椭圆中面积的最值问题

椭圆中面积的最值问题（精选三篇）

椭圆中面积的最值问题 篇1

一、的最值

例1已知定点A(2,1),F(1,0)是椭圆的一个焦点，P是椭圆上的点，求|PA|+3|PF|的最小值．

分析:欲求|PA|+3|PF|的最小值，可用椭圆的第二定义把|PA|+3|PF|转化为点P到A点的距离加上点到右准线的距离之和，从而求出最小值．

解:椭圆右准线l2:x=9设P在l2上的射影为D，由椭圆第二定义有．所以3|PF|=|PD|．所以|PA|+3|PF|=|PA|+|PD|．过A作AE⊥l2于E，交椭圆于P1,P1使得|PA|+|PD|取到最小值为7，此时P1坐标为

结论:若A为椭圆内一定点(异于焦点)，P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值．利用第二定义转化为点P到相应准线的距离也即是的最小值(适合于双曲线、抛物线)

二、|PA|+|PF|的最值

例2已知定点的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值．

分析:欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值可转化为距离差再求．由此想到椭圆第一定义︱MF2︱=2a-︱MF1︱，F1为椭圆的左焦点．

解:如图1，︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连结PF1延长PF1交椭圆于点M1，延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知–︱PF1︱≤︱MP︱-︱MF1︱≤︱PF1︱当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号．因为2a=10，︱PF1︱=2.

所以(|MP|+|MP2|)max=12，(|MP|+|MF2|)min=8

结论1:设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为2a–︱PF1︱．

例3已知定点P(-2,6),F2为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值．

分析:点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小，求最大值方法同上．

解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱，连结PF1并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值︱PF1︱．所以︱MP︱+︱MF2︱最大值是

结论2:设椭圆的左右焦点分别为F1、F2,P(x0,y0)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，则︱MP︱+︱MF2︱的最大值为2a+︱PF1︱，最小值为|PF2|．

三、三角代换求最值

例4点P(x,y)在椭圆x2/4+y2=1上，(1)求z=2x+3y的最大值及最小值;(2)求点P到直线距离的最小值和最大值．

分析:用椭圆的参数方程表示点P的坐标，把问题转化为三角函数的最值问题．

解:椭圆则椭圆上任意一点P坐标为P(2cosθ，sinθ)，则(1)z=2x+3y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+φ)．因为-1≤sin(θ+φ)≤1，所以Zmax=5,Zmin=-5.

椭圆中面积的最值问题 篇2

建水县第二中学：

贾雪光

 从最近几年高考试题的考查情况看，解三角形部分的考查中主要是对用正、余弦定理来求解三角形、实际应用问题，这两种常见考法中，灵活应用正余弦定理并结合三角形中的内角和定理，大边对大角，等在三角形中进行边角之间的相互转化，以及与诱导公式特别是sin(AB)sinC、cosAB2sinC的联系是关键。

于是多数教师在复习备考过程中，往往都会将大量的时间和精力花在对正余弦定理的变形，转化，变式应用上，当然这也无可厚非，但是我在高考备考复习教学中发现了这样一类题目，如：

1、在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A1212sin2A，a7求△ABC的面积的最大值；

2、已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。面对这样的问题，我们如何来引导学生很自然的过度，用一种近乎水到渠成的方法来求解呢？

实际上我们在教学和学习的过程中往往会忽略一个很明显的问题，那就是余弦定理与基本不等式的综合，如果我们在讲授正余弦定理的时候能在引入正课时多下一点功夫，我们就会有意外的收获哦。

我在教学中是这样处理的：实际上在余弦定理中我们总有这样一组公式：

a2bc2bccosA, 2

2b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC

同时在基本不等式中我们总有这样一组公式：b2c22bc，a2c22ac，b2a22ab在三角形中各边都是正数，所以上面三个式子在a、b是三角形的三边时总是成立的，如果我们将两组公式综合后会发现这样的一组公式即：a22bc(1cosA),b22ac(1cosC)

c22ab(1cosc)于是我们就有方程等式，得到了一组不等式，而在涉及到最值得求解时，我们常用的处理方法是，一求函数值域；

二、导函数；

三、基本不等式即均值定理；但是前两种方法显然都不可能用于求解上面两个题目类型的求解，于是在涉及到与解三角形有关的三角形的面积的最大值时我们就只能考虑用均值定理了，自然也就要用到上面我们推导得出的这一组公式罗。

于是我没有：

例1：在锐角△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，且cos2A12sin2A，a7求△ABC的面积的最大值。

解析：由已知条件cos2A得A=312sin2A有cos2Asin2A12即cos2A212所以知道2A=

323解，同时由于a2b2c22bccosA、b2c22bc知7b2c22bccos1212 即有：72bcbc也就是有bc7 同时又因为SABC734734bcsinAbcsin312732于是有：SABC即△ABC的面积的最大值是

例2：已知向量M(sinA,)与N(3,sinA3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，（1）求

2角A的大小；（2）若BC=2，求△ABC的面积S的最大值。

解析：由两向量共线知：2sin2A3cosAsinA3即：1cos2A3sin2A3也就是说

3sin2Acos2A2有辅助角公式可知2sin(2A6)2即有sin(2A6)1解得角A3，又由于：a2b2c22bccosA、b2c22bc知22b2c22bccos即有：42bcbc也就是有bc4 同时又因为SABC43412123

1232bcsinAbcsin34

于是有：SABC 3即△ABC的面积的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分别为内角A, B, C的对边，向量M(4,1),N(cos2A2,cos2A)，MN72，（1）求角A的大小；（2）若a3是判断当bc取得最大值时△ABC的形状。

解析：（1）由MN72解得cosA12所以A3

3A222（2）在△ABC 中abc2bccosA且a3bc2bc22所以有32bc2bccos223bcbc22即有bc3当且仅当bc时取等号，此时有abc所以当

△ABC面积最大时，三角形式正三角形。

椭圆面积最值问题的转化技巧 篇3

推论伸缩变换前后, 直线和椭圆的位置 (相离相切相交) 与直线和圆位置关系一致.

下面举两例说明: