一元二次方程实根分布的参数讨论

数学教学中, 由于直线和圆锥曲线的交点问题、实系数一元二次幂、指对数、三角方程等问题可以等价转化为实系数一元二次方程特定条件下实根讨论问题, 因其展示学生的综合解题能力, 而一度成为高中数学各类测试的热点之一。实系数一元二次方程有三种基本解法:求根公式法、因式分解法、配方法, 只须注意具体问题的特定条件 (参数) 即可。对于一元二次方程的实根分布的参数讨论, 主要有以下几种方法。

1 求根公式法

求根公式法是实系数一元二次方程实根讨论的基本代数方法, 理论上可以解决所有涉及实根分布的问题, 而实际上该方法主要适用于实根结构比较简单且容易求解的问题。例1:实数为b何值时, 方程有两个不等实根?略解:命题等价于

有两个实根, 也即:

有两个实根。

由求根公式可知,

则有:, 同理, 易证: (1) 当时, 方程无实根; (2) 当b<3或时, 方程存在唯一实根。

对于实根结构复杂或不易求解问题, 借助判别式及韦达定理可简化讨论, 尤其适用于单值比较问题, 常用如下结论:设实系数一元二次方程的两根为是实常数, 则:

注:对于

1)

2)

等问题可类似分析。

2 二次函数法

二次函数法是解决实系数一元二次方程实根分布的基本几何方法, 该方法利用一元二次函数的图像来解决涉及实根分布的问题, 尤其对于求根公式法不易解决的区间讨论问题, 使用该方法可以起到事半功倍的作用。使用二次函数法常用的结论主要是:设一元二次方

程对应的

二次函数为: (对于a<0可类似分析) , 方程的两根分别为则:

1)

2)

3) 方程在区间 () 有且只有两根

(是实常数)

4) 方程在区间 () 有且只有一个根

或, (是实

常数)

5)

, (是实常数)

3 逆向变形法

对于方程系数参数结构比较简洁的一元

二次方程, 可对其逆向变形, 把参数看成关于x的函数, 在特定条件下确定函数定义域, 利用函数单调性或平均值不等式分析函数值域或图像, 即可确定参数的取值范围, 即逆向变形法。该方法借助二次函数或型函数图像或值域来讨论方程实根个数或存在性问题, 直观简洁。使用逆向变形法常用如下结论:1) 参数在首项系数时转化为:;2) 参数在常数项时转化为:。注:上述两种情况转化为二次函数图像分析。3) 参数在一次项系数时, 可转化为:, 借助平均值不等式及函数单调性定义进行求解。

例2:关于x的方程有解, 求实数m的取值范围。

略解:原题等价于方程有解, 也可看成函数的值域问题, 令则

, 则命题转化为函数的值域求解, 则有:。

例3:关于x的方程在区间内有解, 求a的最大值。略解:命题转化为求解函数

的值域, 令, 也

即求函数的值域, 解得故实数a的最大值为。

对于综合性较强问题的处理, 可以根据题目基本特点, 利用上述三种方法, 寻求最佳的解决方法, 这些思想方法可以灵活运用于有关函数及不等式问题的处理, 通过日常的教学过程和一定量的解题训练, 学生可以很好的掌握一元二次型方程实根分布的参数问题, 为其学习打下坚实的基础。

摘要：结合教学实例, 总结实数系一元二次方程实根分布的参数讨论的基本方法:求根公式法、二次函数法、逆向变形法在求解中的应用技巧。

关键词：方程,实根