解一元二次方程含答案

2024-05-04

解一元二次方程含答案（精选6篇）

篇1：解一元二次方程含答案

总复习一：解简易方程练习

一、填空．

1．使方程左右两边相等的（），叫做方程的解．

2．被减数＝差○减数，除数＝（）○（）．

3．求（）的过程叫做解方程．

4．小明买5支钢笔，每支a 元；买4支铅笔，每支b 元．一共付出（）元．

二、判断．

1．含有未知数的式子叫做方程．（）2．4x+5、6x=8 都是方程．（）

3．18x=6 的解是x＝3．（）4．等式不一定是方程，方程一定是等式．（）

三、选择．

1．下面的式子中，（）是方程．

①25x②15－3＝12③6x＋1＝6④4x＋7＜9

2．方程9.5－x =9.5的解是（）．①x＝9.+5②x＝19③x＝0

3．x ＝3.7是下面方程（）的解．

①6x ＋9＝15②3x ＝4.5③14.8÷x ＝4

四、解方程．

1．52－0.5x ＝152． 91÷3.5x ＝1.33.0.4 X+8.3=10.74．15x =

3五、用方程表示下面的数量关系，并求出方程的解．

1． x 的3倍等于8.4．2．7除x 等于0.9． 3．x 减42.6的差是3.4．

（二）一、解方程．

1．X+3.2=4.62.x-1.8=43.x-2=154.x÷7=0.35.1.6x=6.4二、列方程并求解．

1.一个数减去8，差是10求2．一个数乘0.7的积，积是0.21，求这个数？

这个数

三、计算．

1．当x等于什么数时，x－6的值等于18？

四、思考题．

如果x－8＝16，那么4x＋3＝（）．

篇2：解一元二次方程含答案

一、等积变形问题

常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变． ①圆柱体的体积公式 V=底面积×高＝S·h＝rh ②长方体的体积 V＝长×宽×高＝abc 1．把一段铁丝围成长方形，发现长比宽多2cm；围成正方形时，边长刚好为4cm．求所围成的长方形的长和宽各是多少？

2．用一个底面半径为40mm，高为120mm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为100mm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10mm，大玻璃杯的高度是多少？

3．一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14米，其他三边用竹篱笆围成．现有长为35米的竹篱笆，小王打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多5米；小赵也打算用它围成一个鸡场，其中长比宽多2米．你认为谁的设计符合实际？按照他的设计，鸡场的面积是多少？

4．将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.14）．

5．在一个底面直径为5cm，高为18cm的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径是6cm、高是10cm的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水还剩多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离．

二、打折销售问题

（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率＝商品利润×100%

商品成本价（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量(4）商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如打8折出售，即按原标价的80%出售．

1．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格大幅度下降，某品牌电脑今年每台售出价格为4200元，比去年降低了30%，问去年该品牌电脑每台售出价为多少元？

2、东方商场把进价为1890元的某商品按标价的8折出售，仍获利10%，则该商品的标价为多少？

3、某种商品的进价是1000元，售价为1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润不低于5%，那么商店最多降多少元出售此商品。

4、某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该项商品积压，商品准备打折出售，但要保持利润不低于5%，则至多可打多少折？

5.某商店出售甲、乙两种成衣，其中甲种成衣卖价120元盈利20%，乙种成衣卖价也是120元但亏损20%，问该商店在本次销售中实际上是盈还是亏，盈或亏多少钱？

6．某商店的冰箱先按原价提高40%，然后在广告中写上大酬宾八折优惠，结果每台冰箱反而多赚了270元，试问冰箱的原标价是多少元？现售价是多少元？

7．某种商品的进价为100元，若要使利润率达20%，则该商品的销售价格应为多少元？此时每件商品可获利润多少元？

三．行程问题：路程＝速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间

（1）相遇问题：快行距＋慢行距＝原距（2）追及问题：快行距－慢行距＝原距

（3）航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 1．有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．

2．从甲地到乙地，公共汽车原需行驶7时，开通高速公路后，车速平均每时增加了20千米，只需5时即可到达．求甲、乙两地的路程．

3．一架飞机往返于两城之间，顺风需要5小时30分，逆风时需6小时，已知风速是每小时24千米，求两城之间的距离．

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，在他们走了一段时间后，学校要将一个紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路上去，只用了10分钟就追上了学生队伍，通讯员出发前，学生走了多少时间？

5．一队学生从学校步行前往工厂参观，速度为5千米／时，当走了1时后，一名学生回校取东西，他以7.5千米／时的速度回学校，取了东西后(取东西的时间不算)立即以同样的速度追赶队伍，结果在离工厂2.5千米处追上队伍．求该校到工厂的路程．

四、工程问题．

工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1

1、一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做，需要几小时完成？

2、一项工程A、B两人合作6天可以完成。如果A先做3天，B再接着做7天，可以完成，B单独完成这项工程需要多少天？

3.要加工200个零件，甲先单独加工了5小时，然后又与乙一起加工了4小时，完成了任务已知甲每小时比乙多加工2个零件，求甲、乙两人每小时各加工多少个零件？

4．一件工作，甲单独完成需7.5小时, 乙单独完成需5小时，先由甲、乙两人合做1小时，再由乙单独完成剩余任务，共需多少小时完成任务？

5.一项工程,甲,乙两队合作30天完成.如果甲队单独做24天后,乙队再加入合作,两队合作12天后,甲队因事离去,由乙队继续做了15天才完成.这项工程如果由甲队单独完成,需要多少天

五、人员调配、配套问题

1、某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少工人生产螺母？

2、在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人．现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

3．某车间有60名工人，生产某种由一个螺栓与两个螺母为一套的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，问应分配多少人生产螺母，多少人生产螺栓，才能使每天生产出的螺栓与螺母恰好配套？

4．某车间有技工85人，平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个，2个甲种部件和3个乙种部件配一套，问加工甲、乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套？

一、等积变形问题：1．设所围成的长方形宽是xcm，则长是(x＋2)cm，由题意，得2[x＋(x＋2)]＝4×4，x＝3，围成的长方形的长是5cm，宽是3cm． 2．设大玻璃杯的高是xmm，π100(x10)π4012010，x＝202(mm)．

3．设鸡场的宽为x米．则按小王的设计，其长应为(x＋5)米，得2x＋x＋5＝35，x＝10，x＋5＞14；按小赵的设计，其长应为(x＋2)米，由题意，得2x＋x＋2＝35，x＝11，x＋2＝13＜14．所以，小王的设计不符合实际条件，应按小赵的设计来建．鸡场的面积为11×13＝143(米)． 4.解：设圆柱形水桶的高为x毫米， ·（2222200

2）x=300×300×80 x≈229.3 2225．因为V瓶π18112.5π，V杯π31090π，V瓶＞V杯，所以装不下；设瓶内剩52余水面的高xcm，则πx112.5π-90π，x＝3.6，这时瓶内剩余水面高为3.6cm．

5

二、销售问题

1.解：设该品牌电脑每台售价x元。x（1-0.3）=4200 x=6000 答：去年台电脑价6000元。2.解：设该商品的进价为x元。1890*0.8-x=10%x 3.解：设最多降x元出售此商品。（1500-x）-1000=1000*5% 4.解：设至多打x折。1200*0.1x-800=800*5% 5.解：设甲种成衣的成本为x元，乙种成衣的成本为y元 x(1+20%)=120 x=100 y(1-20%)=120 y=150 ∵ x+y=250 实际的销售价为120×2=240（元）

240-250=-10 ∴在这次销售中亏了10元钱.6.解：设原标价为x元,则现售价为（x+270）元 x（1+40%）×80%-x=270 x=2250 x+270=2520 答：

7.解：设售价为x元。x-100=20%*100 x=120 120-100=20元答：商品售价为120元，每件商品可获利20元。三．行程问题

1．解：设第一铁桥的长为x米，那么第二铁桥的长为（2x-50）米，•过完第一铁桥所需的时间为分．过完第二铁桥所需的时间为

2x6002x50x52x50分． += 得x=100 60060060600 答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米．

2．设公共汽车原车速为x千米／时，7x＝5(20＋x)，x＝50，7x＝350(千米)． 3． 3168千米 4． 18分

5．设学校离工厂x千米，工程问题

1.解：设甲乙合作x小时完成。x52.5x2.55，x＝27.5(千米)． 57.51114x1 202012 2.解：设B的工作效率为x。则A的工作效率为3（1-x。61-x）+7x=1 61x= 8答：B单独完成这项工作需要8天。3．设乙每小时加工x个零件

4x+9(x+2)=200 x=14 x+2=16 4.设完成任务共需x小时

1x1 7.55

x=35.设甲要X天

那么甲每天能做1/x.甲加乙一天能做1/30 所以乙一天能做1/30-1/x 24/x+12/30+15*(1/30-1/x)=1

x=90

人员调配、配套问题

1.解：设分配 x人生产螺钉，则生产螺母的有（22-x）人。提示：螺母数量=2倍螺钉数量 2000（22-x）=2*1200x

2.解：设调往甲处x人，则调往乙处（27-x）人。

甲=2倍乙

27+x=2[19+（27-x）]

3．解：设应分配x人生产螺母

14×（60-x）×2=20x x=35 60-x=25 4.解：设安排x人生产甲部件，则生产乙部件的有（85-x）人。提示：3倍甲部件数量=2倍乙部件数量

篇3：解一元二次方程含答案

本文讨论以下具有临界指数的双调和问题解的存在性:

则称u是问题(1)的弱解。

问题(1)对应的变分泛函为:

显然,I(u)∈C1(X,R),且I(u)的临界点即是(1)的弱解。

本文将利用(1)的fibering映射ψu(t)∶t→I(tu),(其中t>0),来研究(1)的Nehari流形随参数λ,μ变化的情形,从而相应得出(1)的解的存在性的结论如下:

常数Λ>0,使得:当λ∈(0,Λ)时,问题(1)至少存在一个非平凡解。

1 Nehari流形的一般结论

对于一般的泛函I,我们作以下定义:

定义1.1定义泛函的I fibering映射:

ψu(t)∶t|→I(tu),(其中t>0)。

很自然地,可视I(tu)为I(t,u),下文中我们将对两者不加区分。

定义1.2定义泛函I的Nehari流形:

定义1.3令φ(u)=〈I′(u),u〉,定义:

关于一般的泛函I的Nehari流形和fibering映射的关系,有以下结论:

引理1.1设u∈X{0}且t>0,则

(i)tu∈N当且仅当ψu′(t)=0;

(ii)tu∈N+当且仅当ψu″(t)>0;

(iii)tu∈N0当且仅当ψu″(t)=0;

(iv)tu∈N-当且仅当ψu″(t)<0.

引理1.2若u0是I(u)在N上的一个局部极小点,并且u0埸N0,则I′(u0)=0.

证明:因为u0是I(u)在N上的极小点,由Lagrange乘子定理知存在常数γ使得:

特别在点u0处有〈I′(u0),u0〉=γ〈φ′(u0),u0〉.由u0∈N知〈I′(u0),u0〉=0;由u0埸N0知〈φ′(u0),u0〉≠0.故γ=0,将其代入(4)得:I′(u0)=0.(证毕)

2问题(1)解的存在性

这部分将按照以上关于泛函的Nehari流形和fibering映射的定义与结论,分析具体问题(1)。

在具体问题(1)中,有:

引理2.1问题(1)的变分泛函I(u)在其Nehari流形N上是强制的,且下有界。

证明:0≠u∈N当且仅当:

下文中记最佳Sobolev嵌入常数为:

由式(3)和(5),通过不等式、Sobolev不等式和Younger不等式得:

其中C0(q,N,Ω)>0为常数。

于是I在N上有下界。

又从式(7)显然有I(u)→+∞(u→+∞)。即I(u)在N上是强制的。(证毕)

在问题(1)中,我们还有:

当u0∈N时,

其中:

由

可求得Fu(t)的驻点为:

并知当t>t0时,Fu′(t)<0;当t=t0时,Fu′(t)=0 Fu(t0)>0;当t<t0时,Fu′(t)>0。

又由于Fu(0)<0,当t→∞时,Fu(t)→-∞,故当时,Fu(t)有且仅有两个零点t1,t2,且满足0<t1<t0<t2,Fu′(t1)>0>Fu′(t2).又由式(11),(13)知ψu′(t1)=ψu′(t2)=0,ψu″(t1)>0,ψu″(t2)<0。从而由引理1.1知:t1u∈N+,t2u∈N-。

ψu(0)=0;当t→∞时,ψu(t)→-∞。从式(11)知ψu′(t)与Fu(t)同号,于是易知ψu(t)在区间(0,t1)和(t2,+∞)上单调递减,在区间(t1,t2)上单调递增,故ψu(t)在t=t1时取到唯一局部极小值,在t=t2时取到唯一局部极大值。

(i)存在从X到R上的两个泛函t1(u)和t2(u),其取值使得t1(u)u∈N+,t2(u)u∈N-,且有0<t1(u)<t2(u).

(ii)t1(u),t2(u)∈C1(X,R),且其导数:

(iii)N0= Ø,即N=N-∪N+。N、N-、N+均为闭集。

由式(12)和(15)有:

故Fu(t0(u))>0当且仅当:

故若:

引理2.3若λ∈(0,Λ),设{un}奂N+是a+的极小化序列,则:

证明:设{un}⊂N+满足:当n→∞时,I(un)→a+。

引理2.4当λ∈(0,Λ)时,存在I的(PS)a+序列{un}⊂N+.

由式(16)、(18)和(19)有:

证明:取(PS)a+序列{un}⊂N+,即{un}满足:

摘要：本文研究以下具有Navier边界,含临界指标的双调和方程解的存在性:{Δ2u=λ|u|q-2u+μ|u|2,-2u,x∈Ωu=Δu=0,x∈Ω}其中Ω为RN中一个包含原点的具有光滑边界的有界区域,N≥5;1<q<2;λ,μ>0;2*=2N/N-4为Sobolev临界指数。通过在Nehari流形上抽取PS序列,得到方程非平凡解的存在性。

关键词：双调和方程,临界指标,变分方法,Nehari流形,解的存在性

参考文献

[1]H.Brezis,Nirenberg.Positive solutions of nonlinear elliptic equation involving critical Sobolev exponent[J].Comm.Pure Appl.Math.,1983(36):437-477.

[2]K.J.Brown,Yanping Zhang.The Nehari manifold for a semilinear elliptic equation with a sign-changing weight function[J].Differential Equation,2003(193):481-499.

[3]Stanislav I.Pohozaev.Problems via the fibering method,Handbook of differential equations-stationary partial differential equation.vol 5[M].

[4]C.O.Alves,A.El Hamidi.Nehari manifold and existence of positive solutions to a class of quasilinear problems[J].Nonlinear Analysis,2005:60:611-624.

篇4：巧解一元二次方程

一、(ax+b)2=(cx+d)2（a≠0,b≠0)型方程的四种解法

例：解方程（3x-2)2=(x+6)2

解法一：

分析：先将完全平方展开，再通过移项、合并同类项等，将原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0）的形式。

解：（3x-2)2=(x+6)2,合并后9x2-12x+4=x2+12x+36，

x2-3x-4=0，所以x1=4，x2=-1。

归纳：次方法运用了完全平方和（差）公式，步骤多，计算量较大。

解法二：

分析：（3x-2)2=(x+6)2,通过移项可化为（3x-2)2-(x+6)2=0，若把（3x-2)2与(x+6)2看作一个整体，则满足平方差公式的逆运算，即a2-b2=(a+b)(a-b)。因此，可用平方差公式解决。

解：（3x-2)2=(x+6)2，移项后（3x-2)2-(x+6)2=0，

去括号（3x-2+x+6)（3x-2-x-6)=0，

合并同类项（4x+4)(2x-8）=0，所以x1=-1，x2=4。

归纳：次方法运用了平方差公式的逆运算、添括号与去括号，涉及的知识点较多，计算量大，解题过程繁琐，思路很难理顺，是学生很容易出错的一种解法。

解法三：

分析：无论x取任意实数，（3x-2)2≥0，(x+6)2≥0，进而得■与■均有意义，所以，可用直接开平方法解决，且两边均可开方。

解：略。

归纳：此方法运用直接开平方法，直观易懂，思路清晰，较为简便。

解法四：

分析：由（3x-2)2=(x+6)2，可得（3x-2)与(x+6)相等或相反，即3x-2=x+6或3x-2+x+6=0。

解：略。

（注：考虑到方程有意义，所以3x-2≠0，x+6≠0，否则上述解法不成立。）

归纳：此方法涉及的知识点是简单的有理数运算，直观具体，可算是较为简便的解法之一。

二、一元二次方程的解法

先将形式多样的一元二次方程化为一般式ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，然后数一数等号左边有几项，可分为以下两类：

1.两项

（1）只有二次项与一次项时，可用提公因式法。

（2）只有二次项与常数项时，可用直接开平方法。

2.三项

（1）先考虑较为简便的十字相乘法。（注：此方法二次项系数必须化为1。）

（2）配方法。若十字相乘法不能求解，但一次项系数的一半为整数时（因为整数计算较为简便），可用配方法。

例：解方程3x2+6x-12=0

解：3x2+6x-12=0，二次项系数化为1，x2+2x-4=0，x=-1±■，所以：x1=-1+■，x2=-1-■。

（注：配方法二次项系数必须化为1。）

（3）公式法

若十字相乘法不能求解，且一次项系数的一半不是整数时（若是分数，会出现分母通分，计算比较麻烦），可用公式法。

例：解方程2x2-7x+3=0

解：略。

（注：配方法与公式法也可按各系数的大小而定。）

篇5：解一元二次方程含答案

1、某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元，依题意x≤10

∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x²-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍)即每件降价4元

2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，增加了多少行多少列？

解：设增加x(8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列

3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价关系式

解:(1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500(30<=x<=70)(2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元.∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.4.现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，需要剪去边长多少的小正方形才能做成底面积为77平方cm的无盖长方形的纸盒？解：设边长x 则(19-2x)(15-2x)=77 4x^2-68x+208=0 x^2-17x+52=0

(x-13)(x-4)=0,当x=13时19-2x<0不合题意,舍去故x=4 5.某商品进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件，如果售价超过50元，但不超过80元，每件商品的售价每上涨10元，每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，每件商品的售价每涨1元，每个月少卖3件。设该商品的售价为X元。

（1）、每件商品的利润为

元。若超过50元，但不超过80元，每月售

件。若超过80元，每月售

件。（用X的式子填空。）

（2）、若超过50元但是不超过80元，售价为多少时利润可达到7200元(3)、若超过80元，售价为多少时利润为7500元。

解： 1)x-40 210-(x-40)10

210-(x-40)10-3(x-80)(2)设售价为a

(a-40)[210-(a-40)10=7200(3)设售价为b

(b-40)[210-(b-40)10-3(b-80)=7500（第2、3问也可设该商品的售价为X1 x2元）

6.某商场销售一批衬衫，平均每天可出售30件，每件赚50元，为扩大销售，加盈利，尽量减少库存，商场决定降价，如果每件降1元，商场平均每天可多卖2件，若商场平均每天要赚2100元，问衬衫降价多少元

解：衬衫降价x元

2100=(50-x)(30+2x)=1500+70x-x^2 x^2-70x+600=0(x-10)(x-60)=0 x-60=0 x=60>50 舍去 x-10=0 x=10