公因数和最大公因数教案

公因数和最大公因数教案（共15篇）

篇1：公因数和最大公因数教案

公因数和最大公因数

【教学目标】

1．通过解决实际问题的活动，进一步理解公因数，最大公因数和素因数的意义，掌握求两个数的公因数，最大公因数的基本方法。

2．经历对问题的分析，观察，找规律，讨论的过程，进一步加深对公因数，最大公因数和素因数意义的理解，体会选择适当方法解决问题的优化思想，锻炼分析问题和解决问题的能力。3．在积极思考、积极参与讨论的活动中，自觉改进学习，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高。

【教学重点与难点】理解公因数，最大公因数和素因数的意义，并会求两个数的公因数，最大公因数，知道互素和素数有什么区别.教学过程设计

一、情景引入

练习：请大家拿出练习本，分别写出 6 的因数，8 的因数 6 的因数： 1、2、3、6 8 的因数： 1、2、4、8 教师：太好了，我们已经学会找一个数的因数 那么请你们仔细看一看，学生不难答出6 和 8 的公有的因数是1和2 猜想：这样老师就可以让学生猜想几个数的公因数的定义：几个数共有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的一个数叫做这几个数的最大公因数

二、学习新课

问题的提出：植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树，老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组的男生人数都相等，请问，这56名同学最多分成几组？ 问题的分析：

1．24和32的因数是多少？ 2．24和32的公因数是多少？ 3．24和32的最大公因数是多少？ 问题的答案：

24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24 32的因数有：1，2，4，8，16，32 24和32的公因数是1，2，4，8

812412363,6,12,241,2,4,816,32

可以看出，18和30全部共有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数

求几个整数的最大公因数，只要把它们所有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数 解法3 为了简便，也可以用短除法计算

18和30的最大公因数是2×3=6 例题4 求48和60的最大公因数

解：

48和60的最大公约数是2×2×3=12[]

三、巩固练习1．口答填空：

12的因数是（）； 18的因数是（）； 12和18的公因数是（）； 12和18的最大公因数是（）2．把15和18的因数、公因数分别填在下面的圈里，再找出它们的最大公因数

请找出下面各组数的公因数：

5和7

8和9

1和12 9和15

7和9 16和20 答案：学生口答后老师在每组后面标出公因数。

5和7(1)

8和9(1)

1和12(1)9和15(1，3)

7和9(1)

16和20(1，2，4)3．快速回答：

24的因数是（）；

篇2：公因数和最大公因数教案

教学目标：

1、经历认识公因数、最大公因数和学习用短除法求两个数的最大公因数的过程。

2、知道公因数、最大公因数的意义，能找出１～100中任意 两个自然数的最大公因数。

3、感受数学知识学习的重要性，树立学好数学的自信心。教学重难点：理解公因数和最大公因数的意义。教学准备：1-28号号码纸、小黑板 教学过程：

一、复习导入：

师：上课前，我们先来做个闯关游戏。

第一关：请同学们各自写出自己学号的因数。（学生动手练习）

第二关：谁的学号只有一个因数，请举手。你是几号？（1号）1的因数只有1。

第三关：只有两个因数的是哪些同学？这些数叫什么数？（质数）质数的因数只有2个。

第四关：剩下的同学你们的因数有几个？都是什么数？（合数）合数的因数至少有三个。

（设计意图：复习铺垫时先给学生编号，让学生写出各自号码的因数。复习因数、质数、合数的目的是加强新旧知识间的联系，为学好新知作好铺垫，为顺利导入新课，突破难点打好基础。]

二、探究新知

1、教学公因数和最大公因数

请学号是18的同学走上前来。汇报一下12所有的因数。（板书：18的因数有：1、2、3、6、9、18）

请学号是1、2、3、6、9、18的同学站到18的旁边，1、2、3、6、9、18都是18的因数。

2、请学号是24的同学走上前来，汇报一下24所有的因数。（板书：24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24。）请学号是1、2、3、4、6、8、12、24的同学站到24的旁边，1、2、3、4、6、8、12、24都是24的因数。

3、刚才我们把18和24的因数都找到了前面，这边是18的因数，（故意地）你的因数怎么只有9和18了呢？怎么不把你的因数看好呢？（学号是18的同学和学号是24的同学挣抢学号是1、2、3、6的这几位同学）

全班同学一起来做个裁判，1、2、3、6这几位同学到底该站在哪边呢？

学生说出自己的意见，师追问理由。

师：像1、2、3、6这样两个数公有的因数，可以给他们起个什么名称呢？

生自由发言，师随机指出1、2、3、6就是18和24的公有因数，我们称它们是18和24的公因数。6是其中最大的一个，叫18和24的最大公因数。板书：18和24的公因数有：1、2、3、6。

师：谁来说一说什么叫做公因数？什么叫做最大公因数？

出示概念。

师：刚刚我们是怎么找到18和24的公因数的？生说。

师：下面请按照刚才的方法，找出下列各组数的公因数和最大公因数

（1）16和24 16的因数有：

24的因数有：

16和24的公因数有

最大公因数是：

（2）15和18 15的因数有：

18的因数有：

15和18的公因数有

最大公因数是：

（3）8和9

公因数有：

最大公因数是：

（4）1和12

公因数有：

最大公因数是：

（5）3和7 公因数有：

最大公因数是：

（6）4和5 公因数有：

最大公因数是：

（设计意图：联系实际，初步感知：为了使学生初步感知公因数和最大公因数的意义，充分发挥学生的主观能动性，设计了学生活动，把１８和２４的因数同时找到了前面，结果出现了抢因数的矛盾，突出知识的生长点，唤起学生思考和解决问题的激情。为了以示公平，让公有的因数站在中间，矛盾的解决，自然地引出“公因数”的意义，这不仅调动了学生的积极性，让学生积极参与到主动探求的教学活动中，而且渗透了集合的思想。] ２、教学用短除法求最大公因数

师：请大家看黑板，找一找18和24公有的质因数。学生找出18和24公有的质因数有2和3。

师：18和24公有的质因数2、3和18与24的最大公因数有什么关系？学生说自己的发现。

（设计意图：放手让学生独立思考，体现对学生思维水平要求的提高。）

师：刚才我们明白了最大公因数与这两个数公有的质因数有关，要求18和24的最大公因数怎么办？

（设计意图：激发学生的学习兴趣。）

师：谁来说一说你是怎么做的？学生汇报，师随机引导、点拔，介绍用短除法求两个数的最大公因数的方法。

（设计意图：学生通过动手分解质因数的讨论，自主求出18和24的最大公因数，进一步让学生明确两个数的最大公因数应包括这两个数全部公有质因数的乘积，初步掌握求最大公因数的方法。）

尝试练习：试求12和24的最大公因数

（设计意图：通过探索和尝试练习让学生自主总结，求最大公因数的方法，促进学生对学习过程的反思和进一步体验。）

巩固练习：求54和72、16和48、17和53的最大公因数。

（设计意图：充分发挥学生的独立自主的学习能力，相信学生，使学生先建立学习信心，后进入到合作的学习氛围中，在共同探究中，使学生感受到自己是学习的主人。）

四、小结：

这节课你学到了什么？

篇3：公因数和最大公因数教案

一、最大公因数和最小公倍数的笔算求法

1. 分解质因数法。

18和30的最大公因数是把公有的质因数乘起来, 2×3=6;18和30的最小公倍数是把公有的质因数和独有的质因数都乘起来, 2×3×3×5=90。

2. 短除法。

18和30的最大公因数是把除数乘起来, 2×3=6;18和30的最小公倍数是把除数和商都乘起来, 2×3×3×5=90。

二、最大公因数和最小公倍数笔算求法的弊端

最大公因数和最小公倍数的应用是在分数的约分和通分上。分数加减时, 分母不同时要通分。通分就是把两个分母不同的分数化成分母相同的分数, 而公分母就是两个分母的最大公因数。如, 18就是6和9的最大公因数。约分时要看出两个数的最大公因数就可以一次约分, 省去不必要的步骤。如, 只要看出84和112的最大公因数是28, 约分就简便多了。

问题在于, 我们在约分和通分时很少用笔算的方法先求出最大公因数或最小公倍数, 再去约分或通分, 而是经常用观察的方法看出最大公因数或最小公倍数, 再进行约分或通分。

三、最大公因数和最小公倍数的口算求法

1. 最大公因数的口算求法。

把两个数中较小的一个数除以2, 如果得到的数是另一个较大数的因数, 这个数就是这两个数的最大公因数;如果不是, 再依次除以3, 4, 5……直到得到的数是另一个较大数的因数为止。如, 计算84和112的最大公因数, 先给其中较小的84除以2得到42, 但42不是112的约数, 然后再给84除以3得到28, 28也是112的约数, 所以28是84和112的最大公因数。

2. 最小公倍数的口算求法。

把两个数中较大的一个数乘2, 如果得到的数是另一个较小数的倍数, 这个数就是这两个数的最小公倍数;如果不是, 再依次乘3, 4, 5……直到得到的数是另一个较小数的倍数为止。如, 计算18和30的最小公倍数, 先给其中较大的30乘2得到60, 但60不是18的倍数, 然后再给30乘3得到90, 90也是18的倍数, 所以90是18和30的最小公倍数。

四、最大公因数和最小公倍数的口算求法的应用

最大公因数和最小公倍数的口算求法的应用广泛、简便, 省时、省力。如,

1. 求12和16的最大公因数。12÷2=6, 6不是16的约数;12÷3=4, 4是16的约数, 所以4是12和16的最大公因数。

2. 求12和18的最小公倍数。18×2=36, 36也是12的倍数, 所以36是12和18的最小公倍数。

4.计算。可以先求出36和48的最大公因数, 36÷2=18, 18不是48的约数;36÷3=12, 12也是48的约数, 所以12是36和48的最大公因数。我们用12将36和48进行约分, 再计算就简便多了, 。

实践证明, 最大公因数和最小公倍数的口算求法是比较简便的, 而且具有很强的实用性, 给学生的学习带来很大的方便。但是由于教材中没有涉及这方面的知识, 网上也没有相关资料可以借鉴。故而, 最大公因数和最小公倍数的口算求法只处于一个探索阶段, 需要教师在以后的教学实践中继续探索方法, 总结经验, 进一步完善相关理论, 并将理论应用到教学中去。

篇4：《公因数与最大公因数》教学实录

[教学内容]

人教版义务教育课程标准实验教科书五年级数学下册例1。

[教学目标]

1.理解公因数与最大公因数的意义。

2.能用公因数与最大公因数解决生活中简单的实际问题。

3.培养与他人合作的良好习惯。

[教学重点]

理解公因数与最大公因数的意义。

[教学难点]

用公因数与最大公因数解决生活中简单的实际问题。

[教具准备]

呼啦圈两个，磁钉5个，卡片5张。

[教学过程]

一、复习旧知，激发兴趣

1.复习有关因数的知识

师：同学们，我们在第二单元学习了因数和倍数，有关因数的知识你知道哪些？跟老师说说。

（一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。一个数的因数的个数是有限的。）

2.分别写出6和9的因数

师：你能写出6和9的因数吗？

（选两名同学板演）

师：6和9的因数各有几个？

生：6的因数有4个，9的因数有3个。

二、游戏介入，学习新知

师：老师把关于6和9的因数都做成了卡片，我们借助这些卡片来玩个游戏，想玩吗？（随定5名同学，一人发一张卡片）请观察你的卡片，现在你就代表你卡片上的数字。比如，张三就代表1，李四就代表3……卡片上如果是6的因数的同学请起立，拿着你的卡片来老师这。

（生拿着卡片走上讲台，确认无误后）

师：好的，谢谢同学们的参与，请先回到座位上。卡片上是9的因数的同学请起立，拿着你的卡片来到老师这。

（生拿着卡片走上讲台，确认无误后）

师：请刚才几位同学也到这来。这是我们生活中的呼啦圈，（拿出两个呼啦圈，举起一个）在数学上，我们把它叫做集合圈。

师：6的因数站到左边这个圈里来，请君入圈（4个），9的因数站到右边这个圈里，请君入圈（3个）。我们这儿总共应该有7个同学，一起数数（数总数），5个？咋回事？少了2个，那么，还有2个跑哪去了？难道是4+3=5？

生：1和3既是6的因数，又是9的因数。

师：哦，是吗？手里不是有圈吗，自己想办法，让我们看个明白，那2个跑哪去了？（学生自己想办法进入相应的圈里）

师：（数）6的因数4个，9的因数3个，中间两个被数了两次，他们两个（既是6的因数，又是9的因数）。

师：好一个“既是…又是…”，（板书）原来如此，6的因数里有他们，9的因数里也有他们。他们两个可真了不起，结合因数知识，给他们几个真了不起的数起个名字吧，看看你们的发明创造和数学家的发明创造是不是很接近？

（生思索，若有困难，师引导）

师：公共数、公因数、共有数，你们认为那一个取名最好？为什么？

（首先，他们都是因数，前面的“公”字，说明不是哪个独有的因数，而是两个共同拥有的因数）他取的名字太好了！掌声在哪里？

师：你能用自己的话说说，什么叫“公因数”吗？

生：两个数公有的因数叫他们的公因数。

师：如果是三个，四个，五个数呢？这句话怎么改？（思考，交流）

生：几个数公有的因数叫他们的公因数。

师：6和9的公因数就这2个吗？还有没有其他的？说说你的理由。

（独立思考，同桌交流，指名汇报）

师：在6和9的公因数里，最小是几？最大是几？

师：我们把3叫做6和9的最大公因数。

师：（手拿呼啦圈）6的因数，9的因数，两个圈重叠的部分就是6和9的？（公因数）。我们如何把6和9的所有因数用呼啦圈这一集合形式画出来，想想怎么画？（黑板上画出集合图）

师：这8位聪明可爱的同学们，请帮你的卡片上的数字在集合圈里找到他的位置。我们比比，看一看哪些同学贴的最快。

（学生把卡片贴在相应的集合圈里，集体订正）

师：重叠部分的这两个数叫？（板书：6和9的公因数，生齐读）

师：同学们，这节课我们学习的知识就是“公因数与最大公因数”（板书课题，课件出示课题）

三、练习巩固，强化概念

1.巩固练习

师：请完成练习纸上第2题，完成后和你的同桌说一说你是怎么做的。学数学需要交流，我们要做个善于和他人合作的人。

（学生独立完成，师巡视，若发现错误，展台展示，生观察指正）

师：事实证明同学们真的都达到第一个目标了，掌声送给自己。

师：一起来看第二个目标（生自由读）

2.强化练习

师：数学知识在我们生活中是很有用的，能帮我们科学的解决问题。看看第二个目标你是否能达到？想不想挑战一下？

（课件出示情境图）

师：这是小红家的贮藏室，自由的读一读，从中你获得哪些数学信息？（地面是一个长方形，长16分米，宽12分米）

（课件出示：小红的爸爸想用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满（使用的地砖都是整块）。小红的爸爸可以买边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？说说你的理由。）

师：来疏通一下题目中的关键词，“整分米”是指多少分米？“铺满”是什么意思？

师：我们不可能实地去铺了看看，但我们可以借助数学上的简单图形模拟贮藏室的地面，请看屏幕，这是一个长方形，长16分米，宽12分米，他要用正方形地砖来铺，我就把长方形地面画成小方格的样子，一起数数，一横排有几格？（师生一起数），一竖排有几格？（师生一起数），我们发现每个小方格的边长代表几分米？（一分米）答题卡上有方格纸，同学们亲自动手画画看，画好后，同桌或前后4个同学为一组交流，看看哪个组的同学建议最多。

（生画，交流，师巡视，指名汇报，课件演示）

师：通过这个问题，你发现了什么？和你的同桌说说。

（小结：要知道可以买边长是几分米的地砖，其实就是找长方形长和宽的公因数。边长最大是几分米？其实就相当于找长方形长和宽的最大公因数）

师：恭喜同学们，第二个目标，你们达成了，掌声送给自己。

师：看第三个目标（生自由读），为什么说和他人交流是个良好的习惯？因为，如果我们不和他人交流，会感到孤独，遇到困难会感到无助，就不会发现比自己更简单的解题方法，生活中需要交流，学习也需要交流，数学学习更需要交流，我们不仅要会做数学，还要会说数学，说解题方法，说解题思路，说你的想法。

师：我们现在已经学习了因数、公因数、最大公因数，你能说说三者之间的区别和联系吗？和你的同桌说一说。

生：因数是针对一个数来说的，公因数是指两个或两个以上的数公有的因数，最大公因数是指公因数里面最大的那一个，公因数与最大公因数离不开因数。

四、全课小结

师：这节课的学习到这就结束了，同学们，这节课你有什么收获？

篇5：找最大公因数教案

(1)使学生能比较熟练地掌握求最大公因数和最小公倍数的方法，并且能够根据不同，灵活运用简捷的方法。

(2)综合运用知识，进一步沟通知识间的联系。

教学重点、难点

重点、难点：能够根据不同，灵活运用简捷的方法。

教具、学具准备

教 学过程

备 注

一、基本练习

1、填空。(课本第67页第7题)

(1)9和27这两个数，能被()整数，()是()的倍数，()是()的约数。

(2)20以内既是偶数又是素数的数是()，既是奇数又是合数的数是()

(3)在4、9和16中，成互质数的两个数有()和();()和()。

(4)三个素数的最小公倍数是42，这三个素数是()、()和()。

(5)如果甲数=2×3×5，乙数=2×3×7，那么甲数与乙数的最大公约是()，最小公倍数是()。

学生先填在书上，再集体交流讨论，注意让学生说说思考方法。

2、很快说出下面每组数的最大公因数和最小公倍数。

11和49和65、10和20

16和1580和5、6和7

说的过程中注意让学生说出思考的过程及理由。

3、求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。

80和10015、8和30

25和330、60和75

19和388、9和10

让学生用短除法做，选做三题，交流时注意用短除法要注意的地方，同时让学生说说还有其他的思考方法。

二、综合练习

1、你能用下面的一个或几个概念和一个或几个数连起来说一句话吗?

整数自然数整除约数倍数

奇数偶数合数素数质因数

公因数最大公因数公倍数最小公倍数

教学过程

备 注

例2：2和8都是自然数，8能被2整除，8是2的倍数。

2、动脑筋：下面每组数中，你能找出不同类的数吗?

(1)1473。82345

(2)21216223647

(3)23792943

学生找出不同类的数并说明理由，教师要注意答案的开放性，学生的答案只要有理由，就应该肯定和鼓励。

3、猜一猜老师家的电话号码。

老师家的电话号码是七位数，排列如下：

最小的素数

7的最大约数

8的最小倍数

最小的自然数

最小的合数

最小的一位奇数

既不是素数也不是合数的数

三、课堂

师：本单元知识概念较多，同学们要注意这些概念的区别和联系，并能够综合练习。还有什么疑问吗?

四、作业

1、课本上第9、10题中剩余题目各选一列。

2、《作业本》

篇6：《最大公因数》的教案

18 ＝2 ×3 ×3

24 ＝2 ×2 ×2 ×3 ，把18 和24 的相同质因数相乘的积就是它们的最大公因数，18 和24 的最大公因数＝2 ×3 ＝6 。

师问：你在哪里见到过这样的方法？

生介绍书上81 页小知识：分解质因数法求两个数的最大公因数。

师：还有不同方法吗？（学生沉默）你们看看我的方法可以吗？

师介绍缩倍法：把24 缩小到它的2 倍是12 ，12 不是18 的因数；把24 缩小到它的3 倍是8 ，8 也不是18 的因数；把24 缩小到它的4 倍是6 ，6 是18 的因数。所以，18 和24 的最大公因数是6 。

3 、沟通因数、公因数和最大公因数的区别和联系

仔细观察，静静思考，因数、公因数和最大公因数到底有什么关系？

生1 ：公因数和最大公因数都是因数中的一部分。

生2 ：公因数都是最大公因数的因数，最大公因数是公因数的倍数。

4 、优化方法

仔细观察，静静思考，你更喜欢上面的哪种方法，为什么？

生1 ：我更喜欢列举法，因为列举法简单易懂，不仅可以求出两个数的最大公因数，还可以求出它们的所有公因数。

生2 ：我更喜欢筛选法，因为筛选法能更简洁、更快的求出两个数的最大公因数，也可以很快求出它们的公因数，只要再写出最大公因数的因数就是它们的公因数了。

生3 ：我更喜欢分解质因数法，……

5 、集合表示法介绍

师：还可以用下面的图来表示：

【设计意图：德国教育家第斯多惠指出：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理。”教学中，在引导学生探索问题的过程中，利用观察、发现、设问步步深入地引导学生逼近结论、求索方法。通过说思考过程、师生讨论，让学生的推理才能得以充分发挥，真正驾驭学习，成为学习的主人，为学生的自主探索发现、创新增添活力。】

三、巩固练习

1 、请选择你喜欢的方法求出下面每组数的最大公因数。

4 和8  18 和54  1 和7  8 和9

（1 ）学生独立求最大公因数，教师巡视指导。

（2 ）反馈交流：4 和8 的最大公因数是4 ，18 和54 的最大公因数是18 ，1 和7 的最大公因数是1 ，8 和9 的最大公因数是1 。

（3 ）问：你能根据最大公因数的特点把上面4 组数分成两类吗？

4 和8 ，18 和54 分成一类；1 和7 ，8 和9 分成一类。

（4 ）问：你为什么这样分？说说你的理由。

生1 ：4 是8 的因数，8 是4 的倍数，它们的最大公因数是较小数4 ；18 是54 的因数，54 是18 的倍数，它们的最大公因数是较小数18 。1 和7 ，8 和9 的最大公因数都是1 。

生2 ：我知道1 和7 是互质数，8 和9 也是互质数，所以它们的最大公因数是1 。

（5 ）追问：你是怎么知道互质数这个数学概念的？

生：我是从书上83 页的小知识中看过来的。（生介绍书上83 的小知识：互质数――公因数只有1 的两个数叫做互质数。）

（6 ）你能很快说出下列各组数的最大公因数吗？

45 和15  51 和17 13 和39

1 和15  45 和46  2 和9 13 和18  3 和11

生报答案，教师板书。

（7 ）仔细观察，你认为什么样的两个数会是互质数，它们的最大公因数是1 。

生1 ：1 和任何一个大于1 的自然数都是互质数。

生2 ：相邻的两个自然数（0 除外）是互质数。

生3 ：任意两个质数都是互质数。

生4 ：一个质数和一个合数，只要没有倍数关系就是互质数。

……

（8 ）你能很快抱出54 和48 的最大公因数吗？你认为求两个数的最大公因数要注意什么？

2 、电脑显示：小红家卫生间是长方形，如右图，小红爸爸准备装修卫生间，要在地面上铺正方形地面砖，要选边长为几分米（整数）的地面砖，才能不用锯分就能整齐地铺满地面砖呢？地板砖的边长最大是几分米？

3 、提高练习：

（1 ）综合题：两个自然数的和是52 ，它们的最大公因数是4 ，最小公倍数是144 ，这两个数各是多少？

（2 ）开放题：有两个50 以内的两位数，这两个两位数的最大公因数是6 这两个两位数分别是多少？

【设计意图：练习形式多样，层次分明，让学生体会数学的综合性和应用性，注重认知结构的深化和发展，能有效地培养学生的创新思维。】

四、全课总结

这节课你们学了哪些知识？有什么收获？

附：预习作业

1 、内容：课本第79 至81 页例1 和例2 及做一做。

2 、方法：一边看书一边画出你认为重要的信息，并理解。

3 、解决问题：

（1 ）书上介绍了（ ）和（ ）两个数学概念。

篇7：小学数学《最大公因数》教案

《最大公因数》是人教版第十册第二单元第四节的内容，教材第80到81页的内容及第82页练习十五的第3题。

设计思路

这个内容被安排在人教版第十册“分数的意义和性质”这个单元内，是学生已经理解和掌握因数的含义初步学会找一个数的因数，知道一个数因数的特点的基础上进行教学的，这部分内容既是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，又是进一步学习约分和分数四则运算的基础，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的用。

教学目标

1、使学生理解两个数的公因数和最大公因数的意义。

2、通过解决实际问题，初步了解两个数的公因数和最大公因数在现实生活中的应用。

3、培养学生独立思考及合作交流的能力，能用不同方法找两个数的最大公因数。

4、培养学生抽象、概括的能力。

重点难点

1、理解公因数和最大公因数的意义。

2、掌握求两个数的最大公因数的方法。

教具准备

多媒体课件、卡片

教学过程

一、导入

1、学校买回12棵风景树，现在要栽种起来，栽种时行数不限，但每行栽种的数目相等，可以怎么栽种？16棵呢？

2、分别写出16和12的所有因数。

二、教学实施

1、老师用多媒体课件演示集合图。

指出：1，2，4是16和12公有的因数，叫做他们的公因数。

其中，4是最大的公因数，叫做他们的最大公因数。

2、完成教材第80页的“做一做”

先让学生独立思考，再让拿卡片的同学快速站一站，那几个数站在左边，那几个数站在右边，那几个数站在中间，最后集体订正。

3、出示例2。怎样求18和27的最大公因数？

（1）学生先独立思考，用自己想到的方法试着找出18和27的最大公因数。

（2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。

（3）老师用多媒体课件和板书演示方法

方法一：先分别写出18和27的因数，再圈出公有的因数，从中找到最大公因数。

方法二：先找出18的因数，再看18的因数中有哪些是27的因数，从中找最大。

18的因数有：①，2，③，6，⑨，18

方法三：先找出27的因数，再看27的因数中有哪些是18的因数，从中找最大。

27的因数有：①，③，⑨，27

方法四：先写出18的因数1，2，3，6，9，18。然后从大到小依次看是不是27的因数，第一个数9是27的因数，所以9是18和27的最大公因数。

4、完成教材第81页的“做一做”。

学生先独立完成，独立观察，每组数有什么特点，再进行交流。

小结：求两个数最大公因数有哪些特殊情况？

⑴当两个数成倍数关系时，较小的数就是他们的最大公因数。

⑵当两个数只有公因数1时，他们的最大公因数是1。

三、课堂练习设计（多媒体课件出示）

选出正确答案的编号填在括号里

1、9和16的最大公因数是

A、1B、3c、4D、9

2、16和48的最大公因数是（）

A、4B、6c、8D、16

3、甲数是乙数的倍数，甲乙两数的最大公因数是（）

A、1B、甲数c、乙数D、甲、乙两数的积

四、课堂小结

通过本节课的学习，我们主要认识了公因数、最大公因数的意义；掌握了找两个数的最大公因数的方法：找两个数的最大公因数，可以先分别写出这两个数的因数，再圈出相同的因数，从中找出最大的公因数；也可以先找到一个数的因数，再从大到小看看那个数是另一个数的.因数，从而找到最大公因数。

篇8：公因数和最大公因数教案

关键词：基本思想,基本活动经验

“基本思想”主要指:数学抽象的思想、数学推理的思想、 数学建模的思想. “基本活动经验”是指:学习主体通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验,可以细分成直接的活动经验、间接的活动经验、设计的活动经验和思考的活动经验四种. 下面我就 《公因数与最大公因数》(苏教版五年级下册)的教学粗略谈谈增加后“两基”的价值.

环节一 经历操作活动,认识公因数

1. 操作活动.

(1)让学生分别用边长6厘米、4厘米的正方形纸片铺长18厘米、 宽12厘米的长方形. 哪种纸片能将长方形正好铺满?

(2)交流:

a.用边长6厘米的正方形纸片铺长18厘米、宽12厘米的长方形,每条边各铺了几次? 怎样用算式表示? 能将长方形正好铺满吗?

(板书:18 ÷ 6 = 3,12 ÷ 6 = 2)

b.用边长4厘米的正方形呢 ?

(板书 :18 ÷ 4 = 4… …2,12 ÷ 4 = 3)

2. 想象延伸.

(1)根据刚才铺长方形的过程,想一想:还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形? 请大家在小组里交流一下,说说怎样想的.

(板书:1,2,3,6)

(2)1,2,3,6这四个数与12有什么关系 ? 与18呢 ?

3. 揭示概念.

1,2,3,6既是12的因数,又是18的因数,它们是12和18的公因数.

(板书:公因数)

用边长4厘米的正方形纸片不能将长方形正好铺满,说明什么?

4为什么不是12和18的公因数?

数学活动经验的积累,需要多种操作活动的支撑,动手操作和参与实践是小学生获得感性知识、发现数学本质的重要途径. 这一环节首先通过铺纸片的操作活动, 让学生获得第一手的直接体验. 再让学生想象, 从对实例和现象的感知中抽象出数学知识经验. 最后,顺势揭示公因数的概念,形成数学知识. 这样的操作过程, 不仅有助于学生初步建立公因数的概念,更能激起学生的学习兴趣,感受到数学与生活的密切联系.

数学思想的获得,需要经历一个从模糊到清晰,从表象联系到本质联系的复杂思维过程, 不可能一步到位. 本环节通过安排操作活动,让学生从已有的知识经验出发,主动进行观察、比较、分析,为建立公因数的概念提供直观材料;通过猜想与交流,为揭示公因数的概念做好准备;运用正例和反例,进一步加深对公因数含义的理解.

环节二 自主探索,用列举的方法求公因数和最大公因数

1. 自主探索.

(1)8和12的公因数有哪些? 最大的公因数是几? 你能试着找一找吗?

(2)交流:说说怎样想的?

(3)总结:找两个数的公因数有哪些方法?

方法一:分别写出8和12的所有因数,再找一找.

方法二:先找出8的因数,再从8的因数中找出12的因数.

方法三:先找出12的因数,再从12的因数中找出8的因数.

你喜欢哪一种方法,为什么?

2. 明确:8和12的公因数中最大的一个是4,4就是8和12的最大公因数.

3. 用集合图表示.

(1) 我们可以用集合圈表示两个数的公因数, 你能把8和12的因数分别填在图中的合适部分吗?

(2)6是8和12的公因数吗? 为什么? 8呢? 哪几个数是8和12的公因数? 其中最大的公因数是几?

获得数学活动经验就是要求学生能把在活动中的经历和体会总结成为经验. 这既可以是学生自己摸索出的经验, 也可以是受人启发得出的经验. 关键是这些经验能否转化和建构成属于学生自己的东西. 这一教学环节中, 我设计了两个问题:“找两个数的公因数有哪些方法? ”和“你喜欢哪一种方法,为什么? ”. 目的在于引导学生经历自主、多样化的体验过程, 鼓励个性化的学习. 同时, 对学生的学习方法进行归纳、指导,以便学生掌握找两个数的公因数的常用方法.

从获得基本数学思想看:本环节利用集合图形之间的关系,向学生渗透集合的数学思想. 教学中,集合思想的概念并没有向学生解释, 重点放在指导学生看懂集合图的意思,使学生感知圈内的物体是一个整体, 它们之间存在某种共同的属性. 借助集合的思想,帮助学生加深了对公因数概念的理解.

篇9：公因数和最大公因数教案

《公因数和最大公因数》这节课的内容，是在学生已经理解和掌握因数的含义、初步学会找一个数的因数、知道一个数因数的特点的基础上进行教学的。这部分内容是“数与代数”领域基础知识的重要组成部分，对于学生的后续学习和发展，具有举足轻重的作用。

二、教学目标

课标对这部分知识的要求非常明确，让学生在解决问题的过程中理解公因数和最大公因数的意义，探索找公因数的方法，会正确找出两个数的公因数与最大公因数。

本单元的教学重点：在解决实际生活问题的过程中抽象出公因数和最大公因数的意义，探索找两个数的最大公因数的方法。

难点为：能选择正确的思维方法快速地找出两个数的公因数和最大公因数。

三、学情分析

从学生在学习本部分知识之前与之相关的已有知识经验和已有生活经验两部分来进行分析：小学四年级学生对因数和找一个数的因数已经非常熟悉，本节课是这部分知识的一个延伸，有了前面的那些知识经验学生在学习本节课时就不会感到困难，这是学生获得的知识经验；本节课内容与生活实际紧密联系，利用生活中的铺瓷砖活动等课外资源来学习公因数和最大公因数，可行又具有趣味性和挑战性，学生的学习积极性会非常高。

四、教学过程

本节课采取“四步概念教学过程”：体验感受，引入概念——抽象概括，形成概念——互动操作，巩固概念——拓展延伸，发展概念。

（1）体验感受，引入概念：说反话引起学生的思考，最终归结到“公”，感受公字的意义。

（2）抽象概括，形成概念：直接引入找12和20的公因数，自主探索其中的方法，还是从学生原有的知识入手，让学生在经历、体验中加深对概念本质属性的理解，注重引导学生自主体会，忌空洞的讲解。

（3）互动操作，巩固概念：只有真正让学生的手动起来，他们的思想才能动起来，实践出真知，铺砖就是最典型的动起来的操作。

（4）拓展延伸，发展概念：就是一个概念提升的过程，通过综合性、开放性的练习，提升学生的思维能力。

五、教学设计

（一）创设问题情境，“说反话”引起学生学习的兴趣，最终归结到“公”，引起学生的思考。针对公字作文章，对应的“私”，找到了私的，公自然呈现。在ForClass系统下设计说反话的选择题，学生利用平板操作，通过对统计结果的查看，发现对“公”的探究和感性认识；紧接着通过“公”理解对这几个词语的认识“母”、“私”、“公敌”、“老鼠是庄稼和人类的公敌”；再利用几个词语加深对公的理解，词语的意思深入到学生对公字的理解上，继续让学生理解公园、公交车、公物，在反复的理解中，让学生提炼出X既是你的，也是我的，是大家公有的。为下面的“4是12和20的公因数”这句话的引入做铺垫，学生无形当中提炼出：4既是12的因数也是20的因数，让公因数概念的呈现水到渠成。

（二）让学生主动探索，经历数学概念的形成过程。让学生自主找到12和20的公因数，充分利用学生已有的知识，感知公因数，体现自主探索的方法，概念自然呈现。在？ForClass系统下让学生不仅听到而且看到，对比中进行互动。通过动手操作铺砖的过程，小组合作、交流汇报体验铺砖的过程，ForClass实时呈现学生的操作过程，利用分屏展示对比，这样把抽象的概念实际化，体验公因数的真正意义。把抽象变为具体，从学生解决问题、发现规律的过程中，有效地引导学生发现公因数的意义。最后，利用白板的互动操作，与学生一起提炼方法。

（三）尝试练习，合作探究，总结方法。体验实际生活中公因数的存在感，铺砖操作，合作探索。在实际生活中体验公因数的现实意义，铺砖这项活动，学生肯定见过，但是没有亲自实践过，因此，可以作为亮点设计，让学生自己操作，通过亲自动手铺砖去感知公因数在现实生活中的作用。只有学生自己动手了，学生的脑子才能动起来。利用ForClass平台设计学生动手操作的版块，让学生有身临其境的体验，能收到良好的教学效果。最后，学生通过发现铺砖里面的奥秘，发现生活与数学紧密的联系，发现蕴藏在生活中的数学知识，那就是“找长和宽的公因数”。

（四）巩固练习，体验成功。利用ForClass里面设计的拖拽填空，统计学生的具体答案，不但呈现及时，而且提高了教学效率。学生通过反复练习，不断地体验成功的喜悦，增强学习的兴趣和自信心，从而提高学生的综合学习能力。

六、教学反思

课标中指出，要大力开发和利用课程资源，让学生获得丰富的学习资源，这样便于学生的学习和发展。课堂上，教师与学生人手一台学习终端，教师穿行在学生中间，通过教师的终端，随时操控电子白板；学生通过学生终端参与交互活动，完成小组讨论。“ForClass知慧课堂”以课堂互动为核心，“为教师和学生创建有效互动活动机会，全面支持知识建构和智慧发展”， ForClass的这一理念受到广大师生的支持和赞同。

篇10：五下教案最大公因数例3

教学内容

教材第79、80 页的内容及第82 页练习十五的第1 题。

教学目标

1、知识与技能：理解和掌握公因数和最大公因数的意义,并能正确找出两个数的公因数与最大公因数；

2、过程与方法：经历概念的形成过程和找最大公因数的方法，渗透集合思想，体验解决问题策略的多样化。

3、情感态度与价值观：培养学生的合作意识与探究精神，养成良好的学习习惯。

教学重点：理解和掌握公因数和最大公因数的意义； 教学难点：能正确找出两个数的公因数和最大公因数。教学过程

一、激发兴趣、导入新课

．提问：什么是因数？

．写出16 和12 的所有因数。

提问：你是怎样找一个数的因数的？

二、创设情景、抽象概念

出示例1。

(1）引导学生审题，理解题意，在储藏室的长方形地面上铺正方形地砖。要求既要铺满，又要都用整块的方砖。

(2）学生以小组为单位，探究如何拼摆。

每组4 人，在课前印好画有长方形的方格纸上，每人选择方砖的一种边长，试一试，只要画满一条长边，一条宽边就可以。

(3）多媒体演示拼摆过程，进一步验证学生动手操作的情况。

(4）通过交流，得出结论：要使所用的正方形地砖都是整块的，地砖的边长必须既是16 的因数，又是12 的因数。

根据复习题中写出的16 的因数、12 的因数中找出公有因数，得出问题的答案，地砖的边长可以是1cm、2Cm、4Cm，最大的是4cm。

老师用多媒体课件演示集合图。

的因数 12 的因数

指出：1、2、4 是16 和12 公有的因数，叫做它们的公因数。其中，4 是最大的公因数，叫做它们的最大公因数。

三、自主探究、突破难点 教学公因数和最大公因数

出示例2怎样求18和27的最大公因数？

(l）学生先独立思考，用自己想到的方法试着找出18 和27 的最大公因数。(2）小组讨论，互相启发，再在全班交流。

先分别写出18 和27 的因数，再圈出公有的因数，从中找到最大公因数。方法二：先找出18 的因数：①，2，③，6，⑨，18 再看18 的因数中有哪些是27 的因数，再看哪个最大。

方法三：先写出27 的因数，再看27 的因数中哪些是18 的因数。从中找出最大的。27 的因数：①，③，⑨，27 方法四：先写出18 的因数：1 , 2 , 3 , 6 , 9 , 18。从大到小依次看18 的因数是不是27 的因数，9 是27 的因数，所以9 是18 和27 的最大公因数。

观察一下，两个数的公因数和它们的最大公因数之间有什么关系？

四、学以致用、体验成功

1、完成教材第80 页的“做一做”。

学生先独立完成，独立观察，每组数有什么特点，再进行交流。小结：求两个数的最大公因数有哪些特殊情况？

当两个数成倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数。当两个数只有公因数1 时，它们的最大公因数也是1

2、完成教材第82 页练习十五的第1 题。

请学生填在教材上，说一说是怎样找的。追问；这两个数的最大公因数是几？

3、巩固练习

第82 页练习十五的第2、3、4、5、6题。

4、作业

第82 页练习十五的第7、8题。

5、运用拓展

有三根小棒，分别长12 厘米，18 厘米，24 厘米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少厘米？

五、自我评价、大胆质疑

在今天的学习中，你有什么收获？还有什么困惑？你对自己今天的学习做个评价好吗？

板书设计

公因数和最大公因数

18的因数：1、2、3、6、9、18 27的因数：1、3、、18的因数：1、2、3、6、9、18

篇11：《公因数和最大公因数》教学反思

公因数与最大公因数这一课教材设计了一个用边长6厘米和4厘米正方形铺长18厘米，宽12厘米长方形的问题，让学生在解决实际问题中探索公因数的认识。因此，在教学中要重视通过尝试解决问题让学生联系已有的知识来引入公因数的认识。使学生初步体会学习公因数在解决实际问题中有着重要作用。

这节课的上课情况感觉较好，课堂比较流畅，重难点也都注意到了，但是通过学生作业反馈情况来看，部分学生在寻找公因数和最大公因数时，容易出现漏掉因数的情况，如9的因数容易漏掉因数3等。在写公因数的示意图时，部分学生出现中间写了公因数后，两边还是将所有因数都写了进去，这一情况在预设时我虽然想到了学生会错，也在课堂上进行了说明，但是少数学生还是出现了错误。

用例举的策略找出所有公因数的.教学中，教材上有种层次不同学生可以掌握的方法参考，在这里的教学中我只是参照教材注重了这两种方法的讲解，这里教材的应是要求学生有序地列举就行了，不同水平的学生采用的方法可以不一样，因此，在这部分内容的教学时，有些学生运用了一些比较独特的方法寻找公因数，教师应该给予肯定，说明只要有序地列举出因数来寻找公因数就可以了。但是，对于学生出现的各种方法可以让学生进行对比，体会哪种方法更好，更适合自己，进而对自己的算法进行优化。

篇12：《公因数和最大公因数》说课稿

本课是苏教版教材五年级下册《公倍数和公因数》中的内容。在四年级（下册）教材里，学生已经建立了倍数和因数的概念，会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。本单元继续教学倍数和因数的知识，要理解公倍数、最小公倍数和公因数、最大公因数的意义，学会找两个数的最小公倍数和最大公因数的方法。为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

《课程标准》要求学生动手操作、自主探索、合作交流，结合教材的特点，我力求达到下面的教学目标：

1、经历找两个数的最大公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。探索找公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。

2、结合具体实例，渗透集合思想，培养学生有序思考的能力，让学生养成不重复、不遗漏、不重复的思考习惯。

3、培养学生能用自己的语言表述自己的发现，善于发现规律，利用规律解决问题的能力。

依据《课程标准》的要求和教学目标，我确定本课教学重点是理解公因数和最大公因数的意义，教学难点是会求两个数的公因数和最大公因数。

二、说设计理念

1、将教学内容活动化，让学生在做中学。

2、采用小组合作学习，让学生在交往互动中学。

3、充分利用原有的认知经验，在迁移中学。

三、说教学过程

依据教材特点及小学生认知规律和发展水平，整个教学过程安排了四个环节：

（一）活动探究，认识公因数

分为五个步骤：

1、动手操作：在教学公因数的概念时，让学生经历操作思考的过程，认识公因数。首先让学生用事先准备好的小长方形纸片，分别用边长6厘米和边长4厘米的正方形纸片铺满一个长18厘米、宽12浪漫的的长方形操作活动。通过学生的操作，引导学生观察正方形的边长与长方形的长、宽之间的关系，让学生看看正方形每条边各铺了几次？怎样用算式表示？，来说明为什么？

<<<12&&&

2、想象延伸：接下来让学生思考还有那些边长是整厘米数的正方形也能铺满大长方形。学生思考后，回答边长是1厘米，2厘米，3厘米的正方形也能铺满大长方形。引导学生说出只要边长既是18的因数又是12的因数，就能铺满大长方形。从而引出公倍数的概念，再强调因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的（最小是1），让学生在自主参与、发现、归纳的基础上认识并建立公因数的概念的过程。

3、归纳总结：只要正方形的边长既是12的因数又是18的因数，这样的正方形就能铺满大长方形。1、2、3、6既是12的因数又是18的因数，它们就是12和18的公因数。

4、根据 学生的总结我及时板书课题，让学生的形象思维转变成抽象思维。

5、反例教学：让学生说明4是12和18的公因数吗？为什么？

学生通过上面的一正一反教学总结出：公因数要同时是两个数的因数。

为了及时巩固，完成练一练：先让学生在图上画一画，找出公因数和最大因数，填写在书上。

（设计目的：通过具体的操作和交流活动，帮助学生理解公因数，使知识不在枯燥无。让学生到感受成功的喜悦。）

（二）自主探索，求最大公因数：

学生在已经掌握公因数概念的基础上，让学生学习怎样找两个数的公因数，学以致用。教学例4时，让学生独立思考，自主探索解决问题的方法，然后小组交流。通过具体的运用，巩固公因数的概念。让学生说说怎样找12和18的公因数，学生可能说三种方法，一是先找12的因数，从12的因数中找18的因数；二是先找18的因数，再从中找出12 的因数，三是分别找出12和18的因数，再找出相同的因数。通过比较三种方法，让学生感受哪种方法比较简捷。在此基础上，揭示最大公因数的含义，并介绍用集合圈的形式来表示12和18的公因数和最大公因数，明确集合图中省略号的作用。

（设计目的：通过学生自主学习，弄清怎样用集合图来表示两个数的公因数。帮助学生更加直观地理解概念，感受数学方法的严谨性。）

（三）综合实践、学以致用

为了体现数学来源与生活，用与生活的理念我设计三个层次的练习：

首先设计关于公因数和最大公因数的概念判断题，进一步让学生对公因数和最大公因数的认识。做到知识和技能融为一体。

接着让学生完成练习五第1题。学生独立完成后交流。

然后分别完成2、3题。小组交流。

（练习的设计是从认识到理解，再到拓展应用，逐层加深，培养学生抽象概括能力和合作意识，教学由课内到课外延伸，增加运用实践机会。）

（四）全课小结、过程回顾

这节课我们认识了两个数的公因数和最大公因数，说说你掌握的方法。

篇13：“用最大公因数解决问题”教学谈

教学时, 教师应从学生实际出发, 努力创设有助于学生自主学习的问题情境, 引导学生通过自主探索、讨论交流、动手操作等学习活动, 获得规律性认识, 并理解要解决这样的问题, 实质就是找已知数量的公因数和最大公因数。下面通过三个实例谈谈对本内容的教学。

一、拼摆问题

原题:我们家的贮藏室长16分米, 宽12分米, 如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮藏室的地面铺满 (使用的地砖都是整块) , 可以选择边长是几分米的地砖?边长最大是几分米?教材通过设疑提出问题, 目的是激起学生探究新知的愿望, 激发学生的学习兴趣, 调动学生主动参与学习的积极性。教学时教师应先引导学生认真审题, 理解铺地砖的要求:在贮藏室的长方形地面上铺正方形地砖既要铺满, 又要用整块的地砖;再让学生自己用正方形纸片摆一摆, 或在长方形纸上画一画, 借助动手操作活动使学生明确:要用“整块的正方形地砖把长方形贮藏室的地面铺满”, 正方形地砖的边长必须能同时整除16与12, 即既是地面长16的因数, 又是地面宽12的因数。因为要求的问题是可以选择边长是几分米的地砖所以地砖的边长不是唯一的, 如1、2、4 (dm) 均可。由于要求边长最大是几分米, 所以归结为求16和12的公因数和最大公因数。

二、切割问题

原题:有一张长方形纸, 长70cm, 宽50cm。如果要剪切成若干同样大小的正方形而没有剩余, 剪出的小正方形的边长最大是几厘米?这是一道用求两个数的最大公因数解决问题的练习题。练习时要放手让学生先独立思考、观察分析、动手操作, 然后讨论交流, 使学生的思维活动得到充分展开。在此基础上, 教师点拨引导, 让学生明白本题的结构与上题相同, 即要剪成“同样大小的正方形而没有剩余”, 剪成的正方形的边长必须既是70的因数, 又是50的因数 (70和50的公因数) ;要使剪成的正方形的边长最大, 所以要找70和50的最大公因数。

三、分组问题

原题:同学们参加学校大扫除, 五年级一班来了48人, 五年级二班来了54人。如果把两个班的学生分别分成若干小组, 要使两个班每个小组的人数相同, 每组最多有多少人?这也是解答关于两个数的最大公因数的实际问题。在前面各题分析解答的基础上, 教师要抓住题中的关键词语, 不断激活学生已有的知识经验、方法技能, 放手让学生交流、探索, 让学生在交流展示中明确;要使“两个班每个小组的人数相同”, 每个小组的人数必须是两班人数的公因数;又因为要求每组最多有多少人, 所以要求两班人数的最大公因数。

学生是学习过程的参与者、探索者, 教学公因数和最大公因数时, 不仅要让学生掌握抽象的数学结论, 还应该让学生经历概念的形成过程, 通过创设贴近学生生活实际的情境引出问题让其思考, 使他们在解决问题的过程中获得感悟, 理解学习公因数和最大公因数的现实意义。

篇14：求一元多项式的最大公因式

关键词：一元多项式 辗转相除法 初等变换 最大公因式

求多项式的最大公因式是学习《高等代数》首先要面对的问题，要想让学生更好地掌握这一知识点，需要任课教师对此知识有更深入的研究，使知识更加系统化。所以本文系统研究了最大公因式的求法，旨在对教学和科研能有一些启发。

文章主要介绍了两种方法，一种是传统的辗转相除法，另一种是比较方便的矩阵法。这类研究经典结论比较多。对于《高等代数》来说，矩阵是它的精髓，但是一般教材第一章讲多项式，和矩阵没有关系，事实并非如此，比如求多项式的最大公因式依然可以转换为矩阵理论，也就是我们要介绍的矩阵法，这对于学生会有很大的启发。

一、辗转相除法

对于一元多项式的理论，我们都非常熟悉，一些基本的概念就不再一一赘述。下面我把辗转相除法的步骤总结如下：

1.开始：用次数低的多项式去除次数高的多项式；若次数相同，用系数小的多项式去除系数大的多项式。

2.过程：用左边的多项式除右边的多项式，然后右边的余式再除左边的除式。依次下去，这个过程非常形象地展现了辗转一词的含义。

3.结束：除到余式为0，结束。

4.结果：所求最大公因式d（x）=倒数第二个余式

利用教材上的例题可以体会一下上面的过程，在此就不再给出具体的数值例子。

二、矩阵法

再介绍矩阵法之前，我们需要先引入一些概念，设f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，我们提取多项式的系数，形成一个行矩阵，记为mf（x）=（an an-1 … a1 a0）。这样的话，多项式就可以用矩阵来代替，这和利用系数矩阵解线性方程组的思想是一样的。设g（x）=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，不妨设，m≤n若m

对上面的矩阵进行一些初等行变换和轮换变换就可以得到f（x）和g（x）的一个最大公因式所对应的矩阵，从而得到其一个最大公因式。

矩阵的初等行变换都非常熟悉，就不再一一介绍，下面我们利用一个非常简单的例子来介绍一下矩阵轮换的概念。

有了这些概念，我们给出利用矩阵法求最大公因式的步骤：

1.写矩阵：写出f（x）和g（x）所对应的矩阵为：

2.做初等行变换和平移变换：对上述矩阵进行初等行变换，化为阶梯型矩阵；然后做平移变换，交叉进行，直至变为如下矩阵

3.结果：所求最大公因式d（x）=cpxp+cp-1xp-1+…+c1x+c0.

下面我们给出一个例子，来体验这种方法。

例1 ： 求多项式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1的最大公因式。

解：f（x）和g（x）所对应的矩阵为：

对上述矩阵进行初等行变换和平移变换如下：

所以f（x）和g（x）的一个最大公因式为2x2-1。

矩阵法也适用于多个多项式求最大公因式，原理与两个多项式一样，我们把例1的多项式再增加一个，重新求一下最大公因式。

例2 ： 求多项式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1，h（x）=-6x2+3的最大公因式.

解：f（x），g（x）和h（x）所对应的矩阵为：

对上述矩阵进行初等行变换和平移变换如下：

所以f（x），g（x）和h（x）的一个最大公因式为2x2-1.

三、方法比较

文章介绍的这两种方法，第一种辗转相除法，是最传统的方法，缺点是计算较为复杂，计算多个多项式的最大公因式时更为麻烦，但是这是最经典的方法，是大家必须掌握的。其他方法都是以其为基础的。

第二种方法，相对计算较为简单，尤其计算多个多项式时，优势更加明显；另外这种方法更体现了矩阵在《高等代数》中的重要意义，但是这种方法，一般教材不讲，需要自己掌握方法步骤。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数研究室前代数小组.高等代数[M].高等教育出版社，2003.

[2]丘维声.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]张禾瑞，郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社，1987.

[4]韩建玲.多项式最大公因式的数值矩阵求法[J].宜春学院学报，2012（8）.

[5]蒋加清.最大公因式的一种新求法[J]. 邵阳学院学报，2011（2）.

（责编 金 东）

篇15：数学公因数和最大公因数教学反思

3、例

4、“练一练”、“练习五”的第1~5题。

目标预设：

1、理解公因数的含义，掌握求两个公因数和最大公因数的方法。

2、经历“猜测——验证”的数学学习过程，感受科学探究的一般方法，培养抽象思维能力，积累数学活动经验。

3、感受数学的奇妙，培养对数学的积极情感。

教学重点和难点：理解公因数的含义，掌握求两个数最大公因数的方法。

课程实施：

一、自主构建公因数意义

1、出示边长6厘米、边长4厘米的小正方形个若干以及一个长18厘米、宽12厘米的长方形。

猜一猜：你觉得哪一种正方形可以将这个正方形铺满。

2、组织学生同桌合作，摆放小正方形，教师要帮助学有困难的小组完成活动任务。

3、交流：边长6厘米的正方形纸可以正好铺满这个长方形。

为什么边长6厘米的正方形正好铺满这个长方形？

结合刚才的操作活动体验，学生明白：因为12÷6=2（竖排放2行），18÷6=3（横排放3列），也就是6既是12的因数，也是18的因数，所以可以正好摆满。

4、讨论：还有哪些边长是整厘米的正方形纸片也能正好铺满这个长方形？简单地解释自己推测的理由。

5、只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满这个长方形吗？

6、提问：4是12和18的公因数吗？

7、通过刚才的学习，你有什么话想说吗？

二、独立探索找公因数的方法。

1、8和12的公因数有哪些？最大公因数是几？

放手让学生自己探索解决问题的方法。

2、交流：学生出现的方法：

（1）、分别写出8和12的因数，再找一找他们的公因数；

（2）、先找8的因数，再从8的因数中找12的因数；

……

交流时结合自己的方法说说这样找的理由，3、“集合圈”

我们同样也可以用集合圈表示8和12的公因数。

出示集合圈，先让学生自己填写，再说说每一部分表示的含义。

4、观察比较，感受公因数的有限性，公因数的集合圈与公倍数有什么不同的地方？为什么公因数集合圈中不需要省略号？引导学生从“因数的有限性”推想出“两个数的公因数的个数是有限的”。

5、练一练

先让学生根据要求完成。通过交流，进一步理解找两个数公因数和最大公因数的方法，感受两者的联系与区别，三．促进知识向技能的转化

1、“练习五”第1题

让学生独立完成，进一步理解集合圈的表示方法，深化对求两个数最大公因数的方法的认识。

2、“练习五”第4题

⑴先让学生自主判断第一组数，然后交流各自的方法，比较得出“利用2.3.5倍数的特征”进行判断，可以提高正确率。

⑵出示其他几组让学生选择合理的方法进行判断，同时提醒两个数的公因数可以有2.3.5中的多个，为后面学习月份积累策略。

3、“练习五”第5题

要启发学生用不同的方法找出每组数的最大公因数，提倡灵活运用各种策略快速解题，四、通过本节课的学习，你有哪些收获？

五．作业布置

“练习五”第2.3题

课后反思：

这部分内容的结构与“公倍数和最小公倍数”基本相同，结合具体的情境，引导学生通过观察、操作、分析、比较、抽象和概括等活动，探索并理解公因数、最大公因数的含义，掌握求两个数的最大公因数的方法。

1、我让学生依托动手操作，加强对比观察，沟通新旧知识的联系，优化概念引进的过程。在教学例3时，我分四步组织学生的活动。第一步，让学生“分别用边长6厘米和4厘米的正方形纸片铺长18厘米、宽12厘米的长方形”，铺前先思考：边长是多少的正方形可以铺满这个长方形？通过操作，学生都知道边长6厘米的正方形可以铺满长18厘米、宽12厘米的长方形。引导学生具体感知公因数的含义。第二步，组织讨论“还有哪些边长是整厘米数的正方形纸片也能正好铺满这个长方形”，通过思考，学生明白：“只要边长的厘米数既是12的因数，又是18的因数，就能正好铺满”这个长方形。第三步，可以先让学生说一说1、2、3和6的共同特征，再告诉学生1、2、3和6的共同特征，再告诉学生“1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。第四步，让学生说一说4为什么不是12和18的公因数，使学生加深对公因数含义的理解，知道4是12的因数，但不是18的因数，所以4就不是12和18的公因数。通过正、反两方面的比较，优化概念的形成。

2、着眼于问题的解决，鼓励学生自主探索，逐步形成概念结构。教学例4是，我让学生先独立思考，用自己的方法找出8和12的公因数和最大的公因数。再通过交流，使学生在相互启发的过程中进一步打开思路，明确方法。由于学生已经积累了较为丰富的求两个数的最小公倍数的方法，因而这里的重点是让学生在自主探索的基础上合乎逻辑地表达自己的思考过程，并体会不同方法的内在一致性。这时，我适时引导学生建立概念结构：因数——公因数——最大公因数，并且辨析这些概念的联系与区别。此外，考虑到学生也已经初步认识了用集合图表示两个相交的集合圈，所以我让学生根据对有关概念的理解，独立把8和12的因数分别填在集合图中的合适部分，然后再看图说说各自的想法，说说每一个区域内的数分别表示什么，把静态的集合图转化成动态的探索对象，让学生加深对集合图的理解，也使集合思想的渗透落到实处。