an+1+x· (n+1) +y=p (ann+xn+y) , 与已知递推式比较, 解出x、y, 从而转化为{an+xn+y}是公比为p的等比数列。

例3已知数列{an}中, a1=1, an+1=2an+3, 求an。

解析:由条件可转化为:an+1+3=2 (an+3) , 令bn=an+3, 则b1=a1+3, 且

∴{bn}为等比数列且bn=4·

所以an=2n+1-3。

例4在数列{an}中,

n∈N*, 求通项公式an。[2007天津卷]

解析:由条件可化为an+1+x (n+1) +y=4 (an+xn+y) 。

解得x1=-1及y=0, 即得an+1- (n+1) =4 (an-n) 。

∴{an-n}是首项为1, 且公比为4的等比数列。

an-n=4n-1, 因此an=4n-1+n。

例5已知数列{an}, a1=, an+1-an=, 求通项an。

解析:由条件可化为2n+1·an+1=2·2n·an+ (3-2n)

令bn=2n an, 又可化为bn+1=2·bn-2n+3, 再利用上求例4方法可得:an=。

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元为an+1=pan+q。

例6已知数列{an}满足an=a1=1, 求数列{an}的通项公式。

解析:两边取倒数得为等差数列,

类型7:an+1=p·anr (p>0, an>0)

篇4：高中数学数列求通项公式习题

类型一：已知 ， 型。

解题方法：累加法。

例：已知数列 中， ， ，

解：已知

累加得：

类型二：已知 ， 型。

解题方法：累乘法。

例：已知数列 中， ， ，求数列 的通项公式。

解：已知

累乘得：

类型三：已知 ，求 型。

解题方法：

例：（2015年全国 卷） 为数列 的前 项和，已知 ， 。

（1）求 的通项公式。

（2）设 ，求数列 的前 项和。

解：（1）、已知 ①

，得

当 时 ②

由①—②得：

即

是以首项为3，公差为2的等差数列。

（2）、（略）。

类型四：已知 ， 型（其中 、 均为常数）。

解题方法：构造形如 的等比数列，其中

例：（2014全国Ⅱ卷）已知数列 满足 ，

（1）证明： 是等比数列，并求 的通项公式。

（2）证明： 。

证明：（1）、已知

又

是以首项为 ，公比为3的等比数列。

（2）、（略）。

类型五：已知 ， 型。

解题方法：构造形如 的等比数列。

例：在数列 中， ， 求数列 的通项公式。

解：已知

又

是以首项为 ，公比为2的等比数列。

篇5：求数列的通项公式练习题

一、累加法

例 已知数列{an}满足an1an2n1,，求数列{an}的通项公式。

练习:已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

二、累乘法

例 已知数列{an}满足a11,an1

练习:已知数列{an}满足a11，ana12a23a3通项公式。

三、公式法

例已知a11,an1

篇6：高中数学数列求通项公式习题

数学分层作业（等比数列通项公式2）

知 识: 等比中项、性质.方 法:明晰特征,掌握方法.（基本训练1—5；知识应用6—7；灵活应用8—9）组别学号 姓名评价

1.写出下面等比数列的第4项与第5项：

（1）5，－15，45，；（2）1.2，2.4，4.8，； 2.（1）a,G,b成等比数列；

（2）等比数列的性质：若m+n=p+k，则有

3.等比数列an中，a32，a864，那么它的公比q

4.三个数成等比数列,它的和为14,它们的积为64,求这三个数.5.已知{an}是等比数列，且an0,a2a42a3a5a4a625, 求a3a5．

6．设｛an｝是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+ log3a2+…+ log3a10的值是

7.在等比数列中，an>0，且an2anan1，则该数列的公比q等于.8.已知四个数，前三个数成等比数列，和为19，后三个数成等差数列，和为12，求此四个数.9.（1）｛an｝是等比数列，C是不为0的常数，数列can是等比数列吗？为什么？

篇7：高中数学数列求通项公式习题

利用熟知的公式求数列的通项公式的方法称为公式法.常用的公式有an=Sn-Sn-1 (n≥2) , 等差数列和等比数列的通项公式.

二、归纳法

由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式, 再用数学归纳法证明其正确性, 这种方法叫归纳法.

【例1】设{an}是正数组成的数列, 其前n项和Sn, 并且对于所有自然数n, an与1的等差中项等于Sn与1的等比中项, 求数列{an}的通项公式.

证明: (1) 当n=1时, a1=S1=1, 2×1-1=1, ∴n=1时, 猜想成立.

(2) 假设n=k (k≥1, k∈N*) 时, 猜想成立, 即ak=2k-1, 则n=k+1时, ak+1=Sk+1-Sk=∴4ak+1=a2k+1-a2k+2ak+1-2ak.

即当n=k+1时, 猜想也成立.

由 (1) (2) 可知, 对任意n∈N*, 有an=2n-1.

三、累加法

利用恒等式an=a1+ (a2-a1) + (a3-a2) +…+ (an-an-1) , 求通项公式的方法称为累加法.累加法是求型如an+1=an+f (n) 递推数列通项公式的基本方法 (其中数列{f (n) }可求前n项和) .

【例2】已知数列{an}中, a1=1, an+1=an+2n, n∈N*, 求an.

四、累乘法

利用恒等式 (an≠0) , 求通项公式的方法称为累乘法.累乘法是求型如an+1=g (n) an的递推数列通项公式的基本方法 (数列{g (n) }可求前n项积) .

【例3】已知数列{an}中, a1=1, an+1=, 其中n∈N*, 求an.

五、转化法

通过变换递推关系, 将非等差 (等比) 数列转化为与等差或等比数列有关的数列而求得通项公式的方法称为转化法.常用的转化途径有以下几种:

1凑配、消项变换

【例4】已知数列{an}中, a1=1, an=2an-1+1, 求{an}的通项公式.

解析:∵an=an-1+1, ∴an+1=2 (an-1+1) ,

故数列{an+1}是首项为2, 公比为2的等比数列,

2. 倒数变换

【例5】已知数列{an} (n∈N*) 中, a1=1, , 求an.

解析:∵an+1=, 两边取倒数, 得是公差为2的等差数列, 首项

3. 对数变换

【例6】已知数列{an}满足a1=2, an=a2n-1 (n≥2) , 求数列{an}的通项公式.

解析:由题意a1=2>0, an=a2n-1 (n≥2) , ∴an>0.

∴lgan=2lgan-1, ∴{lgan}是以2为公比的等比数列, 首项为lga1=lg2, ∴lgan=2n-1lg2=lg22n-1.

4. 换元变换

篇8：例谈数列求通项

1. 已知数列{an}前n项和Sn,求通项an

例1 已知数列{an}中，Sn=n2+2n,求通项an

分析：分类讨论再合并，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-［(n-1)2+2(n-1)］=2n+1,当n=1时，a1=S1=3也适合上式，

所以，an=2n+1.(n∈N*)

点评：当已知Sn时，应讨论，当n=1时，a1=S1，当n≥2时，an=Sn-Sn-1，再考虑是否能合并.

2. 已知Sn与an混合式，求通项an

例2 已知数列{an}中，a1=2，naa+1=Sn+n(n+1),求通项an

分析：Sn转化为an+1和an，构造特殊(等差或等比)数列求通项.

因为 nan+1=Sn+n(n+1) （1）

所以 (n-1)an=Sn-1+(n-1)n (n≥2) （2）

（1）-（2）得nan+1-(n-1)an=an+2n

即an+1-an=2 （n≥2)

又a2=S1+1×2=a1+2=4,则a2-a1=2

所以{an}是以2为首项，2为公差的等差数列，an=2n.

点评：当已知Sn与an混合式时，常由已知写出相邻式子作差，从而，构造出特殊数列求通项.

3. 已知递推公式，用累加法或迭代法求通项an

例3 已知数列{an}中，a1=2，an+1=an-1n(n+1)，求通项an

分析：由an+1=an-1n(n+1)可得an+1-an=-1n(n+1)=-1n-1n+1

所以 a2-a1=-1-12，a3-a2=-12-13，a4-a3=-13-14，……

an-an-1=-1n-1-1n,这n-1个式子累加得

an-a1=-1-1n

从而an=2-1-1n=1+1n(n∈N*)

点评：形如an+1-an=f(n)常用累加法或迭代法求通项an.

4. 已知递推公式，用累乘法求通项an

例4 已知数列{an}中，a1=1，nan+1-（n+2）an=0,求通项an

分析：由已知得an+1an=n+2n，所以

a2a1=31,a3a2=42,a4a3=53,……,anan-1=n+1n-1

这n-1个式子相乘得ana1=n(n+1)1x2，又a1=1

从而an=n(n+1)2(n∈N*)

点评：形如an+1an=f(n)常用累乘法求通项.

5. 已知递推公式，用待定系数法或构造法求通项an

例5 已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求通项an

分析：由已知令(an+1-t)=3(an-t),则an+1=3an-2t,

又已知an+1=3an+2，所以-2t=2,t=-1

所以已知变为(an+1+1)=3（an+1），从而数列{an+1}是3为公比，首项为a1+1=2的等比数列，

所以，an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1(n∈N*)

点评：形如an+1=ran+s(r,s是常数)的递推公式求通项，常用待定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.

例6 已知数列{an}中，a1=0，an+1=2an+3n,求通项an

分析：an+1=2an+3n可化为an+1+p(n+1)+q=2(an+pn+q)

即an+1=2an+pn+q-p 又an+1=2an+3n

所以，p=3,q-p=0,即p=q=3,故已知化为

an+1+3(n+1)+3=2(an+3n+3)

从而数列{an+3n+3}是以2为公比，a1+3×1+3=6为首项的

等比数列，所以an+3n+3=6×2n-1

即an=6×2n-1-3n-3(n∈N*)

点评：形如an+1=ran+f(n)(r为常数)递推公式求通项，常用待

定系数法，构造出以r为公比得等比数列，然后求通项.

变式练习：已知数列{an}，据给出的条件求数列通项an

（1） Sn=3×2n-3+n,(an=3×2n-1+n)

（2） Sn=3an+2an=-32n-1

（3） a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n≥2)an=4-12n-2

（4） a1=13，Sn+1-Sn=13an=13n