小学数学符号思想

小学数学符号思想（通用8篇）

篇1：小学数学符号思想

符号化思想与小学数学

数学发展到今天, 已成为一个符号化的世界。符号就是数学存在的具体化身。英国著名数学家罗素说过“: 什么是数学? 数学就是符号加逻辑。”面对一个普通的数学公式: S=πr2, 任何具有小学文化程度的人, 无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。数学的符号化语言能够不分国家和种族到处通用。世界交流需要数学符号化语言。

一、符号化思想的发展

符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。恰当的符号可以清晰、准确、简化地表达数学思想、概念、方法和逻辑关系, 避免日常语言的繁复冗长或模糊不清。例如, 算式“ 100-30×2+50”可用日常语言表 述 为“ 100 减 去 30 与 2 的 积 , 再 加 上 50”;

使用符号是数学史上的一件大事。代数就是由于引用了较好的符号系统才发展成一门学科。16 世纪以前, 代数的书写方式基本上都是文章式的, 只不过用了一些特殊的编写和数字符号。古希腊学者丢番图(约 248-330)曾经用字母表示未知数和一些运算, 成为符号代数的先驱。法国数学家韦达(1540-1603)从丢番图那里继承了使用字母的思想。作为文艺复兴运动的推动者, 他第一次系统地用符号取代过去的缩写, 用字母表示已知数、未知数及其运算,确立了符号代数的原理和方法, 使代数形成国际通用的符号体系。由于韦达在确立符号代数学上的功绩, 而被西方誉为“ 代数学之父”。

对韦达使用字母作了改进的是笛卡尔(1596￣1650)。他用字母表中前面的一些字母表示已知数, 用后面的字母表示未知数。莱伯尼兹(1646￣1716)对各种符号进行了长期的研究。创造了许多符号。英语医生雷科德最先引入了等号“ =”。英国数学家哈里奥特(1560￣1621)首创大于号“ >”和小于号“ <”。1489 年, 德国人魏德曼用符号“ +”、“-”表示箱子的重量的超、亏。后被数学家用来表示加减。乘号“ ×”是数学家奥特雷德最先使用的。除号“ ÷”是 13 世纪一位瑞士人首先使用的。

经过长期的深化和人们的筛选、改造, 当前的数学符号已形成共同约定的、规范的、形式化的系统。这种数学符号系统(又称“ 数学符号语言”成为数学发展的动力。近几十年来, 数学有了飞速的发展: 新的数学知识不断产生, 新的数学方法不断出现, 它的应用范围日益扩大。

传统的中小学数学课程教材已不能适应这种新的变化, 迫切需要对之进行改革。因此, 在国外比较广泛地开展起数学教育现代化运动。在这场运动下, 各国都针对自己的实际情况对小学数学教材、教学方法、教学思想等进行了改革, 对符号化这一思想也有了深刻的认识, 并对相关内容做了对应的改进和调整。由于各国改革的步子大小不尽相同, 对教材内容的处理方法也不完全一样, 再加上各国小学的学习年限长短不一, 小学数学的程度有很大差别。世界上几个主要国家的小学数学教材改革都对数学符号思想做了渗透。1.改变传统的算术、代数、几何分科的办法, 精简传统的算术内容。

在增加的内容方面, 比较普遍地引入用字母表示数、简易方程、列方程解应用题和简单的正、负数计算。比如前苏联一年级就引入简易方程和列方程解一步应用题, 五年级学完有理数四则计算和一元一次方程。增加的这部分内容明显强化了符号化思想。2.强调使学生掌握常用的数学术语和符号, 为进一步学习打基础。

如前苏联小学数学教学大纲中明确指出, 应该使儿童简单而又自然地掌握数学术语, 并在一年级一开始就出现“ 加数”、“ 和”等术语以及 >、< 等符号;日本小学算数教学指导要领中还规定了各年级学生要掌握的数学术语和符号。

二、符号化思想在小学数学教材中的体现和渗透

数学用的语言与通常的语言有重大区别。它将自然语言扩充与深化, 变为一种简明的符号语言。这种语言是国际性的, 它的功能超过了普通语言的功能, 具有表达与计算两种功能。数学家赫兹(Heinrich Hertz)说“: 我们无法避开一种感觉, 即这些数学公式自有其独立的存在, 自有其本身的智慧;它们比我们还要聪明, 甚至比发明它们的人还要聪明;我们从它们得到的实比原来装进去的多。”所以, 新一轮基础教育改革中, 符号化思想成为小学数学教育改革的报导性思想之一。

符号化思想的渗透在小学数学教材中是根据不同的教学阶段的具体情况进行的。渗透主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。1.引入了一些数学符号。

在我们生活中, 有很多大家公认的统一标志, 比如, 路口有标志“ － ”, 表示此路不通;某场地有标志“ P”表示可以停车;某路边标志牌上画有轮椅, 表示残疾人的行道: 铁路、公路、航空都有它们各自的标志, 地图上也有各种标识, 这些都是生活中的符号, 从某种意义上说, 我们生活在一个被“符号化”的世界。数学符号是数学的语言, 也是人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具。学习数学的目标之一是使学生懂得符号的意义, 会用符号解决实际问题和数学本身的问题, 发展学生的符号感。

小学教材中大致出现如下几类符号:(1)个体符号: 表示数的符号, 如 1、2、3、4„, 0;a、b、c„, π、x 以及表示小数、分数、百分数的符号。(2)数的运算符号: +, － , ×(?),÷(/, ∶)。(3)关系符号: =, ≈, >, <, ≠等。(4)结合符号:()〔 〕等以及表示角度的计量单位符号和表示竖式运算的分隔符号等。

当然这些符号的引入也不是说是杂乱无章、漫无目的的, 它是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、一定的逻辑, 有计划、有步骤的引入的。例如, 初入学儿童在学习1￣5 的认识时, 教材并没有直接呈现 1 到 5 这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们, 而是通过实物、画片, 在具体情境中去数，然后呈现数字, 这样使学生能够很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。这对于初入学的儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 为学生以后学习数学奠定了基础。这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。2.变元思想。

小学数学教科书在不同阶段, 对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透, 以便让学生逐步了解变元思想。如在不等式中用□或()代表变元符号 x, 让学生填数。虽然这样的题目只要求学生在“ 空格”中填一个数, 但教师应明白, 若将符号□换成 x, 则上述题目就是一元一次方程。这就是变元思想。可以说变元思想是列方程解应用题的基础。学生一旦理解掌握了变元思想, 那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。3.用符号代表数的思想。

引进用字母表示数, 是用符号表示数量关系和变化规律的基础。用符号表示具体情境中的数量关系, 也像普通语言一样, 首先要引进基本字母。在数学语言中, 像数字以及表示数字的字母, 表示点的字母, 运算符号, 关系符号等, 都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段开始接触用字母表示数, 是学习数学符号的重要一步。从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数, 是实现认识上的一个飞跃。用字母表示数, 可以简明地表达数量关系的一般规律。

用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系, 而用字母表示, 既简单明了, 又能概括出数量关系的一般规律, 在较大范围内肯定了数学规律的正确性。比如,陈述加法交换律时, 除运用日常语言外,还用了数学符号语言, 即字母等式“ a+b=b+a”。在陈述加法结合律时也用了字母表达式“(a+b)+c= a +(b + c)”,另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。显然,它比用具体的数表示更加概括、明确, 比用日常语言表示更加简明、易记。

通过以上各阶段的逐步过渡, 学生将逐步领会用字母表示数的优越性, 符号化思想也逐渐地初步形成。

4.列方程解应用题的思想。

用方程来解应用题, 解法本身蕴含着符号化思想, 它主要体现在如下几个方面:(1)代数假设, 用字母代替未知数, 与已知数平等地参与运算;(2)代数翻译, 把题中的自然语言表述的已知条件, 译成用符号化语言表述的方程。(3)解代数方程。把字母看成已知数, 并进行四则运算, 进而达到求解的目的。整个分析, 解题过程, 都涉及到了用字母代表数, 变元思想等等, 可以说是符号化思想在数学中的集中体现, 对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。

综观小学数学教材, 在符号化思想的渗透上, 从最初的数学符号的引入, 接着渗透了变元思想, 然后到用字母符号代表数, 最后过渡到列方程解应用题思想, 一步一步,有步骤, 有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合, 可以说新教材设计的思路相当清晰, 编制的也相当的完美。

三、符号化思想在小学数学教学中的渗透

新课程标准中指出“: 课程内容的学习, 强调学生的数学活动, 发展学生的数感, 符号感, 空间观念, 统计观念, 以及应用意识与推理能力。还指出符号感主要表现在: 能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号来表示;理解符号所表达的数量关系和变化规律;会进行符号间的转换, 能选择适当的程序和方法来解决用符号所表达的问题。”从上面我们可以看出新课标非常重视符号感的培养。因此, 在教学中要渗透符号化思想。那么如何在教学中渗透符号化思想, 应注意些什么呢? 1.让学生正确理解与使用数学符号。

在实际的教学中, 学生使用这些数学符号时, 往往会出现如下错误。例如: 在教学低年级文字题“ 15 比 9 多几?”小学生由于对加法的意义的不理解, 往往看“ 多”就用“ +”, “看 少”就用“”, 误列式为“(53-3)×5”。像这样的例子, 教师在教学中注意让学生理解符号的内涵, 正确理解使用符号所表示的概念。如果只从解法上予以纠正而不从符号化思想上予以渗透, 将事倍功半, 学生今后还会出现类似的错误。

2.在渗透符号思想的过程中要多启发、多引导, 引起学生的自主建构。

例如: 40.1<40.□, 学生在方框里填上一个数很容易,但教师要明白, 若将方框里填上 x 就变成一元一次不等式。因此, 教师应引导学生继续思考: 方框内最多可以填几个数?这种思考能使学生初步了解变元思想。再如: 在小学教材中用字母表示数有表示运算定律的、表示运算关系的、面积体积公式等。如加法交换律 a+b=b+a, 教师在教学时就应该遵循循序渐进的原则, 从学生的生活中、原有的认知结构出发, 引导学生自主建构起用字母代替数的符号化思想。

3.掌握日常语言与符号语言间的转化。

数学教学实质上是数学语言的教学。在教学活动中,要帮助学生初步学会简单的数学符号语言和日常语言的转化, 即能将日常语言叙述的数量关系或空间形式转化为数学符号语言。反之, 也能将符号语言转化为问题, 看懂抽象的符号所反映的数量关系或空间形式。因此, 教师不能只把数学符号当作“ 一种规定的记号”简单地教给学生, 还应当把符号化思维渗透于教学的始终, 以培养学生抽象思维的能力。

四、后记

当前, 基础教育改革已经在我国全面展开。对小学数学教师及其他小学数学教育工作者而言, 从现代数学的观点来审视小学数学的教材编写与课堂教学, 对于提高教学质量, 明确教改思路, 具有非常重要的现实意义。本文对现代数学思想之一的符号化思想在小学数学中的渗透作了探讨, 希望起到抛砖引玉的作用。

篇2：小学数学符号思想

首先，通过对有关数学符号背景的介绍，使小学生了解数学符号。

对于刚刚正式接触数学符号的小学生来说，符号无疑是一个陌生的事物，要想让小学生了解它、接纳它，首先就必须让小学生对它产生兴趣。在每一种数学符号的背后都有一定的历史背景，包含了很多历史故事、趣闻等。如在记数史上，欧洲人开始使用的是罗马数字，我国也有我们自己方便的记数方法，阿拉伯数字据说是印度人发明的，后来传入阿拉伯国家，经阿拉伯人改进、使用，并因其简便性而传遍整个世界，成为通用的记数符号。如：我们最熟悉的＋、－、×、÷等运算符号，都有它的演变历史的。根据小学生的好奇心强的心理特点，结合相关的教学内容，将这些历史、趣闻、故事讲给学生听，不仅拓宽了小学生对数学符号发展与运用的了解，而且在很大程度上激发了小学生学习数学符号的兴趣。其次，通过生活中符号的迁移，使小学生认识数学符号。

小学生在日常生活中，或多或少都会接触一些符号，如交通指示牌，它就是生活中常见的一种符号，只有知道了指示牌上符号表示的意思，才能根据指示牌上传达的信息，遵守交通规则。我们可以利用小学生认知结构中对符号的原有观念，通过思维对新内容进行分析、概括，在揭示符号的共同本质基础上使之发生学习转迁，迁移至数学符号的学习中去，化抽象为具体，使小学生在实际情境中体会数学，认识符号，理解数学符号。再次，通过实际情境问题的解决，形成小学生的符号意识。

教师在课堂中应注意创设情境，使学生置身于一定的情境之中，充分发挥小学生的主体性，让学生积极地去参与、去体验，最终达到理解和掌握。如：在学习长方体和正方体的体积和表面积时，有的学生容易把表示体积的V和表面积的S混淆。老师就要给他们介绍为什么用这些字母表示，在现实生活中有很多符号是用英文字母的首字母来表示的，这个体积V（volume）和表面积S（surfacearea）也是这样来的，这样学生既理解了字母符号的来历又了解了英语单词。因此在课堂教学中，要尽量通过对数学符号的理解过程的展示，使学生从中得到启发，帮助小学生理解符号的本质特征，激发个体对符号的反思，形成一定的符号意识。

篇3：小学数学符号化思想孕育的艺术

一、唤醒小学生数学符号化的意识

教学人教版一年级上册《数一数》时, 教材并没有直接呈现数字让学生通过不断的识记来记住它们, 而是呈现一幅美丽、开阔的校园场景图。教师可以鼓励学生仔细观察, 在具体情境中数出“1”面五星红旗、“2”架单杠、“3”张凳子、“4”个垃圾桶……然后再呈现数字, 这样使学生能很清楚地知道这些数所表示的意义, 而不是凭空产生的。从具体的事物中抽象出“数”, 体会“数”表示物体个数的含义和作用, 再借助抽象后的实物图像来认识数字。这对于初入学儿童的学习是非常有利的, 它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义, 同时唤醒小学生对数学符号化的意识, 在以后的生活中会有意识地观察、积累与符号相关的资源。

到了中高年级学习“用字母表示数”时, 可以采用这样的方法导入新课:

师:在我们的生活中, 你还见到这样的字母吗?出示课件。

师:谁愿意来为大家介绍一下?

生:红星大厦C座。

生:衣服的大小M号、L号和XL号。

生:扑克牌中的老K。

生:我家有DVD机。

……

因为学生有潜在的符号意识, 因此从生活情境中提炼出符号, 既让学生感受到数学来源于生活, 同时也感受到数学符号语言的简洁与实用。这也是对学生平时随意的符号积累的唤醒, 从而有利于展开新课, 有利于学生的主动建构。

二、在建模中体验数学符号产生的必要

数学符号是人们为了交流思想方便而统一规定的, 如果教师在学生不清楚为什么要用某某数学符号的情况下, 让学生死记硬背这些符号, 学生面对没有感情色彩的抽象符号往往没有学习的欲望。因此, 教师在教学过程中应该让学生在建模中体验数学符号产生的必要。如“乘法结合律”教学片段。

师:16×4×25转化为16× (4×25) 应用了什么?

生:乘法结合律。

(学生已有了“乘法结合律”能使计算简便的体验, 对乘法结合律有亲切感)

师:像这样的例子还有吗?说得完吗?用什么表示乘法结合律比较方便?

生:衣服、裤子、短裤。

生:□、○、△。

生:横、竖、撇。

生:用1、2、3表示。

师:还有别的创意吗?

生:学、奥、数。

生:太麻烦了。

生:用“a、b、c”表示。

师:书上确实用“a、b、c”表示。

出示: (a×b) ×c=a× (b×c) , 请学生看一看, 读一读。

三、在情境中意义理解数学符号

数学符号这一系统是丰富多彩的, 而且随着数学的发展也在不断地扩大更新。从数理逻辑的观点来看, 数学符号可划分为对象符号、运算符号、关系符号、结合符号、标点符号、结论符号、性质符号和缩略符号。这些符号的习得应该重视让学生在情境中意义理解。

如一年级学生学习关系符号“>”。可先让小朋友通过图片比较两种实物谁多谁少, 引出谁大于谁。在此基础上, 认识“>”。为了让学生形象地记住“>”, 教师可以在“>”的开口处放两个圆圈, 尖口处放一个圆圈, 边放边说开口朝大数, 尖嘴向小数, 以加深学生印象。

四、放手让学生自觉运用自己喜欢的符号解决数学问题

引导学生理解数学符号是为了帮助学生用数学符号与别人交流或解决数学问题, 因此, 我们要在平时的教学中放手让学生自觉运用自己喜欢的符号解决数学问题。如“找规律”教学片段。

课件出示:路边这排树有什么规律?

生:是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。

师:能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢?

生:△□△□△□……

生:●○●○●○……

生:□■□■□■……

生:121212……

又如“等量代换”的应用题:4瓶水全倒出来能倒满3大碗, 而5杯水正好装满2瓶, 装满3大碗水要几杯水?粗一看, 这题有点复杂, 一会儿瓶, 一会儿碗, 一会儿又杯子的。针对这类题目, 我们可引导学生用简易的符号来表示:○+○+○+○=□+□+□, ◎+◎+◎+◎+◎=○+○, 3□=?◎ (○表一瓶水, □表示一大碗水, ◎表示一杯水) , 把复杂的文字转换成简易的符号, 就能使学生一目了然。通过观察比较, 学生很快明白了各部分之间的关系, 即10◎=3□, 所以装满3大碗水要10杯水。

篇4：小学数学符号化思想孕育的艺术

一、唤醒小学生数学符号化的意识

教学人教版一年级上册《数一数》时，教材并没有直接呈现数字让学生通过不断的识记来记住它们，而是呈现一幅美丽、开阔的校园场景图。教师可以鼓励学生仔细观察，在具体情境中数出“1”面五星红旗、“2”架单杠、“3”张凳子、“4”个垃圾桶……然后再呈现数字，这样使学生能很清楚地知道这些数所表示的意义，而不是凭空产生的。从具体的事物中抽象出“数”，体会“数”表示物体个数的含义和作用，再借助抽象后的实物图像来认识数字。这对于初入学儿童的学习是非常有利的，它能让学生充分认识到数学符号所表示的意义，同时唤醒小学生对数学符号化的意识，在以后的生活中会有意识地观察、积累与符号相关的资源。

到了中高年级学习“用字母表示数”时，可以采用这样的方法导入新课：

师：在我们的生活中，你还见到这样的字母吗?出示课件。

师：谁愿意来为大家介绍一下?

生：红星大厦C座。

生：衣服的大小M号、L号和XL号。

生：扑克牌中的老K。

生：我家有DVD机。

因为学生有潜在的符号意识，因此从生活情境中提炼出符号，既让学生感受到数学来源于生活，同时也感受到数学符号语言的简洁与实用。这也是对学生平时随意的符号积累的唤醒，从而有利于展开新课，有利于学生的主动建构。

二、在建模中体验数学符号产生的必要

数学符号是人们为了交流思想方便而统一规定的，如果教师在学生不清楚为什么要用某某数学符号的情况下，让学生死记硬背这些符号，学生面对没有感情色彩的抽象符号往往没有学习的欲望。因此，教师在教学过程中应该让学生在建模中体验数学符号产生的必要。如“乘法结合律”教学片段。

师：16×4×25转化为16×(4×25)应用了什么?

生：乘法结合律。

(学生已有了“乘法结合律”能使计算简便的体验，对乘法结合律有亲切感)

师：像这样的例子还有吗?说得完吗?用什么表示乘法结合律比较方便?

生：衣服、裤子、短裤。

生：口、○、△。

生：横、竖、撇。

生：用1、2、3表示。

师：还有别的创意吗?

生：学、奥、数。

生：太麻烦了。

生：用“a、b、c”表示。

师：书上确实用“a、b、c”表示。

出示：(a×b)×c=a×(b×c)，请学生看一看，读一读。

三、在情境中意义理解数学符号

数学符号这一系统是丰富多彩的，而且随着数学的发展也在不断地扩大更新。从数理逻辑的观点来看，数学符号可划分为对象符号、运算符号、关系符号、结合符号、标点符号、结论符号、性质符号和缩略符号。这些符号的习得应该重视让学生在情境中意义理解。

如一年级学生学习关系符号“>”。可先让小朋友通过图片比较两种实物谁多谁少，引出谁大于谁。在此基础上，认识“>”。为了让学生形象地记住“>”，教师可以在“>”的开口处放两个圆圈，尖口处放一个圆圈，边放边说开口朝大数，尖嘴向小数，以加深学生印象。

四、放手让学生自觉运用自己喜欢的符号解决数学问题

引导学生理解数学符号是为了帮助学生用数学符号与别人交流或解决数学问题，因此，我们要在平时的教学中放手让学生自觉运用自己喜欢的符号解决数学问题。如“找规律”教学片段。

课件出示：路边这排树有什么规律?

生：是按照紫色、绿色、紫色、绿色……这样的规律排列的。

师：能不能想办法把这排小树的规律表示出来呢?

生：△□△□△□……

生：●○●○●○……

生：□■□■□■……

生：121212……

又如“等量代换”的应用题：4瓶水全倒出来能倒满3大碗，而5杯水正好装满2瓶，装满3大碗水要几杯水?粗一看，这题有点复杂，一会儿瓶，一会儿碗，一会儿又杯子的。针对这类题目，我们可引导学生用简易的符号来表示：○+○+○+○=□+□+□，◎+◎+◎+◎+◎=○+○，3□=?◎(○表-瓶水，□表示-大碗水，◎表示-杯水)，把复杂的文字转换成简易的符号，就能使学生一目了然。通过观察比较，学生很快明白了各部分之间的关系，即10◎=3□，所以装满3大碗水要10杯水。

篇5：小学数学符号思想

我认为教师要以新的视角去审视“数学”，我们应该把握住数学最核心的东西：数学思想。数学思想是学生数学学习活动的灵魂之所在，它是今后生活、工作的方向标。因此，教师在课堂教学中应注重数学思想的渗透，不仅传递给学生丰厚的数学知识，纯熟的技能，更应有思考方法的领悟、思想精神的启迪，更应该留给学生多元而立体的影响，这就是数学的精髓——数学思想，课堂的本质。

发展学生的符号感，并指出符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决有符号表示的问题。

在小学阶段，学生是主体，而教师是组织者、实施者，教师应引导学生学习数学的重要元素。不仅在学习数学课本上的知识，还有课本以外就是生活中的实际问题，并逐步进行数与形结合及符号化思想的教学策略。

学习感受

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。

对于数与形结合思想，小学阶段主要是引导学生利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。主要在以下几个方面有所体现。

（1）数的表示

用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；

（2）计算中的形

运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。

（3）解决问题中的形

画线段图表示数量关系。

解决问题的直观策略

（4）统计中的图形

篇6：小学数学符号思想

equal: =

boost, improve, enhance, strengthen :↗

plus: +

minus: —

times: x

divided by: ÷

degree: ℃

percent: %

per thousand: ‰

between:|.|

because, because of, due to: ∵

therefore, so, as a result, consequently: ∴

plus or minus: ±

versus, the ratio of, divided by : ：

so on, etc, and so forth : ···

is (much) greater/bigger/larger/faster/quicker/heavier/older… than; superior to, surpass:>

is (much) less/smaller/lighter/younger/fewer/inferior to/worse than…: <

not equal to :¹

not less than:

varies as, in direct proportion to: ∝或∞

parallel, is parallel to : ‖

right angle: ∟

perpendicular, is perpendicular to: ⊥

circle, circumference: ○

ellipse: 0

diameter: θ

triangle, delta : △

pressure, influence:⊥(竖线为向下箭头)

approximately, about, nearly, around,almost: ≈

as always, 一直，总是， 一贯：≡

contact, exchanges:∞

conflicts, disputes, contradictions: ><

波折：<<

win, success :V

by, with, %, in:/

as always, hold on, persist, insist on :≡

wonder, miracle : !

About: @

On the one hand:∕

On the other hand: ∕

Relation, relationship: &

Not agree: N

Agree: Y

Fine, good: +

Better, much better:++

Bad, weak: -

Worse, weaker: - -

In conclusion : =>

Empty: O

篇7：小学数学符号思想

———写给小学数学教师们

作者:张景中小学生学的数学很初等,很简单。尽管简单,里面却蕴含了一些深刻的数学思想。 函数思想最重要

最重要的,首推函数的思想。比如说加法,2和3加起来等于5,这个答案“5”是唯一确定的,写成数学式子就是2+3=5;如果把左端的3变成4,右端的5就变成6,把左端的2变成7,右端的5就变成10。右端的数被左端的数所唯一确定。在数学里,数量之间的确定性关系叫做函数关系。加法实际上是一个函数,由两个数确定一个数,是个二元函数。如果把式子里的第一个数“2”固定了,右端的和就被另一个数确定,就成了一元函数。

在中学里学习函数概念,只讲一元函数,以为多元函数复杂,不肯讲。其实,小学生先熟悉的是多元函数,因为学过的大量的数量关系是多元函数的例子。矩形面积等于长乘宽,是二元函数;梯形面积等于上底加下底的和再乘高除以2,是三元函数。所以多元函数的概念更容易理解。讲函数概念,不妨一开始就讲多元函数;具体研究,再从一元函数开始,这样比只讲一元函数更容易理解。

当然,不用给小学生讲函数概念。但老师有了函数思想,在教学过程中注意渗透变量和函数的思想,潜移默化,对学生数学素质的发展就有好处。

比如学乘法,九九表总是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起来了。这样用理解帮助记忆,用加法帮助乘法,实质上包含了变量和函数的思想:3变成4,对应的21就变成了28。这里不是把3和4看成孤立的两个数,而是看成一个变量先后取到的两个值。想法虽然简单,小学生往往想不到,要靠老师指点。挖掘九九表里的规律,把枯燥的死记硬背变成有趣的思考,不仅是教给学生学习方法,也是在渗透变量和函数的数学思想。

做除法要试商。80除以13,商是多少?试商5余15,不够;试商6余2,可以了。这里可以把余数看成是试商数的函数。试商的过程,就是调整函数的自变量,使函数值满足一定条件的过程。

小学数学里有很多应用题,解题的思想方法常常是因题而异。可不可以引导学生探索一下,用一个思想来解各种各样的题目呢?试商的思想,其实有普遍意义,可以用来求解许多不同类型的问题,包括应用问题,只要问题中的条件数据和解答之间有确定性的关系。

例如,修一条长32千米的公路,已经修了24千米,已修的路程是剩下的几倍?我们用类似试商的办法来试解。如果是1倍,剩下的是24千米,总长48千米,比题设数据大了;如果是

2倍呢,剩下的是12千米,总长36千米,仍比题设数据大;3倍呢,剩下8千米,总长32千米,正好符合要求。

我想很多老师不会这样引导学生思考,认为这是个笨办法。其实,这个办法具有一般性,把试解的倍数看成自变量,把根据试解算出的总长看成试解倍数的函数,找寻使函数值符合题目要求的自变量,这个思路能解决很多问题,是“大智若愚”。

这样思考试算,最终也会发现具体的规律, 列出通常的算式。找寻使函数值符合一定要求的自变量,也就是解方程。方程本质上是函数的逆运算。加法看成函数,减法是解对应的方程;乘法看成函数,除法就是解对应的方程。函数思想和方程的方法,是一个事物的两面,都是大智慧,贯穿数学的所有领域。

 “数形结合”在小学是可能的数学要研究的东西,基本上是数量关系和空间形式。当然,发展到今天,还要研究类似于数量关系的关系以及类似于空间形式的形式,甚至于一般关系的形式和一般形式的关系,等等。现在的课程标准把中小学数学分成了数与代数、空间与图形、统计与概率等几个模块。如何让这几块内容相互渗透、相互联系,是值得研究的问题。

提到数形结合,往往觉得是解析几何的事情。其实,数和形的联系,几乎处处都有。

在数学当中,几何具有非常重要的地位。几乎所有重要的数学概念,最初都是从几何中来的。所以有人说,几何是数学思想的摇篮。几何不仅是直观的图形,而且还需要推理,推理就要使用语言,所以几何的语言很重要。我们在教学或者编写教材的时候,往往是学数的时候就讲数,到了学几何的时候就讲几何,缺少把两者联系起来的意识。

例如,有一套教材开始就让学生玩积木,也就是认识立体图形。立体图形比平面图形更贴近生活,比数更贴近生活,是更基本的东西,这是教材的优点。但是,如果在玩积木时不仅让学生注意一块积木是方的、圆的、尖的,还让他们数一数某块积木有几个尖(顶点)、几个棱、几个面,就在学生头脑中播下形与数有联系的种子。

在认识数的时候,要举很多的例子,如一个苹果、一只小白兔等。我就想,在举例的时候能不能照顾到几何?比如学生在学习“1”的时候,就要学生用“1”来造句,书上可不可以有一些关于几何的句子?如“1个圆有1个圆心”、“1条线段有1个中点”、“1个正方形有1个中心”等。有的老师会说,这样不行,学生不能理解。我想,可以画图帮助学生理解,学生虽然不知道这些概念准确的含义,但看看图就有一个直观的、初始的印象。孩子学语言一开始不是通过理解,而是通过模仿开始的,如果在学数的时候,能举一些几何上的例子,这对他将来学习几何肯定会有帮助。同样,在学习“2”的时候,我们可以教学生说:“一条线段有两个端点。”不需要让学生知道什么是线段,只要画一条线段,指出两头是端点。到后来学几何知识时,回头一想,他会非常亲切,因为他早已经会说了。在学“3”的时候,可以画一个三角形,让

学生说“三角形有3条边、3个顶点”;学“4”的时候,可以画一个正方形,让学生说“正方形有4条边、4个顶点”;学“5”的时候,可以画个五角星;认识“10”的时候,除了10个指头,不妨画一个完全五边形让学生数一数有几条线段(图1);学到100以内的数,就可以告诉学生正方形的角是90度,等等。小孩子记忆力好,早点记一些东西,以后再慢慢理解。

在中国古代的私塾里,学生入学后往往先让他们背几个月,甚至一年,然后才开讲。当然这种教育方式不能作为模式,但是也并非没有可取之处。学生已经会背了,再讲的时候,他印象就非常深刻了。我们讲建构主义,先要有信息进去能建构,一个人闭目塞听,不和外界接触,是很难建构出东西来的。

总之,几何语言的早期渗透可不可能,值得研究。

形与数的结合,还提供了更多的数学之美的欣赏机会。关于数学的美,美国数学教育家克莱因有过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。”怎样才能让学生逐步体会到数学的美呢?在小学阶段,可以先从几何图形上感知数学之美。现代信息技术提供了前所未有的可能。举个例子,这里有一些美丽的图案(图2)你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

你能想到,这些图案竟是同一种曲线的不同形态吗?

这条曲线其实很简单,如图3,用“超级画板” 软件画一个圆,圆上取3点A、B、C,在弦AB上取点G,再在线段CG上取点H,利用软件的轨迹作图功能,作出3点A、B、C在圆周上运动时点H的轨迹,并把3点运动速度的比值分别设置为k、m、n的整数部分,做出这3个参数的变量尺。只要调整3个参数和点G、H的位置,就能创造出成百上千种不同的图案。这样几分钟就能做出来的课件,让孩子们玩上几个星期都不会失去兴趣。在潜移默化之中,数学之美会渗入幼小的心灵。

一位教师让她9岁半的孩子玩这类超级画板课件,孩子很快被超级画板所吸引。玩到第3天,就不想上网打游戏了。不到一个星期,就对超级画板上了瘾,很快学会了从屏幕上截取图片,把自己的作品保存起来。图4就是这个三年级学生的作品。他还根据自己的想象力给每个图案起了名字。

数形结合的思想,不仅是上面这些简单的例子,下面还会谈到。

 寓理于算的思想容易被忽视

小学里主要学计算,不讲推理。但是,计算和推理是相通的。

中国古代数学主要是找寻解决各类问题的计算方法,不像古希腊讲究推理论证。但是,计算要有方法,这方法里就体现了推理,即寓理于算的思想。

数学活动中的画图和推理,归根结底都是计算。推理是抽象的计算,计算是具体的推理,图形是推理和计算直观的模型。我们可以举些例子,让学生慢慢体会到所谓推理,本来是计算;到了熟能生巧的程度,计算过程可以省略了,还可以得到同样的结果,就成了推理了。有的人认为几何推理很难,学几何一定要先学实验几何。其实,实验和推理不一定要截然分开。早期学实验几何阶段可以推理,后期学会推理时也需要实验。所谓实验,无非是观察和计算。“对顶角相等”这样简单的几何命题,实际上就是通过一个算式证出来的,这里的推理证明就是计算。

要把计算提升为推理,就要用一般的文字代替特殊的数字,再用字母代替文字。不要怕让学生早点接触字母运算。讲到“长方形的面积=长×宽”的时候,不妨告诉学生,这个公式可以用字母表示成M=C×K。这里用了面积、长、宽的汉语拼音,学生很容易理解。再说明用别的字母也可以。为什么说这样能把计算提升为推理呢?看一个简单的例子。设一个三角形a边上的高为h,而b边上的高为g,根据三角形面积公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,则h=g。这就推出了一条规律:如果三角形的两条边相等,则此两边上的高也相等。也就是证明了一条定理。这种证明方法比利用全等三角形简单明了。

我曾经在一张小学数学试卷上看到这样一道题:“正方形的面积是5平方分米,求这个正方形的内切圆的面积。”表面上看,这个问题小学生解决不了,因为要求圆的面积,一般要知道圆的半径,这题中就需要先知道正方形的边长,而正方形的面积是5平方分米,边长就是!5分米,小学生没有学过开方,似乎没有办法进行计算。而实际上,正方形的面积是它边长的平方,圆的面积用到的是半径的平方,并不一定要知道半径,知道半径的平方就行了,而此题中半径的平方是直径平方(即正方形面积)的四分之一,所以是能够解决的。但有很多学生解决不了,而告诉他们答案后,学生往往觉得非常简单。这是为什么呢?这就说明学生不能把计算转化为推理。引导学生认识计算和推理的关系,从计算发展到推理,是很重要的。这里有很值得研究的问题。

小学生学的是很初等的数学,但编教材和教学研究要有高观点。英国著名数学家阿蒂亚说过,“数学的目的,就是用简单而基本的词汇去尽可能地多解释世界”,“如果我们积累起来的经验要一代一代传下去,就必须不断努力把它们简化和统一”,“过去曾经使成年人困惑的问题,在以后的年代,连孩子们都容易理解”。这几句话,我觉得非常亲切,因为多年来我一直在想能不能把数学变简单一点,把难的变成容易的,把高等的变成初等的。我想,高等的与初等的数学之间,没有必然的鸿沟,主要看人们如何理解。把变量与函数的思想、形数结合的思想和寓理于算的思想结合起来,往往能够化难为易,化繁为简。

人们以前认为三角函数是非常难学的,是高等数学的内容。它既不是加减乘除,又不是开方,它是超越函数。在数学史上,函数这个词是和三角紧密联系在一起的。一次函数、二次函

数都是算术运算的结果,就算没有函数的概念,学生也是比较容易理解的。三角函数则不然,一定要有“对应”的概念,函数的概念才说得清楚。有关三角的推导也是数学教学的难点。1974年,我在新疆教过中学,那时发现学生学习三角比较困难,就开始研究如何把三角变容易。在我写的一本书里(《平面三角解题新思路》,1997,中国少年儿童出版社)讲了这方面的具体想法。最近发现,三角不但可以变得很初等、很容易,而且可以成为初中数学的一条主线,把几何和代数联系在一起。我把这种思想写成一篇文章(《下放三角全局皆活》,《数学通报》,2007年1-2期)。张奠宙先生说,按我的这种思路,三角里的正弦函数,可以在小学里引进。如何引进呢?他把我提出的正弦函数的新的定义方法,作了生动、通俗而精彩的表述。下面这段文字引自他的文章:

矩形用单位正方形去度量,结果得出长乘宽的面积公式。那么平行四边形的面积怎么求?自然是用单位菱形,同样可以得出平行四边形的面积是“两边长的乘积,再乘上单位菱形面积的因子”,原理完全相同。一个明显的事实是:单位正方形压扁了,成为单位菱形,两者的区别在于角A。A是直角,面积为1,A不是直角,面积就要打折扣。这个折扣是一个小数,和A有关,记作sinA(图5)。

张奠宙先生还说:“如果能从小学就学sinA,当然是一次解放。”

我们看到,数学可以有不同的讲法。看清了问题的实质,就能把难的变成容易的,把高等的变成初等的。就能把“过去曾经使成年人困惑的问题”,变得“孩子们都容易理解”。

不考虑矩形面积公式,不用单位菱形,也能在小学里讲正弦。怎么讲?先问,一个等腰直角三角形,如果腰长为1,面积是多少呢?学生容易回答,是0.5。进一步探索,如果这个等腰三角形的顶角不是90度,比如是60度,它的面积是多少呢?学生从图上会看到,90度变成60度,面积会变小,要打个折扣。多大的折扣呢?这可以从纸上测量出来一个近似值。老师进一步告诉大家,这个折扣的更精确的数值,可以在计算器或计算机上查出来,它叫做sin(60?/SPAN>),约等于0.8667,这就引进了正弦函数。知道了正弦函数,就能解决许多实际的几何问题。如果问,这个0.8667怎么得来的,就引出进一步的数学方法。这样不仅教给学生知识,更重要的是教他如何提问题、如何思考、如何获取新的知识。

这里,既有数形结合,又有寓理于算,还贯穿着变量和函数的思想。有些老师不是说缺少好的探索问题吗?这就是非常有意义的探索问题,它给学生留下很大的思考空间,会使学生长远获益。

陈省身先生说过,数学可以分为好的数学与不好的数学。好的数学指的是能发展的、能越来越深入、能被广泛应用、互相联系的数学;不好的数学是一些比较孤立的内容。他举例说,方程就是好的数学。

篇8：小学数学符号思想

一、小学数学教学中渗透符号化思想的重要性

1. 渗透符号化思想,符合《义务教育数学可证标准(2011年版)》的基本要求

《义务教育数学可证标准(2011年版)》指出:“在教学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。”在小学阶段,培养学生的数学符号意识就是要充分理解符号在实际应用中所表示的数量关系和变化规律,并且能够在现实生活中用数学符号进行思考、运算、推断来解决数学类问题。由此可见,培养学生的数学符号意思对于数学学习至关重要。

2. 渗透符号化思想,有助于提高学生思维能力

数学符号化思想是以特定的符号、规定的形式来表达数学思想,数学符号化思想不但丰富了数学思想,还推动了数学的发展。同时,数学符号的使用能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识,诠释知识间潜藏的联系,使数学世界更加的简单且系统化,这不仅大大地缩短了学生学习数学的时间,还能够提高学生思维能力。

二、小学数学教学符号化思想渗透的基本原则

小学数学在教学过程中要遵循客观事实变化,要以学生自身特质为基础,以数学课程为前提,并结合实际生活进行教学,其目的是在教学过程中潜移默化的提升学生的思维能力。就目前小学数学教学情况来看,渗透符号化思想的基本原则主要有两方面,一方面是符合学生的自身特质。按照学生的自身特点进行个性化教学,使学生在不知不觉中学习到符合自身特质的符号化思想,同时也避免了在千篇一律的教学中遏制学生个性化发展的现象。在教学中运用学生比较感兴趣的话题来引导学生运用符号化思维来思考问题,不仅可以调动学生的积极性,而且可以加深学生对于符号的理解,进而提高学生数学符号意识。另一方面是教师加强对数学符号的理解。只有教师本身不断地加深对数学符号的理解,才能够生动形象地向学生教授符号知识,使学生在学习过程中遇到的各类问题都能够得到有创意的回答,还可以增强学生对学习数学符号知识的兴趣,而且能够通过教师的讲解学生可以更深层次的理解数学符号的意思,进而优化学生思维发展。

三、小学数学教学如何做到真正渗透符号化思想

符号化思想属于数学思想方法中的最基本方法之一,其形成过程并不是一挥而就的。在小学时期的数学方面,需要以正确理解和掌握符号化思想为前提,才能真正做到渗透符号化思想。下面针对小学数学阶段如何真正渗透符号化思想进行简要分析。

1. 从特定情景中抽离出数、数量关系和变化规律以及从特殊到一般的探索和总结的过程

在数学领域中,不仅包括数字的抽象:4,5,6,7等自然数;数学运算定律的抽象:通过对几组数字,具体的两个数字的相乘进行分析,可得对调两个乘数的位置积不变,符号表示为:ab=ba;数量关系的抽象:行程关系式就是时间、速度和路程的关系,符号表示为:s=vt等数与代数方面的抽象,以及包括图形中点、线、面等,计量单位m、m2、m3等,用字母符号来表示长方形、正方形、圆等图形的面积,如圆的面积公式S=πr2等,图形与集合领域中的抽象,而且还包括用统计图表进行描述分析的统计与概率领域,以上这些都是数学符号化的过程。

2. 正确理解并运用符号表示数、数量关系和变化规律

从理解符号这方面考虑,则是从一般向特殊转化的过程,也是从理论向实际转化的过程。这个过程主要是从具体的情景中用特定的符号对存在的数、数量关系和变化规律进行表示。符号化可以把具体情景的展现形式变得更简单,便于学生理解。

3. 符号间的转换

数学符号不仅可以用来表示明确的数量关系,而且可以用多种方式进行表示。譬如,3÷4可以表示为3/4,3:4,75%,0.75。由此可见,尽管数学符号的表现形式不尽相同,但是运用不同的数学符号可以表达出同一个意思,且所有符号间都可以进行互相转换,这种转化不仅仅可以提升学生的数学运算速度,提高运算效率,而且有助于提高学生的逻辑思维能力,逻辑思维能力的提高对学生具有更深远的影响,有助于学生的生活、为人处世、学习等各个方面能力的提高。也可以说数学符号间的互相转化可以直接影响学生的人格塑造等个性化的发展,这也体现出数学符号化思想的重要性。

四、小学数学教学符号思想渗透的基本途径

1. 转变现有教育观念,注重符号化思想的渗透意识

小学数学教育一直存在明暗两个教育目的,一个是增强学生的数学知识的目的,这种是在教材上明显展现出来的;另一个是学习数学思想方法的目的,这种隐藏在教材内容背后,不易察觉的。小学数学学习中处处都存在符号化思想,隐藏在教学过程中的每一个环节,这也就要求作为在教学过程中的指导者和组织者的教师,必须要转变现有教育观念以及更新教学理念,注重符号化思想的渗透,且在教学过程中有目的、有意识、有规划、有层次地引导学生形成符号化思想。

2. 在教学目标中明确符号化思想,结合生活实例渗透符号化思想

教学目标在课堂教学中的地位,犹如海洋中的灯塔,不同的只是所在的领域不同,灯塔是为航海的人们指引方向,而教学目标是指引教师的教学方向。也就是说教师在渗透符号化思想时,需要把其列入在教学目标当中,并且实施在具体的教学活动中,充分展现数学符号的特质。因此,需要教师在教学目标中明确符号化思想的同时也需要教师刻苦钻研数学教材,挖掘出蕴藏在教材中的所有数学符号,合理地把数学符号化思想渗透到教学中。

在数学教学中如果生搬硬套的强行学生记忆所学的抽象的数学知识,只能让学生远离数学,甚至导致学生掌握不了所学的数学知识,这样不仅教学目标没有达到,还大大降低了学生的求知欲,因此,教师在教学的过程中,应当加入一些实际生活中出现的场景,结合一些具体的例子,不仅可以让学生了解数学符号的来源,更深刻的认识数学符号,还能够培养学生符号化意识,更好的应用数学符号。

3. 掌握教学节奏,抓准教学时机渗透符号化思想

第一,在知识形成的过程中渗透。在数学课程中,生成数学思想的过程就是数学知识形成的过程。教师在教授数学知识的时候,应在阐释概念、推导结论、展示规律的整个过程中,掌握好教学的节奏以及把握住时机,不断把符号化思想渗透给学生。促使学生能够运用数学符号来表达所学到的数学知识,进而实现数学知识从具体到抽象再到形成符号的过程。在知识形成的过程中,学生通过语言表述出自己的思维方式,不仅培养了学生的符号化思想,而且还提升了学生的语言表达和交流能力。可以说,知识形成的过程是渗透数学符号化思想的最佳时期,在这个时期,学生的数学知识相对没有定型,存在很大的塑造空间,此时将数学符号思想适时、适当、合理地穿插进去,带领学生领略数学符号思想的魅力,掌握数学符号思想的精髓,无疑是小学数学教学中渗透符号化思想的最佳途径。

第二,在实践过程中渗透。俗话说,实践出真知,只有通过实践才能学到知识,对于小学生来说实践同样重要,在他们的生活环境中已经能够认识到一些符号,这些生活中的符号就是培养符号化思想的基础,例如,学生在过马路时,会看到的交通信号灯就是一种符号,在商场中看到的紧急出口标识以及代表卫生间的符号等,这些都是生活当中随处可见的特殊符号,潜移默化的影响着学生的思维。因此,小学教师在引导学生形成符号化思想时,不必局限于课堂教学,应该与生活相结合,引导学生在生活中发现符号,了解生活中各种符号所代表的意义,教师可以通过举办一些实践活动,来加强学生对符号的认识与理解。比如,学生在小学低年级时期,数学教师在讲授教材中“认识生活中的数”这部分知识时,教师可以安排寻找数字和符号的比赛,让学生在课堂或者生活中寻找数字和符号,让理论知识转化为实际应用,让每个学生列举出自己寻找到的数字和符号,让学生通过类似的小活动来加深学生对数学符号的认识和理解,从而使学生对特定的数学符号产生亲切感和熟悉感,非常有助于增加学生的学习效率和知识记忆深度。

五、结束语

在当前我国小学数学基础教学改革逐渐引向深入的大背景下,强调小学数学教学的符号化思想,具有非常深刻的现实意义,不仅可以帮助小学生形成基本的数学思维模式,并且有利于现代小学教育的进一步发展。因此,对于从事一线数学教学工作的小学数学教学工作者而言,做好小学数学教学中的符号思想渗透工作,是不可推卸的责任,应当在提升思想认识的基础上,逐步改善教学策略,增加符号思想渗透的实践环节,以抛砖引玉、稳扎稳打的方式,最终达到良好的符号化思想渗透效果。

摘要：数学在人类发展和社会进步中起到至关重要的作用,符号化思想是学习数学思想方法之一。数学教学中渗透符号化思想能够促进学生的思维发展以及独立人格的形成,可以通过分析符号化思想和儿童自身学习特点,选择合适的途径进行渗透。本文经过广泛的调查以及查阅大量的相关文献,对小学数学教学符号化思想渗透的基础途径进行简要分析。

关键词：数学,数学思想方法,符号化思想,渗透,思维发展

参考文献

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