高二数学椭圆教案

2024-05-20

高二数学椭圆教案（精选7篇）

篇1：高二数学椭圆教案

1，教学目标

学习椭圆的典型例题

2，例题

例1 已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为（0，2）求m的值．

0，a3b，求椭圆的标准方程．例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，例3 ABC的底边BC16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．

分析：（1）由已知可得GCGB20，再利用椭圆定义求解．

（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．

例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为

45和325，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

3x2y2例5 已知椭圆方程221ab0，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，F2，Pab是椭圆上一点，A1PA2，F1PF2．求：F1PF2的面积（用a、b、表示）．

0，且在定圆B：例6 已知动圆P过定点A3，x3y264的内部与其相内切，2x211y21，（1）求过点P，且被P平分的弦所在直线的方例7 已知椭圆222程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（3）过A2，（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOPkOQ求线段PQ中点M的轨迹方程．

1，2

例8 已知椭圆4x2y21及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为

210，求直线的方程． 5x2y21的焦点为焦点，过直线l：xy90上一点M作椭圆，要例9 以椭圆123使所作椭圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．

x2y21表示椭圆，求k的取值范围．例10 已知方程k53k解：

3，作业

例11 已知x2siny2cos1(0)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围．

例12 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3,2)和B(23,1)两点的椭圆方程．

例1

3知圆x2y21，从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长． 3

x2y21上的点M到焦点F1的距离为2，N为MF1的中点，则ON例15 椭圆259（O为坐标原点）的值为A．B．2 C．8 D．2x2y21，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，例16 已知椭圆C：43椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．

例17 在面积为1的PMN中，tanM以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．

1，tanN2，建立适当的坐标系，求出2x2y21所截得的线段的中点，求直线l的方程．例18 已知P(4,2)是直线l被椭圆

369

篇2：高二数学椭圆教案

江苏省如皋中学

郝茹

郝劲赴

现行高中《平面解析几何》课本对椭圆第二定义采用了从具体事例入手，引出一个新概念的定义的方法，这是数学教学中常用的从具体到抽象、从特殊到一般地讲授新概念的方法，符合人们从感性到理性的认识事物的规律．但是，在这里我们要注意，从认识事物的原型到认识事物的本质，这是对事物认识的质的飞跃，妥善处理好这个过程，是教学成功的关键．为此，我们在教学椭圆第二定义时，作了如下安排：

１．自读推敲，引导剖析首先让学生自读课本Ｐ．７６例３及由此引出的椭圆第二定义，自己推敲这一定义的内涵及外延，并提出以下问题供学生思考：

（１）定义中有哪些已知条件？

（２）定点、定直线、定比在椭圆定义中的名称各是什么？

（３）定比是哪两个量的比？这两个量本身是变量还是常量？定比是什么范围的值？（４）定点、定直线、定比一定是例３给出的数量关系（Ｆ（c,0),x定直线方程是否可为其他的形式？

对第（１）、（２）、（３）三个问题学生容易从课本中找出答案，但第（４）个问题则一石激起千层浪，学生们议论纷纷．这时，教师启而不答．

２．通过变式，提示内涵让学生研究课本Ｐ．７９第１０题“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x＝８的距离的比是１：２，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”

学生很快根据例３求出c＝２，又由eca12a2c,eca1)吗？定点坐标、，得a＝４，而由xa2c422可知满足题意．从8，而得点Ｐ的轨迹方程为x216y2121，所以点Ｐ的轨迹是椭圆．

接着，我将上题稍加改动，让学生研究：“点Ｐ与一定点Ｆ（２，０）的距离和它到一定直线x＝８的距离的比是13，求点Ｐ的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．”学生沿用上题的解法，得c2，由

x2ca13，得a6,b6232，得轨迹方程为22236y2321，有的学生由

a2c362188而提出该题题设

c2c2,11e，而认为此题无解．矛盾，所以无解，也有的学生列出方程组a2，解得238a4,c这时，教师不评价学生的解法，而是提示他们比较该题题意与课本给出的椭圆第二定义是否一致，由他们自己发现满足题意的动点轨迹是椭圆，进而重新寻求解题的途径．不少学生建立方程(x2)yx82213(x5，化简得

481)2y2921，由此可见，这是中心在点（54,0)，对称轴为直线x5416及y0的椭圆．

—1— 从该例让学生看到椭圆第二定义中的定点、定直线、定比的数量关系不一定是课本Ｐ．７６例３给出的定点Ｆ（c，０）、定直线xa2c、定比eca，当不满足这个数量关系时，建立椭圆方程不能套用例３的结果去解．当给出定点Ｆ（n，０）、定直线x＝m（m≠n）、定比为e（０＜e＜１)时，可建立方程

me2(xn)yxm22(xe，解得

n21e22e(mn)(1e)22)2y222e(mn)1e21．

显然，只要m≠n，即点Ｆ（n，０）不在直线x＝m上时，都是椭圆方程．

这样，就让学生自己在解决问题的过程中，求得思考题（４）的第一个问题的答案．进而指导学生深入推敲椭圆第二定义，让他们深切地理解定义中的定点一般为(x0,y0)，定直线一般为ax+by+c＝０，并告诉学生在学过坐标变换之后，可通过坐标变换，将所求的轨迹方程化为椭圆的标准方程．

通过以上研究，让学生明确：课本Ｐ．７６例３题设中给出的数量关系是椭圆的标准方程的条件，而不是所有椭圆方程所要求的条件，即不是椭圆方程的本质特征，这样，学生对椭圆第二定义的内涵和外延的理解就深刻多了．

３．列举反例，防患未然要使学生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，运用变式比较，揭示概念本质以外，我们还经常列举一些反例让学生判别，防止常见错误的发生．为此，给出以下两例，让学生判别命题是否正确．

例１点Ｐ到点Ｆ（２，０）的距离比它到定直线x=7的距离小１，点Ｐ的轨迹是什么图形？给出如下解法让学生判别：

解：设Ｐ点的坐标为（x,y），则(x2)y221x7(x2)yx72211.而(x2)yx722(x2)yx7221＝１，所以点Ｐ到定点Ｆ（２，０）的距离与它到定直线x=7的距离的比小于１，故点Ｐ的轨迹是椭圆．

例２点Ｐ到定直线x=8的距离与它到点Ｆ（２，０）的距离的比为

12，则点Ｐ的轨迹是椭圆．

22对上述两个问题，引导学生逐一分析，让学生明确：例１中，比值

(x2)yx71，但不是一个常数，故不可断定点Ｐ的轨迹是椭圆．例２中要注意椭圆第二定义中的定比是动点到定点的距离比动点到定点直线的距离，其比的前后项顺序不可倒置，故不可断定此题中的点Ｐ的轨迹是椭圆．经过对上述两例中典型错误的剖析，学生对椭圆第二定义的本质属性有了更深刻的认识．

４．设置新题，检测运用

经过前面的教学过程，应该说基础知识已经讲清了．但是，要让学生深刻理解教学的内容，并且能够正确运用，这需要让学生有一个独立运用所学知识解决问题的过程．于是，我们让学生独立解以下题目：一动点Ｐ到直线2x+y－８=0的距离与它到点（１，２）的距离的比值为5，求动点Ｐ的轨迹方程，并判 —2— 断点Ｐ的轨迹是何种曲线．

2xy8解：设Ｐ点的坐标为（x,y），则

25(x1)(y2)25

5(x1)(y2)22222xy8

2225(x2x1y4y4)4xy644xy32x16y 21x4xy24y18x84y610． 22从方程看，现在我们还不能判定此方程的曲线是何种曲线，但仔细分析题意，可将已知条件改述为动点Ｐ到点（１，２）的距离与它到直线２x＋y－８＝０的距离之比为１：5，这显然符合椭圆第二定义，可知Ｐ点的轨迹为椭圆．

通过这一例的教学让学生更深切地理解了椭圆的第二定义，也让学生看到椭圆的非标准方程所具有的形式．

５．拓展课本，活化知识

xa22课本对于椭圆的准线方程作了如下叙述：“对于椭圆yb221，相应于焦点Ｆ（c，０）的准线方程为xa2c，根据椭圆的对称性，相应于焦点Ｆ′（－c，０）的准线方程为xa2c；所以，椭圆有两条准线．”由此启发学生看到命题（称做Ａ）：点Ｍ（x,y）与定点Ｆ′（－c，０）的距离与它到直线l′：xa2c的距离之比是常数ca（a＞c＞０），则点Ｍ（x，y）的轨迹方程也是椭圆的标准方程．于是我们引导学生明确结论：课本Ｐ．７６例３给出的数量关系：定点Ｆ（c，０）、定直线l：xa2c、常数

ca（a＞c＞０），以及命题Ａ给出的数量关系：定点Ｆ′（－c，０）、定直线l′：xa2c、常数

ca（a＞c＞０）均分别是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件，并且，二者是等价的．接着，我们又引导学生再次分析本文第２部分所讲到的命题（称为Ｂ）：定点为Ｆ（n，０），定直线为x＝m（m≠n），定比为e

(xme2n2（０＜e＜１)，得出的椭圆方程

1e22e(mn)(1e)22)2y222e(mn)1e2me2n0,让他们看到当且仅当1e21．

1e202即e2nm1时，动点Ｍ的轨迹方程为椭圆的标准方程．即条件“enm1”是动点Ｍ的轨迹方程为椭圆标准方程的充要条件．

—3— 在此基础上，要求学生自行命题，设计出动点的条件，使其轨迹方程分别符合下列要求： ①轨迹方程为椭圆的标准方程；

②轨迹方程为中心在x轴上且短轴平行于y轴的椭圆方程．

从而，让学生不但能正确地解命题Ｂ型的问题，而且能自行设计命题Ｂ型的问题，使学生对椭圆第二定义的理解、掌握和运用达到新的境界．

篇3：高二数学椭圆教案

关键词：石雕,建模,型面加工,计算机数控,多轴联动控制

0 引言

由于石材特性及需要不同造型的特殊性, 石雕型面加工中需用多轴联动加工设备[1], 这与金属切削机床有本质的不同。石材多以切边、切片、平面磨光及笔式雕刻等类型为主, 大多采用PLC控制器和变频器, 以驱动变频电机为主要控制结构, 且雕刻机所配置的数控系统中联动轴数少, 不易实现复杂型面的自动加工;同时控制系统提供给用户的一般只有直线和圆弧插补指令, 在加工复杂曲线时, 需对复杂曲线进行分段, 采用小段直线插补或圆弧插补等指令进行循环逼近[2], 会出现数控代码量增大、逼近精度差及加工速度受限等问题而无法实现复杂石材型面的批量生产[3]。在一些进口的多轴联动石材设备中, 可结合CAD型面造型软件来设计石材型面及加工出复杂石雕产品, 但目前仅在少数企业中得到应用, 由于该设备价格昂贵, 又没有提供四轴以上的多轴联动编程技术, 在实际应用中效果不佳。

本文基于国产的石材加工设备, 通过电气控制结构的改造分析, 建立五轴联动控制系统[4], 对复杂型面进行椭圆曲面的插补拟合, 同时采用大规格切片磨轮, 通过控制磨片的空间相对位置, 形成椭圆磨削形廓, 设计形廓中心的空间运动轨迹, 导出多轴联动复杂运动的数学模型, 使磨片包络出各种不同的椭圆型面, 并拟合出复杂石雕型面, 最终有效地实现了复杂型面的自动加工, 提高了精度和效率。

1 多轴联动石雕磨床的系统结构分析

我国当前的石材加工仍属于劳动密集型产业, 设备的控制系统通常不能多轴联动, 一般只能实现切边、磨面及笔式雕刻等操作。本文基于国产QSJ改进型石材自动桥式切机, 对其机械、电气和软件进行分析、改进, 构成五轴联动控制系统, 以实现复杂型面的自动加工。

1.1机械结构分析

图1所示为QSJ改进型石材加工设备, 具备五轴联动控制的结构功能。

石雕工件固定在工件回转台1上, 沿着垂直立轴在水平面上做C轴回转。金刚石圆磨片2安装在水平磨削主轴3上, 沿着垂直立轴在水平面上做B轴回转。水平磨头4沿着立轴做y轴的上下直线运动。立轴联同磨头沿着横梁导轨5做纵轴x的左右直线运动。横梁联同立轴和磨头沿着左右横向支架导轨6做横轴z的前后直线运动。

根据石雕形廓的曲率大小, 选用相应直径的金刚石磨片, 根据曲率吻合原则[5], 回转B轴, 使磨片与工件的曲率吻合, 控制x、y、z及C轴, 通过五轴联动, 可最大效率地加工出石雕复杂形廓。

1.2电气控制结构分析

图1所示石材设备的原型设计的控制系统是采用PLC控制器来控制变频器的, 以驱动变频电机为主要结构, 结合型面磨轮, 常用于加工直线型、回转型曲面, 虽具有五轴控制结构, 但联动轴数少, 无法实现精确的多轴联动控制。

现对该设备进行五轴联动控制结构改造, 采用工控微机, 通过PCI接口, 连接伺服电动机的运动控制卡, 经过伺服控制器, 驱动伺服电动机及联轴器, 这一五轴联动电气控制结构框图如图2所示。

复杂型面可在工控微机上用造型软件生成[6], 也可采用数控代码进行编辑设计, 然后执行加工指令, 产生数控指令, 通过运动控制卡, 发出伺服电动机的控制指令, 经过驱动器的闭环控制, 驱动伺服电动机作伺服运动, 经过联轴器驱动滚珠丝杆, 实现x、y、z轴的直线运动;此外, 电动机经过联轴器驱动蜗杠蜗轮实现B、C轴的回转运动, 从而构成五轴联动。

1.3软件设计分析

首先, 在工控微机上安装曲面造型CAD软件[7], 通过NURBS曲面[8]来体现曲面形状[9]及实现复杂石雕型面的造型设计, 进一步求出复杂型面的型值点, 采用椭圆线段对型值点进行椭圆曲面拟合, 产生椭圆拟合线段, 并得出每一椭圆线段的离心率参数。

然后, 依据椭圆线段的离心率参数, 选用相应直径的金刚石磨片, 并确定其在B轴上的回转角度, 如此可使磨片的有效切削形廓也为椭圆形廓, 设计并给出金刚石磨片回转中心的运动轨迹, 使其有效切削形廓, 包络出工件上的椭圆曲线, 实现工件椭圆线段精密和高效的磨削加工。

显然, 金刚石磨片回转中心的运动轨迹是一个非常复杂的运动曲线, 为此, 本文将其作为设计与推导的重点内容。

2 石雕椭圆廓面数控磨削的位置关系

2.1石雕廓面椭圆拟合算法分析

为了加工图3所示的复杂动物雕像或龙柱柱体等工件, 一般首先采用CAD造型软件, 设计其形廓, 采用多边形建模方式为主, 辅以曲面造型技术, 设计出图4所示的网格图。

从图4可以看出, 石雕形廓中包含着许许多多的复杂曲线, 一般由样条曲线构成, 样条曲线上包含着确定曲线特征的型值点。如果采用常规的小段直线或圆弧拟合这些样条曲线, 则拟合量大且精度差。现沿着x轴方向, 以给定步长Δx对复杂形体进行逐步切片, 则可形成如图5所示的切面集合, 且每一切面的外廓曲线上包含着一系列的型值点。

采用椭圆曲线拟合每一切面的外廓曲线, 有多种算法, 如基于HOUGH变换的椭圆拟合方法, 基于不变矩方法和基于最小二乘法等[10]。在平面坐标中, 根据椭圆中心点坐标 (y0, z0) 、椭圆长轴的旋转角度θ、半长轴p及半短轴q这5个参数可以确定一个椭圆, 该椭圆的方程可以表示为

$\begin{array}{l} \frac{[(z - z_{0}) \cos θ + (y - y_{0}) \sin θ]^{2}}{p^{2}} + \\ \frac{[(z - z_{0}) \sin θ - (y - y_{0}) \cos θ]^{2}}{q^{2}} = 1 (1) \end{array}$

根据切面上样条曲线上相邻的5点, 将其坐标 (yi, zi) 代入式 (1) , 即可求出y0、z0、θ、p、q这5个参数值, 从而确定该5个样本点拟合的椭圆曲线。拟合算法如下:

(1) 从起始点p1开始, 取出相邻的5个型值点, 分别代入式 (1) , 得到联立方程组, 求解y0、z0、θ、p、q这5个参数值, 如求出的参数值为实数, 则拟合成功, 转入 (3) ;如求出的参数值含有虚数, 则转入 (2) , 进行纠正处理。

(2) 在公差允许的范围内, 分别调整5个型值点的坐标值, 直到求出的y0、z0、θ、p、q这5个参数值为实数值止;如不能成功, 则需丢弃第5个型值点, 另在前4个型值点中增加一个样本点, 按 (1) 求解拟合椭圆曲线。

(3) 采用代数距离法, 将后续的型值点逐个代入拟合出的椭圆方程内, 检测其误差, 若代数距离小于指定的公差值, 则确定该后续的型值点位于所拟合的椭圆线段内, 予以丢弃, 直到代数距离超出公差为止。

(4) 若代数距离大于指定的公差值, 则取其前相邻的一个型值点和其后相邻的3个型值点, 组成5个型值点, 按照 (1) 进行下一椭圆线段的拟合处理, 直到终点结束。

讨论1:代数距离[11]不同于实际的几何距离, 以代数距离确定精度存在一定的误差, 但在石材粗加工中, 精度要求不是很高, 通过确定代数距离的量级水平, 可以满足要求。

讨论2:对于局部细小形廓, 型值点密集, 会遇到拟合的椭圆曲率半径太小, 难以实现加工。因此, 先忽略局部细小形体结构, 这些结构可通过后续精加工工序, 采用小型刻刀切出, 以便于提高粗切效率。

对于复杂石雕雕像的形体结构, 通过多条椭圆曲线的拟合后, 就构成了不同离心率的椭圆曲线的集合。

2.2多轴联动数控磨削的位置关系分析

在分析出复杂形体的椭圆曲线集合后, 即可选用相应的磨片直径, 控制B轴转角, 使磨片位于相对于工件的椭圆曲面, 其相对位置示意如图6所示。

磨片操作时, 先控制x、y、z轴联动, 使磨片的椭圆形廓包络出工件上的椭圆形廓, 以实现高效精确的型面加工。在磨片强度和加工余量许可的条件下, 通过控制进给速度, 或控制B、C两回转轴参与联动, 来实现复杂的五轴联动轨迹控制。

3 石雕椭圆廓面的多轴联动磨削的数学模型设计

如上所述, 回转B轴, 控制磨片转角, 形成椭圆形的磨片形廓, 实现不同的有效磨削点曲率, 用于包络工件复杂的椭圆型面, 可最大限度地满足曲率吻合原则。但在磨削的包络过程中, 有效磨削点沿着磨片椭圆面上连续变动, 因此磨片的空间位置, 也就是磨片中心点的空间坐标, 也要随之进行相应的调整, 才能确保变动的磨削点在工件上磨出椭圆形廓。为此分析磨削点的运动轨迹, 进而得出描述磨片中心点控制轨迹的数学模型是首要的关键。

3.1磨削点的运动轨迹分析

磨削点的运动轨迹, 也就是最终在工件上包络出的轨迹, 对于石雕椭圆廓面来说, 其轨迹就是椭圆曲线, 如图7所示。

设定通用的磨削点的初始位置为P0 (x0, y0, z0) , 沿着椭圆曲线P0PiPe, 运动到终点Pe (xe, ye, ze) , 则其动点Pi (xi, yi, zi) 的坐标为

zi=z0cost (2)

yi=yesint (3)

xi=x0coss (4)

式中, t为磨削点Pi在曲线P0PiPe于yz平面上的投影椭圆曲线上的离心角 (t=0～90°) ;s为磨削点Pi在曲线P0PiPe于xy平面上的投影椭圆曲线上的离心角 (s=0～90°) 。

为了磨削出椭圆曲线P0PiPe, 需要控制磨片的相对位置。

3.2磨削切片与石雕工件相对位置的数学模型

磨片与石雕工件的相对运动如图8所示, 基于本文设计的五轴数控磨床在加工椭圆曲线P0PiPe时有如下关系:

(1) 将石雕工件曲线P0PiPe的椭圆中心作为磨床的相对坐标原点O, 设定磨削点坐标为Pi (xi, yi, zi) , 则xi, yi, zi应满足式 (2) ～式 (4) 。

(2) 磨削砂轮沿B轴回转, 直到磨削面贴合待磨石雕的表面, 为避免干涉, 必要时可留出1°～2°的磨削后角。当砂轮转过b角度后, 在xy平面上的投影也是椭圆, 其中心为Oi (x, y, z) , 因此, 从砂轮中心Oi至磨削点Pi在z轴方向上的距离Wp, 及在y轴方向上的距离Wq和在x轴方向上的距离Ww应满足如下关系:

Wp=WzcosT (5)

Wq=WrsinT (6)

Ww=WxcosS (7)

式中, Wz为砂轮中心与起始磨削点在z向上的距离;Wr为砂轮半径;Wx为砂轮中心与起始磨削点在x向上的距离;T为磨削点Pi在砂轮于yz平面上投影椭圆Oi上的离心角 (T=0～90°) ;S为磨削点Pi在砂轮于xy平面上的投影椭圆Oi上的离心角 (S=0～90°) 。

(3) 石雕工件沿C轴回转, 仅用于回转形工件表面的磨削运动, 因此在讨论椭圆曲线P0PiPe的磨削运动时, 不参与联动。

当横轴z沿横向运动, 使砂轮中心坐标从z=z0+Wz运动到z=0位置 (其中, z0是椭圆形曲线P0PiPe的起始磨削点在z向的坐标) , 这时立轴y与z联动, 可使砂轮的包络面吻合椭圆曲线P0PiPe, 同时砂轮中心的纵坐标将从y=0运动到y=ye+Wr (其中, ye是椭圆形曲线P0PiPe的终点在y向的坐标) 。则y与z的联动关系可从图6导出, 当砂轮运行到磨削点Pi时, 砂轮中心坐标Oi (x, y, z) 应为

z=zi+Wp (8)

y=yi+Wq (9)

x=xi+Ww (10)

(4) 首先在yz平面上考察砂轮投影椭圆与工件椭圆曲线的相对位置关系, 由于工件形廓是由磨片椭圆形廓包络形成, 所以椭圆Oi与椭圆曲线P0PiPe相切, 则有

$\frac{d y_{i}}{d z_{i}} = \frac{d W_{q}}{d W_{p}}$ (11)

将式 (2) 、式 (3) 、式 (5) 、式 (6) 代入式 (11) , 得

$\frac{y_{e} c o s t}{- z_{0} s i n t} = \frac{W_{r} \cos Τ}{- W_{z} \sin Τ}$

于是有

$\tan Τ = \frac{z_{0} W_{r}}{y_{e} W_{z}} \tan t$ (12)

式 (5) 经变换得

$W_{p} = \frac{W_{z}}{\sqrt{1 + \tan^{2} Τ}}$

将式 (12) 代入上式, 有

$W_{p} = \frac{y_{e} W_{z}^{2}}{\sqrt{y_{e}^{2} W_{z}^{2} + z_{0}^{2} W_{r}^{2} \tan^{2} t}}$ (13)

将式 (13) 及式 (2) 一并代入式 (8) 后, 有

$z = z_{0} \cos t + \frac{y_{e} W_{z}^{2}}{\sqrt{y_{e}^{2} W_{z}^{2} + z_{0}^{2} W_{r}^{2} \tan^{2} t}}$ (14)

同理, 变换式 (6) 得出

$W_{q} = W_{r} \sqrt{\frac{\tan^{2} Τ}{1 + \tan^{2} Τ}}$

也将式 (12) 代入上式, 有

$W_{q} = \frac{z_{0} W_{r}^{2} t a n t}{\sqrt{y_{0}^{2} W_{z}^{2} + z_{0}^{2} W_{r}^{2} \tan^{2} t}}$ (15)

将式 (15) 及式 (3) 一并代入式 (9) 后, 有

$y = y_{e} \sin t + \frac{z_{0} W_{r}^{2} t a n t}{\sqrt{y_{0}^{2} W_{z}^{2} + z_{0}^{2} W_{r}^{2} \tan^{2} t}}$ (16)

(5) 在xy平面上考察砂轮投影椭圆曲线与工件椭圆曲线的相对位置关系, 由于此时砂轮的形廓椭圆与工件的形廓椭圆不一定相切, 且砂轮磨片的形廓与厚度不同, 均会产生不同程度的磨削干涉, 这时需要通过调整B轴来改变砂轮摆角以避免干涉。

同样, 从图6中的xy平面中可以得出:

yi=yesins (17)

比较式 (17) 与式 (3) , 有

yi=yesins=yesint

由于s与t为同一磨削点在所形成的椭圆轨迹上的离心角, 且s与t的取值均限制在0～90°范围内, 可知s与t相等。于是, 式 (4) 变为

xi=x0cost (18)

对图6中xy平面上的砂轮形廓有

Wq=WrsinS (19)

比较式 (19) 与式 (6) , 有

Wq=WrsinS=WrsinT

由于S与T均限制在0～90°范围内, 可知其对应的砂轮上的磨削点的离心角也应限制在0～90°范围内, 所以S=T, 代入式 (6) 后, 得出:

$W_{w} = W_{x} \cos Τ = \frac{W_{x}}{\sqrt{1 + \tan^{2} Τ}}$

将式 (12) 代入上式后, 有

将式 (20) 及式 (18) 一并代入式 (10) 后, 有

$x = x_{0} \cos t + \frac{y_{e} W_{x} W_{z}}{\sqrt{y_{e}^{2} W_{z}^{2} + z_{0}^{2} W_{r}^{2} \tan^{2} t}}$ (21)

至此, 式 (14) 、式 (16) 、式 (21) 构成了磨削椭圆形曲线在P0PiPe时x、y、z的联动曲线关系, 也即磨削椭圆曲线的三直线轴联动的数学模型, 在切削条件允许状态及精磨要求磨削量较小时, 配合砂轮B轴的回转及工件C轴的回转运动, 构成了一个五轴联动的控制模式, 实现了加工相应复杂型面的目的。

需要指出的是, 该五轴控制系统的多轴联动控制模型是与椭圆曲线的离心角相关的复杂的曲线关系, 离心角取值不同, 可实现不同线段的控制。在进行插补控制时需要采用必要的逼近措施, 即选用合适的插补算法[12]以实现联动控制。

4 测试

基于本文提出的五轴联动控制模式, 在QSJ改进型石材自动桥式切机上进行了如图3所示的实际石雕工件复杂型面的磨削测试, 过程如下:

(1) 毛料及原始参数。选用花岗石毛料, 牌号G687, 莫式硬度为6.9, 原始尺寸的长×宽×高为1600mm×400mm×1200mm;切削刀具为金刚石切片, 粗切刀具尺寸为ϕ600mm×4.6mm, 精切刀具尺寸为ϕ200mm×2.6mm;粗切速度为5m/min (辅以手动调速, 以防石材破裂) , 精切速度为1m/min。

(2) 曲面造型, 设计石雕形廓。采用CAD造型软件, 先设计出图3所示马的形廓, 目标尺寸长×宽×高为1523mm×312mm×1088mm, 然后再生成图4所示的网格图。

(3) 以纵向增量Δx=15～20mm为步长, 在总长为1523mm的长度方向上共切出90个切面, 参考图5, 采用本文提出的算法分别对每一个切面外廓曲线进行椭圆拟合, 计算出每一椭圆拟合线段连接点的坐标值。以第31个切面为例, 切出的切面如图5所示, 拟合出的椭圆线段连接点的坐标是:Pi (yi, zi) =[ (950.462, 0.000) ; (943.594, -23.486) ; (878.824, -105.616) ; (813.850, -105.616) ; (775.989, -120.098) ; (731.426, -126.582) ; (698.348, -128.318) ; (675.331, -134.001) ; (619.339, -143.476) ; (550.709, -132.801) ; (538.622, -126.881) ; (523.724, -124.348) ; (467.829, -118.532) ; (414.876, -103.187) ; (369.509, -89.277) ; (321.340, -86.949) ; (297.693, -90.778) ; (271.635, -89.666) ; (210.703, -76.837) ; (127.153, -83.312) ; (106.370, -84.151) ; (83.578, -79.427) ]。

i=1, 2, …, 22, 即用22个型值点, 共12段椭圆弧, 拟合出高为950.462mm的第31个切面上左半边样条曲线, 其右半边与之对称, 采用对称功能即可实现加工。

(4) 根据每一椭圆拟合线段的起止坐标, 分别计算出各椭圆线段的离心角t。

(5) 选用相应的磨削切片, 调整x、y、z、B、C五轴的初始位置。B、C两轴根据实际曲线形状和控制参数参与联动进给。

采用式 (14) 、式 (16) 、式 (21) 计算出磨削切片中心点相对于工件的运动轨迹坐标, 并配合参数曲线插补控制算法[12], 使磨片的椭圆运动轨迹的磨削点包络出工件上的椭圆轨迹。

具体切削过程包括:粗切→去毛料→精切→局部精雕→抛光等工序。

粗切后的工件如图9所示。精切抛光后的成品如图3所示。测试结果对比如下:

(1) 当采用传统的人工雕刻技术来完成图3所示1m高的工件雕像时, 不包括图纸设计绘制时间在内, 人工雕刻至少需两人两周时间, 即人均1个月时间才能完成。

(2) 采用本文设计的五轴联动自动桥式磨切设备加工时, 不包括CAD形体编程设计的时间在内, 仅需1人两天即可完成。

相比而言, 采用本文研究的加工技术后, 效率大幅提高, 更重要的是确保了重复精度和降低了粗磨误差, 减轻了劳动强度, 提高了加工自动化技术水平, 改善了操作人员的劳动条件与环境。

5 结束语

对类同于国产QSJ改进型石材自动桥式磨切设备, 均可通过结构改造, 建立五轴联动的数控系统。应用CAD造型软件, 设计复杂石雕型面, 得出型面的网格结构, 分析出每一切面的型值点。根据复杂型面的型值点, 结合曲面造型拟合出的样条曲线上的样本点, 采用本文提出的椭圆拟合算法, 进行复杂石雕工件的椭圆曲面拟合, 得出拟合椭圆线段集合。根据本文推导出的五轴联动数学模型及控制模式, 实现了磨片上椭圆形磨削轨迹包络出石雕型面上的椭圆曲线, 实际测试证明该椭圆拟合技术能实现复杂型面高效精确地磨削加工。

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篇4：椭圆的定义及标准方程教案

关键词：椭圆；标准方案

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）13-365-01

一、教材分析

本节课是普通高中课程标准试验教科书选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》中《椭圆》的第一节内容，主要学习椭圆的定义和标准方程。这一节课是在学完《直线和圆的方程》的基础上，将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆的几何性质的基础；同时还为后面学习双曲线和抛物线作好准备，起到一个承上启下的重要作用。

二、教学目标

知识与技能：(课程标准)经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握它们的定义、标准方程。掌握椭圆标准方程的推导过程。过程与方法：培养学生观察、比较、分析、概括的能力；注重数形结合和待定系数法等数学思想方法的渗透，熟练掌握解决解析几何问题的方法——解析法。情感、态度与价值观：鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生勇于探索、敢于创新的精神；体会运动变化、对立统一的思想。

三、教学重点、难点

重点：椭圆的定义和标准方程。

难点：（1）标准方程的推导。（2）椭圆定义中常数加以限制的原因。

四、课前准备

教师：课件、三角板、无弹性细绳。

学生：两颗图钉、一根无弹性细绳、一根粉笔、纸板。

五、教学过程

（一）温故知新

教学内容：复习求曲线方程的方法

教师：同学们，前面我们学习了曲线的方程的概念，什么叫做曲线的方程？求曲线方程有那些方法？

学生：思考，并回答问题。

设计意图：明示这节课所要学的内容与原来所学知识之间的内在联系，并为后面椭圆的标准方程的推导及用待定系数法求椭圆方程作好准备。

（二）创设情境

教学内容：神舟十号于2013年6月11日17时38分02秒成功发射。发射初始轨道：近地点约200公里、远地点约330公里的椭圆轨道。

教师：1、演示飞行船绕地球运行模拟图。2、设问：我们怎么能求出神舟十号飞行轨迹的方程呢？

学生：神州五号发射成功，学生鼓掌向英雄致意，认真观察图形一起思考。

设计意图：通过录像激发学生的爱国情绪，调动起好奇心，激发起学生的学习本课的兴趣。让学生感到数学无处不在。

（四）提出问题

教学内容：探索讨论椭圆的定义：

教师：问题1：数学中圆的定义是什么？

学生：平面内到定点距离等于定长的点的轨迹叫圆。

教师：问题2：能不能类比圆的定义，结合刚才椭圆的画法给出椭圆的定义？

学生：（可能回答）到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆，（其他学生补充）应该是平面内到两个定点距离之和等于常数的点的轨迹，才是椭圆。

教师：还有补充吗？（给学生充分的时间讨论，相信学生，不代办）

学生：通过课件观察随着F1、F2距离改变，轨迹变化情况。从而发现

2a＞｜F1F2｜时，轨迹是椭圆；

2a＝｜F1F2｜时，轨迹是线段｜F1F2｜；

2a＜｜F1F2｜时，无轨迹。

教师：问题3：经过前面的观察和实验操作，同学们已经对于椭圆上的点的性质有了较深刻的认识，现在请同学给出椭圆的准确定义？

学生：平面内与两个定点、的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆

设计意图：通过类比圆的定义，对问题串的思考及讨论，使学生真正经历、体验椭圆的形成过程，确切理解椭圆的定义及内在性质规律。

（五）分析解决问题

教学内容：推导椭圆的标准方程

教师：问题4：求曲线方程的一般步骤是什么？

学生：①建系、取点；②列式；③代换；④化简；⑤证明

教师：问题5：要应该如何建立坐标系求椭圆方程？椭圆上动点M满足什么条件？教师巡视，对学生进行指导。尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师应进行提示。（同时，教师说明：建立坐标系应使建立的曲线方程尽量简洁整齐。）

学生：讨论完毕后，交流成果。同学从中选出最好的方案，

教师：以上两种方案是最好的。

问题6：观察一下焦点分别在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，请问两个方程有什么共同点？

学生：（可能回答，让学生充分讨论）在两个方程中，总有a>b>0，椭圆的三个参数a、b、c总满足：即，a为老大。

教师：问题7：教材P39的思考如何解答？

学生：学生讨论，让小组代表上黑板作图解答。

教师：问题8：如何根据方程判断其焦点在x轴上还是在 y轴上？

学生：看分母大小，哪个分母大焦点就在对应的那条轴上。例如椭圆（，，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

篇5：椭圆的定义数学教案(精)

教学目标：

1、椭圆是圆锥曲线的一种，是高中数学教学中的重点和难点，所以这部分内容中的知识点学生必须达到理解、应用的水平；

2、利用投影、计算机模拟动点的运动，增强直观性，激励学生的学习动机，培养学生的数学想象和抽象思维能力。教学重点：对椭圆定义的理解，其中a>c容易出错。教学难点：方程的推导过程。教学过程：（1）复习

提问：动点轨迹的一般求法？

（通过回忆性质的提问，明示这节课所要学的内

容与原来所学知识之间的内在联系。并为后面椭圆的标准方程的推导作好准备。）（2）引入

举例：椭圆是常见的图形，如：汽车油罐的横截面，立体几何中圆的直观图，天体中，行星绕太阳运行的轨道等等；

计算机：动态演示行星运行的轨道。

（进一步使学生明确学习椭圆的重要性和必要性，借计算机形成生动的直观，使学生印象加深，以便更好地掌握椭圆的形状。）（3）教学实施

投影：椭圆的定义：

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距（一般用2c表示）

常数一般用2 表示。（讲解定义时要注意条件：）

计算机：动态模拟动点轨迹的形成过程。

提问：如何求轨迹的方程？

（引导学生推导椭圆的标准方程）

板书：椭圆的标准方程的推导过程。（略）

（推导中注意：1）结合已画出的图形建立坐标系，容易为学生所接受；2）在推导过程中，要抓住“怎样消去方程中的根式”这一关键问题，演算虽较繁，也能迎刃而解；3）其中焦点为F1（，0）、F2（c,0）, ；4）如果焦点在轴上，焦点为F1（0，）、F2（0,c），只要将方程中，互换就可得到它的方程）

投影：椭圆的标准方程：

（）

投影：例1平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹方程

（由椭圆的定义可知：所求轨迹为椭圆；则只要求出、、即可）

形成性练习：课本P74：2，3（4）小结

本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点:

①椭圆的定义中，②椭圆的标准方程中,焦点的位置看 , 的分母大小来确定

③、、的几何意义（5）作业

篇6：高二数学椭圆教案

1、能说出椭圆形的名称，通过比较，感知椭圆形的基本特征。

2、在找找、说说、变变的过程中，进一步认识椭圆形，扩散性思维得到提升。

3、喜欢参与数学活动，并产生兴趣。

教学准备：

大的圆形、椭圆形，动物拼图;幼儿人手一份圆形、椭圆形、毛根、纸条教学过程：

一、出示昆虫拼图，激发兴趣1、小朋友，你们好，蝴蝶漂亮吗?你知道我的身上有哪些图形宝宝吗?

2、教师手指图形各部位，请幼儿说出图形名称。

3、引出椭圆形：你们认识它吗?它叫椭圆形。

二、通过比较，感知椭圆形的基本特征1、你们的桌子上就有圆形、椭圆形，请你们看一看、摸一摸、比一比，圆形和椭圆形有什么不相同地方?(让幼儿进行观察，教师巡回指导)分析：开始，我的提问是“圆形和椭圆形有什么相同和不相同地方?”针对中班小朋友，这样一次性两个问题，使孩子们的回答显得凌乱，有的孩子说相同点，有的孩子却说不同点，同时不能更深入的解决问题。针对孩子们 “比较事物先找不同点” 的特征，我改变了提问，变成“你觉得他们有什么不同”。

2、集中交流，让幼儿自由说说3、教师带领幼儿进行比较(1)通过两图形重叠比较的方法，发现椭圆形比圆形扁。

师：小朋友把圆形和椭圆形卡片重叠在一起，比一比，有什么不一样?

幼儿操作比较，发现椭圆形比圆形扁。

分析：为了图形的比较，这里教具的需考虑，圆形的半径和椭圆形短边的半径是相同的，因为这是它们比较的前提。这个环节主要是先重叠看一看，通过看、比较得出结论“椭圆形比圆形扁”的结论。

(2)请幼儿第一次对折，你有什么发现呢?

：椭圆形两头比圆形长。

分析：这一次比较是“把图形进行一次对折”，强调要求对折。椭圆形会出现两种情况，第一种是半径短的一边对折，另一种是半径长的一边对折。从而都得出结论，“椭圆形两头比圆形长”。

(3)再次进行对折，你有什么发现?

：圆形4条折痕一样长，椭圆形上下对折和左右对折的`折痕不一样长。

分析：这次比较是把“图形进行第二次对折”，孩子们发现椭圆形折痕不一样长，还会发现两次对折后交叉处会有个“中心点”。圆形沿着中心点对折，两边总是能重叠，而椭圆形沿着中心点对折有时却不能重叠。

(4)教师：椭圆形两头比圆形长，椭圆形上下对折和左右对折的折痕不一样长。

分析：这个环节主要是通过圆形与椭圆形的比较，感知椭圆形的特征。这个环节主要通过三次比较得出，遵循循序渐进的原则，由易到难的原则。