费马大定理的初等巧妙证明

2024-04-12

费马大定理的初等巧妙证明（精选11篇）

篇1：费马大定理的初等巧妙证明

费马大定理的初等巧妙证明

李联忠

（营山中学四川营山 637700）

费马大定理：一个正整数的三次以上的幂不能分为两正整数的同次幂之和。即不定方程znxnyn当n≥3时无正整数解。

证明：当n=2时，有z2x2y2

∴x2z2y2(zy)(zy)（1）

设(zy)2m2 则 zy2m2代入（1）得

x2z2y22m2(2y2m2)22m2(ym2)22m2l2

22∴x2mlyl2m2zlm

当n=3时，有z3x3y3

∴x3z3y3(zy)(z2zyy2)（2）

设(zy)32m3 则 zy32m3代入（1）得

3x3z3y332m［(y32m3)2(y32m3)yy2］

32m3(3y2332m3y34m6)33m3(y232m3y33m6)

设(y232m3y33m6)l3（3）

则x3ml（4）

zy32m3（5）

若z,y的公约数为k,即(z,y)=k，k>1时，方程x3z3y3两边可以除以k，下面分析k=1 即（z,y）=1 , 方程xzy的正整数解

因为（z,y）=1，分析（2），（3），（4），（5）式，只有m,l为正整数时，x,y,z有正整数解，由（3）得 3333

y(y32m3)l333m6(l3m2)(l23m2l32m4)

∵ y,m,l都取正整数

∴y(l3m)和y3m(l3ml3m)不能同时成立 2232224

∴ y没有形如y(l3m2)或y(l23m2l32m4)32m3的正整数解若(l3m2)=ab ,(l23m2l32m4)=cd可得相应方程组

222yal3mycl3myacl3m或或这些方程组里的m,l没有正整232323y3mbcdy3mabdy3mbd

数解，因为若有正整数解，则与y没有形如y(l3m2)和y(l23m2l32m4)32m3的正整数解矛盾。

又 ∵ y(l3m2)在m,l取正整数的条件下，y可取到任意正整数 ∴y没有正整数解。

∴当n=3时，方程z3x3y3无正整数解。

当n>3时，同理可证方程znxnyn无正整数解。

定理得证。

篇2：费马大定理的初等巧妙证明

为了寻求费马大定理的解答，三个多世纪以来，一代又一代的数学家们前赴后继，却壮志未酬。1995年，美国普林斯顿大学的安德鲁·怀尔斯教授经过8年的孤军奋战，用130页长的篇幅证明了费马大定理。怀尔斯成为整个数学界的英雄。

费马大定理提出的问题非常简单，它是用一个每个中学生都熟悉的数学定理——毕达哥拉斯定理——来表达的。2000多年前诞生的毕达哥拉斯定理说：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即X2+Y2=Z2。大约在公元1637年前后，当费马在研究毕达哥拉斯方程时，他写下一个方程，非常类似于毕达哥拉斯方程：Xn+Yn=Zn,当n大于2时，这个方程没有任何整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论的同时又写下一个附加的评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”这就是数学史上著名的费马大定理或称费马最后的定理。费马制造了一个数学史上最深奥的谜。

大问题在物理学、化学或生物学中，还没有任何问题可以叙述得如此简单和清晰，却长久不解。E·T·贝尔(Eric Temple Bell)在他的《大问题》(The Last Problem)一书中写到，文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事。

安德鲁·怀尔斯1953年出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。少年时代的怀尔斯已着迷于数学了。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天，小怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题而没有解答,怀尔斯被吸引住了。

这就是E·T·贝尔写的《大问题》。它叙述了费马大定理的历史，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏，在长达300多年的时间里没有人能解决它。怀尔斯30多年后回忆起被引向费马大定理时的感觉：“它看上去如此简单，但历史上所有的大数学家都未能解决它。这里正摆着我——一个10岁的孩子——能理解的问题，从那个时刻起，我知道我永远不会放弃它。我必须解决它。”

怀尔斯1974年从牛津大学的Merton学院获得数学学士学位，之后进入剑桥大学Clare学院做博士。在研究生阶段，怀尔斯并没有从事费马大定理研究。他说：“研究费马可能带来的问题是：你花费了多年的时间而最终一事无成。我的导师约翰·科茨(John Coates)正在研究椭圆曲线的Iwasawa理论，我开始跟随他工作。” 科茨说：“我记得一位同事告诉我，他有一个非常好的、刚完成数学学士荣誉学位第三部考试的学生，他催促我收其为学生。我非常荣幸有安德鲁这样的学生。即使从对研究生的要求来看，他也有很深刻的思想，非常清楚他将是一个做大事情的数学家。当然，任何研究生在那个阶段直接开始研究费马大定理是不可能的，即使对资历很深的数学家来说，它也太困难了。”科茨的责任是为怀尔斯找到某种至少能使他在今后三年里有兴趣去研究的问题。他说：“我认为研究生导师能为学生做的一切就是设法把他推向一个富有成果的方向。当然，不能保证它一定是一个富有成果的研究方向，但是也许年长的数学家在这个过程中能做的一件事是使用他的常识、他对好领域的直觉。然后，学生能在这个方向上有多大成绩就是他自己的事了。”

科茨决定怀尔斯应该研究数学中称为椭圆曲线的领域。这个决定成为怀尔斯职业生涯中的一个转折点，椭圆方程的研究是他实现梦想的工具。

孤独的战士

1980年怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。

在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想„„我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。

20世纪初，有人问伟大的数学家大卫·希尔伯特为什么不去尝试证明费马大定理，他回答说：“在开始着手之前，我必须用3年的时间作深入的研究，而我没有那么多的时间浪费在一件可能会失败的事情上。”怀尔斯知道，为了找到证明，他必须全身心地投入到这个问题中，但是与希尔伯特不一样，他愿意冒这个风险。

怀尔斯作了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

这是一场长达7年的持久战，这期间只有他的妻子知道他在证明费马大定理。

欢呼与等待

经过7年的努力，怀尔斯完成了谷山-志村猜想的证明。作为一个结果，他也证明了费马大定理。现在是向世界公布的时候了。1993年6月底，有一个重要的会议要在剑桥大学的牛顿研究所举行。怀尔斯决定利用这个机会向一群杰出的听众宣布他的工作。他选择在牛顿研究所宣布的另外一个主要原因是剑桥是他的家乡，他曾经是那里的一名研究生。1993年6月23日，牛顿研究所举行了20世纪最重要的一次数学讲座。两百名数学家聆听了这一演讲，但他们之中只有四分之一的人完全懂得黑板上的希腊字母和代数式所表达的意思。其余的人来这里是为了见证他们所期待的一个真正具有意义的时刻。演讲者是安德鲁·怀尔斯。怀尔斯回忆起演讲最后时刻的情景：“虽然新闻界已经刮起有关演讲的风声，很幸运他们没有来听演讲。但是听众中有人拍摄了演讲结束时的镜头，研究所所长肯定事先就准备了一瓶香槟酒。当我宣读证明时，会场上保持着特别庄重的寂静，当我写完费马大定理的证明时，我说：‘我想我就在这里结束’，会场上爆发出一阵持久的鼓掌声。” 《纽约时报》在头版以《终于欢呼“我发现了!”，久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。一夜之间，怀尔斯成为世界上最著名的数学家，也是唯一的数学家。《人物》杂志将怀尔斯与戴安娜王妃一起列为“本25位最具魅力者”。最有创意的赞美来自一家国际制衣大公司，他们邀请这位温文尔雅的天才作他们新系列男装的模特。

当怀尔斯成为媒体报道的中心时，认真核对这个证明的工作也在进行。科学的程序要求任何数学家将完整的手稿送交一个有声望的刊物，然后这个刊物的编辑将它送交一组审稿人，审稿人的职责是进行逐行的审查证明。怀尔斯将手稿投到《数学发明》，整整一个夏天他焦急地等待审稿人的意见，并祈求能得到他们的祝福。可是，证明的一个缺陷被发现了。

我的心灵归于平静

由于怀尔斯的论文涉及到大量的数学方法，编辑巴里·梅休尔决定不像通常那样指定2-3个审稿人，而是6个审稿人。200页的证明被分成6章，每位审稿人负责其中一章。

怀尔斯在此期间中断了他的工作，以处理审稿人在电子邮件中提出的问题，他自信这些问题不会给他造成很大的麻烦。尼克·凯兹负责审查第3章，1993年8月23日，他发现了证明中的一个小缺陷。数学的绝对主义要求怀尔斯无可怀疑地证明他的方法中的每一步都行得通。怀尔斯以为这又是一个小问题，补救的办法可能就在近旁，可是6个多月过去了，错误仍未改正，怀尔斯面临绝境，他准备承认失败。他向同事彼得·萨克说明自己的情况，萨克向他暗示困难的一部分在于他缺少一个能够和他讨论问题并且可信赖的人。经过长时间的考虑后，怀尔斯决定邀请剑桥大学的讲师理查德·泰勒到普林斯顿和他一起工作。

泰勒1994年1月份到普林斯顿，可是到了9月，依然没有结果，他们准备放弃了。泰勒鼓励他们再坚持一个月。怀尔斯决定在9月底作最后一次检查。9月19日，一个星期一的早晨，怀尔斯发现了问题的答案，他叙述了这一时刻：“突然间，不可思议地，我有了一个难以置信的发现。这是我的事业中最重要的时刻，我不会再有这样的经历„„它的美是如此地难以形容；它又是如此简单和优美。20多分钟的时间我呆望它不敢相信。然后白天我到系里转了一圈，又回到桌子旁看看它是否还在——它还在那里。”

这是少年时代的梦想和8年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。世界不再怀疑这一次的证明了。这两篇论文总共有130页，是历史上核查得最彻底的数学稿件，它们发表在1995年5月的《数学年刊》上。怀尔斯再一次出现在《纽约时报》的头版上，标题是《数学家称经典之谜已解决》。约翰·科茨说：“用数学的术语来说，这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌，同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我说来，安德鲁成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

声望和荣誉纷至沓来。1995年，怀尔斯获得瑞典皇家学会颁发的Schock数学奖，1996年，他获得沃尔夫奖，并当选为美国科学院外籍院士。

篇3：费马大定理的初等巧妙证明

一、Napoleon定理

(1）在任意三角形的三边上向外作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形———外Napoleon三角形．

(2）在任意三角形的三边上向内作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形———内Napoleon三角形．

(3）内、外Napoleon三角形的面积的差等于原三角形的面积．

二、简单证明

由于本文以下证明，将涉及到费尔马（Pierre Fermat, 1601—1665）点问题：

若点P为三角形△ABC平面内一点，设l=PA+PB+PC，则l的最小值是多少？

引理[2]1°若当P为△ABC内的费尔马点（此时，△ABC最大角小于120°，∠APB=∠BPC=∠CPA=112200°°））时时，，则则ll有有最最小小值值：：

其中a, b, c分别表示△ABC顶点A, B, C对应的边的长度，Δ表示△ABC的面积．

2°若点P为△ABC最大角A（≥120°）点处，则l有最小值：

由于Napoleon定理, 仅仅用到引理的结论1°, 现给出证明.

证明如图1.将△APC绕点C转动60°至△A′P′C, 则△PP′C为正三角形．于是当点B, P, P′，A共线（即P为△ABC内的费尔马点）时，l取最小值：

现在来证明Napoleon定理．

证明 (1) 如图2.对于由正△ABD和正△ACF中心O2, O3构成的△AO2O3与△ABF相似:因为正△AB-D∽正△ACF, 则AF/AB=AO2/AO3, 且∠FAB=∠O2AO3=A+60°.

于是，BF/O2O3=AF/AO2=2cos30°=姨3.

此时，由引理的结论1°知，当P为△ABC“广义”费尔马点：点P在△ABC平面上，满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°（点P可以不在△ABC内，若点P在△ABC上或△ABC外，l不是取最小值（2），而仍然取值（1）），则△O1O2O3为正三角形，且其边长为定值m:

命题1在任意三角形的三边上向外作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形，其边长值为（4）.

证明 (2) 如图3.对于由正△ABD和正△ACF中心O′2, O′3构成的△AO′2O′3, 由于∠O′2AO′3=A-60°, 若设AO′2=u, AO′3=v, 则边长O2O3为:

而在（1）中，△AO2O3的角∠O2AO3=A+60°，若也设AO2=u, AO3=v, 则边长O2O3为n:

这就是说, (6) 式的最终结果.只需在引理1°, 将求l数学式子（*）中的“C+60°”变换为“C-60°”得到．于是:

又由于△AO′2O′3与△ABF相似：因为正△ABD∽正△ACF，则AF/AB=AO′2/AO′3，且∠FAB=∠O′2AO′3=A-60°, 于是由（3），得到：

命题2在任意三角形的三边上向内作三个正三角形，则这三个正三角形的中心也构成一个正三角形，其边长值为（7）.

证明：（3）对于命题1和命题2中的两正三角形△O1O2O3和△O1O2O3的面积差S，由（4）和（7）得：

于是，结论（3）获证．

三、新思考

以上证明，使Napoleon定理与Fermat点有机结合，增加极大的乐趣．若我们仍然有变换思想构造问题，以下问题值得人们思考．

命题3以任意△ABC的三边分别为边，向内或外作三个三角形：△ABD，△BCE，△CAF，这三个正角形的中心依次是O1, O2, O3，其构成的角满足：∠O1AB+∠O3AC=α, ∠O1BA+∠O2BC=β, ∠O2CB+∠O3CA=γ，则△O1O2O3的三边分别是角α，β，γ的函数：

请读者给出具体的函数式。

参考文献

[1]刘运宜.Napoleon定理的一个初等证法[J].数学通报, 2009 (1) :57-59.

篇4：费马大定理的“终结者”

至今，据费马大定理被成功证明已经过去了21年，作为一个数学家，怀尔斯的生活并没有改变，他还是像以前一样，早晨起来，去办公室，研究新的数学问题。怀尔斯现为牛津大学皇家学会教授（2011年起任），曾为普林斯顿大学教授、数学系主任，普林斯顿的数学系被称为“定义什么是好数学的地方”。怀尔斯的主要研究领域为数论。

安德鲁·怀尔斯，1953年4月11日出生在英国剑桥，父亲是一位工程学教授。怀尔斯从小就机敏、聪慧，并着迷于数学。他在后来的回忆中写到：“在学校里我喜欢做题目，我把它们带回家，编写成我自己的新题目。不过，我以前找到的最好的题目是在我们社区的图书馆里发现的。”一天，怀尔斯在弥尔顿街上的图书馆看见了一本书，这本书只有一个问题，而且没有解答，怀尔斯被吸引住了。E.T.贝尔在他的《大问题》一书中写到：文明世界也许在费马大定理得以解决之前就已走到了尽头。可见，证明费马大定理成为数论中最值得为之奋斗的事，这个定理让一个又一个的数学家望而生畏。

1993年，怀尔斯在剑桥大学牛顿研究所做了3次学术报告，在最后一次演讲结束时，他完成了对费马大定理的证明。这个消息迅速登上世界各大报纸头版的位置，在数学界更是一石激起千层浪。经过审查的论文，最终发表在国际顶尖数学期刊《数学年刊》1995年5月期上，总长为130页。

1995年，怀尔斯获得欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典皇家学会颁发的舍克数学奖。1996年，获得沃尔夫奖，同年当选为美国科学院外籍院士并获该科学院数学奖。1997年，获美国数学会科尔奖，并获10万马克奖金（1908年沃尔夫斯科尔为解决费马大定理而设置的）。1998年，怀尔斯获国际数学家大会颁发的特别贡献奖。2005年，他摘取邵逸夫数学奖及100万美元奖金，该奖为表彰他对最终解决费马大定理所做出的巨大贡献。

著名数学家约翰·科茨评价道：“这个最终的证明可与分裂原子或发现DNA的结构相比，对费马大定理的证明是人类智力活动的一曲凯歌。同时，不能忽视的事实是它一下子就使数学发生了革命性的变化。对我来说，安德鲁·怀尔斯成果的美和魅力在于它是走向代数数论的巨大的一步。”

358年世界名题——费马大定理

3000多年前，勾股定理（又称“毕达哥拉斯定理”）表述为：在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。即：x2+y2=z2。类似于勾股定理，17世纪，法国数学家费马给出这样的一个猜想：当n>2时，关于x，y，z的不定方程xn+yn=zn没有正整数解。费马在《算术》这本书的靠近问题8的页边处记下这个结论，同时写下评注：“对此，我确信已发现一个美妙的证法，这里的空白太小，写不下。”在数学上这被称为“费马大定理”，又名“费马猜想”，是留给后世的一个不解之谜。

这个比哥德巴赫猜想更悠久、更有名的难题曾经吸引、困惑了无数智者，难倒许多杰出的大数学家。据称，使用现代的电子计算机可证明：当n小于等于4100万时，费马大定理是正确的。由于当时费马声称他已解决了这个问题，但是他没有公布证明过程，于是留下了这个数学难题中少有的千古之谜。

全世界数学家历经三个半世纪（358年）的努力，1995年这个世纪数论难题才由普林斯顿大学的数学家安德鲁·怀尔斯和他的学生理查·泰勒联手成功证明。该定理证明中利用了诸多数学的前沿知识，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗瓦群论和赫克代数、谷山-志村猜想、岩泽理论和科利瓦金-弗莱切方法等，这个复杂的证明过程使人们怀疑：在当时费马是否真的找到了正确证明。

其实，怀尔斯10岁时就被费马大定理吸引住，并从此选择了数学作为终身职业。在采访中他说：“上大学之后，我一直在想，历史上许多人把可想到的办法都想到了，最终也没有解决费马大定理，所以我觉得必须要学习更高深的数学。从研究生阶段，我把更多的精力放在了拓宽自己的视野方面。看起来我似乎是暂时离开了费马大定理。”

1977年，怀尔斯与科茨共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想——伯奇-斯温耐顿-代尔猜想的特殊情形（即对于具有复数乘法的椭圆曲线）。1984年，他和马祖尔一起证明了岩泽理论中的主猜想。1986年，安德鲁·怀尔斯决定向费马大定理发起冲击。他先用18个月的时间，收集了这次冲击所必要的数学工具，而他全面的估计是：他接下来要做的，是可能长达10年的专心致志的努力。1994年，在此前工作的基础上，怀尔斯通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山-志村-韦伊猜想，从而完全证明了费马大定理。

我国著名数学大师陈省身曾经说过：“20世纪最杰出的数学成就有两个，一个是阿蒂亚-辛格指标定理，另一个是费马大定理。”可见，怀尔斯有着极高的国际学术水准。

秘密进行的艰苦研究

1980年，怀尔斯在剑桥大学取得博士学位后来到了美国普林斯顿大学，并成为这所大学的教授。在科茨的指导下，怀尔斯或许比世界上其他人都更懂得椭圆方程，他已经成为一个著名的数论学家，但他清楚地意识到，即使以他广博的基础知识和数学修养，证明费马大定理的任务也是极为艰巨的。在怀尔斯的费马大定理的证明中，核心是证明“谷山-志村猜想”，该猜想在两个非常不同的数学领域间建立了一座新的桥梁。“那是1986年夏末的一个傍晚，我正在一个朋友家中啜饮冰茶。谈话间他随意告诉我，肯·里贝特已经证明了谷山-志村猜想与费马大定理间的联系。我感到极大的震动。我记得那个时刻，那个改变我生命历程的时刻，因为这意味着为了证明费马大定理，我必须做的一切就是证明谷山-志村猜想……我十分清楚我应该回家去研究谷山-志村猜想。”怀尔斯望见了一条实现他童年梦想的道路。后来，怀尔斯做了一个重大的决定：要完全独立和保密地进行研究。他说：“我意识到与费马大定理有关的任何事情都会引起太多人的兴趣。你确实不可能很多年都使自己精力集中，除非你的专心不被他人分散，而这一点会因旁观者太多而做不到。”怀尔斯放弃了所有与证明费马大定理无直接关系的工作，任何时候只要可能他就回到家里工作，在家里的顶楼书房里他开始了通过谷山-志村猜想来证明费马大定理的战斗。

nlc202309091049

有一种普遍的说法是，怀尔斯在完全保密的状态下进行专心研究，不让任何人知道他所做的事情，也不与任何人进行交流。在那7年时间里，只有他的妻子知道他在做什么。在采访中，怀尔斯澄清了这种说法：“其实一开始的时候，我还是告诉了一些同事。但他们知道之后，只要一见到我，就不断地问进展情况，使我感到了很大的压力和干扰。所以我觉得还是不要讲出来更好一些。并且我意识到，要解决这个问题，需要很长很长的时间。在这个过程中被人不断问及，我就要承受很大很大的压力。就像一个小孩在成长的过程中，如果老是被人问怎么了，到什么地步了，那这个小孩就会很难堪。”就这样，他逐渐转入一种秘密状态下的战斗。

无论如何，如果我们只是强调客观困境，沉迷在外界无止境的消耗和诱惑、内心无止境的欲望和算计之间，我们的头脑就会永远纷乱复杂下去。对于子女的教育态度，怀尔斯认为：“我希望孩子们选择自己喜爱的东西，不见得一定是数学。一个人最重要的是做他自己真正喜欢的事情，特别是在年轻的时候。”

勇于追求自己挚爱的事业

数学从思维和技术等方面为人类文化提供了方法论基础和技术手段，极大地丰富了人类文化，因此，数学文化是人类文化重要的组成部分。一次，在北京进行的学术报告会上，怀尔斯讲述了费马大定理的历史过程，他从古希腊先贤讲述到费马，再讲述到高斯，其中也讲述到他自己。“虽然他证明出了费马大定理，但他还是把这一过程讲述了很少，可以看出他的谦和之处……”数学家文兰院士认为，其实怀尔斯自己7年的证明过程是他最困难的时期，但他却没有过多地强调这一点。他讲述前人的历史主要是想说明自己的研究是站在前人的肩上的。

怀尔斯希望年轻人能勇于追求自己所挚爱的东西，因为对事业的投入和热爱将使他们在前进的途中所向披靡。科学研究是极其艰苦的探索过程，需要坚强的意志和百折不挠的努力，需要竭尽全身心的投入，需要排除一切来自外界的干扰和诱惑。出于对科学研究这种特殊劳动的理解和尊重，不少国家的大学、研究机构为科学家的研究工作提供了宽松的环境和条件。怀尔斯在一心破解费马大定理的近10年间，没有发表过一篇论文，但他所在的普林斯顿大学并未因此对他有所责难。由此可见，科学上的“隐士”精神实质是集中、专注、执著地全身心投入与对名利的淡泊，以及心态上的平和。伟大的科学突破既需要科学工作者本身的修养，更需要社会、环境的宽容和支持。

篇5：《费马大定理-谜题的破解》

(Andrew Wiles)由于成功证明此定理，获得了1998年的菲尔兹奖特别奖以及2005邵逸夫奖的数学奖。

1637年，费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时，曾在第11卷第8命题旁写道：“将一个立方数分成两个立方数之和，或一个四次幂分成两个四次幂之和，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和，这是不可能的。关于此，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下。”毕竟费马没有写下证明，而他的其它猜想对数学贡献良多，由此激发了许多数学家对这一猜想的兴趣。数学家们的有关工作丰富了数论的内容，推动了数论的发展。

怀尔斯证明费马大定理的过程亦甚具戏剧性。他用了七年时间，在不为人知的情况下，得出了证明的大部分；然后于1993年6月在一个学术会议上宣布了他的证明，并瞬即成为世界头条。但在审批证明的过程中，专家发现了一个极严重的错误。怀尔斯和泰勒然后用了近一年时间尝试补救，终在1994年9月以一个之前怀尔斯抛弃

过的方法得到成功，这部份的证明与岩泽理论有关。他们的证明刊在1995年的数学年刊之上。

篇6：《费马大定理》读后感

费马大定理的过程好似一个奥数题，需要用到无数的知识点，怀尔斯就是依赖无数的数学前辈来一一补足脚下的砖头，每一块都经得起检验，经得起逻辑的检验方能算是成功，不能有一丝侥幸。唯有这样，下一辈的数学家才能放心踩着费马大定理去到另一个地方。这是西方哲学式的逻辑严密，是绝对理性的一场胜利。

说回个人爱好，数学里非常喜欢几何的灵机一动看透某条辅助线―轻松证明某题;私下里觉得提出猜想的人比证明的人更厉害(貌似费马确实比怀尔斯要出名的多)。灵感、玄妙作为中国人不能不爱这样的飘逸境界。A “ 但世界是公平的越是美越可能在用处方面要差的多” vs B “世界就是这样越是好的，可能会更好”。

篇7：《费马大定理》读后感

《费马大定理》这本书是以费马大定理为核心，追溯到它的起、诞生与发展，描述了在漫长岁月中为寻求它的证明发生在数学界中发生的可歌可泣的动人故事。

什么是费马大定理呢?这得追溯到古希腊的毕达哥拉斯以及毕达哥拉斯定理(类似于勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即x?+?=z?)，而费马大定理是”业余数学家之王“费马在法官全职工作之余突发奇想提出的：将上述次幂数改为及以上，则不能解出整数解，即方程xn+n=zn在n≥时没有非零整数解。这个初中生也能看懂的问题，它的证明竟然让8年中一代代数学家前仆后继，却都壮志未酬;满怀热情，却都铩羽而归：导致人们不禁怀疑费马大定理的正确性，怀疑费马的那句千古名句：”我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下。“

从小我就深知自己数学思维先天不足，后天又没能得到有效训练，因此求学期间深受数学的.困扰，高一分科时果断选了科，大学和工作后也为不用再碰数学而欢呼雀跃。以前一直在困惑一个问题：数学到底有什么用呢?那些数学公式、解题技巧除了成为重点中学、大学的敲门砖外，对不直接从事数学工作的我说实在感受不到它的具体用处，当然不能否定学习数学过程中帮助我们塑造了一种系统化、理性化、条理化的思维方式以及教给我们足以应付日常生活中简单运算的能力。以我浅薄的数学认知，我至今还是认为很多数学家现在做的工作是无用的，尤其是纯粹数学，但这也是我不禁困惑和敬佩的原因。

读了《费马大定理》这本书，我才知道，原数学是如此严谨，却又如此浪漫，这是一个兼具理性与感性的国度。

数学应该是全世界最严格的一种科学。证明是数学的核心，也是它区别于别的科学之处，别的科学有各种假设，它们为实验证据所验证直到它们被推翻，被新的假设替代。如物理学上牛顿的力学定律，即使不说他被推翻但我们能够发现它使用的局限;再如对物质基本粒子的探索，由原子到质子电子中子，再到反物质、夸克，最后到现在被称作弦的粒子……可是数学不一样，在数学中，绝对的证明是其目标，如果我们从一个正确的陈述或者公理开始，然后严谨地按照逻辑，一步一步去推论，得出最后结果的时候，这个东西就定下了，就再也推翻不了了。毕达哥拉斯定理，后人能够推翻吗?不可能，任你有多大的反对的力量跟意志，你都没办法毁灭数学所取得的成就。数学家所做的就是用他们的心灵去思考那些数学的柏拉图理念，追求天衣无缝的逻辑推理。

数学因它的严谨让世间绝大多数凡人都望而却步，只可远观而不可亵玩，但它又是如此有魅力，吸引一代代智力卓绝的精英，把自己的生命献祭上去，这是一多么浪漫的事情!尤其是他们干这些外人看完全没用的事的时候，这么投入，这么专注，哪怕生命威胁就在眼前，都浑然不觉。(fsir)比如说在罗马军队入侵的时候，古希腊数学家阿基米德浑然不觉，还在沙地上做算术，一个罗马士兵喊他他不理，其实很可能是他太专注于沙地上他写的那些算式了。于是罗马士兵很生气，一剑刺进了他的胸膛，就结束了这一代大数学家的性命。可以说，整个数学史，就是一曲波澜壮阔的浪漫史诗。

严谨而浪漫的数学是人类无法抗拒的智力游戏，就像造物主在实物世界之外留下的线索，看不见却实实在在。

二、兴趣和执着点亮人的生命

三百多年，费马大定理见证着一代代数学精英的雄心壮志和折戟，终于在1英国剑桥大学的一个演讲上，这本书的男主角安德鲁・怀尔斯实现了自己童年时的梦想――证明了费马大定理，虽然后因为一个小缺陷推迟了证明的最终公布，但这并不影响怀尔斯解决了费马大定理这一卓越成就。

10岁那年，怀尔斯在图书馆遇见了这道百年谜题，自此与数学结下了不解之缘，成为职业数学家后，开始研究看似与费马大定理完全没关系的椭圆曲线，后他通过学习伽罗尔的”群论“和谷、志村对于椭圆曲线和模型式一一对应的猜想(千万不要问我椭圆曲线、群论、模型式是什么?我也不懂)，突然眼前一亮：原困扰人类几百年的费马大定理，是有可能通过模型式这个数学的独立领域，作为桥梁过渡到他自己熟悉椭圆曲线的领域，从而反过间接地证明费马大定理。紧接着就是长达7年一个人孤独地躲进自家小楼，从此目不窥园，潜心研究费马大定理的证明，除了他的妻子外没有人知道他在研究什么。尽管这一证明过程我无法理解，但这肯定是极其漫长与艰难的。他回想这一段研究时光的时候，怀尔斯打了个比方，他说：解决费马大定理就像穿过一个一个的黑屋子，首先我到一个黑屋子，什么都看不见，我先得去摸，摸这个屋子里的所有家具，所有摆设，等摸得烂熟，对这个房间的每一个纹理都清楚的时候，我才能找到它的电灯开关，我打开电灯开关，才能知道下一个屋子的门在哪儿，打开那个门，然后进入下一个屋子，然后又开始这个过程，而且不知道什么时候是一个头。

当然，最后这些负担都变成了礼物，这些受的苦照亮了前行的路。这是少年时代的梦想和7年潜心努力的终极，怀尔斯终于向世界证明了他的才能。正如马克思所说：”在科学的道路上没有平坦的大路可走，只有在崎岖小路的攀登上不畏劳苦的人，才有希望到达光辉的顶点。“

其实，人类知识领域智力领域的任何丰碑，每一块砖，每一块瓦，都是必须由两个基本元素――兴趣和执着堆积出的，兴趣开启了事业的大门，而执着成就了最后的成功，两者共同点亮了其中的每一块砖，每一块瓦，每一个人的生命。

当然，在费马大定理的动人故事中，怀尔斯不是唯一的主角，无数数学家为之奋斗过，他们甘为基石，他们也是英雄：失明却多产的欧拉，罕见的女数学家热尔曼，众所周知的数学天才高斯，充满悲壮色彩的伽罗尔，日本数学家谷和志村……他们高瞻远瞩，耐住寂寞，矢志不渝，执着于追求科学真理，哪怕付出自己的全部也在所不惜。

三、生活赋予学术泉和灵魂

生活与学术是什么关系呢?我之前一篇随感里面提到的：两者不是完全对立的，而是相互交融、相互促进的。怀尔斯用自己的学术人生告诉我们：生活并不是学术的绊脚石，相反，生活不仅赋予了学术泉，也为学术注入了灵魂，提供了更多的支持。

怀尔斯在长达7年秘密、孤独的求证之旅中，也曾经压力大到想放弃。当压力变得很大时，他会转向他的家庭，他放松的唯一方式就是和”和孩子们在一起，年幼的他们对费马好唔想去，他们只需要听故事，他们不想让你做任何别的事情“同时，他对妻子许诺：要把这份研究成果作为给她的生日礼物，尽管迟了2年，但他最后还是成功地将这份数学史上最伟大的证明敬献给了他的妻子。

除了家庭给予了怀尔斯精神动力之外，他的”朋友圈“也在他最终证明关键一步雪中送炭。当199年那场演讲后，审核证明原稿时发现的一个小错误让怀尔斯压力大到几度崩溃，想要放弃。但他此时不再关起门自己搞，而是找到了在求证工具领域有很深造诣的约翰泰勒合作探究，彼此分享思想，弥补那一个小缺陷，最终实现了童年的梦想，完成了数学史上最伟大的证明。

学术如果还待在书斋，不能融入火热的社会和沸腾的生活，这样的学术必死无疑。当然，孤芳自赏式钻研学术，没有生活的气息，可能人生的幸福感会降低很多，会留下些许遗憾。

篇8：费马大定理的初等巧妙证明

1政府对数学传播的主导与社会培育

1978年“陈景润成功证明哥德巴赫猜想”和1993年“怀尔斯破解费马大定理”两大数学科学事件都曾轰动一时。媒体的相关报道不仅让各界极大关注着数学的发展进程,同时数学神话的媒介事件也成为公众多年来津津乐道的话题。例如,费马大定理被怀尔斯证明的消息传出后,美国公众广播网对怀尔斯进行专访。英国广播公司BBC相继拍摄了《费马大定理》电视纪录片并斩获大奖。类似的情景也同样发生在中国,20世纪70、80年代,各类讲座、报刊、广播、传记、影像媒体如同盛宴一般纷纷采访并邀请陈景润,数学以从未有过的公开方式向大众广泛传播。

2科学的大众消费文化

霍尔顿认为分析媒介事件另外一个重要成分,是探讨科学以外的文化发展。如今的怀尔斯已不再是单纯的费马大定理的数论专家,他更是全球大众文化闪耀的数学明星。《纽约时报》曾在头版以《终于欢呼“我发现了”久远的数学之谜获解》为题报道费马大定理被证明的消息。有人透露,《人物》杂志将他与戴安娜王妃、克林顿总统等一起列为“本年度25位最具魅力者”;一家国际企业曾邀请这位腼腆的数学家为其新系列男装做广告。在这场盛宴中,大众媒体借助传奇、魔幻、争议、时尚的方式吸引眼球,制造出“公众人物”和“名人”,来显示科学专家的神秘莫测和数学的无限威力,以此激发公众的狂热、震撼与痴迷。充满好奇和充当无知看客角色的公众体会着科学娱乐文化。科学逐渐沦落为大众休闲消费的一件商品。

数学猜想有着巨大的诱惑,多年来一直被媒体认为有着文化商机。2000年3月18日,美国布卢姆斯伯里出版社和英国费伯出版社向世界悬赏,宣布在两年之内“哥德巴赫猜想”破解者将获得100万美元的奖金。消息一出,全球掀起了一股“哥德巴赫猜想”的热潮。而实际上,有相关人员指出此次活动是由两家出版社策划为希腊作家阿波斯托洛斯·袄克西亚季斯的小说《彼得罗斯大叔和哥德巴赫猜想》所作的商业宣传。从20世纪起,科学作为传播内容就已经被纳入到大众媒介的生产运营规则中,并被进行着不同方式的编码。大众媒介诸如讲座、书籍、报纸、杂志、广播、电视、博物馆展览和互联网等不断地创造各种科学意象和商业活动来刺激公众的科学文化消费。媒体记者、编辑和策划人也巧妙运用商业文艺手法对科学信息进行选择、加工和制造,创造出面向普通大众的休闲阅读文本。

3“数学猜想”的媒介涵化研究

明星数学家怀尔斯、学习楷模陈景润的象征性意象已经成为媒介科普文化的一个重要组成部分。它体现的不仅是数学家特立独行的行为方式,更是不同时代的意识形态与价值理念。媒介的文艺包装让这种意象唯美化、通俗化,便于公众陶醉其中,并形成普遍的认同。崇尚科学、追捧科学不仅成为生活时尚风潮,同时也是人们羡慕科学精英身份的重要标志。

但是,这种理想却与现实不符。法兰西科学研究院拒绝公众对费马定理的证明、中科院告诫人们避免误入哥式猜想歧途,明显说明一个事实,“费马大定理和哥德巴赫猜想”的数学神话造成公众科学世界观与现实常规科学严重分离。这种分离导致公众与专家的兴趣点和语境出现鸿沟,造成彼此话语对接的缺失。公众的科学世界很大程度来自媒介的教化培养,我们称之为媒介的涵化效果。

参考文献

篇9：勾股定理与费马大定理

如果有人问起上世纪数学界最重要的结果是什么,相信很多人都会说是费马大定理.这个悬置长达350多年､比哥德巴赫猜想更著名的难题,在1995年被英国数学家怀尔斯彻底解决.同年,怀尔斯因此荣膺数学界著名的沃尔夫奖.

学过平面几何的人都知道,设a､b为直角三角形的两条直角边边长,则斜边长c跟a､b满足关系式c2=a2+b2. 中国人称它为“商高定理”,因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载,古代数学家商高谈到过这个关系式.但人们更普遍地称其为勾股定理,这是因为在《周髀算经》中记载着“勾三股四弦五”.在西方,上述关系式称为毕达哥拉斯定理,这是因为西方的数学及科学来源于古希腊,古希腊流传下来的最古老的著作之一便是欧几里得的《几何原本》,而其中许多定理再往前追溯,自然就落在毕达哥拉斯的头上了.毕达哥拉斯被西方推崇为“数论的始祖”.

如果把勾股定理c2=a2+b2中的 a ,b ,c视为未知数,则它就变成了一个不定方程(即未知数的个数多于方程个数的方程).方程c2=a2+b2也是最早得出比较完整解答的不定方程,因为每一组勾股数即是这个方程的一组正整数解,而勾股数的规律和构造方法古人早已发现.

法国人费马(Pierre de Fermat, 1601-1665)虽然学的是法律,从事的也是律师的职业,但他对数学却有浓厚的兴趣.他在业余时间常阅读各类数学书,并且自己也从事一些数学研究,钻研一些数学问题.他在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》一书中关于方程x2 + y2 = z2的一般解的论述时,在书的空白处,用笔写下这样的心得:“反过来说,不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和,一个四方数分拆为两个四方数之和.更一般地, 任何大于二的方数不能分拆为两个同样方数之和.我已发现了一个绝妙的证明,但因为空白太小,写不下整个证明”.用数学语言来表达,费马的结论是:

当n≥3时, 方程xn+yn=zn 没有正整数解.

这个方程的形式与勾股定理很相似,仿佛是勾股定理的一种延伸,只是字母的次数由2变为了n(当然,还选择用不同的字母来表示,但这不是实质性的区别).费马的结论中,当n=2时,就是勾股定理的情形,这时方程有无数组正整数解,每组勾股数都是它的解.

虽然只是指数由2变为了n(n≥3),但问题的难度却陡然升高了许多许多.人们费尽了心血,包括最杰出的数学家和数不清的业余数学爱好者,但很长时间一直找不到费马大定理的证明方法.后来,人们已经不相信费马是真的找到了这个结论的证明,推测他可能如成千上万的后来人一样,自以为证明出来而实际上搞错了.然而,费马确实创造了一种独特的方法,证明了n=4 的情况.n=3 的情况则是大名鼎鼎的数学家欧拉在1753年给出的.19世纪初,实际上只有n=3,n=4两种情况得到了证明.而n=5的情况则是在经历了半个多世纪,一直到 1823年才首次完全证明.费马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战.为了表示学术界对它的重视,1816年法国科学院首次为费马大定理设立了大奖.许多大数学家,其中包括当时顶尖的数学家,如高斯和柯西,都曾热衷于这个问题.然而,他们并没有实质性的突破.

在早期尝试解决费马大定理的英雄豪杰里,还有一位巾帼英雄,她是德国的苏菲·日尔曼.小时候她是一个很害羞､胆怯的女孩,靠自学､阅读来研究数学.由于当时女性在数学界受到歧视,她就用一个男性化名同一些大数学家通信,其中包括高斯和勒让德.她的才能使这些一流的数学家大为惊讶.

随着数学各分支的不断发展,各种数学工具涌现了出来,数学家们手中的武器越来越多.进入20世纪,在许多代数学家前仆后继的努力之下,1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一个定理.他的证明用到了多位数学家的成果.这个定理表明,如果xn+yn=zn有一些互质的正整数解,那么解的个数最多也只有有限多个.另一位数学家希斯·布朗则证明了,对于几乎所有的质数,费马大定理都成立.

1985年,德国数学家符莱又把费马大定理的研究向前推进了一步.

英国数学家怀尔斯正是沿着前面许多数学家开辟的道路,在经过漫长的7年探索后,终于在1993年6月取得了突破,并最终在1995年完全证明了费马大定理,为这个世界难题彻底画上了句号.

篇10：费马大定理的初等巧妙证明

1 科学研究的思路

在世界上，以数学为内容的竞赛有着悠久的历史：古希腊时就有解几何难题的比赛；我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛；16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理向人类的智慧挑战了300年；18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现. 数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些比赛，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚.

国际奥林匹克数学竞赛命题紧密结合中学数学教学实际，活而不难，趣而不怪，巧而不偏，力求体现出科学性、知识性、应用性、启发性、趣味性的综合统一. 数学竞赛活动是备受青少年喜爱的一种数学课外活动. 通过有趣味、有新意、有水平的题目，开发智力，引导学生提高数学素质. 数学竞赛活动是落实数学素质的一种好形式. 数学竞赛积累了一批闪耀着数学思想和智慧的好题目，引导学生研究赏析它，是一件赏心阅目、幸福愉快的事情.

数学是科学发展中的重要工具，历史证明它给人们处理问题的巧妙方法并启迪人们思维. 猜想是创造思维的先导，猜想之余就是周密细致、艰苦的论证，符合逻辑推理、符合自然规律、符合实际情况的猜想皆形成理论. 哥德巴赫猜想引起许多象陈景润这样的大师论证；我们大家的老师欧拉在数学领域中是富翁，他也是先提出很多猜想，进一步论证；我国数学家微分几何之父陈省身的弟子丘成桐现在美国哈佛大学是微分几何阵地的领先者，他先后证明了有名的几个猜想，并且自己提出了一百多个猜想且一一进行了论证，大胆猜想才会有创造.^[1]

2 费马小定理

3 国际奥林匹克数学竞赛题

4 国际奥林匹克数学竞赛题的命题规律及解题方法

国际奥林匹克数学竞赛题按代数、数论、几何、组合数学、组合几何等分类，确定试题难度（A、B、C三级），选择30题左右，其中初等数论常在一套题中占16. 而在初等数论中，数的整除性、同余式占有十分重要的地位. 应用费马小定理、牛顿二项式定理，采用巧妙、灵活的分组方法证明被除数中含有除数的全部质因子. 对数的整除性还可以应用反证法、数学归纳法、等价关系等方法求解. 应用这些解题方法的具体解题过程祥见我们即将出版的《历届国际奥林匹克数学竞赛题题解》.^[9]

参考文献

[1] （美）M.克莱因著，北京大学数学系数学史翻译组译.古今数学思想[M].上海：上海科学技术出版社，1981:3-56.

[2] 《数学手册》编写组. 数学手册[M].北京：人民教育出版社，1979-5:12-87.

[3] 潘承洞，潘承彪. 初等数论[M].北京：北京大学出版社，2005-7:36-88.

[4] Gauss,C.F. :Disquisitiones Arithmeticae, trans.A.A. Clarke,yale University press,1965:26-45.

[5] (美)G.H.Hardy;E.MWright An Introduction to the Theory of Numbers Oxford University Press 2007-3:42-78.

[6] 华罗庚著. 数论导引[M].北京：科学出版社，1957-07:10-125.

[7] 张贤科.代数数论导引(第2版)[M].北京：高等教育出版社2006:20-56.

[8] （美）JosephH.Silver man Friendly Introduction to Number Theory,(3rdEdition)Prentice Hall/ Pearson 2006:35-89.

[9] Kenneth Ireland, Michael Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 2nd ed Springer-Verlag 2003-6:15-50

作者简介刘宝成，1963年生，男，陕西省凤翔县人，机械工程硕士在读，副教授，陕西航空职业技术学院机械系材料成型教研室主任，从事模具设计与制造专业教学和研究.

篇11：费马小定理和素数在密码学的应用

【关键词】求模运算 RSA算法米勒拉宾算法密码学

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）11-0199-02

公元前在古希腊就产生了早期的算术，直到20世纪初才开始使用数论这个词汇。而从早期到中期的这段时间数论却几乎没有什么发展，直到19世纪才由费马、梅森、欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特等人发展起来。而且主要内容是寻找素数通项公式，由初等数论向解析数论和代数数论转变，但也产生很多无法解决的猜想。20世纪有些猜想得以解决，但现在仍然有很多结论是以黎曼猜想一类未能被完全证明的猜想为理论基础的，也就是说假使这些猜想是正确的很多理论也会随之正确并有可能上升为定理，一旦猜想是错误的很多理论也会随之覆灭。目前解决大多数猜想的瓶颈就是素数通项公式，有这样一个说法“如果找到一个素数通项公式，一些困难问题就可以由解析数论转回到初等数论范围”，可见，素数在当今还有很大的研究空间，尽管我们无法确定素数通项公式是否存在。而我想就当前日益发展的科技领域谈谈数论中素数的关键地位。

在这个科技化时代，计算机的地位不断上升，人们对计算机的诉求也不断增大，可能作为一个普通的程序员对于计算机内部的数据处理和优化没有太大的需求。而想要使计算机变得更加强大性能更加优异，除了在硬件方面的进步，在优化算法方面，数论方面的知识有着广泛的应用。例如在计算机算术、计算机设计、计算机理论、计算机复杂度等。而这之后，就会有大量的信息在网络世界中流通，而这之中不乏一些机密信息，信息安全就显得日益重要，密码学也就应运而生。20世纪中后期就产生了一种RSA码，这种神奇的密码正是利用了素数成为至今仍有实用价值的密码。

随着人们慢慢注意到素数的特殊性，人们对这种特殊数字的研究也更加深入，素数在密码学的作用也变得越来越大。

一、素数测试

如果用最普通的方法获得素数，无非就是随机获得一个数，然后对其进行素性测试。素数的定义就是除了1和它本身以外没有其它的因子。假定该数字为p。

用简单的计算机语言描述就是：

for （int i=1;i<p;++i）

if（p%i==0） continue; //p≡0（mod i）即p能被i整除

则p不是素数。

但是这样的方法复杂度高达O（n）。如果加以优化，只需要试除到：

for （int i=1;i<sqrt（p）;++i）

if（p%i==0） continue; //p≡0（mod i）即p能被i整除

这样复杂度就降到了O（sqrt（n））。

但是如果采用了米勒拉宾素性检测法，计算将更加简单。

数学原理如下：

若p为素数，a为整数，且a、p互质。

则有ap-1≡1（mod p）

其等价形式为： ap≡a（mod p）

证明如下：令ap-1=k×p+1

则ap=（k×p+1）*a

也即 ap≡a（mod p）

引理：若p为素数（p>2），

如果 x2 ≡1 （mod p）且x既不是1也不是p-1，则称x为“1模p的非平凡平方根”

欲证明素数没有满足模p余1的非平凡平方根存在。

证明：假设x是一个模p余1的非平凡平方根，则有：

x2≡1（mod p）

（x+1）（x-1）≡0（mod p）

因为x是非平凡的，就有（x+1）与（x-1）和x互质，就是说（x+1）和（x-1）都不能被p整除，因此（x+1）（x-1）不能被p整除，矛盾。证毕

素数没有满足模p余1的非平凡平方根。

即如果一个数模p余1下有非平凡平方根，则n必为合数。

由该引理可知，若存在x2≡1（mod p），则p必为合数。

利用以上这些性质，产生了著名的米勒-拉宾素性检测算法：

定义

x02≡1（mod n）

x12≡1（mod n）

…

xtt-12≡1（mod n）

xi是满足1<xi<n-1的随机数，在这一计算过程中，如果有任意一个xi≡1（mod n），根据引理，则n必为合数。

二、RSA码

RSA码的发明就是对素数实际运用的例子。由欧几里得证明的算数基本定理可知任何一个自然数都可以分解为素数的乘积。但是将一个大整数分解只能用较小的素数依次尝试，这种方法无疑是很耗时的。大可在一段固定的时间就更换一次，这样的密码策略堪称无懈可击。

接下来有N、a、X、p、q，其获得过程如下：

1.任意选取素数p、q，N=p×q。

2.中间量r=（p-1）×（q-1）。

3.选取a和X两个互质的数，使之满足aX≡1（mod r）。

4.彻底销毁p、q，公开N和a，将X作为解密关键。

小明想把数字A（A要小于N）传送给小芳，他并不是直接把A发出去因为这样有可能会被其他人截获，于是我将A连续乘a次，再除以N，将余数发给小芳。小芳手里有一个小明都不知道的数字X，她将余数连乘X次，然后除以N，得到的余数就是A。

即小明需要执行的程序是：

temp=pow（A，a）; temp=temp%N; //temp是一个中间量

然后将temp发给小芳，小芳需要执行的程序是：

temp=pow（temp，X）; B=temp%N;

答案B就是当时小明实际想表达的A。

只要素数p、q足够大，N也就很大，a和X的推导过程都是由p和q决定的，只要我销毁p、q，破密的人则需要对N进行整数分解，那将是一个非常庞大的计算量。而且只要N足够大，可以表达的A也就非常大。

这种加密方式其实是公开了打乱一个特定信息的方式，任何人都可以用我公开的方法加密信息，但是由于计算量太大，最终能够整理混乱的信息解出最终答案的人只有我自己。可是有人会说利用现有的费马小定理加上概率测试素数法，在一个较短的可以接受的时间内是可以算出几十位数的分解结果的。即便是一百多位的数，利用现在的网络技术无数台电脑通过交流信息将这个庞大的计算任务细分化，也就是云计算的方式，也是可以解决的。但是试想现在已经计算出的素数位数早已上千位，两个千位级别的素数相乘之后得到的数字恐怕计算机技术有再大的突破也是难以匹敌的。

综上所述RSA码成功的秘诀就是能够获得很大的素数，米勒算法就是一个获得素数的不错算法。将两者结合起来就形成了著名的RSA密码。

参考文献：

[1]张尔光.正整数的方幂的方阵与费马定理——费马定理不成立的必要条件[J].数学学习与研究，2012.12.

[2]袁树雄，韩凤英.密码学基础研究[J].科技资讯，2008.5.

本文来自 360文秘网(www.360wenmi.com)，转载请保留网址和出处

【费马大定理的初等巧妙证明】相关文章：