数系结构的探索与发展

2024-04-07

数系结构的探索与发展（共6篇）

篇1：数系结构的探索与发展

数系结构的探索与发展

数系是数学中最基本的对象.但最早发展的自然数的.基础却迟至19世纪才建立,完整的数系本质结构的认识也经历了一个多世纪.本文从数系结构的探索与发展过程阐述了数学发展的基本特征与规律.

作者：冯进 FENG Jin 作者单位：常熟理工学院,数学系,江苏,常熟,215500刊名：常熟理工学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHANGSHU INSTITUTE OF TECHNOLOGY年，卷(期)：21(4)分类号：N09 O11关键词：数系结构复数四元数超复数

篇2：数系结构的探索与发展

数学组：谢瑞萍

《数系的扩充与复数的引入》这一部分是在高二下学期学习的, 新课标的基本要求是：在问题情境中了解数系的扩充过程，理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示和几何意义，能进行代数形式的四则运算和几何意义。

本着面向全体学生，巩固基本知识，强化基本技巧为出法点，而且复数这一部分在高考中的难度相对比较低，在教学设计时，我选择了常见的三种题型，进一步让学生学习了复数的概念及有关定义、复数的运算和利用复数的几何意义。为了提高课堂的教学效率，通过制作了PPT演示文稿，展示数的发展历史，把例题事先制作好，然后再黑板上进行演算。然后还是由于时间有限没有给学生们足够的时间让他们先进行思考，使部分学生有拖着走的感觉。

篇3：数系结构的探索与发展

一、复数的有关概念理解不清

例1下面命题正确的有_____个.

(1)两个共轭复数的差是纯虚数;

(2)若z∈C.则z2≥0;

(3)若z1,z2∈C,且z1-z2>0,则z1>z2;

(4)若a>b,则a+i>b+i

错解:4个.

错因:(1)当得到z-=2bi时就认为是纯虚数,忽略了b可以为0的条件.(2)认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中.(3)认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中.(4)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件.

正解:(1)错,设互为共轭复数的两个复数分别为z=a+bi及z=a-bi(a,b∈R),则z-z=2bi或当b≠0时,是纯虚数,当b=0时,(2)错,反例设z=i,则z2=i2=-1<0;(3)错,反例设z1=3+i,z2=2+i满足z1-z2=1>0,但z1,z2不能比较大小;(4)错,因为a>b,所以a,b∈R,故a+i,b+i都是虚数,不能比较大小.故正确的命题是0个.

评析:要认真审题,看清条件和结论,学会辩证的思考问题,准确记忆有关概念性质.

二、复数相等的条件应用出错

例2已知x是实数,y是纯虚数,且满足(2x-1)+i=y-(3-y)i,求x与y的值.

错解:根据复数相等的充要条件,可得

错因:误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解.

正解:根据已知条件x是实数,y是纯虚数可设y=bi(b∈R,b≠0),代入关系式(2x-1)+i=y-(3-y)i,整理得:(2x-1)+i=-b+(b-3)i,

根据复数相等的充要条件,可得

评注:这类题目往往是忽略题意中给出的条件,误把等式两边看成是复数的标准的代数形式加以求解,得出错误的结论.应引起重视,认真审题,理清题目中给出的条件后再加以分析求解.

三、方程有解的条件判断出错

复数方程是依据复数的基本概念与复数的基本运算,结合换元法思想加以求解复数方程.

例3已知关于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有实数根,求实数k应满足的条件.

错解:由于方程有实数根,得Δ=(k+2i)2-4(2+ki)≥0,解得

错因:误运用系数为实数情况下方程有根的充要条件Δ≥0,方程有实数根时,可把实数根x=x0代入方程整理成复数的标准形式,再根据复数相等的充要条件解出x0和k的值即可.

正解:设x=x0是方程的实数根,代入方程并整理得(x0+kx0+2)+(2x0+k)i=0,由复数相等的充要条件,得解得

评注:在解决复数方程时,可以通过设元解决,有时也可以直接通过等式的变换,利用复数的四则运算加以求解.

四、复数几何意义应用出错

例4若为纯虚数,则复数z所对应的复平面内的点Z对应的轨迹是什么?

错解1:设由于b取值不确定,因此无法确定复数z所对应的复平面内的点Z对应的轨迹.

错解2:设为纯虚数,则有即x(x-1)+y2=0整理得所以复数z所对应的复平面内的点Z对应的轨迹是以为圆心,半径为的圆.

错因:错解1是因为对参数方程的认识不到位,又受到复数z的复杂形式的影响,而错解2的整体思路是对的,但错因在于忽略了复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.

正解:由于而为纯虚数,则有即整理可得

所以复数z所对应的复平面内的点Z对应的轨迹是以(,0)为圆心,半径为的圆(去掉点(0,0)和(1,0).

评注:根据纯虚数的形式特征或性质求解复数问题,是一类比较典型的题目.注意挖掘隐含条件:复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a=0且b,0..还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.

五、复数的“模”与“绝对值”混淆出错

例5解不等式|z2-3z+2|<2|z-1|(z∈C)

错解:原不等式⇔|z-2||z-1|<2|z-1|⇔|z-1|(|z-2|-2)<0,因为|z-1|≥0,所以|z-2|<2.所以-2

错因:这种解法的错误在于未注意到“在复数集中,任意两个不全为实数的复数不能比较大小”,错误的原因是把实数中绝对值的性质“|x|0)”生搬硬套到复数模中来.

正解:原不等式⇔|z-2||z-1|<2|z-1|⇔|z-1|(|z-2|-2)<0.

因为|z-1|≥0,所以|z-2|<2且z≠1,其解为以点(2,0)为圆心,2为半径的圆内部,且去除点(1,0).

评注:复数的模是一个实数,可以参加实数的任何运算,如例5中由|z-1|(|z-2|-2)<0.

因为|z-1|≥0,所以可得|z-2|<2且z≠1,但是复数并不一定都能比较大小,所以不能由|z-2|<2得到-2

六、参数的范围限制挖掘不透出错

例6已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点的轨迹是什么?

错解展示:设z=x+yi(x,y∈R),则消去a2-2a,得y=-x+2,即复数z对应点的轨迹是直线y=-x+2.错因:求复数z对应点的轨迹问题,首先设z=x+yi(x,y∈R)的形式,然后寻求x、y之间的关系,上述错解整体思路是对的,但是在消参过程中没有注意到x、y的范围出错.

正解:设z=x+yi(x,y∈R),则消去a2-2a,得y=-x+2即复数z对应点的轨迹是直线y=-x+2.

又因为x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,所以复数z对应点的轨迹是射线y=-x+2(x≥3).

篇4：数系结构的探索与发展

关键字：数学史；有理数；无理数；数系的完备化

O156

一、有理数和无理数

自然数及相应的加法运算，在公元前三千多年的古巴比伦文明和古埃及文明中就已经出现。但直到公元前600年到公元前300年的古希腊时期，数学才正式作为一个学科登上历史舞台。

古希腊人研究自然数的比值，即可公度比，产生了有理数的概念。而不可公度比，即所谓无理数，是由毕达哥拉斯学派的希帕索斯（Hippasus），在公元前5世纪发现并证明的。这个证明可以很容易的借助于勾股定理给出：

由上述证明是不可公度比的过程，我们可以看到数学证明的严密性。

二、无理数的不同认知方式

当进行充分大的步骤的时候，误差就可以充分的小（极限中的语言）。

另外一种是借助于几何进行等价认知。在数轴上取长度为1的区间，固定一个顶点，将另外一个顶点旋转90度。连接旋转前后的两个点，构成一个等腰直角三角形。之后将斜边旋转回数轴。由此我们可以得到。

以上两种方法，反应了当代数学研究的两种思想。一种思想是，通过分析的方法，借助于已有的理论，对未知的问题进行某种程度的估算；另外一种思想是，将问题转化至某种良序的代数或几何对象，借助该对象的性质来认知原始问题。例如，为了描述素数在自然数中的分布情况，由Gauss做了猜想，然后由1896年数学家哈达玛（Hadamard）和普森（de la Vallée-Poussin）分别独立证明的素数定理，即是将素数在自然数中的分布情况，描述为如上形式的渐近公式。

另外一个例子是费马大定理的证明。德国数学家费马（Fermat）在1673年提出如下的猜想当整数n >2时，关于x， y， z的方程没有正整数解。这个猜想最终由怀尔斯（Wiles）于1996年证明。怀尔斯证明该猜想的思路是，将原来的算数问题，通过某种情况下的谷山─志村─韦伊定理，转化为椭圆模函数的某类等价命题，才给出了证明。

三、数系和群论

对于有理数域的进一步扩展，联系到代数多项式的解。将代数多项式的解添加入有理数中，按照域的定义，构成新的域，是为有理数域的代数扩张。

由此，如上所述，从数系的发展到有理数域的扩张，其牵扯到了近代数学的一门高度抽象的学科——抽象代数。古典数学的一些问题，如尺规作图法能否三等分任意角、尺规作图法能否得到任意正多边形等问题，都是由抽象代数的理论来得到其结果的。

四、数系的完备化

我们从另一个角度来看有理数域——考虑有理数的完备化。我们知道，有理数与无理数一起，構成了实数。实数在整个数轴上是连续的，我们可以在实数上引入绝对值的概念。

在该度量下，是泛函分析中所定义的赋范线性空间。其对应该度量（或者范数）的完备化空间（Banach空间），恰是整个实数域。由此，可以将实数系描述为有理数域在赋值下的完备化空间。

我们记为有理数域在如上p-进位赋值下的完备化。可以证明，对不同的素数，是有理数域上的不等价的赋值；加上对应的绝对值，就构成了有理数域所有的不等价的赋值。

如同实数域，我们同样可以对完备化后的上定义拓扑、函数，建立Fourier变换等分析工具。某些有理数上的算数问题，即可以通过等价变化，转化到完备化后的及上的问题，然后使用建立的分析工具进而求解。

篇5：数系结构的探索与发展

【关键词】学科价值;能力;结构化

【中图分类号】G637 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）30-0010-03

【作者简介】董洪亮，江苏省中小学教学研究室（南京，210013）副主任，基础教育质量监测中心办公室主任，研究员，博士，南京大学兼职教育博导。

一

探索学科价值与发展学生能力有什么联系，或者说，它们何以能构成一组关系？让我们先从“能力”开始说起。

教学的任务是发展学生的能力。可是，“能力”是不可以直接“教”的，也不可以直接“学”。你见过谁在课堂里直接以“能力”为内容进行教学的吗？一定没有。因为“能力”是一种假定的心理结构，它不是可以实际操作的对象。实际可操作的对象是知识与技能。就是说，“能力”是以先天素质为基础，由知识技能构成的特定心理结构。是否具备这种心理结构，判断的标准是能否完成某种特定的活动。能完成某种活动，就表明你具备某种特定能力，也就是某种特定的心理结构，否则就没有。因此，你要发展学生的能力，实际所能做的事情就是进行知识技能的教学。但是，掌握了知识技能，就一定能形成某种能力吗？不一定。还要看知识技能以什么样的“结构”被掌握，因为能力不是知识技能的随意堆砌，而是知识技能的结构化。比如房屋，它呈现某种结构，并且由砖瓦构成，但你不能说房屋就是砖瓦的堆砌——你很有可能把大量的砖瓦堆成一堆垃圾。所以，有经验的教师不仅知道要进行知识技能的教学，更会注重以特定的结构向学生呈现知识技能。

再说学科价值的探索。当我们在探索学科价值的时候，我们究竟在探索什么？或者说要得到什么样的探索结果？很多人都在谈论“学科价值”，但是稍稍梳理一下就不难发现，到目前为止，我们在谈论“学科价值”这个话题时，大致表现出两种类型：第一种类型是抽象地谈论学科价值，就是在人才规格的层面，表达某学科的育人价值。比如数学学科，大家会认为它既具有培养学生逻辑精神、科学精神的功能，也具有培养学生人文精神的功能。这些理解都没有错，但是这些谈论因为抽象而落不到实处。第二种类型是具体地谈论某种学科内容有什么价值。比如，生物学的进化论内容对学生形成世界观的意义，语文学科中的杂文教学对学生养成社会批判精神的意义，等等。这种谈论的路子，基本上等于指着一棵树，然后说它对于整个森林的意义。这也没有错，但是没什么用，因为不管你如何强调一棵树对于森林的存在有多大的意义，我们还是不知道森林是什么样子。可以说，第一种类型的谈论失之“空”，第二种类型的谈论失之“细”。在空与细之间，就是一个实在与整体问题。如果我们要避免空洞地谈论学科价值，就要看到学科价值的实在因素;如果我们要避免单一化地谈论学科价值问题，就要看到学科价值的整体因素。就是说，探索学科价值就是对学科做一个实在的、整体的把握。把握整体就是把握结构。

可以说，把握学科价值也好，发展学生能力也好，基本的路径就是结构化地理解、结构化地处理你所任教的学科。能否结构化，这是大师与新手的根本区别。普通教师其所以普通，不一定是因为他们不愿花功夫，而常常是因为他们深陷在学科当中，不能自拔。类似的情形可以在绘画当中见到。如果你观察一下绘画大师和绘画新手在完成一项相同任务时的工作路径，比如画一个人物，你会发现，新手们也许会在每一个细节的描绘上都拼命努力，但画到最后，会产生令人绝望的扭曲变形;而一个绘画大师，在他动笔之前，会在整体的结构性的把握上，花足功夫，所以最后你会看到，虽然他只是轻描淡写的几笔，就已能勾勒出一个生动的形象。教师在把握学科、培养学生能力方面，也大体如此。

结构化地把握学科，实现学科价值最大化，有静态和动态两个维度。下面分别谈一些想法。

二

在教学之前，你就可以对学科进行静态的探索。对学科进行静态的把握不等于研究教材。教材反映学科内容，但作为一个整体的“学科”不只是教材。假定一个老师，接受了某个学科的教学任务以后，就翻开教材，从第一章第一节开始教起，一直到教材的最后一页，这种情况下，恐怕不能说他对学科有比较好的把握。课程改革以后，老师们的“课程意识”有了很大的提升。什么是“课程意识”？课程意识就是在整体、结构的层面理解学科，而不能只是看到教材内容。结构化地把握学科主要是研究核心素养、课程目标、内容体系、关键能力、水平表现等五个方面。

“核心素养”是近两年才被关注的概念。每个学科都有正式的课程标准，每个学科的课程标准中都有对学生发展目标的描述，为什么大家还要再去关注“核心素养”这个概念？原因就是这些描述都比较宽泛，不够明确。老师们不太容易记住，即便记住了，好像也不太容易把这些目标具体化。比如，义务教育语文课程标准在描述课程目标的时候，认为应当在语文学习过程中，培养学生的思想道德和健康的审美情趣，发展个性，培养创新精神和合作精神，形成积极的人生态度和正确的世界观、价值观，等等。这些描述都对，但是还不够明确。所以大家觉得应当把学生发展的目标提得更明确一些。怎样提就算是比较明确了？比如，小学数学就是要发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”等核心素养。这些发展目标都在课程标准中有所涉及，但是都没有这样明确的提出来。把核心素养提炼出来，形成统一认识，老师的教学才能更加目标明确。

“课程目标”在现在的课程标准当中，一般被划分为“总体目标”、“具体目标”和“学段目标”三类。如上所说，总体目标和具体目标都显得不够明确，总体目标和具体目标如果更明确地提炼出来，就是学科层面的“核心素养”。所以我们这里关注的“课程目标”就是指学科的“学段目标”。教师在把握了学科的核心素养以后，需要做的事情就是对所教学段的目标有非常清晰的把握。

“内容体系”通常以教材的形式呈现。一个学科的教材可能有很多品种，但是，任何一种教材都是对学科内容的体系化展开。值得注意的是，把握学科的“内容体系”，并非只是要求我们按章按节地去教学。布鲁纳认为，教学的内容是知识，但知识不应当是零散的，而应当是结构化的，掌握结构有四点好处：①有助于解释许多特殊现象，使学科更容易理解;②有助于更好地记忆科学知识，因为除非把一件事情放进构造得很好的模式里，否则就会忘记;③有助于促进知识技能的迁移;④有助于缩小高级知识与初级知识之间的差距。[1]专家型教师总要根据自己的理解，对教学内容进行结构化的重组。在这方面，薛法根老师的小学语文“组块教学”最具有代表性。他的基本做法是：“基于小学语文课程（能力）标准，依据布鲁姆能力目标分类学，确定学生年段能力发展目标群，并以此为‘内核，从教材中选择适合学生某项能力训练的语文学习项目，整合成教学内容板块。”[2]大家都知道，国外教师有选择教材的权力，用或不用教材，用哪一种教材，教师有自主权。自主权为什么要给老师？因为老师们对学科内容都有自己的体系化考虑。

“关键能力”与我们过去熟悉的“关键知识点”这个概念非常接近，但是它们又存在着区别。区别表现在两个方面：第一，“关键知识点”关注的是知识，“关键能力”关注的是学生的发展;第二，评价学生“关键知识点”掌握的情况，只需要看他识记和理解的水平，而评价学生“关键能力”的发展情况，需要看他能否完成某项任务。所以，前者是知识立意的，而后者是能力立意的。比如，经合组织的PISA测试，与我们通常的考试有很大的不同，区别就在于，通常的考试是基于知识的，而PISA测试则是基于学生素养和能力的。学科教学如果要更加关注学生的能力发展，就是要更加关注包含在学科教学中的若干关键能力。

“水平表现”就是指学生某一方面的“关键能力”所达到的水平。比如，同样是三年级学生，在“朗读课文”能力方面的表现，可能存在着不同的水平。为什么要把“水平表现”作为教师把握学科结构的一个重要组成部分？因为教师教学的对象是学生，学生不是抽象的，只有对学生在不同能力方面的表现有预期的了解，教师的教学才能做到有的放矢。大家都知道教师在备课时要“备学生”，“备学生”就是要对学生在某方面的水平表现形成预期。

构成学科整体的五个方面，理论上存在着层次关系，即，从核心素养→课程目标→内容体系→核心素养→水平表现，具体化程度越来越强，但是就教师结构化地把握学科而言，五个方面同样重要。教学新手通常会把全部精力放在内容体系上，教学有方的教师才能真正体会到五个方面同样的重要性。

三

动态地把握学科结构，就是关注学科的展开过程，关注“教学”。

“教学”现实最普遍的问题是单一化——教学过程变成了千篇一律的传授过程。传授并没有错，但千篇一律的传授一定有错。一个教师如果只是千篇一律地传授，你恐怕不能说他对学科教学有良好的整体性把握。教师偏于一隅，学生如何形成良好的能力结构？

造成教学单一化的原因很多，观念方面的原因主要是“教学”内涵的严重缩水。“教学”被单纯地操作成一个“3×45”的过程：教学=45个平方的空间+45分钟的时间+45个学生。“教学”当然存在着时间、空间、对象问题，但是，如果它们总是被固化在“45”上面，教学过程的单一、封闭的现象就很难解决。

结构化地把握学科教学，需要拓展教学的“时间”维度。现在，大家常常用“一节课”来对教师的“教学”进行观察、评价。以45分钟为单位的教学设计固然重要，但是，如果老师们因此忽视了更长周期的教学设计，比如单元、学期、学年、学段几年的学科设计，甚至一辈子的教学风格追求，就只能深陷于树木之间，难见森林。若干年前，魏书生介绍他的语文教学改革，说他会在学生高一年级时，用一年时间的语文课，让学生只阅读、研究、讨论《红楼梦》。让学生用一年时间只学《红楼梦》，这中间，恐怕不只是一个改革的胆量问题，更能见到改革者的教学智慧，这种教学智慧的具体表现，就是对教学进行“长时段设计”。

教学“空间”维度的拓展与现代技术的发展紧密相连。上世纪80年代就有人预言，未来社会，“学校”将不复存在。做出这种预言的依据，当然是学习的无边界化、泛在化。在未来较长的时间当中，学校的“围墙”也许不会真的很快消失，但是，现代技术特别是网络技术对“教学”空间内涵的拓展却不容忽视。如果借助于网络技术，我们可以和学生形成一种没有边界的教学关系，那么，教学活动应当如何组织？美国新媒体联盟在《2015年地平线报告：K12版》中提出，技术对教育提出了六项挑战，其中的第四项挑战，就是当今教育将“重新思考教师的角色”。教师如何重新定义自己的角色？一项重要的内容，就是与学生形成更加丰富的空间关系。

教学“对象”维度的拓展需要打破现代制度化的教学组织形式。编班上课的形式并非亘古不变，它的历史也只有三百多年时间。从夸美纽斯开始，编班上课的集体教学方式一直基于两个基本的假设：第一，班级里的所有学生都是一样的;第二，学生的主要任务就是接受。在集体教学的制度之下，课堂成了一个批量制造的工业化过程。集体教学有它的现代价值、历史价值，但是显而易见，这两个假设十分脆弱。上述《地平线报告》提出的未来教育受到的第三项挑战是“个性化学习”，第五项挑战是“规模化学习创新”，它们提出的，是“学习者”的含义究竟是什么的问题。近些年来，大家都知道要组织学生进行小组合作学习、探究性学习。但是，如果合作学习、探究性学习的目的是为了提高批量生产的效率，那么，我们对于教学“对象”维度的考虑就没有任何结构性变化。

总体来说：既然“能力”是一种“结构”，发展学生能力的前提就是使学科“结构化”。结构化地把握学科，实现学科价值的最大化，既是教学的事情，也是教学之前的事情。

【参考文献】

[1][美]布鲁纳.布鲁纳教育论著选[M].邵瑞珍，等，译.北京：人民教育出版社，1989：35-37.

篇6：数系结构的探索与发展

数系的扩充与复数的引入是复数的基础内容，它是数学发展史上的一个重要的里程碑，也是高等代数的基础.全国各地每年高考的试卷中基本上都有一道复数题，考查复数的基本概念及其几何意义、复数的代数运算，题型是选择题或填空题，分值4分或5分，难度比较容易.综观历年全国各地高考卷，主要考查复数、纯虚数、共轭复数、复数的模、复数相等、复数的几何表示，考查复数的四则运算.

湖北近几年的高考情况，考查了复数的加法、乘法、除法、[in]的运算，考查了共轭复数、复数相等的概念，考查了复数的几何表示.文科与理科不同，考查了复数的加法、乘法运算、复数的几何意义，难度低于理科.

命题特点

经过认真分析近几年的湖北高考卷和全国各地省市高考卷，我们发现，数系的扩充与复数的引入在近年来高考命题中主要围绕三个方面展开，一是围绕复数的概念及几何意义；二是围绕复数的四则运算及几何意义；三是围绕复数与其他知识交汇.

1. 概念及意义考查重基础、重应用

复数的概念包括：复数定义、复数的实部与虚部、实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、复数的模，对复数概念的考查仍然注重对考查概念的理解，考查方式不会直接考概念，往往是通过简单的运算来考查概念的应用，以检测学生对概念的理解程度.

例1 设[m∈R]，[z=（m2+m-2）+（m2-1）i]，其中[i]是虚数单位，当[m]为何值时，[z]是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）0？

解析由于已知[z]是标准的复数的代数形式，所以由复数为实数、虚数、纯虚数、0的充要条件可得.（1）当[m2-1=0]即[m=±1]时，[z]是实数.（2）当[m2-1≠0]即当[m≠±1]时，[z]是虚数.（3）当[m2+m-2=0]且[m2-1≠0]，即[m=-2]时，[z]是纯虚数.（4）当[m2+m-2=0]且[m2-1=0]，即[m=1]时，[z]是0.

例2 设复数[z=x+yi]，若[i（y+3i）=x+4i]，则[z]=_________.

解析由条件得[-3+yi=x+4i]，由复数相等定义得[x=-3，y=4]，即[z=-3+4i]，所以[z=-3-4i]，从而[z=（-3）2+（-4）2=5].

答案 5

点拨复数相等的充要条件是实部相等且虚部相等，复数共轭的充要条件是实部相等且虚部相反.复数的模是指表示复数的向量的模，若复数[z=a+bi]，则它的模[z=a+bi][=a2+b2]，显然任意复数的模都是非负数，只有零的模为零.

例3 设z是复数，则下列命题中的假命题是（）

A. 若[z2≥0]，则z是实数

B. 若[z2<0]，则z是虚数

C. 若z是虚数，则[z2≥0]

D. 若z是纯虚数，则[z2<0]

解析法一：设[z=a+bi，a，b∈R][?z2=a2-b2+2abi]. 对选项A：若[z2≥0，]则[b=0?z]为实数，所以[z]为实数真.对选项B：若[z2<0，]则[a=0]且[b≠0?z]为纯虚数，所以[z]为纯虚数为真.对选项C：若[z]为纯虚数，则[a=0，]且[b≠0?z2<0]，所以[z2≥0]为假.对选项D：若[z]为纯虚数，则[a=0]且[b≠0?z2<0]，所以[z2<0]为真.

法二：经观察，C和D选项可能互相排斥. 取[z=i]，则[z2=-1<0]，所以C为假命题.

答案 C

点拨实数扩充到复数以后，实数的四则运算法则仍然成立，但实数的有些性质不再成立.如复数的平方不一定非负，复数之间不一定有大小关系，只有实数的平方非负，实数之间才有大小关系.复数的几何意义是近年来高考命题的热点，主要考查复数在复平面内对应点的位置，有时也考查相反复数、共轭复数在复平面内的几何性质.

例4 复数[z1]，[z2]在复平面内对应点[A]，[B]，[z1=3+4i]，将点[A]绕原点[O]逆时针旋转[90°]得点[B]，则[z2=] （）

A. [3-4i] B. [-4-3i]

C. [-4+3i] D. [-3-4i]

解析由复数几何意义得，[A（3，4）]，由[OA⊥OB]，且[B]在第二象限，从而[B（-4，3）]，所以[z2=-4-3i].

答案 B

点拨复数的几何意义有两种，一是复数[z=a+bi]与复平面内的点[Z（a，b）]是一一对应的；二是[z=a+bi]与平面向量[OZ]是一一对应的.实数可用实轴上的点表示，虚数只能用实轴外的点表示，纯虚数用虚轴上除原点外的点表示.相反复数的对应点关于原点对称，共轭复数的对应点关于实轴对称.

2. 运算考查重基础、重综合

近年来复数的四则运算命题注重基本运算与基本概念综合，在考查基本运算能力的同时考查复数概念的理解水平.四则运算的考查特别注重复数乘法和除法法则以及方程思想.

例5 设复数[z1=1-i]，[z2=3+i]，其中[i]为虚数单位，则[z1z2]的虚部为（）

A. [1+34i] B. [1+34]

C. [3-14i] D. [3-14]

解析因为[z1z2=1+i3+i=（1+i）（3-i）3+1=3+14+3-14i，]所以[z1z2]的虚部为[3-14].

答案 D

点拨复数的乘除运算要注意复数乘法法则和除法法则的不同之处，特别是除法法则的分子.复数的实部与虚部都是实数，特别是复数[z=a+bi]的虚部是[b]而不是[bi].

nlc202309032007

3. 与其它知识交汇考查重创新

例6 已知集合[M={1，2，zi}]，[i]为虚数单位，[N={3，4}]，[M?N={4}]，则复数[z]= （）

A. [-2i] B. [2i]

C. [-4i] D. [4i]

解析由[M?N={4}]得[zi=4]，所以[z=-4i].

答案 C

点拨本题考查集合的运算、复数的运算，由于在未引入复数之前，学生所见的数集都是实数集，因此此题命题有一定的创新，但新而不难，属容易题.对于含虚数的数集运算，本质上与实数集的运算没有区别，还是依据集合运算定义来解题.

例7 设[a，b∈R]，[i]是虚数单位，则“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的（）

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

解析法一：因为[a+bi=a-bi]，[a，b∈R]，所以复数[a+bi]为纯虚数的充分必要条件是[a=0]且[b≠0]，由[ab=0]得[a=0]或[b=0]，所以“[ab=0]”是“复数[a+bi]为纯虚数”的必要不充分条件，选B.

法二：若[a=b=0]，则[a+bi=0]，排除A，C项；若[a=0，b=1]，则[a+bi]为纯虚数，排除D项.

答案 B

例8 设[a]是实数，若复数[a1-i+1-i52]（[i]为虚数单位）在复平面内对应的点在曲线[x2+y2=1]上，则[a]的值为（）

A. 1 B. 2

C. [±1] D. [±2]

解析因为[a1-i+1-i52=a（1+i）2+1-i2=a+12+][a-12i]，所以[（a+12）2+（a-12）2=1]，解得[a=±1].

答案 C

点拨本题是在复数的几何意义和曲线方程的交汇处设计，考查复数运算及几何表示、曲线与方程关系，属容易题.复数共有三种表示代数表示、几何表示和向量表示，几何表示、向量表示提供了复数与解析几何、复数与平面向量融合的依据，因此复数在解析几何、平面向量中有足够的展示舞台.

例9 设复数[x=2i1-i]（[i]是虚数单位），则[C12013x+C22013x2]

[+C32013x3+…+C20132013x2013=] （）

A. [i] B. [-i]

C. [-1+i] D. [1+i]

解析 ∵[x=2i1-i=i（1+i）=-1+i]，

∴[C12013x+C22013x2+C32013x3+…+C20132013x2013]

[=（1+x）2013-1=][i2013-1=i-1].

答案 C

点拨课本上的二项式定理，是指在实数集内的二项展开问题.但引入复数后，它的适用范围可以扩大到复数集. 本题易错点是对二项式展开式的项数出现记忆错误.从上可得知，复数也可以作为数学中的活跃元素，自然地加入到其它知识之中，这就给复数考题的命制提供了更大的空间，但由于高考对这部分内容的要求不高，所以创新题不会太难.

备考指南

数系的扩充与复数的引入是高考必考的内容，在复习备考过程中，一定要认真研读考试大纲和考试说明，把握复习的度.不可穿新鞋走老路，拔高高考要求，补充特殊复数的运算性质、复数模的运算性质、复数的三角形式、实系数一元高次方程，加大学生的课业负担，劳而无功.

复习的重心应放在复数相等的充要条件和复数的四则运算上，其中特别要注意近几年的热点问题，也就是在复数的基本概念、几何意义与复数的四则运算相互交织的问题，应加强这方面的训练. 另外还要注意高考的冷点，近几年的湖北卷一直没有考查共轭虚数、复数的模和复数的加法、减法的几何意义，有可能在今后的高考中出现，所以在备考中要覆盖这些知识点.

限时训练

1. 若复数[z]满足[iz=2+4i]，则在复平面内，[z]对应的点的坐标是（）

A. [（2，4）] B. [（2，-4）]

C. [（4，-2）] D. [（4，2）]

2. 已知[i]为虚数单位，则复数[i2-i]的模等于（）

A.[5] B.[3]

C.[33] D.[55]

3. 在复平面内，复数[z]（为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）

A. 第一象限 B. 第二象限

C. 第三象限 D. 第四象限

4. 若复数[z]满足[（3-4i）z=|4+3i|]，则[z]的虚部为（）

A. [-4] B. [-45]