平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思（通用10篇）

篇1：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1.1 教材的地位与作用

本节课是在学生学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘向量等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容具有承上启下的重要作用.1.2 学情分析

（1）学生已经学习了任意角的三角函数、向量的概念和线性运算等知识.（2）学生对向量的物理背景有了一定的了解.如：力、位移、速度的合成与分解，力做功的有关知识.（3）学生已经具备了一定的数学建模能力，能从简单的物理背景及生活背景抽象出数学概念.2 教学目标分析

依据课程标准和以上分析，制定本节课的三维目标如下：

知识与技能目标

通过物理中“功”的实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质.过程与方法目标

经历从物理背景的分析，抽象概括出概念的过程，培养学生归纳概括，类比迁移的能力；经历通过不同的方式探究、发现平面向量数量积性质的过程，体会从特殊到一般、分类讨论、数形结合的数学思想方法.情感、态度、价值观目标

通过师生互动，生生互动的教学活动过程，形成学生的体验性认识，体会各学科之间的密切联系，感受知识的形成过程，提高数学学习的兴趣，形成独立自主的钻研精神和合作交流的科学态度.3 重点、难点分析

根据教学目标以及学情分析，确定本节课的教学重点、难点.重点：平面向量数量积的概念和性质.难点：向量在轴上的正射影的概念的理解和平面向量数量积的性质的发现.在教学中，注意遵循学生的认知规律.从学生感兴趣的物理实例入手，通过层层分析，形成数量积的概念，并经历概念辨析、深化理解、学以致用等过程，来突出重点.通过练习和探究问题的设计，将五个性质分散开来，通过课件动画、问题引领、自主探究、合作交流等手段，从理性认识到实践练习，再到应用，使性质自然呈现，既突出了重点，又突破了难点.教学策略分析

基于数量积的知识特点及学生的认知规律，采用启发式和问题探究相结合的教学方法.著名数学教育家波利亚指出：“学习任何东西，最好的途径是自己去发现”.因此，指导学生采用发现式学习法.在课堂上坚持以教师为主导，学生为主体，以抽象类比与问题探究为主线.同时，为了有效实现教学目标，采用多媒体和自编学案辅助教学.5 教学过程分析

本节课的教学流程如下：

具体分析如下：

5.1 创设情境 展示背景

教师录像展示“大力士拉车”的情境实例，提出物理问题.问题1 大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车移动的位移是s，力和位移的夹角为θ，大力士所做的功为多少？

设计意图 从学生已有的认知水平出发，通过熟悉的生活实例，创设数量积的物理背景，激发学生的学习热情.5.2 分析背景 形成概念

该环节，依据本套教材的特点，以物理背景作为总的抓手，通过抽象、概括、归纳，形成了两个向量的夹角、向量在轴上的正射影和向量的数量积定义三个概念.第一步：背景的初次分析

问题2 决定功的大小的量有哪几个？它们是标量还是矢量？当力和位移的大小一定时，功的大小取决于那个量？

问题3 这个夹角抽象到我们数学中，就是今天我们要学习的两个向量的夹角，把力F、位移s换作数学中任意两个非零向量a与b，你能尝试着给出向量a与b夹角的概念吗？

设计意图 通过力做功的几个因素的分析，突出夹角在做功中的作用，形成两个向量夹角的概念.1.两个向量的夹角

已知非零向量a与b，作OA=a，OB=b，则∠AOB称作向量a与b的夹角，记作：〈a，b〉.问题4 下面几种情形中（锐角、钝角、直角、共线同向、共线反向），两向量的夹角分别是什么角？

设计意图 通过几种类型的夹角的给出，让学生直观感知夹角的范围，帮助学生理解夹角范围规定的合理性.规定： 0≤〈a，b〉≤π，且〈a，b〉=〈b，a〉.特别的：当〈a，b〉=π2时，叫做a与b垂直，记作a⊥b；

两向量的垂直符号同几何中的垂直符号是一致的.问题5 请回顾：0的方向是怎样规定的？

规定：0与任意向量垂直.前面曾规定：0与任意向量平行.设计意图 概念呈现后，注意与前面所学知识进行对比，便于学生理解，记忆.图

1练习： 如图1，正△ABC中，求

（1）AC与AB的夹角；

（2）AB与BC的夹角.注：确定两向量的夹角的关键是：通过平移使两向量共起点.设计意图 及时巩固所学概念，强调确定两向量夹角的一般方法.第二步：背景的再次分析

问题6 真正使汽车前进的力是什么？它的大小是多少？

设计意图 让学生借助已有的认知经验，类比物理背景中拉力F在位移方向上的分力，它的大小是Fcos θ，自然引出向量在轴上的正射影及其数量的概念.从特殊到一般，符合学生的认知规律，突破难点.2.向量在轴上的正射影

已知向量a和轴l，作OA=a，过点O、A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1、A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影（简称射影）.向量在轴上的正射影的数量

该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量.OA=a在轴l上正射影的坐标记作： al，若向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则al=|a|cos θ.问题7 向量在轴上的正射影与向量在轴上的正射影的数量有什么区别？

问题8 向量在轴上的正射影的数量一定是正实数吗？

注： a在轴l上的正射影的数量是个实数，可正、可负、可为零.向量a在b方向上的正射影及数量

如果向量b在轴l上且与轴同向，那么，向量O1A1叫做向量a在向量b方向上的正射影，它的数量是acos.设计意图 让学生理解正射影及其数量的含义，并引申出向量a在向量b方向上的正射影及其数量，为数量积的概念的学习做准备

篇2：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

一、教学设计

平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、教学目标

1知识与技能：阐明平面向量的数量积及其几何意义.会算一个向量在另一个上投影的概念，运用平面向量数量积的性质、运算律和几何意义.2过程与方法：以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，从数与形两方面引导学生对向量数量积定义进行探究，通过作图分析，使学生明确向量的数量积与数的乘法的联系与区别。

3情感态度与价值观：由具体的功的概念到向量的数量积，再到共线、垂直时的数量积，使学生学习从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律，体会数形结合思想，类比思想，体验法则学习研究的过程，培养学生学习数学的兴趣及良好的学习习惯。

三、学情分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。

四、教学重难点

1、重点：平面向量数量积的定义。

2、难点：平面向量数量积的定义的理解。

五、教学准备

1、实验教具：计算机、黑板、粉笔

2、教学支持资源：制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节约课时，增加课堂容量。

六、教学导图

七、教学过程

（I）创设情境，引入课题（4min）

【问题】：如图所示，一辆小车，在力F的作用下，从A处到B处拉动的位移为S，那么请问力F在这个运动过程中所做的功？（1）力F所做的功W=。

（2）请同学们分析公式的特点：W（功）是

量，F（力）是

量，S（位移）是 量，α是。

(3)师生共同探讨矢量乘矢量以及引出向量乘以向量。

【设计意图】设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。

（II）步步探索，形成概念（20min）

1、概念的明晰

已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cosθ 叫做 a与 b的数量积（或内积），记作：a ·b

【学生思考】：在平面向量的数量积定义中，它与两个向量的加减法有什么本质区别？ 【问题1】：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？

【问题2】：数量积的几何意义是什么？ 并在此对向量积投影的讲解。

2、研究数量积的物理意义

数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积。

【问题3】：请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积。

【设计意图】：这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。好铺垫。

我设计问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

4、性质的发现

教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出： 【问题4】：比较︱ a·b ︱与︱a ︱×︱b ︱的大小，你有什么结论？ 在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证明，完成探究活动。

5、明晰数量积的性质

【设计意图】：体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质.6、运算律的发现

关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9 【问题5】：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 学生可能会提出以下猜测： 猜测①的正确性是显而易见的。

关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题： 猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？ 学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。

这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律：

9、明晰数量积的运算律

10、证明运算律

学生独立证明运算律（2）师生共同证明运算律（3）

运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。

【设计意图】：在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。

（III）课堂练习，巩固提高（15min）

例

1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求（a+2b）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？

例

2、（学生独立完成）对任意向量a，b是否有以下结论：（1）(a+b)2= a2+2a ·b +b

2（2）(a+b)·(a-b)=a2—b2 例

3、（师生共同完成）已知︱︱=3，︱︱=4, 且 与不共线，k为何值时，向量+k 与-k互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？

【设计意图】：本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。

例

4、为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积解决有关问题，再安排如下练习：

1、下列两个命题正确吗？为什么？

①、若≠0，则对任一非零向量，有·≠0． ②、若≠0，·＝·，则＝．

2、已知△ABC中，=，=，当· <0或·＝0时，试判断△ABC的形状。

【设计意图】：安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。

（IV）课堂小结，教学反思（4min）

1、本节课我们学习的主要内容是什么？

2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？

3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？

4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？

【设计意图】：通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。

八、课后练习

1、课本P121习题2.4A组1、2、3。

2、拓展与提高：

已知a与b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直 求a与b的夹角。

篇3：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

一、问题情景引入

1.第一堂课的处理

教师:如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力所做的功是多少?能否把“功”看成是两个向量的一种运算的结果呢?为此,我们可以引入“向量数量积”的概念.

2.第二课堂的处理

问题1:请同学们回顾一下,我们研究了向量的哪些运算?这些运算的结果是什么?

问题2:物理中的“功”是怎样计算的?(学生回答:W=Fs)当力和位移存在一个夹角θ时,力对物体所做的功是多少?(学生回答:W=Fscosθ)

问题3:从求功的运算中,我们可以抽象出什么样的数学运算?(由学生自己归纳出平面向量数量积的定义)

3.反 思

创设好的问题情境,把学生的积极性调动起来,把头开好,尤其是对于一节概念课,如何让学生自己发现、总结、归纳,理解概念在教学中显得尤为重要.第一堂课的设计目的明确,但是没有学生的主动参与,显得有些被动,经过修改后的教学设计加入了师生交流,让学生根据自己的经验说说看法,让学生自己归纳总结出“向量数量积”的概念,这样概念的引出就显得非常自然、合理.当学生对自己的“成果”有了了解之后,再进行教学效率就会更高.而且对于刚刚升入高一的学生来说,高中教材的难度、广度、深度大幅度提高,这种巨大的差异,使刚从初中升到高中的学生一下子无从适应,总感数学难学,课上教师给出一些较困难的问题理解不了或者理解比较慢.作为教师应特别关注此时的衔接,要充分了解学生在初中阶段学了哪些内容,要求到什么程度,哪些内容在高中阶段还要继续学习,等等.比如功的概念在初中只讲过力和位移方向相同时怎样求功,当力和位移存在夹角时并没有说明,所以我在实际教学中做了铺垫,给出两个问题,使得学生对怎么求功有个全面的了解.通过这次教学使得我在以后的教学中更加注意初高中数学学习方式的衔接,注意新定义的引入,重视知识的形成过程,加强学法指导,引导学生自己阅读、归纳、总结,提高学生的自学能力.

二、数量积性质的引入与讨论

1.第一课堂的处理

给出数量积的五种性质让学生给出证明.

2.第二课堂的处理

问题:两个非零的向量数量积有什么性质?(让学生从以下几个方面讨论)

(1)如果我们把两个非零向量的夹角特殊化,那么数量积应该怎样表示?(2)当两个非零向量相等时数量积等于什么?(3)公式的逆用可以得到什么结果?(4)比较|a||b|与|a·b|大小关系.

练习:给出几个判断对错的例子通过学生小组讨论得出答案.

3.反 思

新课标强调的新型师生合作关系,我觉得主要表现在以下两个方面.一方面,教师是课堂的主导,是课堂情境的创设者,课堂活动的组织者,学生探究的指导者.另一方面,在教师的主导下,要尽量地发挥学生的主体作用,要鼓励学生在课堂舞台上尽情展现自己.第二课堂的教学让学生从几个方面去探究数量积的性质,充分调动了学生的积极性,并在这之后又给出了几个判断对错的例子,让学生在对知识的理解、掌握和深化之外,更加关注他们思维能力的提升.在课堂上对学生的错误多次暴露,这有利于学生加深印象,避免类似错误的再次发生.很多学生平时练习时不太注意细节,而真正到了考试时,往往是细节决定成败.所以在教学时应尽可能让学生头脑中的错误认识呈现出来,使他们将解决问题的思维过程、常犯的错误暴露出来,也给其他同学提醒.所以我们要相信学生的能力,让学生在充分动脑、动手、动口过程中主动积极地学,千万不要只关注结论的正确与否,甚至急于得出结论.通过这次教学我明白在切实重视基础知识落实的同时还应重视基本技能和基本方法的培养.

三、小结的处理

1.第一课堂的处理问题:(1)数量积怎么定义的?

(2)数量积的几何意义是什么?性质都有哪些?

2.第二课堂的处理问题:(1)本节课学习了哪些内容?

(2)平面向量数量积的主要应用体现在哪几个方面?

(3)我们是按照怎样的思维模式进行定义的归纳和性质的探究的?在探究的过程中体现了哪些数学思想?

(4)类比向量的加减法运算,我们还应该怎样研究数量积这种运算?

3.反 思

第二次课堂的小结不仅让学生对这节课的内容有了全面的认识,而且将学习提高了深度,上升了一个层次.让学生不仅知道,而且要让他们学会方法,这样更有利于学生理解能力、解题能力的提升.在教学中我们要做到“敢放”“能收”.之所以要学生去探究,去发现,是想叫他们去体验和领悟数学的思维方式、研究数学问题的方法,同时获取知识.对于小结也应该做到简练、通俗、易懂、易记.

四、深化反思

篇4：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

《平面向量数量积物理背景及其含义》教学反思

平面向量的数量积是一种非常重要的运算，同其线性运算一样，既有其深刻的数学背景，也有其现实的物理背景。本节课从总体上说是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，在数量积概念的引入过程中，我从数学和物理两个角度创设问题情景，使学生明白研究这种运算不仅是数学本身发展的必然，更是研究客观世界的需要，从而产生强烈的求知欲望。相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，为了让学生理解这一点，我首先安排让学生讨论影响数量积结果的`因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。

数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。在应用这个环节中，对教材中提供的四个例题，我重点讲解例2和例4，例1和例3则由学生独立完成，这样既加强了学生的练习，同时也便于通过观察、问答等方式对学生的掌握情况做出适当的评价。达到提高认识，形成体系的目的，同时也为下一节课的内容做好铺垫，不断激发学生的求知欲。

篇5：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来;向量数量积与向量的长度及夹角的关系;进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书•数学必修4》(A版)第二章、第4节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。

本节的知识结构：

二、学生学习情况分析

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

三、设计思想

篇6：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1、本节课先是通过对相关知识的回顾，然后引进与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，进一步探索两个向量数量积的坐标表示。最后通过几个例题加强学生对两个向量数量积的坐标表示的理解及其灵活应用。课堂结构清晰完整流畅。在教学中，知识的回顾，题目的设计都围绕数量积坐标表示展开。数量积公式得出后，启发学生自己动手推导出模、夹角的坐标表示，回顾了公式的同时又培养了学生的推导能力、自主学习能力。在与学生的课堂交流中能倾听学生的想法，及时纠正偏差，激发了学生自主探究的欲望，较好的提升了学生的思维能力，对于学生在探究过程中出现的问题都能认真加以点评，适时指出不足与优点，对于学生的发现与总结都能给于很好的评价与赞扬，让学生收到激励，保持学习的热情。

2、教学设计结构严谨，过渡自然，时间分配合理。知识回顾部分把上节课的数量积、夹角、模、垂直、平行的有关知识进行回顾，每一条知识点的回顾都是本堂课的新课内容。

3、新课引入部分问题设计合理，但提问的字句还需斟酌，要语简意赅，如

22思考2中：对于上述向量i,j，则i,j,i.j分别等于什么？这样的问法觉的还是太繁琐，是否可以改为计算i2,j2,i.j？这样可能更直接一点。

4、公式的得出，在应用之前或者应用之后都应该对公式的结构特征进行归纳总结。学生因为接受新知识，对公式肯定不是很了解，应该要引导学生分析公式特征及应用的注意点。

5、一节课的知识与技能是否落实，难点是否得到突破，是教学者最为关心的话题。课堂习题正是检验教学效果的工具。在习题设置上，除了覆盖重难点外，还应做到由简入深。同时，在教学过程中，通过旧知生成新知的过程，采用问题串的形式引导学生一步步完成自主探究得到生成，是比较有效的教学方式。

篇7：平面向量数量积的运算

一、定义法

例1: (2005湖南) 已知直线ax+by+c=0与圆O:x2+y2=1相交于A、B两点, 且

解析：易知的模即为圆的半径1，而根据直线与圆相交的性质，可以得到两向量之间的夹角为120°，因此

解析：尽管该题目的解法较多，但是从定义入手还是比较直观明朗的：

最后，三者相加为-25.需要提醒学生的是本题中各个向量之间的夹角，一定要平移到“共起点”再运算.

小结：用定义来计算平面向量的数量积，思维较为单一，目标十分明确，该类题目的关键是要明确两个向量各自的模跟两者夹角的大小.但是，参照近几年全国各地的高考试题，很多考查数量积的题目，其涉及的模和夹角并不明朗.因此，处理平面向量数量积的另一个重要手段便呼之欲出.

二、分解转化法

所谓分解转化法，即在具体问题中，根据原有图形对所求问题中涉及的向量进行分解，化为用一组基底表示的向量处理.如果能合理地选择基底，该方法便能大大减少运算量，达到事半功倍之效果.

但是，笔者在日常的教学过程中发现很多学生对分解转化较为生疏，尤其在基底的选择上存在着很大的困惑.下面就近几年来各地模考卷及高考试题中出现的数量积问题作简要分析.

例3：在平行四边形ABCD中，已知AB=2, AD=1，∠BAD=60°，E为CD的中点，则

例4：如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C, D分别在线段OA, OB上，且OC=BD.若OA=1，∠AOB=120°，则MB, C·MB, D的取值范围是___.

例5： (2008年苏州市一模)已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A, B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)已知点E (3, 0)，设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围.

解析：(1)略，椭圆方程为

小结：该方法的实质就是化归思想的体现.根据上述几例不难发现，基底的选择往往与题目中的已知条件有着密切的联系.因此处理该类问题时，可以根据向量加法及数乘等知识，将所求数量积中的向量跟已知量(通常是某些图形的边长)联系起来，再通过一系列展开化简，问题便能迎刃而解.

三、解析法

解析法是基于向量的坐标表示、通过建立合适的直角坐标系来求数量积的方法.由于该方法不用太多转化，因此很多学生在解决平面向量数量积的时候比较倾向于这一方法.

例7：在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=1，点M、N分别是AB、BC的中点，点P是△ABC(包括边界)内任一点，求的范围.

解析：虽然易求得与MQQP的夹角不易求得2，由于△ABC是等腰直角三角形，故可建立平面直角坐标系，将点A, B, C, M, N用坐标表示即可.

具体如下：以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则C (0, 0), A (1, 0), B (0, 1) ,

由线性规划的知识可得的范围为

小结：坐标法体现了数与形的相互转化和密切结合的思想，在解决向量问题的时候有着广泛的应用，但此类方法也有一定的局限性，确切地说只适合于图形背景较容易建立直角坐标系(如直角三角形、等腰三角形、圆、扇形等)的题目.否则，不仅仅会带来计算上的麻烦，甚至可能会走进运算的死胡同.这一点应引起广大考生的重视.

篇8：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

整体设计

教学分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.三维目标

1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法.2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质.重点难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.推进新课 新知探究 提出问题 ①平面向量的数量积能否用坐标表示? ②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？ ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？

活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下: ∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j, ∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0, ∴a·b=x1x2+y1y2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐标表示

若a=(x,y),则|a|=x+y,或|a|=x2y2.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2x1)2(y2y1)2.3°两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥bx1x2+y1y2=0.4°两向量夹角的坐标表示

设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122

2xy2222

讨论结果:略.应用示例

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明.∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB·(-3)+1×3=0.AC=1×∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练

在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.AC=0.若∠A=90°,则AB⊥AC,所以AB·于是2×1+3k=0.故k=23.113同理可求,若∠B=90°时,k的值为32113;若∠C=90°时,k的值为

13.故所求k的值为23或或

3213.例2(1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=x1y1,|b|=即cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122x2y2的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,22xy2222.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AC=3×∴AB·(-1)+3×6=15.又∵|AB|=3232=32,|AC|=(1)262=37, ABAC|AB||AC|15323757474∴cos∠BAC=

.(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.设a与b的夹角为θ,则 cosθ=ab|a||b|15352220≤θ≤π,∴θ=.又∵

34.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练

设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=52(7)2由计算器得cosθ=74,|b|=(6)(4)2252

27452≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a⊥b,求a;(2)若a∥b,求a.活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b, x2y2|a|29,得 2x3x0,99x13,x13,1313解得 或66yy1313,1313∴a=(91313,61313)或a=

91313,61313.(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 x2y2|a|29, 3x2y0.6x13解得y91313,6x13或y9131313)或a=(61313, 13.913∴a=(61313,91313,13).点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练

求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=12x的图象(直线l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).CD=1×由向量的数量积的坐标表示,可得AB·(-2)+1×2=0, ∴AB⊥CD,即l1⊥l2.知能训练

课本本节练习.解答: 1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7.2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.作业

课本习题2.4 A组8、9、10.设计感想

篇9：平面向量的数量积的应用研究

重点: 1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义和几何意义; 2. 了解平面向量数量积和向量投影之间的关系; 3. 能够运用向量数量积求两个向量的夹角; 4. 能够用向量数量积判断平面向量间的垂直关系; 5. 会用向量方法解决一些简单的几何问题以及其他一些实际问题. 难点: 1. 平面向量的数量积的定义和几何意义; 2. 平面向量的数量积的运算律; 3. 平面向量数量积的应用.

二、平面向量数量积求解方法

在向量的数量积基本运算中,经常用到数量积的定义、向量的模、向量间的夹角等公式,尤其要重视这是求距离的常用公式. 必须理解数量积的含义和几何意义,向量模的运算. 当有平面向量的数量积与向量垂直问题时,学生可以利用两向量之间的垂直关系利用其数量积为零进行列方程求解,求出方程中的参数值. 在计算数量积时还要注意对求解方法的选择,对不同的题选择适当的方法.在计算数量积时学生可根据题意选择以下两种方法: 一是将向量运算转化为坐标运算,二是根据数量积的运算法则进行基本的数量积运算.

平面向量的数量积的应用是个难点,想要学好向量的数量积应用,关键是要充分掌握基础知识,理解把握平面向量和相关基础知识. 还要在学习中不断地进行总结,包括定义法、几何意义、坐标法、向量代换法、构造数量积等常规方法. 养成善于思考的习惯,打开思维,不断地创新,这样才能提高解决综合问题的能力,以及锻炼自己的创新思维和发散性思维,提高自己的能力.

三、例题分析运用向量数量积求解两向量的垂直、夹角关系

1. 判断两向量垂直

2. 求两向量的夹角

四、小 结

篇10：平面向量的数量积的物理背景及其含义教学反思

1. 引出问题

( 2014年江苏高考第12题) 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AB = 8, AD = 5的值是 .

有的学生拿到本题时就想到cos∠BAD, 虽然知道AB = 8, AD = 5, 但不会求cos∠BAD, 就做不下去了. 这是对于向量的数量积运算的常用方法不是很熟练的原因. 笔者根据自己的教学经验, 总结归纳出向量的数量积运算问题的常规方法有三种: ( 1) 几何法: 用公式θ; ( 2) 坐标运算法: 设; ( 3) 利用平面向量基本定理, 找一组基底, 转化为基底的数量积来计算.

2. 解决高考题

熟悉以上的方法以后, 只要根据本题的特点选择合适的方法. 学生在考试中做了一小部分选择的是几何法, 但因为求不出cos∠BAD, 只好放弃. 我们根据题目条件可以知道, 平行四边形的四条边是知道的, 只需求出一个内角的余弦值即可, 而且知道, 因此可以根据余弦定理找出关系, 即: 在△ADP中, AP可以用cos∠D来表示, 在△BCP中, BP可以用cos∠C来表示, 又cos∠D与cos∠C互为相反数, 因此AP, BP都可以用cos∠C表示, 由, 只要将用cos∠C表示, 就可以求出cos∠C, 即cos∠BAD, 继续学生的做法, 得到解法一如下:

根据平面向量基本定理, 本题还可以选择一组基底来表示该平面内的任一向量.

解法二如下:

这种解法关键在于选取哪两个向量为基底, 根据题目中已知的两条边长AB = 8, AD = 5, 选为基底最为合适, 如果本题改为已知AP, BP的长度, 可选择为基底, 可以将本题进行适当变题如下:

3. 高考题延伸拓展

变题1: 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AP = 5, BP =8, , 则

解答如下:

变题2: 如图, 在平行四边形ABCD中, 已知AB = 8, AD = 5, ∠DAB =60°, 则

分析: 本题中的模及其他们的夹角都知道, 只要选择作为基底, 则该平面的任意两个向量的数量积都能求出来. 所以本题解答如下:

通过以上几道题目的分析, 向量的数量积运算的三种常规方法在选择时可归纳为: 如果已知向量的模和夹角, 用公式法; 如果可以建立适当的坐标系, 写出各点的坐标, 可以选择坐标法; 如果可以选择适当的基底表示所求向量, 可以通过转化用基底的数量积运算来处理. 在遇到平面向量的数量积运算时, 要对常规方法非常熟悉并能够灵活运用, 才能以不变应万变.

摘要：向量的数量积在高考中是比较重要的内容, 有的学生拿到这类题目时不能很快地找到解决的方法, 笔者根据自己的教学经验, 以2014年江苏省高考题第12题为例, 总结归纳出向量的数量积的处理方法与选择策略.