标准差和标准方差

2024-04-29

标准差和标准方差（通用7篇）

篇1：标准差和标准方差

方差、标准差、和协方差之间的联系与区别

1.方差和标准差都是对一组(一维)数据进行统计的，反映的是一维数组的离散程度;而协方差是对2维数据进行的，反映的`是2组数据之间的相关性。

2.标准差和均值的量纲(单位)是一致的，在描述一个波动范围时标准差比方差更方便。方差可以看成是协方差的一种特殊情况，即2组数据完全相同。

3.协方差只表示线性相关的方向，取值正无穷到负无穷。

4.协方差只是说明了线性相关的方向，说不能说明线性相关的程度，若衡量相关程度，则使用相关系数。

篇2：标准差和标准方差

重点、难点分析

1、本节内容的重点是，难点是准确操作计算器.

2、计算器上的标准差用表示，和教科书中用S表示不一样，但意义是一样的.而计算器上的S和我们教科书上的标准差S意义不一样.在计算器上S和是并排在一起的，按同一键，都是统计计算用的.因S在前，在后，这样要想显示出标准差，就需要发挥该键的统计功能中第二功能，于是就得先按键，再按键.

教学设计示例1

素质教育目标

(一)知识教学点

使学生会.

(二)能力训练点

培养学生正确使用计算器的能力.

(三)德育渗透点

培养学生认真、耐心、细致的学习态度和学习习惯.

(四)养育渗透点

通过本节课的教学，渗透了用高科技产品求方差值的简单美，激发学生的学习兴趣，丰富了学生具有数学美的底蕴.

重点·难点·疑点及解决办法

1.教学重点：用计算器进行统计计算的步骤.

2.教学难点：正确输入数据.

3.教学疑点：学生容易把计算器上的键S主认为是书上的标准差S，教科书中的符号S与CZ1206计算器上的符号S的意义不同，而与计算器上的符号相同.

4.解决办法：首先使计算器进入统计计算状态，再将一些数据输入，按键得出所要求的统计量.

教学步骤

(一)明确目标

请同学们回想一下，我们已学过用科学计算器进行过哪些运算?(求数的方根、求角的

三角函数值等)，那么用计算器和用查表进行这些运算在运算速度、准确性等方面有什么不

同，(计算器运算速度快、准确性高，查表慢，且准确性低).这节课我们将要学习用计算器进行统计运算.它会使我们更能充分体会到用计算器进行运算的优越性.

这样开门见山的引入课题，能迅速将学生的注意力集中起来，进入新课的学习.

(二)整体感知

进行统计运算，是科学计算器的重要功能之一.一般的科学计算器，都含有统计计算功

能，教科书以用CZ1206计算器进行统计计算为例说明计算方法.用CZ1206计算器进行统计计算，一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.这些统计量除了平均数、标准差外，还有数据个数n，各数据的和，各数据的平方和 .衡量一组数据的波动大小的另一个量S.计算器上的键S，并不表示教科书上的标准差S.

(三)教学过程

教师首先讲清解题的三个步骤，第一步建立统计运算状态.方法：在打开计算器后，先按键2ndF、STAT，便使计算器进入计计算状态.第二步输入数据，其过程一定要用表格显示输入时，每次按数据后再按键DATA.表示已将这个数据输入计算器.这时显示的数，是已输入的数据的累计个数，表中所有数据输入后显示的数为8，表明所有数据的个数(样本容量)为8，如果有重复出现的数据，如有7个数据是3，那么输入时可按3×7(前面是输入的数据，后面是输人数据的个数).第三步按一下有关的.键，即可直接得出计算结果.

在教师讲情操作要领的基础上，(把学生分成两组)让学生自己操作，用计算器求14.3节例1中两组数据的平均数、标准差与方差.

在学生操作过程中，教师要指导学生每输入一个数据，就检查一下计算器上的显示是否

与教科书的表格一致，如发现刚输入的数据有误，可按键DEL将它清除，然后继续往下输入.

教师还要指出教科书上的符号S与CZ1206型计算器上的符号S的意义不同，而与该计

算器上的符号相同，在CZ1206型计算器键盘上，用表示一组数据的标准差.由于这个计算器上未单设方差计算键，我们可以选按键，然后将它平方，即按键× =，就得到方差值 .

根据表5，得到

根据表6，得到

让学生把表5、表6与前面的笔算结果相比较，结论是一致的.引导学生通过比较计算器与笔算两种算法，总结出计算器有哪些优越性;(省时，省力，计算简便.)

这样做的目的，是使学生亲自动手实践.参与教学过程，不仅便于学生掌握用计算器进

行统计运算的步骤和要领，而且能使学生充分认识到计算器的优越性，更有利于科学计算器

在中学的普及使用.

课堂练习：教材P177中1、2.

(四)总结、扩展

知识小结：

通过本节课的学习，我们学会了用科学计算器进行统计运算.在运算中，要注意操作方

法与步骤，由于数据输入的过程较长，操作时务必仔细，避免出错，在用计算器进行统计计算的前提下，可通过比较两组数据的标准差来比较它们的波动大小，而不必再转到相应方差的比较.

方法小结：用CZ1206型计算器进行统计运算.一般分成三步：建立统计运算状态，输入数据，按键得出所要求的统计量.

篇3：正确认识极差、方差与标准差

一组数据中最大值与最小值的差, 能反映这组数据的变化范围, 这样的差叫做极差.

用方差的算术平方根

来描述一组数据的离散程度, 并把它叫做这组数据的标准差.

二、理解极差、方差与标准差联系与区别

极差、方差和标准差都是刻画一组数据的离散程度统计量, 它们具有各自的特点:极差是一组数据中最大值与最小值的差, 因此, 极差只能反映一组数据中两个极端值之间的大小情况.方差或标准差反映了一组数据的波动大小, 方差或标准差越大, 数据的波动越大;方差或标准差越小, 数据的波动越小.必须注意的是:当两组数据的平均数相等或比较接近时, 才能利用方差或标准差比较两组数据的离散程度.

如, 甲、乙两名射击选手各自射击十组, 按射击的时间顺序把十组射中靶的环数值记入下表:

根据上表数据, 可以完成下列分析表对甲、乙两名射击选手各自射击十组的成绩进行分析:

因此, 如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛, 那么可以看出甲射击成绩的平均数和众数与乙射击成绩的平均数和众数相等, 但甲射击成绩的中位数、极差和方差都比乙射击成绩的中位数、极差和方差小, 即甲射击的成绩较乙相对稳定.

再看下列两组数据:

(1) -3、0、0、0、3;

(2) -3、-2、1、2、2.

我们同样可以分别求得这两组数据的平均数、极差和方差, 并填入下表:

由此可以看出:平均数相同的两组数据, 极差大的一组数据方差不一定大.

三、灵活应用极差、方差或标准差解决实际问题

例为了声援扬州“世纪申遗”, 某校举办了一次运河知识竞赛, 满分10分, 学生得分均为整数, 成绩达到6分以上 (包括6分) 为合格, 达到9分以上 (包括9分) 为优秀, 这次竞赛中, 甲、乙两组学生成绩分布的条形统计图如图所示.

(1) 补充完成下面的成绩统计分析表:

(2) 小明同学说:“这次竞赛我得了7分, 在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上表可知, 小明是_____ (填“甲”或“乙”) 组的学生;

(3) 甲组同学说他们的合格率、优秀率均高于乙组, 所以他们组的成绩好于乙组.但乙组同学不同意甲组同学的说法, 认为他们组的成绩更好于甲组.请你给出两条支持乙组同学观点的理由.

【分析】应用平均数、中位数的概念和意义即可解决问题 (1) 和 (2) , 问题 (3) , 则从不同的角度观察问题将得到不同的结论, 支持乙组同学观点, 即需从支持乙组同学的数据优势进行分析.

(2) 观察上表可知, 甲组的中位数是6, 乙组的是7.5, 小明是7分, 超过甲组的中位数, 低于乙组的中位数, 所以应该甲组的学生;

(3) 从统计图和表格中可以看出:乙组的平均分、中位数都高于甲组, 方差小于甲组, 且集中在中上游, 所以支持乙组同学的观点, 即乙组成绩好于甲组.

篇4：关于“标准”的“标准”

吴某是某汽车维修店的工作人员。这一天，他与他的几位同事一起喝了许多酒。他们借着酒兴漫无目的的游走在马路边，也许是因为与汽车有着某种割舍不下的缘分，吴某顺手掏出一枚硬币，毫无顾忌地刮划着路边汽车的油漆。

至今我们仍然怀疑，吴某刮划路边汽车的油漆，就像许多人想象的那样，是希望有人能够将汽车送到他的汽车维修店。不过出于什么动机并不重要，重要的是他主观上具有损毁公私财物的目的，所以，公安机关以故意毁坏财物罪将吴某移送检察机关审查起诉。

刑法第二百七十五条原文是，故意损毁公私财物，数额较大或者有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；数额巨大或者有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。

有意思的是，故意毁坏财物罪与盗窃罪都是用了相同的追诉标准，即数额较大或者有其他严重情节。但就数额而言，盗窃罪的立案追诉标准是“数额达2000元以上（上海标准）”，而故意毁坏财物罪却是“造成公私财物损失5000元以上”。

这个问题也许可以这样理解，某个物品一旦被盗，对于被害人而言即完全丧失了财产所有权，所以以失窃时该物品的市场中间值计算。而故意毁坏财物罪则不尽然。除非吴某把这辆汽车彻底砸烂，否则这辆汽车在物理上仍然有可能修复。所以，故意毁坏财物罪无法简单的以物品的市场中间价计算，而只能以造成的财物损失而论。而财物损失，既可能是原物的市场中间价，也可能是恢复原状的物质损失。

循着这个思路，就可能并已经出现这样的情况，一辆即将报废的普通桑塔纳轿车的市场中间价只有一、二万元，而如果有幸被人损坏一下的话，修理的费用可能高达四万元，并且这并不排除车辆所有人顺便更换一下未被损坏部件。

也就是说，一辆价值一、二万元的汽车被毁坏，造成的财物损失高达四万元是可能的。如果这个前提成立，破旧车的主人真该把它开到暴徒们的面前，因为这等于间接地以旧换新了。

但无论如何，为修复被毁坏的部件而进行的以旧换新活动，毕竟是毁坏行为所付出的必要物质损失。除非被害人自愿说，这辆破车我不要了，你按市场价陪我钱得了，否则也只能如此。不过“以旧换新”活动不仅仅是以物换物，还会产生必要的人工费等费用，并且在有些情況下，人工费并不显得无足轻重。

例如吴某故意毁坏财物一案，被害人修复油漆的费用为4800元，而人工费为314元。也就是说，如果人工费也是“造成的财物损失”的话，则吴某的行为构成犯罪；如果人工费不算“造成的财物损失”的话，则吴某的行为不构成犯罪。

人工费是否属于“造成的财物损失”在许多人看来似乎并不值得讨论，但当它与犯罪与刑罚联系在一起的时候，却不能不让司法人员在这个问题面前踌躇不前。

当一个罪名被创设出来的时候，往往并不会当然地真实落地，人们眼巴巴地盼望着司法解释能够告诉我们什么叫数额较大，什么叫情节严重。而当司法解释终于告诉我们“数额较大”即为“造成财物损失5000元以上”后，人们又不得不困惑于“财物损失”包含哪些损失，“财物损失”与“直接经济损失”、“物质损失”有何不同。如果相同，为何又在这个罪名中援用“财物损失”，而在另外一个罪名中援用“物质损失”。

篇5：标准差和标准方差

在实际问题中，若两个随机变量X,Y,且E(X),E(Y)E(X)E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。方差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明他较为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值预期期望值的偏差较大，反之，则表明此偏差较小。

随机变量X的数学期望和方差有何区别和联系？

1.随机变量X的数学期望E(X)描述的是随机变量X的平均值，而方差D(X)刻画的是随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度。方差D(X)大，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度大，随机变量X取值在数学期望附近分散；方差D(X)小，则随机变量X与数学期望E(X)的平均离散程度小，随机变量X取值在数学期望附近集中。

2.方差D(X)E(X-E(X))2是用数学期望来定义的，方差D(X)是随机变量X函数(X-E(X))的数学期望，所以，由随机变量函数的数学期望的计算公式我们得到： 2（1）若X为离散型，则有（2.3）（2）若X为连续型，则有（2.4）

3.在实际问题中，我们经常用D(X)E(X-E(X))2来计算方差。由此可以得到：随机变量X与数学期望E(X)不存在，则方差一定不存在。4.若随机变量X与数学期望E(X)存在，方差也可能不存在。

切比雪夫不等式的意义是什么？有哪些应用？

切比雪夫不等式有两种等价形式的表达形式：P(XE(X))1P(XE(X))1D(X)D(X)D(X)2或2。它反映了随机变量在数学期望的邻域的概率不小于。如果随机变量的分布不知道，只要知道它的数学期望和方差，我们就可以利用2切比雪夫不等式估计概率。它的应用有以下几个方面：

（1）已知数学期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计在数学期望的邻域的概率。

（2）已知数学期望和方差，对确定的概率，利用切比雪夫不等式求出，从而得到所需估计区间的长度。（3）对n重贝努力试验，利用切比雪夫不等式可以确定试验次数。（4）它是推导大数定律和其他定理的依据。

解题的具体步骤：

首先，根据题意确定恰当的随机变量X，求出数学期望E(X)与D(X)；其次，确定0的值，最后，由切比雪夫不等式进行计算和证明。

注:

（一）相关系数的含义

1.相关系数刻画随机变量 X和Y之间的什么关系？（1）相关系数也常称为“线性相关系数”。这是因为，实际相关系数并不是刻画了随机变量X和Y之间的“一般”关系的程度，而只是“线性”关系的程度。这种说话的根据之一就在于，当且仅当X和Y有严格的线性关系是才有|XY|达到最大值1.可以容易举出例子说明：即使X和Y有严格的函数关系但非线性关系，|XY|不仅不必为1，还可以为0.（2）如果0|XY|1，则解释为：随机变量X和Y之间有一定程度的“线性关系而非严格的线性关系”

2.相关系数XY刻画了随机变量X和Y之间的“线性相关”程度.3.|XY|的值越接近1, Y与X的线性相关程度越高;4.|XY|的值越近于0, Y与Y的线性相关程度越弱.5.当|XY|1时, Y与X的变化可完全由X的线性函数给出.6.当XY0时, Y与X之间不是线性关系.7.上面谈到的“线性相关”的意义还可以从最小二乘法的角度解释：（p95）

篇6：标准差和标准方差

1.数据4，5，6，7，8的平均数是___________，方差是_________.２．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a =________，这五个数的方差是________.３．若已知一组数据：x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S，那么另一组数据：3x1－2，•3x2－2，…，3xn－2的平均数为______，方差为______．４．已知，一组数据x1,x2,……，xn的平均数是10，方差是2，①数据x1+3,x2+3,……，xn+3的平均数是__________,方差是_________，2

②数据2x1,2x2,……，2xn的平均数是__________,方差是____________，③数据2x1+3,2x2+3,……，2xn+3的平均数是_________,方差是_________.5.选择题：样本方差的作用是（）

A、估计总体的平均水平B、表示样本的平均水平

C、表示总体的波动大小D、表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小

6．从甲、乙两种棉苗中各抽10株，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）

甲 25 41 40 37 22 14 19 39 21 42

乙 27 16 44 27 44 16 40 40 16 40

问：①哪种棉花的苗长得高？ ②哪种棉花的苗长得整齐？

7.甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测验成绩如下（单位：分）：

甲组：769084868***

乙组：***97974