向量数量积分配律推导

第一篇：向量数量积分配律推导

向量数量积的运算律

制作人：张明娟审核人：叶付国使用时间：2012-5-8编号：12022 学习目标：

1、 掌握平面向量数量积的运算律及其运算;

2、 通过向量数量积分配律的学习，体会类比、猜想、证明的探索性学习 方法;

3、通过解题实践，体会向量数量积的运算方法.学习重点：向量数量积的运算律及其应用.

学习难点：向量数量积分配律的证明.

重点知识回顾：

1、两个向量的夹角的范围是：;

2、向量在轴上的正射影

正射影的数量为;



3、向量的数量积(内积)：a·b=;

4、两个向量的数量积的性质：

(1)ab;

(2)aaa

(3)cos=;

向量数量积的运算律

1()abba;

(2)(

(3)(aa)ba(b)(ab)ab;b)cacbc

22 平面向量数量积的常用公式

(1)(a

2(2)(ab)(a

证明：(1)

(2)

b)a2abbb)ab22

典例剖析：

例

1、已知a=6，b=4，a与b的夹角为600，

求：(1)b在a方向上的投影;

(2)a在b方向上的投影;

(3)a 2ba3b

例0

2、已知a与b的夹角为120，a=2，b=3，求：

22 ()ab;(2)a

b;(3)(2a

1(4

5 b)(a3b)

1,a与b夹角为120，问t取何值0

t

例

a

3、已知=3，b=4，(且a与b不共线)，当且仅当k为何值时，向量akb与akb 互相垂直?

变式：已知a=1, b=2, a与ab垂直.求a与b的夹角.练习题:求证菱形的对角线互相垂直.

例

0

4、已知a=2，b=4，a,b120，求a与ab的夹角.

课堂小结：

跟踪练习：

1、下列运算不正确的是()

A.abcabcB.abcacbc

C.mabmambD. abcabc

2、设e、e，则2e

12是两个单位向量，它们的夹角为6001e23e12e2(

A.99

2B. 2C.8D.8

3、已知a7, b7，ab7，则a与b的夹角为();

4、已知：向量a与b的夹角为1200，且a4， b2，求：

(1)ab;(2)3a4b;(3)aba2b

)

第二篇：向量积分配律的证明

向量积分配律的证明三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.

这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).

由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.证毕。

三维向量外积(即矢积、叉积)可以用几何方法证明;也可以借用外积的反对称性、内积的分配律和混合积性质，以代数方法证明。

下面把向量外积定义为：

a×b=|a|·|b|·Sin.分配律的几何证明方法很繁琐，大意是用作图的方法验证。有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明。

下面给出代数方法。我们假定已经知道了：

1)外积的反对称性：

a×b=-b×a.

这由外积的定义是显然的。

2)内积(即数积、点积)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.这由内积的定义a·b=|a|·|b|·Cos，用投影的方法不难得到证明。

3)混合积的性质：

定义(a×b)·c为矢量a,b,c的混合积，容易证明：

i)(a×b)·c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积，其正负号由a,b,c的定向决定(右手系为正，左手系为负)。

从而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c).

由i)还可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我们还有下面的一条显然的结论：

iv)若一个矢量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3，则a必为零矢量。

下面我们就用上面的1)2)3)来证明外积的分配律。

设r为空间任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移项，再利用数积分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

这说明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个矢量。按3)的iv)，这个矢量必为零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.

证毕。

第三篇：《平面向量的数量积及运算律》的教案说明

新疆石河子第一中学曹丽梅

一、教学内容的本质：

本教案是人教版高中数学第一册(下)第五章平面向量的第六节内容，整个课题按照课程标准分两个课时，这是第一课时的教案。

平面向量数量积第一课时的教学，通常要求形成数量积的概念，得出数量积运算的公式，并把培养学生的探究精神和应用意识的目标，有机地融入知识学习和技能形成的过程之中。平面向量数量积是平面向量的重点内容之一，也是难点之一，这一节主要介绍两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，是中学代数中从未遇到过的一种新的乘法，与数的乘法有区别，同时这一节与下一节平面向量的数量积的坐标表示有着紧密联系。由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合和转换的桥梁。而这一切之所以能够实现，平面向量的数量积功不可没。通过对这一节的学习，既可以让学生掌握平面向量的数量积，几何意义，重要性质及运算律，又可使学生了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度，和垂直问题，而且为平面向量的数量积的坐标表示的学习做了充分准备，对后面正，余弦定理的证明起到至关重要的作用，因此本节课的教学内容起着承前启后的作用。

根据“平面向量的数量积及运算律”在高中数学中的地位与作用，并且考虑到学生已有的认知结构心理特征，我认为本节课的教学目标应以人为本注重对学生自主能力的培养，启发引导学生发现问题，观察问题，进而得以解决问题，在这一过程中希望能充分调动学生的积极性，不断激发学生学数学的兴趣。

二、教学内容的应用及渗透

平面向量作为一种工具，重在应用，而且今后用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题;而平面向量的数量积作为一种特殊的运算也有它不可替代的作用，如：求向量的模长，夹角，推导正、余弦定理等。

由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用，众所周知，物理与数学是密不可分的，而向量在物理中的应用比比皆是，举不胜举，反过来物理又可为某些数学知识作有效的解释。比如：本课时的引入就是以物体在力的作用下所做的功为模型，事实上这也就是平面向量数量积的物理意义，这样可以更贴近生活，使学生更容易理解平面向量数量积的概念，符合学生的认知习惯。同时解析几何也往往将向量作为有力的解题工具。

三、教学分析

《数学课程标准》中强调：“数学课程要实现：人人学有价值的数学;人人都获得必需的数学;不同的人在数学上得到不同的发展。”同时，她倡导的“关注过程”“强调本质”“体现数学的文化价值”“发展数学的应用意识”等都向我们昭示出高中数学课程的价值取向。

为使《数学课程标准》得以顺利实施，教师理应不断更新教学观念，努力成为数学学习活动的组织者、引导者、合作者。通过精心设计、实践与反思，不断改进教学方法和教学手段„„以优化课堂教学，提高课堂教学的效率。课程设计必须从学生的角度出发，要与学生的经历和经验相联系，关注学生的体验、感悟和实践过程。

基于以上认识，对于“平面向量数量积及运算律”引入，我进行了这样的

教学设计： 首先演示一个外力作功的实验：W=|F| |S|cosθ，并揭示这个物理模型的实质，即：力与位移的数量积。

其次，具体分析平面向量的夹角，向量的数量积、重要性质等概念，并巩固练习。 再者，基本概念均简明有效的给出，为之后学生深入学习、探究提供了时间上的保证，从定义出发推导运算律也变得简单易行。随后，从特殊到一般，得出数量积的几何表示。在教师为主导、学生为主体的教学模式中，学习活动进展顺利，学生们都显得游刃有余。在教学过程中，学生对平面向量数量积的定义及运算律的理解有些难度，总的感觉是：在核心问题上的处理不太容易把握，学生需要较多的时间去探究和体验。

结合多年教学发现学生对数量积的结果是数量重视不够，解题中往往忽略，

学生容易忽略;书写中符号“”学生容易省略不写，教学和作业中发现问题教师应时常提醒学生及时纠正，避免重复错误;运算律中消去律和结合律不能乱用，要给学生讲清楚一定不能与实数的运算律混淆，这些地方应反复给学生强调。

最后，在有效落实教学目标的同时，如何让学生的“学”更轻松些，让教师的“教”更顺畅些，使“数量积”的概念形成更具一般性，更能揭示“数量积”的本质内含就显得尤为重要。

四、教法及教学反思

教学过程中采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。这一切主要是通过课堂教学来实现的，因此，要精于课堂教学设计，并在实践中进行反思和再设计，形成一系列适合学生认知、发展的教学方案。同时，在教学中要注意引导学生不断增强自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他们成为学习的主人。而贯彻数形结合思想是克服难点的有效举措.通过例题、练习的分析讲评和学生积极主动的解题实践，运用知识解决问题的能力将得到提高。由于课堂教学准备的较充分，基本能达到预定目标。

教学反思，是教师对自身教学工作的检查与评定，是整理教学中的反馈信息，适时总结经验教训、找出教学的成功与不足的重要过程。因此教学后适时的反思有利于促进教学，以上就是我对本节课的理解和反思。

第四篇：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

整体设计

教学分析

平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.

前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.

教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础. 三维目标

1.通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法. 2.掌握两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. 3.通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量积的认识,提高学生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质. 重点难点

教学重点:平面向量数量积的坐标表示. 教学难点:向量数量积的坐标表示的应用. 课时安排 1课时

教学过程

导入新课

思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题.

思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示?若能,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗?同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示. 推进新课 新知探究 提出问题 ①平面向量的数量积能否用坐标表示? ②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢? ③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件? ④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式?

活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢?教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和补充.推导过程如下: ∵a=x1i+y1j,b=x2i+y2j, ∴a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2i·j+x2y1i·j+y1y2j2. 又∵i·i=1,j·j=1,i·j=j·i=0, ∴a·b=x1x2+y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: 1°平面向量数量积的坐标表示

两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a·b=x1x2+y1y2. 2°向量模的坐标表示

若a=(x,y),则|a|=x+y,或|a|=x2y2. 如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2x1)2(y2y1)2. 3°两向量垂直的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a⊥bx1x2+y1y2=0. 4°两向量夹角的坐标表示

设a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a与b的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122

2xy2222

讨论结果:略. 应用示例

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的形状,并给出证明.

活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法. 解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC是直角三角形.下面给出证明. ∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB·(-3)+1×3=0. AC=1×∴AB⊥AC. ∴△ABC是直角三角形.

点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明. 变式训练

在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一个内角为直角,求k的值. 解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.

AC=0. 若∠A=90°,则AB⊥AC,所以AB·于是2×1+3k=0.故k=23.

113同理可求,若∠B=90°时,k的值为32113; 若∠C=90°时,k的值为

13. 故所求k的值为23或或

3213. 例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值; (2)a=(3,0),b=(-5,5),求a与b的夹角.

活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)的数量积a·b=x1x2+y1y2和模|a|=x1y1,|b|=即cosθ=ab|a||b|x1x2y1y2xy212122x2y2的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,

22xy2222.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误. 解:(1)AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AC=3×∴AB·(-1)+3×6=15. 又∵|AB|=3232=32,|AC|=(1)262=37, ABAC|AB||AC|15323757474∴cos∠BAC=

.

(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52. 设a与b的夹角为θ,则 cosθ=ab|a||b|15352220≤θ≤π,∴θ=.又∵

34.

点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高. 变式训练

设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b间的夹角θ.(精确到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2. |a|=52(7)2由计算器得cosθ=74,|b|=(6)(4)2252

27452≈-0.03. 利用计算器中得θ≈92°.

例3 已知|a|=3,b=(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若a⊥b,求a; (2)若a∥b,求a.

活动:对平面中的两向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练. 解:(1)设a=(x,y),由|a|=3且a⊥b, x2y2|a|29,得 2x3x0,99x13,x13,1313解得 或66yy1313,1313∴a=(91313,61313)或a=

91313,61313.

(2)设a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 x2y2|a|29, 3x2y0.6x13解得y91313,6x13或y9131313)或a=(61313, 13.913∴a=(61313,91313,13).

点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标. 变式训练

求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l1)与一次函数y=12x的图象(直线l2)互相垂直. 解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1). 同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是: AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).

CD=1×由向量的数量积的坐标表示,可得AB·(-2)+1×2=0, ∴AB⊥CD,即l1⊥l2. 知能训练

课本本节练习. 解答: 1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7. 2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49. 3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.

课堂小结

1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示. 2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等. 作业

课本习题2.4 A组

8、

9、10.

设计感想

由于本节课是对平面向量的进一步探究与应用,是对平面向量几何意义的综合研究提高,因此教案设计流程是探究、发现、应用、提高,这符合新课程理念,符合新课标要求.我们知道平面向量的数量积是本章最重要的内容,也是高考中的重点,既有选择题、填空题,也有解答题(大多同立体几何、解析几何综合考查),故学习时要熟练掌握基本概念和性质及其综合运用.而且数量积的坐标表示又是向量运算的一个重要内容,用坐标表示直角坐标平面内点的位置,是解析几何的一个基本特征,从而以坐标为桥梁可以建立向量与解析几何的内在联系.以三角函数表示点的坐标,又可以沟通向量与三角函数的相互关系,由此就产生出一类向量与解析几何及三角函数交汇的综合性问题.

平面向量数量积的坐标表示使得向量数量积的应用更为方便,也拓宽了向量应用的途径.通过学习本节的内容,要更加加深对向量数量积概念的理解,同时善于运用坐标形式运算解决数量问题,尤其是有关向量的夹角、长度、垂直等,往往可以使问题简单化.灵活使用坐标形式,综合处理向量的线性运算、数量积、平行等,综合地解决向量综合题,体现数形结合的思想.在本节的学习中可以通过对实际问题的抽象来培养学生分析问题、解决问题和应用知识解决问题的意识与能力.

第五篇：北师大版高中数学(必修4)2.6《平面向量数量积的坐标表示》教案

平面向量数量积的坐标表示教案1

教学目标

1.正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积.

2.掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直. 3.能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题.

重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件.

难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用. 教学过程设计

(一)学生复习思考，教师指导.

1.A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2).

=________

=________

2.A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2) =________

3.向量的数量积满足那些运算律?

(二)教师讲述新课.

前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题.

设两个非零向量为

=(x1，y1)， =(x2，y2).

=x

1+y1

为x轴上的单

+y

2 位向量， 为y轴上的单位向量，则， =x2

这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

1

引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：

(1)向量模的坐标表示：

(2)平面上两点间的距离公式：

向量=

(3)两向量的夹角公式

设=(x1，y1)， =(x2，y2)，

=θ. 的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

4.两向量垂直的充要条件的坐标表示

=(x1，y1)，

=(x2，y2).

即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零.

(三)学生练习，教师指导.

练习1：课本练习1.

已知a(-3，4)， (5，2).

练习2：课本练习2.

已知 ··(=(2，3)， =(-2，4)， =(-1，-2). =2×(-2)+3×4=8，(+

+

)·(

-

)=-7.

)=0，(a+b)2=(0，7)·(0，7)=49.

练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5).

求证：△ABC是直角三角形.

证：∵

经检验，

∴⊥ =(1，1)， ·

=(-3，3)，

=(-4，2).

=1×(-3)+1×3=0.

，△ABC是直角三角形.

(四)师生共同研究例题.

例1：已知向量

=(3，4)， =(2，-1).

2

(1)求

(2)若

解：(1) 与+x

的夹角θ， 与

-

垂直，求实数x的值.

=(3，4)， =(2，-1).

(2)

( +x与+x)·(

--

垂直， )=0，

+x

=(3，4)+x(2，-1)=(2x+3，4-x) -=(3，4)-(2，-1)=(1，5).

例2：求证：三角形的三条高线交于一点.

证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y).

∵⊥

，

=(-x1，y)，

=(-x2，y1).

(-x1)×(-x2)+y×y1=0.

即 x1x2+yy1=0.

又

∴·⊥=(-x2，y)，

=(-x1，y1).

=(-x1)×(-x2)+y×y1=x1x2+yy1=0. ，CP是AB边上的高.

故三角形的三条高线交于一点.

3

(五)作业.习题5.7 1，2，3，4，5.