对偶问题的基本性质

2024-04-23

对偶问题的基本性质（精选9篇）

篇1：对偶问题的基本性质

对偶理论的性质及证明

性质1(对称性)对偶问题的对偶问题是原问题

证明

设原问题为

max z CX

AXbs.t.X0

(1)

对偶问题为

min w Yb

YACs.t.X0

(2)

对偶问题的对偶问题为

max  CU

AUbs..tU0

(3)

比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证.性质2(弱对偶性)设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X是原问题的任意一个可行解,Y是对偶问题的任意一个可行解,那么总有

CXYb

(4)

证明

根据式(1), 由于AXb, 又由于Y0, 从而必有

YAXYb

(5)

根据式(2), 由于YAc, 又由于X0, 从而必有

YAXCX

(6)

结合式(5)和式(6), 立即可得CXYb,命题得证.性质3(最优性)设X*原问题式(1)的可行解,Y*是对偶问题式(2)的可行解,当是CX*Y*b时,X*是原问题式(1)的最优解,Y*是对偶问题式(2)的最优解.证明

设X是式(1)的最优解, 那么有

CXCX*

(7)

由于CX*Y*b,那么

CXY*b

(8)

根据弱对偶性质, 又有

CXY*b

(9)

从而CXCX*, 也就是X*是原问题式(1)的最优解。同理，也可证明Y*是对偶问题式(2)的最优解。

性质4(无界性)设原问题为无界解，则对偶问题无解。

证明

用反证法证明。

设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。

假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y。这时对偶问题的目标函数值为YbT。由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X满足CXT，因此CXYb。

而根据弱对偶性，又有CXYb，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。

性质5(强对偶性、对偶性定理)若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法）

证明

设B为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风

格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息并完善研究思路。

（2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。

（3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法，以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B时的检验数为CCBB1A，其中CB为由基变量的价值系数组成的价值向量。

既然B为原问题式(1)的最优基，那么有CCBB1A0。

令YCBB1，那么有CYA0YAC，从而YCBB1是对偶问题式(2)的可行解。

这样一来，YCBB1是对偶问题的可行解，XBB1b是原问题的最优基可行解。

1Bb 由于CXCBXBCNXNCBB1b，而YbCB，从而有CXYb。根据性质3，命题得证。

ˆ, Yˆ分别是原问题和对偶问题的可行解，性质6(对偶松弛定理、松弛性)若Xˆ0和YXˆ0，当且仅当Xˆ, Yˆ为最优解。那么YXss证明

设原问题和对偶问题的标准型是

原问题

对偶问题 max z CXAXbs.t.X0 min w Yb

YACs.t.X0

将原问题目标函数中的系数向量C用CYAYs代替后，得到

ZCX(YAYs)XYAXYsX

(10)将对偶问题的目标函数中系数列向量，用bAXXs代替后，得到

YbY(AXXs)YAXYXs

(11)

ˆYAXˆˆYbˆ，由最优性可知Xˆ0，YXˆ0，则CXˆ, Yˆ分别是原问题和对偶问若YXss题的最优解。

ˆYbˆ ˆ, Yˆ分别是原问题和对偶问题的可行解，再根据最优性，则有CX又若Xˆ0，YXˆ0。由式(10)和(11)，必有YXss

篇2：对偶问题的基本性质

教学内容：

青岛版小学数学六年级下册分数的基本性质和小数的性质的整理与复习。教学目标：

在理解的基础上掌握分数、小数的基本性质。教学重难点：

在理解的基础上掌握分数、小数的基本性质。教法：

创设情境、归纳整理法、合作交流法教具、学具准备：课件，多媒体。教学过程：

一、谈话引入复习内容

谈话：同学们，前面我们已经复习了整数、分数和小数的意义，这节课，我们来复习分数和小数的基本性质。

二、归网建构，主体内化

1．学生回想分数的基本性质和小数的性质及其推导过程。先在组内说一说性质，再独立举例说明怎样得到这些性质。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘上或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这就是分数的基本性质。

小数的性质：小数的末尾添上“0”或者去掉“0”，小数的大小不变，这叫做小数的性质。

2．分数的基本性质和小数的性质有什么联系？举例说明。（讨论）0.1= 0.10 = 0.100 ↓ ↓ ↓ 1/10=10/100=100/1000 分数的基本性质和小数的性质是一致的。

3.分数的基本性质和小数的性质的应用。（同桌合作举例说明应用了什么性质解决了什么问题）

/ 2

根据分数的基本性质，可以进行约分和通分；根据小数的性质可以改写小数。

三、综合应用，巩固提高。1．填空：

（1）把6.1扩大（）倍得到61。把1.75扩大100倍得（），把40缩小（）倍得到0.04，把38缩小（）得到0.038。

（2）将039改写成计数单位是00001而大小不变的数是（），这是根据（）来改写的。

（3）如果给2/9 的分子加上4，要使原分数大小不变，分母应加上（）。

（4）一个分数，它的分子与分母的和是24，分子与分母的比是3：5，这个分数是（），约分后得（）。

（5）把25克糖放入100克水中，糖和糖水重量的最简整数比是（）。（6）把0.8：3/4化成最简单的整数比是（），比值是（）。2．填上合适的数，说说你填写的根据。

1/5=（）/12=4/（）30/36=（）/18=5/（）3．比较下面每组中的两个分数的大小。

7/12○3/36 12/18○2/5 3/4○9/15 7/8○55/56 4．下面各数中的“0”，哪些“0”可以去掉？ 0.80 0.503200 300.2000 5．不改变数的大小，把下面各数进行改写。原数 0.4 4 40 改写成一位小数改写成两位小数改写成多位小数

四、课堂小结

这节课复习了哪些知识？你能简单地归纳一下这些知识吗？

篇3：对偶问题的基本性质

传统药品采购模式是基于库存驱动,采购的目的是为了补充库存、保证供应。即时制采购模式是基于患者需求,采购的目的是为了追求零库存。传统模式为了最大限度保证临床需要,必然造成药品库存过大,药品周转率下降。即时制采购模式把患者需求摆在第一位,药房调剂人员及时调整药品品种结构和数量,有效降低缺货品种和缺货率。

即时制采购与传统采购的主要区别:

2 医院传统的药品采购模式的弊端,是为“库存”而采购

医院药剂科所属各药房根据库存决定是否从药库请领药品,药库根据库存量来决定是否从医药公司进货。在这种模式下,药品在医院内部的流通中,没有产生任何增值,相反还占用了存货资金,失去了机会成本。医院还要为药剂科投入相应的人员、设备和库房,增加了医院的管理成本。虽然医院所处供应链管理的环境已经建立,以药品需求为导向的市场早已建立,但医院还未及时转换角色,药品采购模式还未脱离计划经济体制的轨迹。

3 外部环境为实行JIT药品采购管理模式提供了可能性,使药品采购模式紧紧围绕患者需求(药品需求)

JIT药品采购法是一种先进的采购模式管理哲学。其核心是:JIT的思想核心可以归结为在恰当的时间、地点,以恰当的数量和质量提供恰当的药品。这种采购模式是向管理要效益。

医院信息系统(HIS)的普及和电子商务的发展,为JIT采购管理模式提供了信息技术支撑。

药品供应商都希望和医院长期保持完善的信任机制,医药流通企业会在第一时间对医院的采购需求作出快速反应,并在药品价格、质量、交货时间、信息化服务等方面为医院提供最好的服务,和医院建立互相信任、互相承诺和有弹性协议的药品长期配送合同。所有这些因素都对JIT采购管理模式创造了物质基础。也只有这样医院和药品流通商的整体竞争力才能得到加强。

4 医院如何逐步实现JIT药品采购管理模式

企业需要改变传统的“为库存采购”的管理模式,提高药品终端市场需求的响应能力,增加和供应商的信息联系和相互之间的合作,建立适应医院改革不断深入的药品采购管理模式。药库的采购计划、药房请领计划能够同频率进行,减少药库的仓储费用和人工费用,减少药品的管理成本。

推行JIT药品采购管理模式,需要建立以领导重视、全员参与为基础的组织保障机制。JIT药品采购管理模式贯穿于医院内部药品流通的全过程,主要涉及药库、门诊各药房和住院各药房。医院内部药品流通的各个环节,都要做好药品需求信息的迅速收集、准确传输的基础工作。所以迫切需要领导高度重视、全员参与,尤其是药学部所有人员与采购人员的密切配合,努力形成“思想同心、目标同向、工作同力”的工作局面。

强化药剂科人员实施JIT药品采购管理模式的理论水平。医院要采取“走出去、请进来、外请专家、内搞交流”的方式,进行规范的采购理论培训和技术操作,让他们理解JIT采购理论的目的和意义,吸引和增强他们自觉使用这种采购模式的主观能动性。所有职工,尤其是药品会计、库管人员和采购人员,互相学习,互相交流。

实施JIT药品采购管理模式从A类药品少量品种开始。首先要按财务管理存货的分类标准把所有药品分为A、B、C三类,A类药品是重点管理对象,一次拿出10个品种,逐步摸索,试点运行这种采购管理模式。

利用医院药品信息系统,按5天到10天的药品销量备货,并定期对销量进行分析,找到该种药品的季节使用规律和临床医生用药习惯,有针对性地修正购进该种药品的数量。通过试点,总结经验,循序渐进,逐步改进、逐步完善的过程,为正式实施即时制采购打下基础。

摘要：新医改方案中逐步取消药品加成政策,是目前医疗卫生行业的热点话题。本文分析了JIT药品采购模式和传统采购模式的不同,指出了目前医院所处的供应链管理环境已经建立,实施新的药品采购管理模式已经提上日程。在本文的最后还提出了实施JIT药品采购模式的方法和措施。

关键词：JIT药品采购,传统(库存)采购,药品流通

参考文献

篇4：复合二项对偶模型的最优分红问题

关键词对偶模型；HJB方程；压缩映射；最优分红策略

中图分类号O211.6 文献标识码A

AbstractThis paper discussed the problem of optimal dividendpayment in compound binomial dual model. The relationship between the optimal dividend strategy and the corresponding optimal value function was found by analysing the HJB equation， and a simple algorithm was obtained for calculating the optimal value function. From the properties of the optimal dividend strategy， an upper bound and a lower bound of the optimal value function were derived.

Key wordsdual model； HJB equation； contraction mapping； optimal dividend strategy

1引言

分红问题的提出可以追溯到De Finetti1在纽约第15届国际精算师大会上发表的一篇文章，他认为在风险模型中考虑分红更切实际. 目前研究得最多的分红策略有：Barrier策略2-4和Threshold策略5-9. 随着金融管理、公司业务和保险业务的发展，经典风险模型的对偶模型越来越受到重视10-14，讨论相对较多的是连续时间经典风险模型的最优分红问题，例如：Avanzi等10运用拉普拉斯变换方法讨论了复合Poisson对偶模型的最优红利Barrier的确定方法；Gerber等11讨论了复合Poisson对偶模型的最优红利Barrier的一些近似方法. 然而离散时间的最优分红问题显然还没有得到足够的重视，尽管De Finetti11最开始讨论红利问题就是在一个离散模型中. 对偶模型可描述为：

本文研究复合二项对偶模型的最优分红问题，发现最优值函数满足一个离散的哈密顿-雅可比 -贝尔曼（HJB）方程，并运用压缩映射原理证明最优值函数是这个方程的唯一解，从而得到了最优分红策略的计算方法. 通过讨论最优红利策略的一些性质本文构造出了最优值函数的可无限逼近的一个上界和一个下界，以便能运用递归算法在Matlab中进行数值计算.

2基本模型假设

参考文献

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nlc202309051527

9.S GAO， Z M LIU. The perturbed compound Poisson risk model with constant interest and a threshold dividend strategyJ.. Journal of Computational and Applied Mathematics，2010，233（9）：2181-2188.

10.B AVANZI， H U GERBER， E S W SHIU. Optimal dividends in the dual modelJ.， Insurance： Mathematics and Economics，2007，41（1）：111-123.

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12.C Y N ANDREW. On a dual model with a dividend thresholdJ.. Insurance：Mathematics and Economics， 2009，44（2）：315-324.

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篇5：分数的基本性质

发布者:邱灵芳发布日期:2011-04-01 20:55:12.0

“分数的基本性质”教学设计

教学内容：苏教版小学数学第十册第95页至97页。

教学目标：

知识目标：通过教学使学生理解和掌握分数的基本性质，能利用它改变分数的分子和分母，而使分数的大小不变。

能力目标：培养学生的观察能力、动手操作能力和分析概括能力等。

情感目标：让学生在学习过程中养成互相帮助、团结协作的良好品德。

教学准备：圆形纸片、彩笔、各种卡片。

教学过程：

一、创设情境，激发兴趣

孙悟空有3根一模一样的甘蔗，小猴子贝贝、佳佳、丁丁看见了，一哄而上，叫嚷着要吃甘蔗。孙悟空说： “好，贝贝分第一根甘蔗的，佳佳分第二根甘蔗的，丁丁分第三根甘蔗的。”贝贝、佳佳听了，连忙说：“孙大圣，不公平，我们要分得和丁丁的同样多。”孙悟空真的分得不公平吗？（学生思考片刻）【通过学生耳熟能详的人物对话，给学生设计一个悬念，抓住学生的好奇心理，由此激发学生的学习兴趣。】

二、动手操作、导入新课师：我们也来分分看。（学生拿出准备好的圆形纸片。）师：我们把三张纸片看成三块饼，大家比比看，每人的三块饼大小相等吗？请拿出第一块饼，我想要一块，而且大小要是第一块饼的一半，你能做到吗？你给我的为什么是这块饼的一半呢？用分数怎么表示呢？我现在想要两块，而且大小要跟刚才给我的饼一样大，你又能做到吗？用分数怎样表示呢？我如果想要四块，大小跟前两次给我的一样，你还能做到吗？这次用分数又该怎样表示呢？这三个分数大小相等吗？为什么呢？这节课，我们就来研究这个数学问题。

【通过学生的动手操作，初步感知三个分数的大小相等，为寻找原因设置悬念，再次激发学生的学习兴趣。】

三、观察对比，由“数”变 “式”

你们三次给我的饼大小相等吗？那么这三个分数大小怎样？可以用怎样的式子表示？（＝＝）（从这里你能看出，孙悟空分甘蔗，分得公平吗？）

四、概括分析，由“式”变 “语”

⒈观察一下这个式子，3个分数有什么不同？有什么地方相同？分数的大小为什么会不变呢？要弄清楚这个问题，我们必须先研究分数的分子、分母是怎样变化的。

⒉先从左往右看，是怎样变为与它相等的的？

(1)分母乘2，分子乘2。

根据分数的意义，“"表示把单位”1“平均分成2份，取其中的1份，而现在把单位”1“平均分成4份，也就是把原两份中的每一份又平均分成2份，所以现在平均分成了2×2=4（份），现在要得跟原来的同样多，必须取几份？［1×2=2（份）］＝＝

即原来把单位”1“平均分成2份，取1份，现在把平均分的份数和取的份数都扩大2倍，就得到。与的大小相等，分数值没变。

(2)由到，分子、分母又是怎样变化的？

（把平均分的份数和取的份数都扩大了4倍。）＝＝

(3)谁能用一句话说出这两个式子的变化规律？

⒊再从右往左看

(1)是怎样变化成与之相等的的？

原来把单位”1“平均分成4份，取其中的2份，现在把同样的单位”1"平均分成2份，即把原来的每两份合并成 1份，现在要取得跟原来的同样多，只需取几份？［2÷2=1（份）］也就是现在把平均分的份数和取的份数都缩小了2倍，得到，分数的大小没有变。

＝＝

(2)又是怎样变成的？（把平均分的份数和取的份数都缩小了4倍。）

＝＝

(3)谁能用一句话说出这两个式子的变化规律？

⒋综合以上两种变化情况，谁能用一句话概括出其中的规律？你觉得有什么要补充的吗？（不能同时乘或除以0）为什么？

⒌这就是今天我们所学的“分数的基本性质”（板书课题，出示“分数的基本性质”）。

(1)理解概念。

学生读一遍，你认为哪几个字特别重要？（相同的数、0除外）相同的数，指一些什么数？为什么零除外？

(2)瘃木鸟诊所。（请说出理由）

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数，分数的大小不变。（）

分数的分子和分母同时乘或者除以一个数（零除外），分数的大小不变。（）

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。（）

⒍小结。

从判断题中我们可以看出，分数的基本性质要注意什么？学到这儿，大家想一想，我们以前学过的什么性质跟分数的基本性质类似？谁能用整数除法中商不变的性质来说明分数的基本性质？

【此过程主要由学生通过观察、比较，得出这三个分数大小相等的规律，由此牵引到其他的有同等规律的分数中，从而引出分数的基本性质：分子、分母是同时变化的，是同向变化的（是扩大都扩大，是缩小都缩小），是同倍变化的（扩大或缩小的倍数相同）。只有这样变化，分数的大小才不会变。】

五、巩固练习 ⒈卡片练习：

⒉做P96“练一练”

1、2。

⒊趣味游戏：

数学王国开音乐会，分数大家族的节目是女声大合唱，只有几分钟就要演出了，请大家赶紧帮合唱队的成员按要求排好队。

要求：第一排是分数值等于，第二排是分数值等于的，还有一位同学是指挥，他是谁？你是怎样想的？

【通过练习，让学生加深对分数的基本性质的理解，为下节课分数的基本性质的应用打好坚实的基础。】

六、课堂总结

这节课你学到了什么？什么是分数的基本性质？你是怎样理解的？

七、布置作业

做P97练习十八2。

分数的基本性质教学设计

2008-09-24 14:40:09

《分数的基本性质》教学设计

一、故事引入。

有一天妈妈给淘气做了一个香喷喷的大蛋糕，蓝猫看见了也想吃。淘气说：我只有一个蛋糕，要不我分给你一些吧，我有三种分法，请你选择一种：

第一种：把蛋糕平均分成2份，送给你其中的一份，也就是这个蛋糕的1/2；第二种：把蛋糕平均分成4份，送给你其中的2份，也就是这个蛋糕的2/4；第三种：把蛋糕平均分成8份，送给你其中的4份，也就是这个蛋糕的4/8。选择哪一种分法吃到的蛋糕最多呢？同学们，如果你是蓝猫，你会选择哪一种呢？生：我选择第一种。生：我选择第三种。

生：这三种分法都一样多，选择哪一种都行。

二、动手操作，验证猜想：

1、验证

(1)师：到底谁说得更有道理呢？

(2)请大家拿出三张同样大小的圆形纸片，现在我们把它当成蛋糕，看怎样分分得的月饼最多？(3)反馈：

师：通过折纸片，你发现了什么？（学生到台前演示验证过程）3名

(4)小结：原来，这个蛋糕的1/

2、2/4和它的4/8同样大！看来不管蓝猫选择哪种分法，分到的蛋糕都一样多！

三、自主探究，发现规律

1、举例：

师：你能试着写出像这样的一组分数吗?（根据学生回答有选择地板书）同学们看：在这几组分数中，尽管分数的分子和分母不同，但分数的大小却是一样的。这是为什么呢？里面一定藏着一个小秘密，你想不想找到它！

2、探究规律

（1）自学提示：

1、请选择你喜欢的一组分数，先从左往右看，再从右往左看，认真观察分数的分子、分母是怎样变化的？

2、其它几组分数也是这样变化的吗？

3、把你的发现用一句话总结出来吧！

（先独立思考，再把自己的想法与小组的同学交流一下。）（2）班内交流。3组

通过从左往右、和从右往左的观察，你认为分数的分子和分母是怎样变化的？

你选择的是哪一组？从左往右观察，你发现了什么？分子分母同时都乘一个相同的数，分数的大小不变。从右往左看呢？

分子分母同时都除以一个相同的数，分数的大小不变。还有需要补充的吗？补充（0除外）

3、总结规律：分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。

我们发现的这个小秘密是每一个分数都有的特点，在数学上被称为——分数基本性质。板书课题。

四、沟通说明，揭示联系：

1、轻声读读分数基本性质，回想一下：它和我们以前学习过的哪个性质比较相似？（商不变性质）（出示商不变性质）

2、比较一下，你发现了什么？分数的分子相当于被除数，分数的分母相当于除数。被除数、除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数大小不变。

五、练习。

1、1/3=（）/6 10 /15=（）/3 1/4=5/（）

2、练一练：

（1）分数的分子、分母乘以或除以相同的数，分数的大小不变。（2）把5/15的分子缩小5倍，分母也同时缩小5倍，分数的大小不变。（3）3/6的分子乘以3，分母除以3，分数的大小不变。

3、我们班2/5的同学参加可舞蹈小组，4/10的同学参加了书法小组，哪个小组的人数多？

4、说出和它相等的分数：2/3

六、课堂总结：

这节课我们主要学习了分数的基本性质，请大家静静的读75-76的内容。看看还有不明白的地方吗？

板书：分数的基本性质

1/2==2/4=4/8 2/4=4/8=6/12

3/5=6/10=9/15=12/20

分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数大小不变。

教学教程

（一）、激趣引思、提出问题

1、播放动画片《西游记》片尾曲

2、师讲故事（课件显示相关画面）

话说唐僧师四人去西天取经，一路上历经磨难。一天，他们走得又累又饿，幸好路过一个村庄，化缘得到三块同样大小的饼。唐僧心想：三块饼，四个人不太好分呀！但是很快他就想到了一个分饼的方案，他对徒弟们说：我准备将第一块饼，平均分成2份，猪八戒其中的二分之一；将第二块饼平均分成4份，沙和尚其中的四分之二；将第三块饼平均分成8份，孙悟空吃其中的八分之四，你们同意这样的分配方案吗？师父的话音未落，猪八戒便跳出来说：“我不同意这样的分法，师父你太偏心了，凭什么猴哥吃那么多有八分之四，而我却吃那么少才二分之一。

3、出示问题：同学们，请你们判断一下，猪八戒说的对吗，师父真的偏心吗？（学生自由发表意见）

｛设计意图：这的样设计，旨在把枯燥的数学贯穿在学生喜闻乐道的故事情境中，引发学生的学习兴趣，点燃他们求知欲望的火花，从而主动探究新知聚集动力。｝

二、自主探索，寻找规律

1、根据学生发言、引导得出：二分之一等于四分之一等于八分之一。

2、提出问题：像这样大小相等的分数，是不是只有一组，你们能找出一些给老师看看吗？

3、提出学习要求：

（1）、小组合作：找出一组大小相等的分数，然后想办法证明这组分数大小相等。（2）、思考：在写数的过程中，你发现了什么规律？

4、（1）汇报交流，共同评价（教师择机板书）

（2）交流发现，揭示规律

（3）板书课题：分数的基本性质

5、（1）指导看书验证规律

（2）引证：以前我们学习了商不变性质及分数与除法的关系，你能根据前面学过的知识来说明分数的基本性质吗？

〔意图：通过让自主写数、自主验证、自主发现，让学生在写一写，折一折，画一画，说一说等实践活动中把静态的知识转化为动态的求知程，经历分数的基本性质的形成过程。〕

三、自学例题，运用规律

1、自学第108页例2并完成相应“做一做”。

2、校对：重点让学生说说分母、分子是如何变化的？根据什么？

3、小结。

〔意图：学生能够学会的，老师不包办，从而培养学生的自学能力〕

四、巩固深化，拓展思维

1、基本练习：

（1）说一说：下面各种情况下，怎样才能合分数的大小不变。‘ A 把九分之五的分母乘以五；B 把十二分之八的分子除以四 C 一个分数的分母缩小3倍；D 一个分数的分子扩大2倍。（2）填一填：根据分数的基本性质，把下列等式补充完整。

2、变式练习

（1）对对碰游戏：

玩法一：同桌之间，一个同学任意说出一个分数，另一个同学根据这个分数说出一个和它大小相等的分数。

玩法二：小组之间，一个小组任意说出一个分数，指定一个小组同学说出一个与之相等的分数。

（2）辨一辨：A、分数的分子和分母同时乘上或者相同的数，分数的大小不变。（）

B、〔略〕

C、〔略〕 D、〔略〕

F、两个分数的分子、分母都不相同，这两个分数一定不相等。（）

3、实践题：

五年级同学参加学校举行的应用题选拔赛，其中五（3）班被选上的人数占参赛总人数的十六分之二，五（5）班被选上的人数占参赛总人数的四分之一，五（3）班与五（5）班相比，哪一个班被选上的人数多？

〔意图：紧扣教学目标，设计了三个层次的练习，体现了“让不同的学生在数学上有不同的发展”的理念。保底而不封顶，使后进生吃得了，中等生吃得好，优等生吃得饱，现时注意练习与学生生活实际的联系，让学生学有价值的数学。〕

五、反思评价，完善认知

1、你有什么收获？还有什么不明白的？

篇6：分式的基本性质

3.注意挖掘题目中的隐含条件.

4.利用分式的基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式，体现了数学化繁为简的策略，并为分式作进一步处理提供了便利条件.

(四)布置作业

教材P61中2、3;P62中B组的1

篇7：比的基本性质

教学内容：人教版六年级上册数学教材第45、46页的内容及练习十一的第4—7题。教学目标：知识与技能：

1、理解比的基本性质。

2、正确应用比的基本性质化简比。过程与方法：

1、利用知识的迁移，使学生领悟并理解比的基本性质。

2、通过学生的自主探讨，掌握化简比的方法并会化简比。情感态度与价值观：

初步渗透事物是普遍联系的辩证唯物主义观点。

教学重点：理解比的基本性质，推倒化简比的方法，正确化简比。教学难点：正确化简比。

教具准备：写有例题和练习题的小黑板。教学过程：

一、情境导入

1、比与分数、除法的关系。

师：我们已经学习了比的意义，知道比和分数、除法之间有着密切的关系，哪位同学愿意说说比和分数、除法之间有什么联系？

2、复习分数的基本性质和商不变的性质。

师：请大家回忆一下，分数有什么性质？除法又有什么性质？它们的内容分别是什么？（指名回答）

二、探究新知

1、猜想：比和分数、除法的关系相当密切，那么，在比中有没有类似的性质呢？如果有，请同学们猜想一下，可能会是怎样的？汇报时，让学生说说猜想的根据。

2、验证：以小组为单位，讨论、验证一下刚才的猜想是否正确。学生汇报。

3、小结：经过同学们的验证，我们知道这个猜想是正确的，并且经过补充使它更完整了，在比中确实存在这种性质。板书课题：比的基本性质。

4、化简比。

老师：应用比的基本性质，我们可以把比化成最简单的整数比。出示例1的第（1）题。（1）“神舟”五号搭载了两面联合国旗，一面长15cm，宽10cm，（前面展示过），另一面长180cm，宽120cm。这两面联合国旗长和宽的最简单的整数比分别是多少？

让学生在练习本上写出一小一大两面联合国旗长和宽的比，15:10和180:120 提问：你怎样理解最简单的整数比这个概念？

学生讨论，指名回答，达成共识，最简单的整数比必须是一个比，它的前项和后项都是整数，而且前项和后项应该是互质数。

让学生自己尝试把这两个比化成最简单的整数比，然后集体订正答案。15:10=（15÷5）：（10÷5）=3:2 180:120=（180÷60）：（120÷60）=3:2 提醒学生注意两个比化简的结果，并让学生说说结果相同，说明了什么？（说明两面国旗大小不同，形状相同。）

出示例1的第（2）题。

（2）把下面各比化成最简单的整数比。1/6:2/9 0.75:2 让学生独立试做，教师巡视指导，请两名学生在黑板上板演。师生共同讲评。

1/6:2/9 =（1/6×18）：（2/9×18）=3:4 提问：为什么要乘18？可能会有学生想到不同方法，教师应给予肯定。0.75:2=（0.75×100）：（2×100）=75:200=3:8或（0.75×4）：（2×4）=3:8 老师强调：不管选择哪种方法，最后的结果都应该是一个最简单的整数比，而不是一个数。

5、反馈练习。

（1）完成教材第46页的“做一做”，集体订正。在校对、交流的基础上，引导学生对化简比的方法进行小结。

（2）完成教材第48页练习十一的第4—6题。

三、巩固提高

1、把下面各比化成最简单的整数比。24：28 51:17 1/4:2/3 1:1.2 4/5:4/7 3：3/4 0.4:0.5 2:0.2

2、改错。

（1）0.48:0.6化简后是0.8。（2）21:12化简后是21:12。（3）1:0.4化简后是2/5。

3、有一个两位数，十位上的数和个位上的数的比是2:3。十位上的数加上2，就和个位上的数相等。这个两位数是多少？

四、课堂小结

学完这节课，我们知道了比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。我们还能够根据比的基本性质，熟练地把比化成最简单的整数比。

五、作业：练习十一第4、5题

教学反思：

篇8：绿色增长应成为通信业共识

在9月底举办的联合国环境大会上，与会领导人都不约而同地关注全球气候问题，气候变化是全人类面临的严峻挑战，事关人类生存和各国发展。会议最终达成的结果是喜人的，不再有讨价还价，不再有犹豫不决，最终的共识是绿色增长是未来发展的主旋律。

而绿色也成为通信领域近两年关注的焦点。在9月中旬的通信展上，“端到端的绿色”概念让通信业的绿色上升到了一个新的高度。但这种高度仍然停留在产品阶段，更不能排除很多企业仍然在进行概念上的炒作。真正的绿色应该体现在企业发展的每一个环节，要深入到企业长远发展的战略中去。

也许很多人都怀疑，通信业到底能产生多大的碳排放量?这里举一个新例子。据分析，到2015年，日本1个小时产生的数据将达到1Peta (1024T)。如果要满足这个数据量的路由和交换处理，就需要800台思科CRS-1路由器组成10个矩阵节点，而要给这800台路由器供电需要一座中型的核电站。类似的例子，谷歌在美国新建的数据中心就坐落在核电站旁边，就是为了解决供电问题。试想一下，这仅仅是日本1小时产生的数据量，而人口多于日本数倍的中国在2015年1个小时可能产生的数据量有多大可想而知，其能耗有多大自不必多说。

中国3G建设上马，过不了几年，在整个中华大地上，可能将有数百万个形形色色的通信基站耸立。这些基站一方面在为不断增长的通信需求服务，另一方面也在不断消耗能源、排放污染。也许，ICT的发展永远是把双刃剑。

最近，韩国KT召开了一场以“绿色增长与绿色IT”为主题的CEO论坛。在论坛上，KT表示在2009年绿色IT领域投资将达到1427亿韩元，该公司将通过减少能源使用量、采用绿色替代能源、改造通信基础设施等方法，到2013年试图将碳排放量较2005年减少20%，同时还会出手资助配套企业通过ISO14001环境管理体系认证所需费用的50%。同时，KT还将在韩国京畿道出资150亿韩元，成立绿色增长投资组合，专门投资从事新可再生能源以及减少碳排放的中小企业。KT的绿色IT策略分为“Green Of IT”和“Green By IT”，“Green Of IT”指打造涵盖通信、IT基础设施与企业活动的绿色IT产业，而“Green By IT”则是利用ICT谋求绿色经济体制的战略，并将积极扩大投资。

对于中国的三大运营商而言，KT的战略有着很强的借鉴意义。尽管三大运营商都推出了节能减排方面的措施，但并没有将之上升到战略高度，更没有深入到企业发展的方方面面，这一点还需三大运营商高层认真思考和科学对待。尤其是在以3G为代表的全面竞争时期，如何开展绿色竞争更是值得运营商所有员工共同思考的问题。

篇9：对偶问题的基本性质

关键词： B-凸性 B-（E，F）-凸函数多目标规划对偶问题

数学规划问题在工农业、军事、交通运输、决策管理、工程计算与最优化等领域有着广泛的应用，而在实际问题中，衡量一个方案的好坏标准往往不止一个，就是说问题本身难以用一个指标来衡量，衡量的指标越多，就越难以找到理想方案.因此，多目标规划作为新的分支而发展起来，成为最优化理论研究中最关注的问题之一，其理论成果具有重要的应用价值.本文对一类新型广义B-凸进行了研究，对极小化的多目标规划问题的目标函数和约束函数进行了B-（E，F）-凸性假设，研究其对偶问题的弱对偶和强对偶，得到了重要结论.

设R 为n维欧氏空间，向量

X=（x ，x ，…，x ）∈R ，y=（y ，y ，…，y ）∈R ，

定义：x=y？圳x =y （1≤i≤n）

x≦y？圳x ≦y （1≤i≤n）

x≤y？圳x ≦y （1≤i≤n）至少存在某个1≤j ≤n，使得x

考虑如下具有不等式约束的极小化多目标规划问题，记作（MP）：

（MP）minf（x）=[f （x），…，f （x）]

s.t.g （x）≤0（i=1，2，…，m）x∈R

（MP）的可行域记作：X={x∈R |g （x）}≤0，i=1，2，…，m}，f，g 均为X上的可微函数.

1.相关知识

定义1.1[1] 函数f：M→R称为M上的B-（E，F）-凸函数，如果存在点到集的映射E，F：M→R ，使得M是（E，F）-凸集，且存在函数b（x，y，λ）：M×M×[0，1]→R，使得函数满足

f（λ +（1-λ））≤λb（x，y，λ）f（）+（1-λb（x，y，λ））f（）

？坌x，y∈M，？坌 ∈E（x），？坌y F（y），λ∈[0，1].

定义1.2[2] 设 ∈X，对任意的j=1，2，…，p，若不存在任意的x∈X，满足f （x）≥f （）或f（x）≥f（），则称为（MP）的一个有效解（或称pareto解）.

定理1.1[3] （Kuhn-Tucher最优性必要条件）

设x 是问题（MP）的有效解，且满足K-T约束条件，即

（ⅰ） λ ？荦f （x ）+ u ？荦g （x ）=0

（ⅱ） u g （x ）=0

（ⅲ）g （x ）≤0

（ⅳ）λ（λ ，λ ，…，λ ）>0，u=（u ，u ，…，u ）≧0.

引理1.1 设f（x）是（E，F）-凸集M上关于函数b的连续可微的B-（E，F）-凸函数，存在函数：M×M→R ，记 b（x，y，λ）= （x，y），如果对？坌x，y∈M，则有

？荦f（F（y））（E（x）-F（y））≤ （x，y）[f（E（x）-f（F（y））]

证明：由于f（x）是M上的B-（E，F）-凸数，因此有

f[λE（x）+（1-λ）F（y）]≤λb（x，y，λ）f（E（x））

+[1-λb（x，y，λ）f（F（y））]

=f（F（y））+λb（x，y，λ）[fE（x）]-f（F（y））]

函数f（x）连续可微，由微分中值定理得

f（F（y））+λ（E（x））-F（y）？荦f（F（y））+λθ（E（x））-F（y））））

≤f（F（y））+λb（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

0<θ≤1

所以

（E（x））-F（y））？荦（f（F（y）））+λθ（E（x））-F（y）））≤

b（x，y，λ）[f（E（x））-f（F（y））]

将上式两边分别取当λ→0时的极限，由引理条件可得

？荦f（F（y））（E（x））-F（y））≤ （x，y）[f（E（x））-f（F（y））].

2.主要结论

R.R.Egudo在文献[4]中阐述了规划问题在不变凸函数情况下的对偶问题，本文给出多目标规划问题在B-（E，F）凸性限制下的对偶模型，研究得到对偶问题的弱对偶和强对偶结果.

我们记下面的问题（MPD）为（MP）的對偶问题：

Maxf（u）+β g（u）e

（MPD）

s.t.？荦α f（u）+？荦β g（u）=0α>0β≥0α e=1

定理2.1 （弱对偶）：设为多目标规划问题（MP）的可行域，令（u，α，β）为对偶问题（MPD）的可行解，使得α f+β g为定义域上的B-（E，F）-凸函数，若对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解与（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E（u）∪F（u），那么则有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

证明：因为α f+β g为B-（E，F）-凸函数，且对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解x与（u，α，β），有x∈E（x）∪F（x），U∈E（u）∪F（u），故由引理1，有

（x，u）[（α f（x）+β g（x））-（α f（u））+β g（u）]

≥（x-u）？荦（α f（u）+β g（u））（2.1）

由于（u，α，β）为对偶问题（MPD）的可行解，因此有（x-u）（？荦α f（u）+？荦β g（u））=0

而x为多目标规划问题（MP）的可行解，故有

β g（x）≤0

因此式（2.1）可表示为

[α f（x）-（α f（u）+β g（u））]≥0

又（x，u）≥0

所以有α f（x）≥α f（u）+β g（u）.

定理2.2（强对偶）：设x 为多目标规划问题（MP）的有效解，且满足K—T约束品性，那么存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）为对偶问题（MPD）的可行解，且有β g（x ）=0，如果对于对偶问题（MPD）的任意可行解（u，α ，β ），α f+β g为定义域X上的B-（E，F）-凸函数，若对于多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的任意可行解x与（u，α ，β），有x∈E（x）∪F（x），u∈E∪F（u），那么（x ，α ，β ）为（MPD）的有效解.

证明：x 为多目标规划问题（MP）的有效解，且满足K-T约束品性，则存在（α ，β ）使得（x ，α ，β ）为（MPD）的可行解，且有β g（x ）=0，所以多目标规划问题（MP）与对偶问题（MPD）的目标函数值相等.

对于？坌x∈X及（MPD）的任意可行解（u，α ，β），α f+β g为可行域X上的B-（E，F）-凸函数，那么存在函数（x，u），有

α f（x）+β g（x）≥α f（u）+β g（u）+

（x，u）？荦（α f（u）+β g（u））？摇？摇（2.2）

=α f（u）+β g（u）

（2.2）式中，因為？荦（α f（u）+β g（u））=0，

β≥0，g（x）≤0，所以有β g（x）≤0，因此对于对偶问题（MPD）的任一可行解（u，α ，β），有

α f（x）≥α f（u）+β g（u）？摇？摇（2.3）

由假设x 与（x ，α ，β ）分别为（MP）与（MDP）的有效解，由式（2.3）可得

α f（u）+β g（u））≤α f（）

因为α >0，根据文献[5]中相关结论，得到（x ，α ，β ）为多目标规划对偶问题（MPD）的有效解.

参考文献