逻辑学复习题及其答案

2024-04-27

逻辑学复习题及其答案（通用6篇）

篇1：逻辑学复习题及其答案

1．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：

① 只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。

② 目前，０１号案件还是一起悬案。

③ 如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。

④ 如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。

⑤ 现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。

根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？

解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是好朋友。据题意有： 1.{1} P ┐p→┐（q∧r∧s）2.{2} P ┐p 3.{3} P ┐q→（┐q∧┐r）4.{4} P ┐r→t 5.{5} P ┐t 6.{4.5} r T4.5否定后件 7.{1.2} ┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件 8.{1.2} ┐q∨┐r∨┐s T7德摩根 9.{1.2.3} q T3.6否定后件 10.{1.2.3.4.5} q∧r P6.9组合式

答：AB作案，至于C尚待侦查。2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：

① 该班有些学生会使用计算机。

② 该班有些学生不会使用计算机。

③ 该班班长不会使用计算机。

已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？

解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。3．下面有三句话：

① 如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。

② 如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。

③ 甲不是篮球队员。

已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？

（要求写出推导过程）

解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：

①{1} ┐（p→q）P ②{2} ┐（q→p）P ③{3} ┐p

P ④{1} p∧┐q

T①等值关系

⑤{1} p

T④合取分解 ⑥{1.3} p∧┐p T③⑤合取组合⑦{1} p

T归谬③⑥

⑧{2} q∧┐p T②等值关系

⑨{2} ┐p

T⑧合取分解

⑩{1.2} p∧┐p T⑦⑨合取组合⑾{1}（q→p）归谬②⑩

可见：第二句话为真，一三两句为假。甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。4．已知下列三个命题中只有一个命题为假, 问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？(要求写出推导过程)(1)该班所有的学生是团员。(2)该班所有的学生不是团员。(3)该班班长不是团员。

解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。

5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求

（1）PES（2）MOP → SIP（3）SIM 证明：

(4)SEP

T(1)换位

(5)并非SIP

T(4)矛盾对当关系

(6)并非MOP

T(2)(5)否定后件

(7)MAP

T(6)矛盾对当关系

(8)SIP

T(3)(7)直言三段论(9)SIP且并非SIP T(5)(8)合取组合(10)并非((1)∧(2)∧(3))归谬

6．已知

① 非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）

② Ａ→Ｃ

③ Ｃ→Ｂ

求证：Ａ→Ｄ

证明：

④ A→Ｂ

T②③假言三段论

⑤ 并非(Ｃ∧非Ｄ）T①④否定前件

⑥ 非C∨D

T⑤德摩根

⑦ C→Ｄ

T⑤蕴涵否析

⑧ Ａ→Ｄ

T②⑦假言三段论

7．已知：

① A→（B∨C）

② 非 B→A ③ 非（D→B）

④ 非 D ← 非E 求证：E∧C 证明：

⑤ B∨A

T②蕴涵否析

⑥ D∧非B T③蕴涵否定等值关系

⑦ 非B

T⑥组合分解

⑧ D

T同上

⑨ E

T④⑧否定前件

⑩ A

T⑤⑦否定肯定

⑾ B∨C

T①⑩肯定前件

⑿ C

T⑦⑾否定肯定

⒀ E∧C

T⑨⑿合取组合

12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。

证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。这样就只有1）AO组合能满足要求。这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。综上该有效三段论就为第二格，如下所示：

PAM 图a SOM SOP

13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。先作出第四格的图式如下：

P——M 图b M——S S——P 证明：1）令大前提为POM。这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。所以小前提不能是O命题。

14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。

证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前 3 提是否定的。大前提只可能是PAM了，而M在此并没有周延，因此，要求M在下面的小前提中周延，所以，小前提只能是全称否定命题MES。也只有如此，结论才可以得到SEP的结论。

15．已知某有效三段论的小前提是否定命题，求证：该三段论的大前提只能是全称肯定命题。

证明：小前提否定的，结论就是否定的，则，大项在结论中周延，因而大项在前提中也要周延；大前提如果是否定的则违反规则3，所以大前提为肯定命题。又因I命题主词谓词均不周延，大前提就只能是A命题，大词处于主项位置，具体形式该为PAM。

16．已知：

（1）A真包含于B。

（2）有C不是B。

（3）若C不真包含A，则C真包含于A。

请问：A与C具有什么关系？请写出推导过程，并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。

推理：

（1）所有A是B P（2）有C不是B P（3）若有C不是A，则所有C是A P（4）有C不是A T(1)(2)三段论

（5）所有C是A T(3)(4)肯定前件

图c

17．某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。他们之间的最佳配合有以下规律：

（1）要是4号上场，6号也要上场。

（2）只有1号不上场，3号才不上场。

（3）要么3号上场，要么6号上场。

（4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。

某场比赛需要1和12号同时上场。问：为了保持最佳阵容，这场比赛中，9号该不该上场？（要求写出导过程。）

解：

1.{1} 4→6 P 2.{2} 1→3 P 3.{3}（3∧┐6）∨（┐3∧6）P 4.{4}(9∧12)→4 P 5.{5} 1∧12 P 6.{5} 1 T5分解 7.{5} 12 T5分解

8.{2.5} 3 T2.7肯定前件

9.{2.3.5} ┐6 T3.9肯定否定

10.{1.2.3.5} ┐4 T1.9否定后件

11.{1.2.3.4.5} ┐（9∧12）T4.10否定后件

12.{1.2.3.4.5} ┐9∨┐12 T11德摩根

13.{1.2.3.4.5} ┐9 T7.12否定肯定

答：由此可知9没有上

18．某商店被盗，员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。

甲：我没有作案，作案的是乙。

乙：我和丙都没有作案。

丙：除非甲作案，否则乙不会作案。

丁：甲和丙中至少有一人作案。

已知这四句话中只有一句为真，问到底是谁作案？谁说的是真话？（要求写出推导过程。）

解：

这是个典型的找矛盾的题，只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的，而余下的其他人的说法就是错的，这样就能解开谜团。我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案，他们几个的供词如下：

甲：┐甲∧乙

乙：┐乙∧┐丙

丙：┐甲→┐乙

丁：甲∨丙

分析：甲：“没有甲乙也会作案”，而甲说：“没有甲乙就不会作案”；显然甲和丙的话是矛盾的，必有一真，据题设只有一句真话，那么乙和丁的话就不可能真，而真实的情况该是“并非（┐乙∧┐丙）”（a），“并非（甲∨丙）”（b）。从（a）可知或乙或丙作案（乙∨丙），从（b）甲和丙都没有作案，即（┐甲∧┐丙）。从（b）知道乙没有作案（┐丙）（c）；甲也没有作案（┐甲）（d）。既然如此，据（a）（c），那就是乙作案了（乙）（e）。据（d）（e）得知“┐甲∧乙”为实情，甲说的是真话，那么丙说的就是假话了。

19．A、B、C三人从政法大学毕业后，一个当上了法官，一个当上了检察官，另一个人做了律师。但究竟谁具体做什么工作，人们开始并不清楚，于是作出了如下测: 甲：A做了律师，B做了法官。

乙：A做了法官，C做了律师。

丙：A做检察官，B做了律师。

后来证实，甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。请问：A、B、C三人各担任什么具体司法工作？（要求写出推导过程。）

解：

设甲的前半句话为真，即“A是律师”，则乙的猜测完全错了，故“A是律师”为假，甲的后半句话为真，即“B是法官”。

“B是法官”为真，则丙的后半句话为假，其前半句话为真，即“A是检察官”。

“A是检察官”为真，则乙的前半句话为假，其后半句话为真，“C是律师”。

20．已知下面三句话中两真一假，试说明甲和乙至少有一人是电工。（1）如果丙不是木工，那么甲是电工。

（2）如果丁不是木工，那么乙是电工。

（3）丙和丁都是木工。

解：

通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题，找到这对矛盾的命题就好办了，矛盾的命题是必有一真必有一假的，所以这个假的命题一定在其中；按题意则余下的那个命题就是真的了。你可以来找找！但，今天这个题有些特别，我们得换一个思路。我用下标m表示某人是木工，下标d表是电工：

1.{1} ┐丙m→甲d P 2.{2} ┐丁m→乙d P 3.{3} 丙m∧丁m P 4.{4} ┐甲d∧┐乙d P（假设甲乙都非电工，如果有矛盾就证明至少为d）

5.{4} ┐甲d T4分解

6.{4} ┐乙d T4分解

7.{1.4} 丙m T1.5否定后件

8.{2.4} 丁m T2.6否定后件

9.{1.2.4} 丙m∧丁m T7.8组合

这样一来就没有一个为假的命题了，与题设不相符合，所以第4行的引入不能满足该题条件，用归谬律将4归谬，所以证明：┐（┐甲d∧┐乙d），即：甲d∨乙d

21．已知下列三句话一真两假，问：甲、乙、丙、丁的名次如何排定？

（1）若乙第二，则甲第一。

（2）若丙第三，则甲第一。

（3）甲不是第一，解：(a)甲或是第一或不是第一；若甲是第一（后件真，则这个蕴涵一定为真），则(1)、(2)均真，不合题设；故(3)“甲不是第一”为真；(b)(3)真，根据题设，则(1)与(2)均假，因而(4)乙是第二、(5)丙是第三、(6)甲不是第一；(c)由(4)、(5)、(6)可推甲、乙、丙和丁的名次依次为第4、2、3、1名。

22．已知以A、B为前提可以必然推出C，而D与C矛盾，E与A矛盾。试证明：由D和B可以必然推出E。

解：

1.{1} A∧B→C P 2.{2}（D∧┐C）∨（┐D∧C）P 3.{3}（E∧┐A）∨（┐E∧A）

P 4.{4} D P 5.{2.4} ┐C T2.4肯定否定

6.{1.2.4} ┐（A∧B）T1.5否定后件 7.{1.2.4} ┐A∨┐B T6德摩根 8.{5} B P 9.{1.2.4.5} ┐A T7.8否定肯定 10.{1.2.3.4.5} E T3.9否定肯定 11.{1.2.3.4.5} D∧B T4.8组合 12.{1.2.3} D∧B →E D4.8.10.11

篇2：逻辑学复习题及其答案

1.“p∧q→r”与“p∨q←r”这两个逻辑形式中，它们（C）

A.变项和逻辑常项相同 B.变项不同但逻辑常项相同 C.逻辑常项不同但变项相同 D.变项和逻辑常项都不同

2.对于A、B两概念，如果所有a都是b并且有b不是a，那么，A、B两概念具有（B）

A.全同关系 B.真包含于关系 C.交叉关系 D.全异关系

3.下列限制和概括中有错误的是(C)。

A.“单独概念”概括为“概念”

B.“不相容关系”限制为“反对关系” C.“支命题”概括为“复合命题”

D.“必然性推理”限制为“假言推理”

4.一个相容选言命题p∨q假，那么，一定为（D）

A.p真q真 B.p真q假

C.p假q真 D.p假q假

5.命题的反对关系，应是（B）关系。

A.对称且传递 B.对称且非传递

C.非对称且反传递 D.非对称且传递

6.有学生在上课时间去看电影，老师批评时，学生反问：“看革命题材电影不是好事吗？”学生的说法（A）

A.违反同一律 B.违反矛盾律

C.违反排中律 D.不违反普通逻辑的基本规律

7.直接推理“SEP→PES ”，属于（B）推理。

A.换质法 B.换位法

C.换质位法

D.换位质法

8.“（p→q）∧（r→s）∧(┐q∨┐s)→(┐p∨┐r)”，这一推理式是（D）

A.二难推理的简单构成法 B.二难推理的简单破坏式

C.二难推理的复杂构成式 D.二难推理的复杂破坏式

9.“所有S是P”与“没有S是P”之间具有(B)。

A.矛盾关系 B.反对关系 C.下反对关系 D.差等关系

10.反证法是先论证与原论题相矛盾的论断为假，然后根据（B）确定原论题真的论证方法。

A.同一律 B.矛盾律

C.排中律 D.充足理由律

11.从“凡是正确的推理都是形式有效的推理”，可推出(B)。

A.形式有效的推理都是正确的推理 B.非形式有效的推理都不是正确的推理 C.形式有效的推理都不是正确的推理 D.不正确的推理都是非形式有效的推理

12.某家饭店中，一桌人在边就餐边谈生意。其中，1个是哈尔滨人，2个是北方人，1个是广东人，2个人只做电脑生意，3个人只做服装生意。

如果以上介绍涉及餐桌上所有的人，那么下列关于这一桌人数（B）的 1 / 3

说法是正确的。

A.最少可能是3人，最多可能是8人 B.最少可能是5人，最多可能是8人

C.最少可能是5人，最多可能是9人 D.无法确定

13.小李和小张就广告问题争论得面红耳赤，没完没了。小李说：广告进了百姓门，带来方便送福音。小张说：广告就会吹，真假难区分。

以下（D）对小张的论点提供了最有力的支持。

A.某教师受慢性萎缩性胃炎折磨多年，从电视广告中找到了良药

B.电视广告对于不愿意看的观众是一种浪费

C.街头的招牌广告被风吹倒，造成人身伤亡，应该引以为戒

D.64%的保健品凭着广告走进了市场。在一次抽样调查中，仅有2%具有所说的效果

14.经过对最近十年的统计资料分析，大连市因癌症死亡的人数比例比全国城市的平均值要高两倍。而在历史上大连市一直是癌症特别是肺癌的低发地区。看来，大连最近这十年对癌症的防治出现了失误。

以下（C）如果为真，最能削弱上述论断。

A.大连的气候和环境适合疗养，外地癌症病人在大连走过了最后一段人生之路 B.大连最近几年医疗保健的投入连年上升，医疗设施有了极大的改善

C.大连医学院在以中医理论探讨癌症机理方面取得了突破性的进展

D.尽管癌症的死亡率上升，但大连的肺结核死亡率几乎降到了零

15.如今的音像市场上，正版的激光唱盘和影视盘的销售不如盗版的，盗版的屡禁不绝，销售非常火爆。有的分析人员认为，这主要是因为价格上盗版盘更有优势，所以在市场上更有活力。

以下（B）是这位分析人员在分析中隐含的假定。A.正版的往往内容呆板，不适应市场的需要

B.与价格的差别相比，正版盗版质量差别不大

C.盗版的比正版的进货渠道畅通

D.正版的不如盗版的销售网络完善 16．“如果某人未犯法，那么某人未犯罪；某人犯罪；所以，某人犯法”。这个推理属于充分条件假言推理的(D)。

A.肯定前件式 B.肯定后件式 C.否定前件式 D.否定后件式 17.“论题应当保持同一”。这一条论证规则是(A)要求的体现。

A.同一律 B.矛盾律 C.排中律 D.充足理由律

18.古希腊柏拉图学院的门口竖着一块牌子，上面写着：“不懂几何者不得入内。”这天，来了一群人，他们都是懂几何的人。

如果牌子上的话得到准确的理解和严格的执行，那么，以下断定中为真的是(B)。

A.他们一定会被允许进入 B.他们可能不会被允许进入 C.他们一定不会被允许进入 D.他们不可能不被允许进入 19.逻辑形式之间的区别，取决于(A)。

A.逻辑常项

B.变项

/ 3

C.语言表达形式 D.思维的内容

20.当S与P具有（）关系时，SAP和SEP都假。（D）

A.全同 B.S真包含于P C.全异

D.交叉

21.历史上先后产生的国家有奴隶制国家、封建制国家、资产阶级国家、无产阶级国家。无论何种类型的国家都是阶级专政的工具。这里对“国家”这个概念是(D)来说明的。

A.仅从内涵方面 B.仅从外延方面

C.先从内涵，再从外延方面 D.先从外延，再从内涵方面 22.“有的大学生是运动员”和“有的大学生不是运动员”，这两个性质判断（B

A.不能同真，可以同假 B.不能同假，可以同真 C.既不能同真，也不能同假 D.可以同真，可以同假

23.若“A可以分为B、C”是一正确划分，则B与C的外延关系K可能是(C)A.全同关系

B.真包含关系

C.反对关系 D.交叉关系

24.已知“p∨┐q”为假，则(D)为真。

A.p∧q B.p∧┐q C.┐p→┐q D.p∨q 25.若“A可以分为B、C”是一正确划分，则B与C的外延关系可能是(D)A.全同关系

B.真包含关系

C.反对关系 D.交叉关系

篇3：逻辑学复习题及其答案

一、复习题的解题思路及其答案展示

人教版六年级下册课本第113页上“题6”是这样的:甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛, 请预测一下哪个队获胜的可能性大?为什么? (课本中的“右表”即为文中的“下表”)

与此课本配套的《教师教学用书》第165页上给出了两种不同的解题思路, 并给出了两个不同的答案。为了叙述方便, 本文中把两种解题思路分别称为“解题思路1”和“解题思路2”。

解题思路1:“从两队的历史战绩来看, 各是两胜一平两负, 不相上下;从这一点来判断, 两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等, 都是二分之一。”

解题思路2:“仔细观察可以发现:在离比赛日最近的两场比赛中均是乙队获胜, 说明最近乙队的状态好于甲队, 由此可以预测:乙队获胜的可能性稍大一点。这种判断也有一定道理。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践, 又补充了两种解题思路及答案, 我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

二、对各种解题思路及答案的探讨

1. 在解题思路1中, 以两队的战绩不相上下为

依据, 断定两队下一场比赛获胜的可能性都是二分之一, 其错误是显然的。错误主要在于解题者没有考虑到比赛可能会有平局的结果。为了能够更简便地说明问题, 我们用字母表示两队第六次比赛的三种结果:A表示事件“甲胜乙负”, B表示事件“甲负乙胜”, C表示事件“甲乙平局”, 显然, A、B、C构成了一个完备事件组, 因此有P (A) +P (B) +P (C) =1, 而答案中认定P (A) =1—2, P (B) =1—2, 由此导致P (C) =0, 即第六场比赛一定不会出现“平局”的结果, 这与事实不相符。从前五场比赛结果看, 下一场比赛平局的可能性还是不小的。因此, 即使下一场比赛中两队获胜的可能性相同, 也不可能都是二分之一。其次, 从前三场比赛结果分析, 甲队明显强于乙队, 虽然从五场比赛的结果分析, 似乎甲、乙两队战绩“不相上下”, 但这个所谓“不相上下”仅仅是从这五场比赛中分析出来的, 并不能表示两队实力完全一样, 两个足球队的水平很难达到“完全相同”, 从这个观点出发, 也难以得出“下一场比赛两队获胜的可能性都是二分之一”的结论。事实是:仅仅根据这样的五场比赛的结果就想把下一场比赛甲队 (或乙队) 获胜的可能性大小用一个确定的数 (就是甲队或乙队获胜的概率) 表示出来, 可以说是一件不可能的事。

在解题思路2中, 认为乙队在最近的两场比赛中获胜, 状态好于甲队, 因此下一场比赛乙队获胜的可能性会大一点。这种判断确实有一定道理。但是, 如果我们换个角度进行分析:“因为甲、乙两队在五场比赛后的总分相同 (足球比赛的积分规则:胜一场得3分, 平局各得1分, 输球不得分。若积分相等, 则比较净胜球数) , 然而甲队比乙队净胜球多了一个, 因此采用调整战略、战术等方法后, 下一场甲队获胜的可能性会大一点”。或者认为“甲、乙两队实力‘不相上下’, 平局的可能性会大一点。”这样的预测也是有一定道理的。总之, 从不同的角度分析前五场比赛结果, 可以得到不同的预测结论。并非只有“乙队获胜可能性会大一点”一种结论。

由此可知, 只进行五场比赛, 是不能将甲队 (乙队) 获胜的频率当作甲队 (乙队) 获胜的概率的。需要特别指出的是, 对于球赛来说, 各场比赛并不是在“不变的条件下”进行的, 连概率统计定义中的条件都不满足, 因此不能用所谓的“事件发生的频率”来表示“事件发生可能性的大小”。

在解题思路4中, 考虑到比赛结果有A、B、C三种, 每种情况均占所有可能出现结果总数的, 从而认为A、B、C三个事件中每一个发生的可能性都是, 这是缺乏根据的。因为要得到这个结论必须要满足“事件A、B、C发生的可能性相等”这一条件。马老师在文章的结尾处指出:“在求随机事件发生的可能性时……只能用指定事件所有结果的数量除以事件所有可能出现的数量。”但是用这种方法来确定事件发生可能性的大小必须满足“所有可能发生的事件总数是有限的, 而且各个事件发生的可能性是相等的”这样的条件 (古典概型应满足的条件) , 而对于足球赛而言, 事件A、B、C的发生并不是等可能性的, 因此不能应用马老师所说的方法计算出A、B、C发生的概率。这里得到“两队获胜的可能性相等, 都是”的结论是错误的。

三、两点思考

1. 像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

“题6”以足球比赛为题材, 要学生预测比赛的结果。然而由于影响足球比赛胜负的因素很多, 例如球队的实力、球队战略、战术的变化, 参赛球员的变化等, 甚至比赛地点是主场还是客场也会影响比赛结果。由此可见, 即使是相同球队在同一地点的前后两场比赛, 也不能认为是在相同条件下进行的比赛, 在“题6”给出的这种条件下, 不同的人从不同的角度进行分析, 可能会得出不同的判断:甲队获胜的可能性大;乙队获胜的可能性大;平局的可能性大。这些判断看起来都“有一定道理”, 但又觉得理由也不太充分。总之, 比赛结果A、B、C都有可能发生, 但是究竟哪一个事件发生的可能性大是难以断定的。凡是在预测中用一个确定的数 (如本文中所说的等) 来表示甲队 (或乙队) 获胜的可能性大小都是不准确的, 也可以说是错误的。对小学生而言, 要他们根据题中所提供的五场比赛的结果去预测第六场比赛哪个队获胜的可能性大, 并说出理由, 真有点勉为其难。这种习题出现在小学数学课本中弊多利少。

2. 教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

“统计与概率”是在2001年《数学课程标准 (实验稿) 》公布后新增的小学数学教学内容, 可能还有少数教师不是很熟悉, 并没有觉察《教师教学用书》中存在的问题。当然, 《教师教学用书》的作者应该在该书修订或再版前广泛征求教师的意见, 及时修改有关错误或不妥之处, 不断提高该书质量。而对于小学数学教师来说, 可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究, 以便更好地完成“统计与概率”的教学任务。

篇4：逻辑学复习题及其答案

一、复习题的解题思路及其答案展示

人教版六年级下册课本第113页上“题6”是这样的：甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜的可能性大？为什么？

与此课本配套的《教师教学用书》第165页上给出了两种不同的解题思路，并给出了两个不同的答案。为了叙述方便，本文中把两种解题思路分别称为“解题思路1”和“解题思路2”。

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

解题思路2：“仔细观察可以发现：在离比赛日最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一点。这种判断也有一定道理。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

解题思路3：“从已经结束的五场比赛的结果来看，两队各有二胜二负一平，因此，两队获胜的场次均占总场次的，两队平局的场次占总场次的”，由此得到答案是“甲、乙两队获胜的可能性相等，都是。”

解题思路4：“由于两队比赛，可能出现的结果共有三种：即甲胜乙负，甲负乙胜，甲乙平局，所以，每一种情况均占所有可能出现结果总数的，也就是两队获胜的可能性相等，都是，平局的可能性也是。”

马老师认为：“前面的四种不同的观点中，观点之四是正确的，即甲、乙两队获胜的可能性相等，都是，其余的三种观点都是错误的……”遗憾的是，马老师并没有详细说明前三种答案为什么是错误的，而且他认为正确的第四种答案其实也是错误的。

二、对各种解题思路及答案的探讨

1.在解题思路1中，以两队的战绩不相上下为依据，断定两队下一场比赛获胜的可能性都是二分之一，其错误是显然的。错误主要在于解题者没有考虑到比赛可能会有平局的结果。为了能够更简便地说明问题，我们用字母表示两队第六次比赛的三种结果：A表示事件“甲胜乙负”，B表示事件“甲负乙胜”，C表示事件“甲乙平局”，显然，A、B、C构成了一个完备事件组，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中认定P（A）=，P（B）=，由此导致P（C）=0，即第六场比赛一定不会出现“平局”的结果，这与事实不相符。从前五场比赛结果看，下一场比赛平局的可能性还是不小的。因此，即使下一场比赛中两队获胜的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，从前三场比赛结果分析，甲队明显强于乙队，虽然从五场比赛的结果分析，似乎甲、乙两队战绩“不相上下”，但这个所谓“不相上下”仅仅是从这五场比赛中分析出来的，并不能表示两队实力完全一样，两个足球队的水平很难达到“完全相同”，从这个观点出发，也难以得出“下一场比赛两队获胜的可能性都是二分之一”的结论。事实是：仅仅根据这样的五场比赛的结果就想把下一场比赛甲队（或乙队）获胜的可能性大小用一个确定的数（就是甲队或乙队获胜的概率）表示出来，可以说是一件不可能的事。

2.在解题思路2中，认为乙队在最近的两场比赛中获胜，状态好于甲队，因此下一场比赛乙队获胜的可能性会大一点。这种判断确实有一定道理。但是，如果我们换个角度进行分析：“因为甲、乙两队在五场比赛后的总分相同（足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平局各得1分，输球不得分。若积分相等，则比较净胜球数），然而甲队比乙队净胜球多了一个，因此采用调整战略、战术等方法后，下一场甲队获胜的可能性会大一点”。或者认为“甲、乙两队实力‘不相上下，平局的可能性会大一点。”这样的预测也是有一定道理的。总之，从不同的角度分析前五场比赛结果，可以得到不同的预测结论。并非只有“乙队获胜可能性会大一点”一种结论。

3.在解题思路3中，根据在五场比赛中两队各有二胜二负一平而得到两队获胜的场次均占总场次的，从而得到甲、乙两队获胜的可能性都是，这个答案的错误是明显的，只要我们重温一下概率的统计定义即知其错误所在。概率的统计定义是这样的：“在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P（A）。”

由此可知，只进行五场比赛，是不能将甲队（乙队）获胜的频率当作甲队（乙队）获胜的概率的。需要特别指出的是，对于球赛来说，各场比赛并不是在“不变的条件下”进行的，连概率统计定义中的条件都不满足，因此不能用所谓的“事件发生的频率”来表示“事件发生可能性的大小”。

举个例来说，如果连续5次抛掷一个均匀的硬币，发现有3次正面向上，2次正面向下，显然我们不能认为正面向上的可能性是，向下的可能性是，从而预测第六次抛掷后出现正面的可能性会大一点。事实上，有好几位数学家曾进行过抛掷硬币这种“试验”，他们在抛掷成千上万次硬币后发现正面向上的频率接近，而且随着抛掷次数增加，频率越来越接近，从而得到“抛掷一个均匀的硬币，正面向上的概率是”的结论。当然，这个结论也很容易从概率的古典定义得到。这就是说，不管你是第几次抛掷一个均匀的硬币，正面向上的可能性都是。

4.在解题思路4中，考虑到比赛结果有A、B、C三种，每种情况均占所有可能出现结果总数的，从而认为A、B、C三个事件中每一个发生的可能性都是，这是缺乏根据的。因为要得到这个结论必须要满足“事件A、B、C发生的可能性相等”这一条件。马老师在文章的结尾处指出：“在求随机事件发生的可能性时……只能用指定事件所有结果的数量除以事件所有可能出现的数量。”但是用这种方法来确定事件发生可能性的大小必须满足“所有可能发生的事件总数是有限的，而且各个事件发生的可能性是相等的”这样的条件（古典概型应满足的条件），而对于足球赛而言，事件A、B、C的发生并不是等可能性的，因此不能应用马老师所说的方法计算出A、B、C发生的概率。这里得到“两队获胜的可能性相等，都是”的结论是错误的。

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

“题6”以足球比赛为题材，要学生预测比赛的结果。然而由于影响足球比赛胜负的因素很多，例如球队的实力、球队战略、战术的变化，参赛球员的变化等，甚至比赛地点是主场还是客场也会影响比赛结果。由此可见，即使是相同球队在同一地点的前后两场比赛，也不能认为是在相同条件下进行的比赛，在“题6”给出的这种条件下，不同的人从不同的角度进行分析，可能会得出不同的判断：甲队获胜的可能性大；乙队获胜的可能性大；平局的可能性大。这些判断看起来都“有一定道理”，但又觉得理由也不太充分。总之，比赛结果A、B、C都有可能发生，但是究竟哪一个事件发生的可能性大是难以断定的。凡是在预测中用一个确定的数（如本文中所说的、、等）来表示甲队（或乙队）获胜的可能性大小都是不准确的，也可以说是错误的。对小学生而言，要他们根据题中所提供的五场比赛的结果去预测第六场比赛哪个队获胜的可能性大，并说出理由，真有点勉为其难。这种习题出现在小学数学课本中弊多利少。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

“统计与概率”是在2001年《数学课程标准（实验稿）》公布后新增的小学数学教学内容，可能还有少数教师不是很熟悉，并没有觉察《教师教学用书》中存在的问题。当然，《教师教学用书》的作者应该在该书修订或再版前广泛征求教师的意见，及时修改有关错误或不妥之处，不断提高该书质量。而对于小学数学教师来说，可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究，以便更好地完成“统计与概率”的教学任务。

（杭州师范大学教育学院 311121）endprint

《中小学数学》2014年第三期刊登了马永红老师的题为《怎能从“确定性”推知“可能性”》一文。该文对人教版六年级下册课本第六单元（整理与复习）中一道复习题（练习二十二的第6题，下简称“题6”）进行了分析，提出了不少有益的意见。然而马老师给出的答案仍然是错的，因此笔者认为有必要对此进行探讨。

一、复习题的解题思路及其答案展示

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

二、对各种解题思路及答案的探讨

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

（杭州师范大学教育学院 311121）endprint

一、复习题的解题思路及其答案展示

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

二、对各种解题思路及答案的探讨

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

篇5：逻辑学复习题及其答案

一、填空题

1.普通逻辑是研究的科学。它具有工具性和全人类性。

2.思维有三个基本特征：一是，二是间接性，三是。思维的基本形式包括概念、命题和推理。

3.思维的逻辑形式由两部分组成，其中是区别不同种类逻辑形式的唯一依据。

二、分析题，请指出下面各句中“逻辑”一词的含义

1.我们应当研究市场经济的逻辑。（客观事物发展的规律、规律性）

2.说“知识越多越反动”，这是多么荒谬的逻辑！（某种特别的理论、观点（贬义））

3.逻辑和语法都是研究抽象结构的。（逻辑学）

4.出现重复，部分是由于术语上的缺点，部分是由于缺乏逻辑修养。（思维的规律规则）5虚构、夸张是文学创作的必要手段，但它不曾离开现实生活的逻辑。（客观事物发展的规律、规律性）

第二章概念

一、填空题

1.概念是__思维形式。

2..概念的两个重要的逻辑特征是内涵和外延。

3.概念的概括与限制是在概念之间进行的两种逻辑方法。

4.从集合与非集合的角度看，“中国人是不怕死的，奈何以死惧之”，其中“中国人”属于概念。从单独概念与普遍概念的角度看，语句“北京大学是一所重点大学”中，“重点大学”属于普遍概念。

5.“不动产”这一负概念的论域是。

6.“四川人”这个概念的矛盾概念是，它的属概念是中国人，种概念是（例）成都人。

7.从概念间的外延关系看，“中国共产党”与“中国共产党党员”具有“精神文明”与“物质文明”具有矛盾（全异）关系；“教师”与“劳动模范”具有交叉关系；“陈述句”与“感叹句”具有反对（全异）关系；

8.划分是揭示概念___的逻辑方法。

9.定义是揭示概念__的逻辑方法。

10.作为定义，“宪法是国家的法律”的逻辑错误是_________。

11.作为划分，“法律分为宪法、刑法、民法、经济法、婚姻法。”的逻辑错误是___。

二、单项选择题

1.“思维形式“这一概念属于（D）

A．单独概念、正概念、集合概念B．单独概念、正概念、非集合概念

C．普遍概念、正概念、集合概念D．普遍概念、正概念、非集合概念

2.若A的部分外延与B的全部外延相重合，则A与B的关系可能是（A）

A．A真包含BB．A真包含于BC．A与B交叉D．A与B全同

3.概念“自杀”与“他杀”属于（B）

A．矛盾关系B．反对关系C．交叉关系D．属种关系

4.概念与语词的关系是（C）。

A.所有语词都表达概念 B.所有语词都不表达概念

C.所有概念都是通过语词来表达 D.有的概念不通过语词来表达

5.如果C概念是A与B两个的属概念，并且所有A不是B，A 与B的外延之和等于C的外延，则A与B 之间的关系是（C）。

A.交叉关系 B.反对关系 C.矛盾关系 D.真包含于关系

6.把“企业管理就是对企业进行管理”这句话作为“企业管理”的定义，所犯的逻辑错误是

（D）。

A.定义过宽 B.定义过窄 C.循环定义 D.同语反复

7．“省人民法院--市人民法院--区人民法院”作为连续（C）。

A.概括，不正确 B.概括，正确C.限制，不正确D.限制，正确

三、双项选择题

1.下列概念中，属于单独概念的有（AC）

A．北京市B．北京人C．北京市人民政府D．北京市全日制高等学校 E．北京市全日制高等学校的学生

2.下列概念中，属于负概念的有（CD）

A．未成年人保护法B．巨额财产来历不明罪C．非师范类院校D．无条件反射

3.下列概念间为全异关系的有（BD）

A．“机器”与“车床”B．“战士”与“战场”

C．“数学家”和“哲学家”D．“律师”与“律师协会”

E．“青藏高原”与“世界屋脊”

4.“全同关系”与“真包含关系”这两个概念的外延关系是（CD）

A．交叉关系B．相容关系C．不相容关系D．反对关系E．矛盾关系

5.下列概念中，属于负概念的是（C）（D）。

A.虚伪 B.无价之宝 C.无条件反射 D.非城市户口

6.“国家就是资产阶级统治无产阶级的工具，国家可分为资本主义国家和社会主义国家”这段话所包含的逻辑错误是（B）（D）。

A.定义过宽 B.定义过窄 C.多出子项 D.划分不全

四、多项选择题

1.“中国知识分子一定能完成历史赋予的使命”，其中“中国知识分子”属于（BDE）

A．单独概念B．普遍概念C．集合概念D．非集合概念E．正概念

2.若有A是B，则A、B外延间的关系可能是（ACDE）

A．全同关系B．全异关系C．真包含关系D．真包含于关系E．交叉关系

3.A和B交叉关系，B和C也是交叉关系，则A和C之间（BCDE）

A．必然是交叉关系B．可能是全异关系C．可能是全同关系

D．可能是真包含关系E．可能是真包含于关系

4.设A为单独概念，B为普遍概念，则A与B的外延不可能是（ACD）

A．全同关系B．全异关系C．交叉关系D．A真包含BE．A真包含于B

五、图解题，用欧拉图表示下列各组概念间的关系(略)

⑴A．数学家B．化学家C．物理学家D．科学家

⑵A．文学作品B．散文C．诗歌D．文学期刊

⑶A．逻辑学B．逻辑形式C．逻辑常项D．逻辑变项

篇6：第2章谓词逻辑习题及答案

1.将下列命题用谓词符号化。（1）小王学过英语和法语。（3）3不是偶数。

（2）2大于3仅当2大于4。（4）2或3是质数。

（5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。解：

(1)令P(x)：x学过英语，Q(x)：x学过法语，c：小王，命题符号化为P(c)Q(c)(2)令P(x,y)：x大于y, 命题符号化为P(2,4)P(2,3)(3)令P(x)：x是偶数，命题符号化为P(3)(4)令P(x)：x是质数，命题符号化为P(2)P(3)

(5)令P(x)：x是北方人；Q(x)：x怕冷；c：李键；命题符号化为Q(c)P(x)

b，c}，消去下列各式的量词。2.设个体域D{a，（1）xy(P(x)Q(y))（3）xP(x)yQ(y)

（2）xy(P(x)Q(y))（4）x(P(x，y)yQ(y))

解：

(1)中A(x)y(P(x)Q(y))，显然A(x)对y是自由的，故可使用UE规则，得到

A(y)y(P(y)Q(y))，因此xy(P(x)Q(y))y(P(y)Q(y))，再用ES规则，y(P(y)Q(y))P(z)Q(z)，zD，所以xy(P(x)Q(y))P(z)Q(z)

（2）中A(x)y(P(x)Q(y))，它对y不是自由的，故不能用UI规则，然而，对

A(x)中约束变元y改名z，得到z(P(x)Q(z))，这时用UI规则，可得：

xy(P(x)Q(y))

xz(P(x)Q(z))

z(P(x)Q(z))（3）略（4）略，2，3}。求下列各式3.设谓词P(x，y)表示“x等于y”，个体变元x和y的个体域都是D{1（1）xP(x，3)

的真值。，y)（2）yP(1y)（4）xyP(x，y)（6）yxP(x，y)

（3）xyP(x，y)（5）xyP(x，解：

(2)当x3时可使式子成立，所以为Ture。

(3)当y1时就不成立，所以为False。

(4)任意的x,y使得xy，显然有xy的情况出现，所以为False。

(4)存在x,y使得xy，显然当x1,y1时是一种情况，所以为Ture。

(5)存在x，任意的y使得xy成立，显然不成立，所以为False。

(6)任意的y，存在x，使得xy成立，显然不成立，所以为False。

4.令谓词P(x)表示“x说德语”，Q(x)表示“x了解计算机语言C++”，个体域为杭电全体学生的集合。用P(x)、Q(x)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）杭电有个学生既会说德语又了解C++。（2）杭电有个学生会说德语，但不了解C++。（3）杭电所有学生或会说德语，或了解C++。（4）杭电没有学生会说德语或了解C++。

假设个体域为全总个体域，谓词M(x)表示“x是杭电学生”。用P(x)、Q(x)、M(x)、量词和逻辑联接词再次符号化上面的4条语句。解：（ⅰ）个体域为杭电全体学生的集合时：

（1）x(P(x)Q(x))（2）x(P(x)Q(x))（3）x(P(x)Q(x))（4）x(P(x)Q(x))

（ⅱ）假设个体域为全总个体域，谓词M(x)表示“x是杭电学生”时：

（1）x(M(x)P(x)Q(x))（2）x(M(x)P(x)Q(x))（3）x(M(x)(P(x)Q(x)))（4）x(M(x)(P(x)Q(x)))

5.令谓词P(x，y)表示“x爱y”，其中x和y的个体域都是全世界所有人的集合。用P(x，y)、量词和逻辑联接词符号化下列语句。

（1）每个人都爱王平。

（2）每个人都爱某个人。（4）没有人爱所有的人。（6）有个人人都不爱的人。（8）成龙爱的人恰有两个。

（3）有个人人都爱的人。

（5）有个张键不爱的人。

（7）恰有一个人人都爱的人。

（9）每个人都爱自己。

（10）有人除自己以外谁都不爱。

解：a：王平b：张键

c：张龙

(1)xP(x,a）

(2)xyP(x,y)(3)yxP(x,y)

(4)xyP(x,y)(5)xP(b，x)

(6)xyP(x,y)(7)x(yP(y,x)z((P(,z))zx))

(8)xy(xyP(c,x)P(c)z(P(c，z)(zxzy)))(9)xP(x,x)

(10)xy(P(x,y)xy)§2.2 谓词公式及其解释

习题2.2 1.指出下列谓词公式的指导变元、量词辖域、约束变元和自由变元。

（1）x(P(x)Q(x，y))（2）xP(x，y)yQ(x，y)

（3）xy(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)

解：（1）x是指导变元，x的辖域是P(x)Q(x,y)，对于x的辖域而言，x是约束变元，y是自由变元。

（2）x,y都为指导变元，x的辖域是P(x，y)yQ(x，y)，y的辖域是Q(x，y)；对于x的辖域而言，x,y都为约束变元，对于y的辖域而言，x是自由变元，y是约束变元。

（3）x,y为指导变元，x的辖域是y(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)，y的辖域是(P(x，y)Q(y，z))xR(x，y，z)，x的辖域是R(x，y，z)；对于x的辖域而言，x,y为约束变元，z为自由变元，对于y的辖域而言，z为自由变元，y为约束变元，x即为约束变元也为自由变元，对于x的辖域而言，x为约束变元，y,z是自由变元。在整个公式中，x,y即为约束变元又为自由变元，z为自由变元。

2.判断下列谓词公式哪些是永真式，哪些是永假式，哪些是可满足式，并说明理由。（1）x(P(x)Q(x))(xP(x)yQ(y))（2）x(P(x)Q(x))(xP(x)yQ(y))（3）(xP(x)yQ(y))yQ(y)（4）x(P(y)Q(x))(P(y)xQ(x))（5）x(P(x)Q(x))(P(x)xQ(x))（6）(P(x)(yQ(x，y)P(x)))（7）P(x，y)(Q(x，y)P(x，y))

解：（1）易知公式是(pq)(pq)的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1 是永真式，所以公式是永真式。

（2）易知公式是(pq)(pq)的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1 是永真式，所以公式是永真式。

（3）易知公式是(pq)q的代换实例，而

(pq)q(pq)qpqq0 是永假式，所以公式是永假式。

（4）易知公式是(pq)(pq)的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1 是永真式，所以公式是永真式。

（5）易知公式是(pq)(pq)的代换实例，而

(pq)(pq)(pq)(pq)1 是永真式，所以公式是永真式。

（6）易知公式是(p(qp))的代换实例，而

(p(qp))(p(qp))pqp0 是永假式，所以公式是永假式。

（7）易知公式是pqp的代换实例，而

pqp(pq)p(pq)p 是可满足式，所以公式是可满足式。§2.3 谓词公式的等价演算与范式

习题2.3 1.将下列命题符号化，要求用两种不同的等价形式。（1）没有小于负数的正数。

（2）相等的两个角未必都是对顶角。

解：（1）P(x)：x为负数，Q(x)：x是正数，R(x,y)：x小于y，命题可符号化为：xy(R(P(x),Q(y)))或xy(R(P(x),Q(y)))

（2）略

2.设P(x)、Q(x)和R(x，y)都是谓词，证明下列各等价式（1）x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))（2）x(P(x)Q(x))x(P(x)Q(x))

（3）xy(P(x)Q(y)R(x，y))xy(P(x)Q(y)R(x，y))（4）xy(P(x)Q(y)R(x，y))xy(P(x)Q(y)R(x，y))证明：（1）左边＝x(P(x)Q(x))

＝x(P(x)Q(x))＝x(P(x)Q(x))＝右边

（2）左边＝x(P(x)Q(x))

＝x(P(x)Q(x))

＝x(P(x)Q(x))＝右边

（3）左边＝xy(P(x)Q(y)R(x,y))

＝xy((P(x)Q(y))R(x,y))

＝xy(P(x)Q(y)R(x，y))＝右边

（4）左边＝xy(P(x)Q(y)R(x,y)

＝xy(P(x)Q(y))R(x,y)

＝xy(P(x)Q(y)R(x，y))＝右边

3.求下列谓词公式的前束析取范式和前束合取范式。（1）xP(x)yQ(x，y)

（2）x(P(x，y)yQ(x，y，z))（3）xyP(x，y)(zQ(z)R(x))

（4）x(P(x)Q(x，y))(y(R(y)zS(y，z))

解：（1）原式xyP(x)Q(z,y)xy(P(x)Q(z,y))

前束析取范式

xy(P(x)Q(z,y))

前束合取范式

（2）原式xt(P(x,y)Q(x,t,z)xt(P(x,y)Q(x,t,z)前束析取范式

xt(P(x,y)Q(x,t,z)

前束合取范式（3）原式xyz(P(x,y)(Q(z)R(t))

xyz(P(x,y)Q(z)R(t))

前束析取范式

xyz(P(x,y)Q(z)R(t))

前束合取范式（4）原式x(P(x)Q(x，y))(t(R(t)zS(t，z))

xtz((P(x)Q(x,y))(R(t)S(t,z)))

xtz((P(x)Q(x,y))(R(t)S(t,z)))

xtz((P(x)Q(x,y)R(t))(P(x)Q(x,y)S(t,z)))

xtz((P(x)(R(t)S(t,z))(Q(x,y)R(t)S(t,z)

§2.4 谓词公式的推理演算

习题2.4 1.证明：x(A(x)B(x))x(A(x)B(x))

证明：（1）左边x(A(x)B(x))x(A(x)B(x))

x(A(x)B(x))＝x(A(x)B(x))2.指出下面演绎推理中的错误，并给出正确的推导过程。（1）①xP(x)Q(x)

②P(y)Q(y)

P规则 US规则：① P规则 US规则：① P规则 ES规则：① P规则 UG规则：① P规则 EG规则：① P规则 EG规则：①（2）①x(P(x)Q(x))

②P(a)Q(b)

（3）①P(x)xQ(x)

②P(a)Q(a)（4）①P(a)G(a)

②x(P(x)G(x))

（5）①P(a)G(b)

②x(P(x)G(x))

（6）①P(y)Q(y)

②x(P(c)Q(x))

解：（1）②错，使用US,UG,ES,EG规则应对前束范式，而①中公式不是前束范式，所以不能用US规则。

A(x)P(x)Q(x)，(2)②错，①中公式为xA(x)，这时，因而使用US规则时，应得A(a)(或A(y)),故应有P(a)Q(a)，而不能为P(a)Q(b)。

3.用演绎法证明下列推理式

xP(x)y((P(y)Q(y))R(y))，xP(x)xR(x)

证明：① xP(x)前提引入

② P(a)ES①

③ xP(x)y((P(y)Q(y))R(y))

前提引入

④ y((P(y)Q(y))R(y))T①③

⑤(P(a)Q(a))R(a)US④

⑥ P(a)Q(a)

T②

⑦ R(a)T⑤⑥

⑧ xR(x)EG⑦

4.将下列命题符号化，并用演绎推理法证明其结论是有效的。（1）有理数、无理数都是实数；虚数不是实数。因此，虚数既不是有理数，也不是无理数。（个体域取全总个体域）（2）所有的舞蹈者都很有风度；万英是个学生并且是个舞蹈者。因此，有些学生很有风度。（个体域取人类全体组成的集合）（3）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车；每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车；有的人不喜欢乘汽车。所以有的人不喜欢步行。（个体域取人类全体组成的集合）（4）每个旅客或者坐头等舱或者坐经济舱；每个旅客当且仅当他富裕时坐头等舱；有些旅客富裕但并非所有的旅客都富裕。因此有些旅客坐经济舱。（个体域取全体旅客组成的集合）

解：(2)证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x)：x很有风度； S(x)：x是个学生； a：王华

上述句子符号化为：

前提：x(P(x)Q(x))、S(a)P(a)结论：x(S(x)Q(x))

（1）S(a)P(a)P（2）x(P(x)Q(x))P（3）P(a)Q(a)（4）P(a)（5）Q(a).（6）S(a)（7）S(a)Q(a)（8）x(S(x)Q(x)

]（3）命题符号化为：F(x)：x喜欢步行,G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢坐汽车。

US（2）T（1）I T（3）（4）I T（1）I T（5）（6）I EG（7）

前提：x(F(x)G(x))，x(G(x)H(x))，x(H(x))

结论：x(F(x)).证明：(1)x(H(x))P(2)H(c)ES(1)(3)x(G(x)H(x))

P(4)G(c)H(c)US(3)(5)G(c)T(2)(4)I(6)x(F(x)G(x))

P(7)F(c)G(c)US(6)(8)F(c)T(5)(7)I(9)x(F(x))

EG(8)

（4）命题符号化为：F(x)：x坐头等舱, G(x)：x坐经济舱，H(x)：x富裕。