生成子的简单性质

1 预备知识

文中半环、半模及半模同态的定义与文[1]一致, 满同态、单同态和同构分别指surjective、injective和bijective同态;生成与余生成、生成子、同态核和同态像的定义与文[2]一致。A, M表示半模类。

命题1.1[2]设U为半模类, M为半模, 则

(1) U (有限) 生成M当且仅当存在 (有限) 子集H⊆HomR (U, M) , 使得:

(2) U (有限) 余生成M当且仅当存在 (有限) 子集H⊆HomR (M, U) , 使得:

定义1.1设A为半模类, M为半模, 记ReMj (A) =I{ker h|h:M→U, U∈A}, 称之为在M中的亦迹。

特别地, 当A={U}时, 有:

正则半模是RR全体左R-半模类的生成子, 所以半模RM是生成子⇔RM生成RR。

定义1.2设M为左R-半模, 记:

, 称之为RM的 (左) 零化子。若 () Rl M=∆, 称M是忠实的。

命题1.2设有半环 (R, +, g, 0, 1) , 则对每个半模RM, 有RejR (M) =lR (M) 。特别地M是忠实的⇔M余生成R。

证明:对任意左R-半模M, 存在同态ρ:M→HomR (R, M) , 为x aρ (x) , 其中ρ (x) (a) =ax, ∀x∈M, a∈R。易证ρ为同构则:

2 生成子的简单性质

命题2.1设U, M为左R-半模, 则U生成M⇔∀0≠f∈Hom (M, N) , 都有:

∃h∈Hom (U, M) , 使fh≠0。

证明:设H=Hom (U, M) 。

则fh=0, h H∀∈⇔T⊆Kf (Kf的定义见文[3]) ;另一方面, 由命题1.1, U生成M当且仅当M=∑HImh, ∴M=T⊆Kf矛盾!∴∃h∈Hom (U, M) , 使fh≠0。

命题2.2设U, M R∈M, 若生成M (余生成) , 则l R (U) ⊆lR (M) 。

证明:若U生成M, 则存在满同态f:U (A) →M, 其中fα:U→M, α∈A为同态。所以∀m∈M, 存在 (uα) α∈A∈U (A) 使

有:

即 (r 1, r 2) ∈lR (M) 。

若U余生成M, 则存在单态射:

其中fα:M→U, α∈A为同态。设,

(Qfα (m) ∈U, (r 1, r 2) ∈lR (U) ) , 由于f是单同态, ⇒r1 m=r2 m, 所以:

命题2.3设RM为半模, 下列各条等价: (1) RM是忠实的; (2) RM余生成R; (3) RM余生成一个生成子。

证明: (1) ⇔ (2) ⇒由命题1.2得。 (2) (3) 显然。 (3) ⇒ (2) :已知RM余生成一个生成子, 不妨设此生成子为半模N, 由命题2.2知:l R (M) ⊆lR (N) ;又N是生成RM, 所以lR (N) ⊆lR (M) , 故l R (M) =lR (N) 。因N是生成子, 而正则半模R也是生成子, 所以有lR (R) =lR (N) 。综上所述有l R (M) =lR (R) , 又l R (R) =∆⇒Rl (M) =∆, 故RM是忠实的。由命题1.2:RM是忠实的⇔RM余生成R。

命题2.4∀RM∈R M, RM是忠实的⇔RM余生成每一个左R-投射半模。证明:由命题2.3有:RM是忠实的⇔RM余生成R, 所以有单同态:

又Q∀P∈PR M, 有满同态,

α:R (A) →P, 而P是投射半模,

∴有单同态β:P→R (A) , 使得:

因此有单同态:

所以M生成P。

摘要：本文在半模范畴中, 研究生成子的性质, 得到了生成与余生成的几个等价条件。

关键词：生成,余生成,亦迹,生成子

参考文献

[1] Golan J.S.The theory of semirings with applications in mathematics an d theoretical computer science[M].E xxs, England;Longman scientific&t echnical, 1999.

[2] 石定琴, 黄福生, 丰建文.半模范畴中的生成与余生成[J].江西师范大学学报 (自然科学版) , 2005 (3) .

[3] 陈培慈.半环理论与自动机[M].南昌:江西高校出版社, 1993.