平方根-教学设计-教案

平方根-教学设计-教案（共14篇）

篇1：平方根-教学设计-教案

人教版七年级下册数学

§6.1.1平方根⑴-算术平方根教学设计

庆祖一中 王艳蕊

一、教学目标

1、知识与技能：

了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。

2、过程与方法 ：

经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的算数平方根.3、情感态度与价值观 ：

通过丰富的现实情境，使学生在已有数学经验的基础上，了解数学的价值，发展“用数学”的信心。

二、教学重点难点

1、教学重点

算术平方根的概念及表示方法.2、教学难点 算术平方根的求法．

三、教学用具

多媒体课件

四、教学过程 ：

1.复习旧知：

（1）说出下列各式的意义并求值。32(3)20.52(0.5)202

（2）若已知一个数的平方为下列各数，你能把这个数的取值说出来吗？

22520214429 

42、情境导入

同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？

师：请你说一说解决问题的思路．

生：上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

生：因为5的平方等于25，所以这个边长是5dm.师：若面积为1平方分米，边长是多少？9呢？16呢？0.25呢？（让学生回答）

若面积是5平方分米，边长又是多少呢？大家想不想知道?学习了这一节课，大家就知道了。

3、导入新课平方根的概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数．

即：在等式x2 =a(x≥0)中，记着： x =.规定：0的算术平方根是0.记着:=0 师：你能根据等式：x2 =144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．

师：负数有算数平方根吗？为什么？

生：只有非负数才有算术平方根，算术平方根是非负的，一个数的平方不可能是负数。

想一想：下列各式表示什么意义，你能求出它们的值吗？

(1)121(2)

4、出示例题：

9122(3)2(4)6(5)(7)254例

1、求下列各数的算术平方根：

（1）100；

(2)1；

(3)

；

(4)0.0001（5）-4 解：(1)因为10的平方=100,所以100的算术平方根是10，即

（2）因为1的平方=1,所以1的算术平方根是1，即11（3）因为 方根是

即：，所以，所以0.0001的算术平方根是． 的算术平（4）因为

0.01。即

师：被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？

观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应点算术平方根也越大

（5）因为没有一个数的平方是负数，所以-4没有算术平方根

总结：对于a,a≥0,a≥0,算术平方根具有双重非负性。

例

2、下列各式是否有意义，为什么？

（1）

（2）

（3）

32（5）102

解：（1）有意义；（2）无意义；（3）有意义； 无意义；（5）有意义；

5、巩固练习:(1)判断下列说法是否正确，若不正确请改正.①5是25的算术平方根；

√ ②-6是 36 的算术平方根；

× ③0的算术平方根是0 ；

√ ④0.01是0.1的算术平方根；

× ⑤-5是-25的算术平方根.×(2)填空：

①.算术平方根等于本身的数有（1，0）.4）

4）（（②16的算术平方根是（4）③算术平方根是6的数是（36）④.若，则x=（9）.⑤(4)2的算术平方根是（4）

6、课后思考：

（1）81的算术平方根是——

（2）当a0时，a______22

当a0时，a______2 当a0时，a______

7、课堂小结

这节课学习了什么呢？

1、学习了什么是一个数的算术平方根？非负数a的算术平方根的表示方法

2、怎么样求一个非负数数的算术平方根。

3、了解了算术平方根的双重非负性。

8、作业布置

课本47页习题6.1复习巩固1,2,3,4题

板书设计

6.1.1平方根---算术平方根

算术平方根概念:„„

算术平方根的双重非负性

例1：---------------例2：-----------------

解：（板演详细解题过程）„解：（板演详细解题过程）„

六、教学反思

本节课的主要内容是让学生理解算术平方根的概念，并能熟练地用语言和公式这两个不同的方式表示出来，会用根号表示一个非负数数的算术平方根，并能求出一个非负数的算术平方根。这节课我利用多媒体和教案相结合，由有理数的乘方运算及现实生活问题情境导入，激发学生求知的欲望，步步深入，让学生真正理解算术平方根的实际意义。让学生在“做中学”。通过观察、模仿、记忆、练习、理解、应用、创新等环节完成教学，整节课都是从学生的视角来设计的。在教学中引导学生感受数学符号，大部分学生能够用数学符号表示算术平方根，总的来说在讨论中、在归纳中、在合作中以学生为本，是我今后课改的目标。

篇2：平方根-教学设计-教案

一、教学目标

（1） 知识与技能；学生通过推导完全平方公式，掌握公式结构，能计算。

（2） 过程与方法目标；学生探究完全平方公式，体会数形结合。

二、教学重点；

公式结构及运用。

三、教学难点；

公式中字母AB的含义理解与公式正确运用。

四、教具；

自制长方形、正方形卡片

五、教学过程；

教师活动

学生活动

1、创设情景，提出问题，引入课题

（1） 想一想

1.一位老人很喜欢孩子，每当孩子到他家做客时，老人都拿出糖招待他们，来了几个孩子老人就会每个孩子几块糖。

（1） 第一天，a个男孩去看老人，老人共给他们几块糖？

（2） 第二天，个女孩子去看望老人，老人共给他们多少块糖？

（3） 第三天，（ ）个孩子一起去看望老人，老人共给他们多少块糖？

（4） 第三天比前二天的孩子得到糖总数哪个多？多多少？为什么？（分组讨论）

2、学生四人一组讨论。

填空：

（1）第一天给孩子 块糖。

（2）第二天给孩子 块糖。

（3）第三天给孩子 块糖。

男孩子第三天多得 块糖

女孩第三天多得 块糖。

（2） 做一做、请同学拼图

a教师巡视指导学生拼图

1、教师提问：

（1）、大正方形边长？

（2）每一块卡片的`面积是多少？

（3）用不同形式表示正方形总面积，比较发现什么？

2、想一想

（1）（a ＋b ）用多项式乘法法则说明

（2）（ a －b ）

3、请同学们自己叙述上面的等式

4、说一说，a b能表示什么？

（□＋○） □＋2□○＋○

5、算一算

（1）（2X－3）（2）（4X＋5Y）

请同学们分清a b

6、练一练

（1）（2X－3Y） （2）（2XY－3X）

7、试一试（a＋b＋c）

作业：

P135 1、2

学生2人一组拼图交流

2、学生观察思考

（1） 大正方形边长？

（2） 四块卡片的面积分别是

（3） 大正方形的总面积是多少？

3、

（1）学生运用多项式乘法法则推导

（a＋b）＝a＋2ab＋b说出每一步运算理由

（2）学生自己探究交流

4、学生用语言叙述公式

5、师生共同a、b对应项 教师书写

6、学生独立完成练一练展示结果

7、学生四人一组讨论交流

篇3：平方根-教学设计-教案

一、辅导片段

学生1:老师,我知道了线段的画法,那么的线段又该怎么画呢?

师:如图1,先画一个3×3的方格,连结AB、BC、CD和DA,则正方形ABCD的面积是5,边长是.

生1(疑惑):您能解释一下四边形ABCD是正方形的理由吗?

(学生1提出的问题让我震惊.到目前为止,因为他们只学过“从自然数到有理数”和“有理数的运算”两章内容,根本没学过三角形全等和四边形的知识(这部分内容在七年级(下)第1章学习),笔者只能从学生头脑中提取原始朴素的图形知识,用直观感性的方法来引导.

师:我们可以观察Rt△AED和Rt△BFA.由于DE=AF,∠E=∠F,EA=BF,那么Rt△AED和Rt△BFA形状和大小完全相同,这两个三角形是能完全重合的,则有AD=AB,∠DAE=∠ABF,所以∠DAB=180°-∠DAE-∠BAF=180°-∠ABF-∠BAF=180°-90°=90°.

生2(恍然大悟):老师,我知道了,用这种方法同样可以说明AB=BC=CD=DA,∠DAB=∠A BC=∠BCD=∠CDA=90°,所以四边形ABCD是正方形.

生1:为什么满足DE=AF,∠E=∠F,EA=BF这3个条件,就知道这两个三角形是重合的呢?

(学生1提出的这个问题很尖锐,的确,做数学不能只靠直观感性的支持,还需要科学严密的论证.《课标》也提倡学生敢于发表自己的想法,但问题是学生缺乏应有的知识积累)

师(无可奈何):要说明这个问题,只能等到我们下学期学了全等三角形知识后才能解决.下面我们来探讨为什么正方形ABCD的面积等于5吗?

生2:正方形ABCD的面积可看成正方形EFGH的面积减去4个△AED的面积,故5,进而可知正方形ABCD的边长.

生1:但是,怎么才能知道在3×3的方格里就会构造出的线段呢?(这又是一个难以回答的实质性问题,因为涉及了教材八年级(上)第1章的勾股定理知识.此时笔者只能直接告诉学生勾股定理,尽管知道其来龙去脉学生不一定懂,零碎的知识不可能在他们头脑里保存很长时间)

师:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方,我们把这个结论叫做勾股定理.而5=12+22,所以直角三角形只要两条直角边分别是1、2,它的斜边的平方等于5,我们可以把4个这样的直角三角形围成一个3×3的方格,那么,里面的正方形的边长就是.

生2(点头):老师,因为22+22=8,12+32=10,22+32=13,所以要画出的线段,应当在4×4、4×4、5×5的方格里构造出面积分别为8、10、13的正方形.但是3不能写成两个整数的平方和,那么该怎么画的线段呢?

师:3虽然不能写成两个整数的平方和,但可以写成平方差的形式,如3=22-12,因此我们可以构造出斜边是2,一条直角边是1的直角三角形,根据勾股定理,它的另一条直角边的平方就是3.如图2,直角△ABC中,BC=2,AB=1,则AC=.

生1:老师,我会画,,的线段了.现在也明白对于任何一个非负数a,一定存在一个数,它的平方等于a,这个数叫做a的平方根.如果a>0,那么a的平方根有2个,它们是互为相反数.并且还有,.

生2:老师,我原以为形如1,4,9,1.21,1.44这些数才有平方根,而形如3、5、7等数的平方根只能用计算器求出=1.7320508076,但发现其结果只是一个近似数,因为1.73205080762的尾数是6,所以1.73205080762不可能等于3.我当时在想,会不会只是一个数学记号,在现实生活中是不存在的.

与学生进行交流后,笔者才意识到,在课堂上按教材呈现的方式对学生进行平方根概念的教学,是一节低效甚至无效的教学,虽然大多数学生在课堂上会叙述平方根的概念,也会求形如1,4,9,1.21,1.44这些数的平方根,但是也有很多学生认为只是一个数学记号,不太理解的实质意义.

二、两个疑惑

1. 教材的疑惑

浙教版《数学》把“平方根概念”的教学安排在七年级(上),是继学习“从自然数到有理数”和“有理数运算”两章之后提出来的,它的处理方式是:(1)提出问题背景:一张正方形桌面的面积为1.44m2,边长是多少?你是怎样想的?(2)给出平方根的定义:一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.(3)给出平方根的一些实例:因为(±1.2)2=1.44,所以±1.2是1.44的平方根;同理±7,±,0分别是49,,0的平方根.(4)归纳出平方根的性质:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;零的平方根是零;负数没有平方根.(5)在探究活动中(如图3),探讨如何用面积法在2×2的方格中画的问题.

教材是通过平方的逆运算引入平方根的概念,的确,这种编排符合初中数学“数与代数”领域的内在逻辑体系.但是由于平方根的概念缺乏直观支撑,仅靠49,,0的平方根是很难让学生理解平方根的定义和性质的.

在探究活动中,即使可以通过面积法画出来,但因为学生认知结构中缺少勾股定理和全等三角形的相关知识,因此对选择在2×2的方格内画的原因始终琢磨不透.更何况在画时必须要用到勾股定理的相关知识.

2. 教学的疑惑

教材是教师进行教学的主要依据.在“平方根概念”教学中,如果教师遵照教材知识伪呈现方式进行教学,多数学生就会对形如这些数百思不解,达不到应有的教学效果.

由于学生缺少概念所需要的数学现实——勾股定理,学生的思维又是以形象直观为主,因此,如果教师在学生学习“从自然数到有理数”和“有理数的运算”两章内容后立即对学生进行平方根概念的教学,这节课都应该是低效或无效的(除非先学习全等三角形和勾股定理,即把七年级(下)的“全等三角形”和八年级(上)的“勾股定理”相关内容提前教学,然而要学习这些内容必须先学习图形的基础知识).

三、三点思考

1. 对教材编排的思考

浙教版《数学》七年级(上)把第三章“实数”编排在“从自然数到有理数”和“有理数的运算”之后,这只考虑“数与代数”领域的内在体系——数系的第二次拓展,而没有考虑学生的数学现实,这样的编排不利于学生理解所学知识的内涵,更不利于学生从整体上理解知识,从而构建良好的数学认知结构.

而在北师大版《数学》中,把“实数”编排在八年级(上)的第二章中,是继第一章“勾股定理”之后,这样的编排显然尊重学生数学现实和思维水平(八年级学生的思维逐渐从直观形象思维向抽象思维过渡),符合学生的认知规律;既能整体考虑知识的前后本质联系,又能体现出代数与几何的实质性联系.

所以,笔者认为,教材把“实数”编排在八年级(上)第二章“特殊三角形”之后可能更为合适,更符合学生的现实,因为学生有了“特殊三角形”中直角三角形的勾股定理知识后,学习平方根概念和实数就水到渠成,并且为第四章“一元一次不等式”的教学奠定了扎实的知识基础.

2. 对用教材教学的思考

教材是教学的重要资源,但不是教学的唯一资源.教材在编写时很难做到十全十美,所以教师应该整合各种教材资源,从学生的数学现实和活动经验出发,对教材进行二次开发;或在学习新概念时先补充一些必需的数学知识和背景;或把这个概念进行后移,安排到以后几章乃至以后几个学期,也就是说教师用教材进行教学时应以学生为本.

3. 对教材教学效果评价的思考

当教师对教材进行二次开发时,把教材要学的内容进行前置或后移.这时,如果仍然按照教材要求的知识和技能对教学效果进行评价,就很容易挫伤教师开发课程资源的积极性和学生学习数学的自信心.

事实上,《课标》规定学生应掌握的知识、技能和能力,指的是学生在通过三年初中学习后应该达到的要求.所以,我们在评价教学效果和学生的学习情况时,也应该以学生的具体情况来分析,不应该把教材的全部内容作为考查范围,也就是说教材教学效果的评价应以学生为本.

综上所述,笔者认为,教材的编排、用教材教学和对教材的教学效果评价应遵循学生现实:学生的现有知识水平、活动经验和思维特点.编者应走进课堂,掌握数学教学的第一手资料,才能编写出更适合学生学习的教材.

篇4：平方根-教学设计-教案

1.习题1〔直接用定义求平方根〕

求下列各数的平方根

（1）25 （2）■ （3）15 （4） 0.09

【设计意图】这个例题的设计直接用平方根的定义求一个数的平方根，让学生在解题过程中，理解平方根的含义，理解平方根与以前学的平方运算之间的密切联系，同时也要理解平方根的符号表示的含义。

【教学方法】现在我们用的是2013的苏科版八年级数学的教材，我发现在这个例题的书写上，现在的书写与以前的不同，现在是直接写出的平方根，而以前的教材较详细地写出有定义分析的过程，最后用符号表示等于什么。我觉得以前的做法比较好。以第（1）小题为例

现在的教材解法

解：25的平方根是±■，即±5.

以前的教材解法

解：∵（±5）2=25

∴25的平方根是±5，即±■=±5.

用以前的方法可以看出用定义解题的过程，学生比较容易入手， 解题的最后用符号表示，这样学生知道用符号表示的简约性和抽象性. 在讲完第（1）小题后，可以让学生自己仿效这样的格式自己练习书写后面的3个小题， 要说明的是15的平方根是±■，■这样的数，这在后面学习无理数时，会做介绍学习，现在只要让学生知道这样的数是存在的即可，怎么说明存在？用计算器按一下，显示的是是9位小数，实际上是无限不循环小数.

2.习题2（平方根的符号形式 习题1的深化）

求下列各式中的x

（1）x2=3 （2）2x2 （3）3x2-75=0

【设计意图】在这里，解方程求的值，实际上就是已知数（平方幂），求底数的过程，而且这里要直接写出平方根，用符号表示，显然要求高了一些。通过这个题目的讲解，学生可以对平方根有更加深入地理解，以前不会解的一些方程也可以解了，可以促进学生学习数学的积极性。

【教学方法】在教学时，我特别地增加了第（1）小题，此题是此类方程最简单的形式，学生理解起来要容易一些。而学生理解了这个题目，那么后面的两个小题可以转化为第（1）小题去解。在这里转化方法的讲授，可以让学生体会解数学题的一种重要的思想方法。

第（2）题可以转化简单形式x2=5从而x=±■.

第（3）题可以转化为简单形式x2=25从而x=±5.

方程有两个解，这与初一学的一元一次方程只有一个解是不一样的，要求学生知道这一点，方程的解不一定只有一个。以后我们还会知道一个方程有许多的解。

3.习题3 （概念的拓展延伸）

若一个正数的平方根是2x+1和x-7，则x2-2x+3的平方根是什么？

【设计意图】这个题目考察了平方根的性质：一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数。学生通过解决这个问题，可以加深对平方根性质的认识，对代数式的认识，而且这个问题的解决需要分步去做，这也是一种解决问题的方法。一个困难的问题，我们可以先解决其中的一部分，再去解另一部分，这样就可以获得对整个问题的求解。

【教学方法】引导学生分析问题

（1）我们要求解x2+2x+3的平方根，需要知道x2-2x+3的值，而要知道x2-2x+3的值，我们需要知道x的值

（2）问题的前部“若一个正数的平方根是2x+1和x-7”，我们能够获得哪些信息？

（3）我们知道“一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数”。所以（2x+1）+（x-7）=0. 由此，我们可以求出x=2

（1）把x=2带入代数式x2-2x+3，求得x2-2x+3=3

（2）x2-2x+3的平方根是±■

总结与思考：

（1）设计的问题有利于巩固所学知识

本节平方根的内容，对于学生来说是一个完全新的内容，平方根概念的抽象性，符号表示的简约性，学生刚开始是不习惯的。这需要老师去引导归纳。习题的配置同样是重要的，好的习题的安排可以帮助学生较顺利地完成对新概念的理解和掌握。

（2）设计的问题要有层次性代表性

我们对一个事物的认识总是由浅到深，由感性到理性，由不全面到全面的。文中我们设计的习题先是由定义直接求解，然后到方程，逐步抽象，再到填空形成一个完整的认识。习题四和习题五则对知识的应用提出了较高的要求，对帮助学生掌握数学问题的解决思想和方法是有益的。

（3）习题教学要重在讲解解题方法

篇5：平方米_教学设计_教案

1.教学目标

认识1平方米。

会用平方米来表示较大图形的面积.2.教学重点/难点

认识1平方米，能用平方米来表示较大图形的面积。

3.教学用具

教学课件

4.标签

教学过程 新课导入

师：“1平方厘米有多大？”

生：“边长为1厘米的正方形的面积就是1平方厘米。” 师：“说说下面各图形的面积。”

生①：“第一个图形有12个25px的小正方形，它的面积为300px。” 生②：“第一个图长为100px，宽为75px，面积为4×3＝300px。” „„„„

师：“我们的黑板有多大？教室又有多大呢？要多少个1平方厘米的正方形才能铺满呢？”

生①：“需要知道黑板的长和宽。”

生②：“面积很大，要很多个1平方厘米的正方形才能铺满。” „„„„ 师：“当物体的平面比较大时，用平方厘米作单位太小了，今天，我们来认识一位新朋友——平方米。”

新课探索 探究一

边长为1米的正方形的面积就是1平方米。师：“说说你的感受。” 生：“1m比25px大很多。” „„„„

师：“猜一猜，1平方米的纸上可以站多少位同学？” 生①：“8人。” 生②：“10人。” 生③：“5人。” „„„„

验证：让学生站在1平方米的纸上。

结论：1平方米大约可以站16个小朋友。

探究二

师：“猜猜看，我们的黑板大概有多少平方米？有什么方法可以验证你们的猜测呢？”

生：“用1平方米的纸摆一摆。” 估测教室：

教室的长估计能放多少个1平方米？

宽又能放多少个1平方米？

猜一猜：教室的面积大约多少平方米?

课内练习练习一 小结：图形占有几个1平方米的方格，它的面积就是几平方米。练习二

小结：面积比较大的物体，我们一般用m作单位。

课堂小结 本课小结

边长为1米的正方形的面积就是1平方米。

1平方米大约可以站16个小朋友。

篇6：公顷平方千米教案及活动设计

1.使学生进一步掌握面积单位间的换算的推想过程，加深对面积单位的认识。培养学生的推想能力。

【教学重点】使学生进一步掌握面积单位间的换算。掌握面积单位间的换算的推想过程。

【教学过程】

一、复习与思考

1.让学生说一说如何计算一个长方形的面积。

2.做下面的题，并说一说是怎样推想的。

5平方分米=( )平方厘米

13平方米=( )平方分米

3.把例题进行改编，让学生直接测量课桌的长、宽，计算出面积，再进行单位间的换算。

(1)学生测量课桌的长、宽各是多少厘米?(测量结果可以保留整厘米)求桌面的面积是多少平方厘米?(保留整百平方厘米)合多少平方分米?

(2)学生列式计算，教师根据具体情况，做出判断。

(3)学生讨论由平方厘米换算成平方分米推理过程。(100平方厘米是1平方分米，平方厘米数里面有多少个100平方厘米，就是多少平方分米。)

4.500平方厘米=( )平方分米

4200平方分米=( )平方米

二、探究新知

1.师出示ppt课件：公顷平方千米

师：我们学会通过测量来计算课桌桌面的面积，那么我们来看看下面这幅图，体育场面积的应该怎样测量呢?(学生提出方法)

师：大家说得都很好，在测量土地的面积时，我们常常要用到更大的面积单位：公顷、平方千米。

教师讲述：

(1)边长是100米的正方形面积是10000平方米

10000平方米=1公顷

(2)边长是1千米的正方形面积是1平方千米。

2.生活中的数据，帮助学生理解公顷和平方千米

(1)一个教室的面积约50平方米，200个这样的教室，面积约1公顷。

(2)一个足球场的面积约7000平方米，140个足球场的面积约1平方千米。

三、巩固反馈，掌握换算方法

1.5公顷= ( )平方米

2.10平方千米= ( )公顷

3.0平方米= ( )公顷

篇7：平方根教案

平方根

一、教学目标：

1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3.理解根号的意义，会用根号表示一个数的平方根和算术平方根； 4.通过本节的训练，提高学生的逻辑思维能力；

二、教学重点：

平方根和算术平方根的概念及求法。

三、教学难点：

根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。

四、教学方法: 讲练结合

五、课时设置：4课时

六、教学过程

1、情境导入：（书P68页）

请同学们欣赏本节导图，并回答问题，学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？如果这块画布的面积是12dm？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题？

这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容。这节课我们先学习有关算术平方根的概念。

2、导入新课：

1、提出问题：（书P68页的问题）

你是怎样算出画框的边长等于5dm的呢？（学生思考并交流解法）这个问题相当于在等式x=25中求出正数x的值。

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。

也就是，在等式x=a(x≥0)中，规定x =a。22222平方根性质：

1、一个正数有两个平方根，它们互为相反数。

2、0有一个平方根，它是0本身。

篇8：平方差与完全平方公式的教学策略

一、学生出错的主要原因

1.类比错误

在学习这两个公式之前, 学生已经掌握了分配律和幂的性质, 知道2 (a+b) =2a+2b, (ab) 2=a2b2, 因此学生容易依据经验类比出 (a+b) 2=a2+b2, (a-b) 2=a2-b2等错误性的结论.

2.思维的定向性

学生在思维上有一种追求简易对称的倾向, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 当然比 (a+b) 2=a2+2ab+b2与 (a-b) 2=a2-2ab+b2要简易对称.

3.用特殊代替一般

(a+b) 2=a2+b2与 (a-b) 2=a2-b2, 并非永远不能成立, 在特殊情形下有可能成立, 如当a≠0, b=0时就成立, 这就是学生常犯的将特殊结论一般化的错误.

4.不理解相关代数式的意义

对出现在公式两端中几个整式的意义未能细加分辨, 即和的平方不同于平方和, 差的平方不同于平方差.

5.缺乏验证意识

验证意识的缺乏缘于两个方面, 一是由于字母无确定的指定数值, 给验算验证带来了困难, 学生无法从数值上来发现错误;二是由于学生有一种只注重结论而忽视过程的倾向, 尽管在引入公式时以整式乘法和图形面积两种方法作了验证, 但在运用公式时并非时时处处都能联想到这个验证过程.

6.心理环境因素

在实际教学中发现, 并非学习较差的学生发生上述错误, 即使数学学习较好者也经常出现类似错误, 其主要原因在于注意力不集中, 受知识背景和客观环境的影响等.

二、如何有效地实施两个公式的教学

1.熟练公式

熟练公式是运用公式的前提, 在初学阶段, 不仅要使学生理解用整式乘法和图形验证公式的方法, 凸现知识背景, 加深印象, 而且要强制记忆, 记忆可以采用歌诀的形式, 务必使学生掌握特征, 烂熟于心.

2.从意义和算理上帮助学生辨识

(1) (a±b) 2的意义是和的平方或差的平方, (a2±b2) 的意义是平方和或平方差, 意义不同, 其结果不可能相同.

(2) (ab) 2=a2b2的依据是积的乘方, 2 (a+b) =2a+2b的依据是分配律, (a+b) 2=a2+b2与 (a-b) =a2-b2无所依据, 其正确性须经过推敲.

3.提高验证意识, 掌握验证方法

学生之所以出现上述错误并且不能发现错误, 主要原因是由于缺乏验证习惯, 为了强化验证意识, 一要经常要求学生回顾或重做公式的验证过程, 二要教会学生用特值法来判断错误.

4.加强运用

学生对知识的真正理解掌握是在运用中完成的, 加强运用是掌握公式的根本方法, 对公式的运用训练要分层进行, 首先要加强基本训练, 使学生对初级运用 (指一次性运用公式) 达到熟练无误的程度;其次提高运用的层次, 在拓展训练中, 深化对公式的理解, 能够将多项和或差的算式化归为两项和或差的形式, 如 (a+b+c) 2, (a+b-c) (a-b+c) 等, 还有变形训练, 能够将公式进行适当的变形, 例如由完全平方公式求a2+b2或ab等, 在这样的化归、变形和运算中, 学生能够对公式中字母的指代对象, 公式结构及其相互区别达到透彻理解.另外, 还要注重应用, 要跳出单纯计算的死圈子, 向学生提供一些具有知识背景和实际情景的问题, 如连续奇数的平方差, 绳子绕圆周等问题, 使学生感受公式的完整性及所得到的结论的奇妙性, 增加学习的趣味性和自觉性.

篇9：平方根-教学设计-教案

新旧课程标准对此部分内容的要求对比如下：

①会推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。

②能推导乘法公式：（a＋b）（a－b）=a2－b2；（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算。

学生对新鲜事物总是充满好奇心和求知欲，有较高的学习兴趣和探求未知世界的积极态度，教师应该尽最大努力爱护、培养和激励学生的学习热情，使学生学会学习，掌握学习的方法，學会自己独立地获取知识；掌握科学研究的方法，学会从不知开始，一步一步地达到问题的核心，直至最终的构建和解决；发展学生的认识力——对世界（客观世界和主观世界）各种事物的认识能力。

本课时教学目标设计如下：

1.会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。

2.通过图形面积的计算，感受乘法公式的直观解释。

3.经历探索完全平方公式的过程，发展学生的符号感和推理能力。

体现情感价值的教学环节设计如下：

一、情境创设

师：古埃及、古印度、古巴比伦、古代中国都曾通过图形认识了一个数学公式。

如下图：你能通过不同的方法计算大正方形的面积吗？

你发现了什么？

情感价值一：四个“古”让学生了解了数学历史的古老，调动了学生的学习兴趣，也渗透了德育思想。

二、探索活动

问题一：如何用字母表示上图中大正方形的面积？

生：将上图看成一个大正方形，则面积为（a+b）2。

师：很好，还有没有其他的方法呢？

生：可将上图看成是由两个长方形和两个正方形组成的图形，那么它的面积为a2+2ab+b2。

师：两种方法都求出了大正方形的面积，从而我们可以发现什么呢？

生：（a+b）2=a2+2ab+b2.

问题二：你能用多项式的乘法法则推导公式（a+b）2=a2+2ab+b2吗？

生：（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2.

师：这个公式称为完全平方公式。

情感价值二：学生了解了公式的几何背景，从“数、形”两方面对完全平方公式的本质内涵有了深刻的认识。让学生也有了种不输古人的自豪感。

三、范例点睛

例1.计算：（a-b）2

生：（a-b）2=（a-b）（a-b）=a2-ab-ba+b2=a2-2ab+b2.

师：想一想，你还可以运用什么方法？（提示语：减去一个数等于？）

生：（a-b）2=［a+（-b）］2=a2+2a（-b）2-（-b）+a2-2ab+b2.

师：（a-b）2=a2-2ab+b2，这是我们要学习的另一个完全平方公式。

小结完全平方公式：

（a+b）2=a2+2ab+b2.

（a-b）2=a2-2ab+b2.

情感价值三：这里形成知识的正迁移，让学生感受转化的思想以及知识之间的联系。从未知到已知，让学生发现新知识，有成就感，有创新思维的训练。两个完全平方公式的统一，体现了数学的化归思想，让学生的数学思维提高了一个层次，数学能力得到了有效提升。

师：你能用文字语言叙述这两个公式吗？

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

师：你能说出这两个公式的特点吗？

生：左边是两数和（差）的平方，右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。

师：按老师以往的经验，很多同学运用这个公式的时候会犯一些错误，但是，听了老师下面这个故事后，就不会再犯公式的计算错误了。开始讲了哦，听好。从前，有个小伙子和一个大姑娘，他们二人相爱了，组成了一个温馨美满的小家庭，过上了二人世界。有同学猜到了，就是（a+b）2。两个人相亲相爱，好像头上戴着一朵漂亮的小花。

生：是a2和b2。

师：同学们继续猜想下面发生了什么？对了，他们有了下一代——你，你的身上各有你爸爸妈妈的一半，是他们二人的结晶，所以就用符号2ab表示。那它前面的正负符号表示什么呢？

生：可以表示性别。

师：对了，让我们对照完全平方公式再想一遍这个小故事。

情感价值四：这个小故事是本节课的亮点，学生们体会着（a+b）2、（a-b）2象征着自己父母用汗水撑起的温馨的小家庭，自己是父母爱的结晶和感情联系的纽带。爱家、爱父母，想到父母对子女的殷切希望，身为学子更体会到了学习之责任。“三口之家，爱的统一体和责任”，这个形象而又感情色彩很浓的比喻，把完全平方公式深深地印在了学生的脑海里。

例2.用完全平方公式计算

（1）（5+3p）2　（2）（2x-7y）2

（3）（-x+2y）2　（4）（-2a-5）2

情感价值五：点评例题的时候，贯穿了“家”的比喻，学生们的情感价值得到了升华。在完成计算的过程中，几乎没有一位同学犯漏项的错误，省去了找错误的环节。

例3.用完全平方公式计算（比比谁算得快），你能出个类似的题目吗？

（1）9982　（2）1012

情感价值六：学以致用，进行简单计算。用比赛的形式，激发学生学习的热情。后面开放式的一问，拓展了学生的思维，让学生在学习中更有创新，数学思维得到训练，实现创新能力的培养。下面是对学生的应用巩固训练。

四、随堂练习

1.用完全平方公式计算

（1）（1+x）2　（2）（y-4）2

（3）（-3x+2）2　（4）（■x-■y）2

2.下面的计算是否正确？如有错误，请改正。

（1）（x+y）2=x2+y2　（2）（-m+n）2=-m2+n2

（3）（-a-1）2=-a2-2a-1

3.试一试。若一个正方形的边长为acm，如果边长减少6cm，则这个正方形的面积减少了多少？

五、课堂小结

这一节课你学到了什么？让学生试着小结，师再评议。

笛卡儿名言：我所解决的每一个问题都将成为一个范例，用以解其他问题。数学的教育价值，最终取向是育人，是促进人的健康发展，让人们生活得更加幸福。让理性思维、理性文化、理性精神成为人们生活、工作的重要素养之一，也是人们生活得更有尊严、更具幸福的基本条件之一。

因此，我们必须用数学方法、数学思想、数学素养构筑人生的长、宽、高。

本节课的设计发挥出了学生情感价值在学习中的作用，使学生充满了对学习的热情——爱学，特别是“小故事”，将冷的数学公式化成学生火热的情感迸发和热烈的数学思考，笔者认为是一节值得借鉴的好的课堂设计。

篇10：平方根-教学设计-教案

了解面积单位公顷、平方千米。

教学过程：

一、激发学生学习兴趣，引出课题

同学们，我们一起来看看体育场的图片，你们有什么感想?

(体育场太大了)

那还能用我们前面学过的面积单位进行测量了?

这就是我们今天要学的比平方米更大的面积单位：公顷和平方千米。(出示课题)

二、新授

1、通常我们在测量土地面积时，要用到更大的面积单位，公顷和平方千米。

它们到底有多大呢?

这节课我们就来了解一下。

2、带领学生到操场进行实际测量，量出边长是10米的正方形土地，用标杆及绳子把这100平方米围起来，或让学生手拉手，围站在正方形土地的四周看一看。教师向学生说明，100块这样大的土地就是1公顷。

3、边长是100米的正方形的面积是10000平方米，就等于1公顷。

打个比方，我们的教师面积大约是50平方米，那200个教室的面积就是1公顷。

10000平方米=1公顷

3、边长是1千米的正方形的面积是1平方千米。相当于100公顷。

也就是说如果一个足球场的面积是7000平方米，那就有140个足球场。

1平方千米=100公顷

三、练习

练习二十2

四、小结

第七单元小数的初步认识

小数的认识

教学目标：

1.结合具体内容认识小数，知道以元为单位、以米为单位的实际含义。

2.知道十分之几可以用一位小数表示，百分之几可以用两位小数表示。

3.能识别小数，会读写小数。

4密切数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。.

教具、学具准备：

1、课前要求学生到市场了解商品的价格，选择两种自己最感兴趣的物品，并绘制成标价牌。

2.测量身高。

教学过程：

一、创设情境，引入小数

1.学生出示商品标价牌。

师：同学们，课前大家去调查了自己最感兴趣的物品的价格，并制成了标价牌，谁愿意跟大家交流一下?

学生上台展示标价牌，并交流商品的价格。

(教师在黑板上依次贴出这些商品的标价牌。)

2.区别整数与小数。

师：请同学们仔细观察，你能不能把这些标价牌中的数分成两类?怎样分?

根据学生的回答，移动磁性黑板上的标价牌分成整数和小数两类。

左边这组数是我们以前学过的，都是整数。谁还能举出其它整数的例子吗?

3.引入课题。

右边这组数它们有一个什么特点?(数中间都有一个小圆点)。象这样的数叫做小数，(拿走磁性黑板上的整数标价牌)今天我们就要学习一些关于小数的初步知识。(板书课题：认识小数)

二、认识小数

1.小数里的这个小圆点我们把它叫做小数点;小数点左边的部分是整数部分;小数点右边的部分是小数部分。你会读小数吗?

让学生试读标价牌上的小数。

提醒学生注意整数部分与小数部分读法的不同。

2.认识以元为单位小数的实际含义。

哪些同学已知道，标价牌上的小数它们分别表示多少钱?(学生回答，教师板书，如：)

元 角 分

4.504元5角

0.707角

0.656角5分

3.完成课本第88页表格中的填空。

要求学生轻声读出货架上三种食品标价中的小数，填写它们分别表示___元___角___分。

4.你还在哪里见过小数。

三、教学例1

1.学生交流自己的身高是1米多少厘米?

2.只用米作单位，该怎样表示?同学们可以自己先看书，再跟小组的同学讨论讨论。

3.引出以米为单位的一位小数。

出示米尺：把1米平均分成10份，每份是多少分米?用分数表示是米，还可以写成0.1米。

3分米是几分之几米，还可以写成零点几米?

想一想：为什么小数点的前面写“0”?什么样的分数能改写成一位小数?

3.引出以米为单位的两位小数。

指着米尺问：把1米平均分成100份，每份是多少厘米?用分数表示是米，还可以写成0.01米。

3厘米是几分之几米，写成小数是多少米?18厘米呢?

让学生把答案填写在课本上。

想一想:0.03米、0.18米，小数点后面第一位数表示什么?第二位呢?什么样的分数能改写成两位小数。

4.小组讨论。

王东身高1米30厘米，写成小数是( )米。

全班交流，写成1.30米和1.3米都是对的，(因为30厘米也就是3分米)。

5.学生类推。

完成课本第89页做一做。

四、课堂练习

1.完成课本练习二十一第1题，巩固对小数含义的认识。(让学生填在课本上)

2.完成练习二十一第2题，巩固小数的读法，并让学生说说，在这题中获得了哪些信息。

3.补充练习。

(1)填单位名称

7.89元=7( )8( )9( )

4.54米=4( )5( )4( )

(2)填适当的数

0.56米=米=( )厘米

0.89元=元=( )角( )分

篇11：5.5平方根教案

师：小学我们学习了平方运算，请快速回答32等于多少？ 生：等于9 师：观察这个等式32=9,指出9与3的关系。生：9是3的平方，3是9的算术平方根。师：什么叫做算术平方根？

生：如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根，记作a.特别地，规定0的算术平方根是0.（教师板书）

师：还有平方等于9的数吗？ 生：-3 师：平方等于9的数有两个3和-3.平方等于4的数有几

25个？平方等于0.64的数有几个？平方等于2的数有几个？ 生：平方等于

24的数是±5，平方等于

0.64的数是±0.8，25平方等于2的数是±2。

师:3是9的算术平方根，-3是3的相反数，我们可以称-3是9的算术平方根的相反数，把3和-3统称为9的平方根。如果a是一个正数，平方等于a的数有几个？怎样把他们表示出来？

生：有两个，表示为a和-a

师：类比算术平方根的定义，你能给平方根下个定义吗？ 教师引导

生：如果一个数x的平方等于a, ,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根，记作±a.师：与同伴交流，举出几个数，说出它们的平方根，思考： 1． 正数有几个平方根？ 2． 0有几个平方根？ 3． 负数呢?

生：小组讨论交流回答

正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根。

师：同学们总结的很好。正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a，另一个是-a，它们互为相反数。0的平方根有一个是它本身。负数没有平方根，这就是说，当a＜0时，a没有意义。

我们把求一个数的平方根的运算叫做开平方。a叫做被开方数。

回答：开平方与平方运算是什么关系？ 生：互逆关系，互为逆运算。

师：平方根与算术平方根有什么联系和区别？小组讨论交流。

师生：平方根与算术平方根的区别与联系：

区别：1.个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根.2.表示法不同：平方根表示为 根表示为a

a，而算术平方联系：1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0，算术平方根也是0.师：学习了平方根的定义与性质，我们来应用它进行计算。例1求下列各数的平方根：

(1)64；(2)49；(3)11

121我示范一个，请大家模仿回答：

8264，64的平方根是8

即648

自己说一说，派小组代表发言。学生口答，师生共同订正。教师出示例2：求下列各式的值：

(1)-925；(2)-0.0001；(3)±

28932

4；

(4)0.49（0.64-1.44）； 注意要弄清方根。师：学习a，-a，a的意义，不能用a来表示a的平2是有理数吗这一节时，我们知道了

2＜3＜5

如果0≤a＜b，a一定小于b吗？你能对你的结论做出解释吗？与同学交流。

生：小组讨论交流，派代表发言。

师：说明这个一般性的结论，我们可以从特殊值出发。我们通过估算的方法，可以比较。可以通过在数轴上做出两个数来比较，还可以通过几何图形来说明这一问题。大家看图形，两个正方形草坪面积分别是a和b，你会求它们的边长吗？哪个正方形的边长大？由此可以得到什么结论？ 生：如果0≤a＜b, a＜

b。

师：比较下列两个数的大小：（1）80与90（2）-3与-2 学生回答。注意叙述过程。

师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 与同伴交流。

篇12：《平方根与立方根》参考教案

三维教学目标 知识与技能：

1、了解平方根的概念、开平方的概念。会用根号表示一个数的平方根。

2、了解平方运算与开平方运算是互为逆运算

3、会用平方根的概念求某些非负数的平方根。过程与方法：

1、让学生经历概念形成过程，提高学生的思维水平。

2、培养学生的求同和求异思维，能从相似的事物中观察到他们的共同点和不同点。

情感态度与价值观：

1、创设学生熟悉的问题情景，培养他们对数学的好奇心和求知欲。

2、在学生已有数学经验的基础上，探求新知，让学生获得成功的快乐。

3、提高学生“用数学”的意识。

教学重点：会用平方根的概念求某些非负数的平方根。教学难点：对只有非负数才有平方根的理解。课堂导入

1、到目前为止我们已学过哪些运算？

2、一个正方形边长为5厘米，它的面积为多少？是什么运算？它的 教学过程

一、创设问题情景

学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，她想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 如果画布的面积依次改为：9、16、36„„那么相应的边长是多少？

二、探索归纳(1)平方根的概念

若x2a，则x叫做a的平方根。(2)举例：∵5225

∴5是25的一个平方根

问：25的平方根只有一个吗？还有哪些数的平方也等于25？(3)总结求一个数平方根的方法。

三、举例应用

例1 求100的平方根．

解 因为102＝100，（－１０）2＝１００，除了10和－１０以外，任何数的平方都不等于100，所以100的平方根是10和－１０，也可以说，100的平方根是±１０．

例2求36的平方根。

解：因为(6)236,所以36的平方根为±6.四、试一试（1）144的平方根是什么?（2）0的平方根是什么?（3）的平方根是什么? 13（4）1的平方根是什么？

36（5）0、81的平方根是 什么？（6）－４有没有平方根?为什么? 答案：（1）14412,(2)、00（3）、42542137，（4）、1 255366请你自己也编三道求平方根的题目，并给出解答。

通过以上题目的解答，你发现了什么？ 概括：

一个正数必定有两个平方根．，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

五、课堂练习

1、平方得81的数是，因此81的平方根是。

2、平方根是它本身的数是。

3、如果-b是a的平方根，那么

A、ba2； B、ab2 ； C、ba2； D、ab2

4、求下列各式中的x的值 ⑴x2196 ⑵5x2100 答案：

1、±9，±9，2、0

3、B

4、x=±16,x=±2

六、课堂小结

1、平方根的定义。

2、平方根的性质。正数有两个平方根它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根。课堂作业

1、求下列各数的平方根：

162（1）49（2）（3）36（4）2。

812、已知２a-1的一个平方根是+３,求２a-1的另一个平方根及a的值。答案：

1、（1）∵749（3）∵749 22∴±7是49的平方根。∴±7是49的平方根。

4162（2）∵（4）∵24

8192 ∴4162是的平方根。24 9812 ∴±2是2的平方根。

2、因为一个数如果有平方根，那么它的两个平方根互为相反数。已知２a-1的一个平方根是+３，所以２a-1的另一个平方根是-３。∵２a-1=3 ∴ a=5 2教学反思 易错点：对平方根的意义不理解；对平方与开平方两种运算之间的互逆关系不理解。

篇13：余割平方波束天线的设计

用于地对空的飞机警戒搜索雷达,要求方位平面覆盖利用扫描获得,俯仰平面内的波束形状提供了在一定的作用距离和一定的俯仰角范围内对目标的覆盖。天线只需方位转动,实现对较远距离飞机的遥控、遥测、侦察视频信息传输,以及对飞机的跟踪定位。方位自跟踪、俯仰面余割赋形波束天线在飞机高度不变时,对位于不同倾斜距离上的目标可以接收到等强度的电波信号,从而实现稳定的通信。

1天线原理以及波束赋形设计方法

抛物面天线是聚焦天线,产生的波束很窄,要想天线波束展宽,必须采用非聚焦曲线。按几何光学观点,抛物面反射后,反射线平行于焦线,主波束方向为0°,射线不散开。当焦线上放置馈源时,反射面的上部将汇聚从馈源来的入射波,下部则按原方向反射。若适当选择2部分反射面的面积和馈源的方向图,其合成波束即可为余割波束[1]。

1.1中截线的计算

天线赋形是根据能量守恒定律,利用几何光学方法实现的。赋形曲线设计示意图如图1所示。

按几何光学定律,设天线的焦点为F,焦点的矢径为ρ,ρ与水平线的夹角为ψ,反射线与水平线的夹角为θ,则

$\text{d}\rho /\text{d}\psi =\rho \tan (\frac{\theta +\psi }{2}){}_{}^{}$。 (1)

按能量守恒定律,设馈源的电场方向图为f(ψ),天线次级方向图是所要求的余割平方,则

f2(ψ)dψ/ρ=cosec2(θ)dθ。 (2)

式(1)和式(2)构成联立微分方程组,解此方程组即可求出ρ(ψ)中截线[2]。

1.2赋形反射面的计算

反射面的坐标系示意图如图2所示。坐标系中,假定APC为仰角Ψ的焦点带,在此带线上的任意一点A的反射线为RA, P点的反射线为RP。

设A点在RP上的投影为B1,在FP上的投影为B2,令PB2=M,AB2=X,则A点的坐标为:

根据等相位条件得关于M的二次方程为:

显然,只要确定了中截线,即知道ρ=ρ(ψ),θ=θ(ψ),就可以根据式(3)和式(4)计算出对应于任意一个仰角ψ的焦点带,从而确定整个反射面的坐标[3]。

1.3远区场的方向图和增益的计算

用面电流法在天线面上进行双重积分,计算天线在远区场的方向图。中截面内的方向图考虑到反射体及馈源左右对称于中截面[4],公式简化如下。

天线赋形(余割)方向图公式为:

$F{}_{{\rm H}}(\Theta )={\displaystyle \int }{}_{\phi {}_1}^{\phi {}_2}\sqrt{{\rm I}(\phi )}\text{e}{}^{-\text{j}{\rm K}\rho (\phi )[1+\cos (\phi +\Theta )]}\text{d}\phi {}_{}$。

式中,I(φ)为初级馈源方向图;FH(Θ)为天线方向图。

采用对初级馈源归一化立体功率方向图进行双重积分作为天线总辐射功率,从而求出天线辐射的平均功率密度pp,用相同的方法求出最大辐射方向的功率密度Pmax,则天线增益为:G=pmax/pp。

1.4天线水平方向图计算

用上述方法求出在最大增益俯仰角时,不同方位角的功率密度P(θ0,ψ),利用F(θ0,ψ)=P(θ0,ψ)/Pp,得到天线在水平面方向图和天线所形成的余割方向图[5]如图3所示。

2天线实测结果分析

2.1天线的设计指标和馈源的基本要求

在实际应用中需要满足对较远距离飞机的遥控、遥测、侦察视频信息传输以及对飞机的跟踪定位,在设计上该天线能够满足以上要求,能够做到天线增益≥33.5 dB,副瓣≤-14 dB,归一化的差方向图零值深度≤-30 dB。

按照赋形反射面的计算结果,做出天线面后,在天线调试时应注意天线的馈源保持在水平面的中心,不允许偏焦,馈源若不准确置于抛物面焦点会引起口径效率下降。当馈源垂直于抛物面焦轴做上下偏移时,波束最大方向将指向与馈源偏移方向相反的一侧;当馈源沿焦轴作前后偏移时,则波束展宽。然而这类偏移不能太大,否则导致波束形状的严重畸变。对馈源的要求如下:① 馈源方向图应与抛物面张角配合,使天线增益因子最大;② 馈源具有确定的相位中心,从而保证使相位中心与焦点重合,形成同相分布的口径场;③ 馈源尺寸应尽可能小,以减少对抛物面辐射场的遮挡;④ 馈源应有一定的工作带宽。

2.2馈源偏焦对方向性的影响

2.2.1 横向偏焦

馈源横向偏焦使口径面上同时出现线性率和立方律相位偏差。如果横向偏焦不大,则接近于线性相位偏差。这时,长焦距抛物面天线的主瓣最大值方向偏移角近似等于馈源偏轴角,这样会引起波瓣偏移。

2.2.2 轴向偏焦

馈源沿焦轴偏离焦点时称为轴向偏焦。当馈源向抛物面顶点方向偏移时,口径中心的相位将超前边缘的相位,形成凸形的等相位面;相反,当馈源反方向偏移时将形成凹形等相位面。这2种情况都使口径场近似呈平方律相位分布,形成类似于光学中的“散焦”现象。

先期调试天线时应根据物理尺寸上粗略调整馈源到天线面的焦距,测试期间还要在电轴上略微调整馈源位置,有意利用馈源偏离焦点来改变天线波束的指向和宽度,直到水平面的差波束方向图零值深度达到-30 dB时为最佳,图4(a)为实际测试水平面和波束和差波束方向图。这时测试天线的俯仰面和波束方向图,就能够达到与理论上分析一致的实测俯仰面和波束方向图[6]如图4(b)所示。

根据以上天线的实测结果,可以得出该天线测试数据,增益为34.015 dB,左/右副瓣电平值分别为-16.34 dB和-18.17 dB,归一化的差方向图零值深度-33.83 dB,主瓣波束宽度1.984°。

3结束语

针对目前通信的状况以及未来趋势,余割平方波束天线以增益高、对目标的分辨能力强等特点得到广泛应用。在天线调试方面控制好调试尺度,防止馈源横向或者轴向偏角引起的波瓣偏移,就可以使在飞行高度不变时对位于不同倾斜距离上的目标接收到等强度的电波信号,因而可以为未来的稳定通信提供有利的帮助。

摘要：余割平方波束天线具有快速定位目标的能力,并且能够覆盖到较大作用区域。介绍了这种天线的设计方法,包括中截面、赋形反射面、远场方向图以及增益的计算方法和常用公式。针对实际工程中调试方法不当所引起的波瓣偏移、方向图变形等现象,进行了详尽的介绍和说明并给出调试方法,从实测结果可见达到了预期效果。

关键词：双弯曲面天线,余割平方波束,中截面,焦点带

参考文献

[1]林昌禄.天线工程手册[M].北京:电子工业出版社,2002.

[2]胡明春,李建新.赋形波束双弯曲反射面探讨[J].现代雷达,1996(6):64-68.

[3]林泽祥,兰强.S波段目标搜索雷达双弯曲反射面超余割平方低副瓣天线的研制[J].现代雷达,1997(6):35-50.

[4]闫丰,杜彪.赋形卡式天线最佳吻合反射面的计算方法[J].无线电工程,2011(3):38-40.

[5]林世明.赋形波束双弯曲反射器天线理论研究[J].电子学报,1981(4):56-66.

篇14：平方根-教学设计-教案

第一环节：问题导入之“故事导入”

根据初一年级学生的心理特点和教学内容的结构特点，在本环节，我们决定用趣味“案情”导入新课，创设了一个发生在“狼大和羊二”之间的土地租赁事件，以激发学生的探究欲望和学习情趣，让学生跃跃欲试争当“断案高手”，同时暗含“知识就是力量”、用知识帮助弱小的价值观引导.

[片段实录]

师：欢迎来到变式大课堂！今天我们要从一个小故事开始——这是一个发生在地主狼大和佃农羊二之间的土地租赁事件.（课件出示故事和“问题1”）

一天，狼大对羊二说：羊二啊！我家土地重新规划了，原来租给你的那块正方形土地，我把它向东增加了3米，向北减少了3米，变成了一块长方形，反正面积没变，你就种这块新地吧！不过，估计你也听不懂.我就画两幅图给你看看吧！（见图1、图2两个示意图）

羊二看了，连忙对狼大说道：老爷，我听您的！

问题1：羊二吃亏了吗？

师：羊二吃亏了吗？

生：（异口同声）吃亏了！

师：谁能为这个案子当个“断案高手”吗？（学生纷纷高举着手）

在本环节教学中，我们用故事中的问题情境导入新课，自然地将实际问题抽象为数学问题；运用数形结合思想，将土地面积问题转化为几何图形问题，突出了数学直观，生动易懂，也为接下来的新知探究提供了方法和思路.

第二环节：新知探究之“数形结合探究”

教师采用数形结合思想，引导学生进行新知探究，并为此设计了三个逐层递进的变式题.

[片段实录]

师：怎么判断羊二是否吃亏呢？（相对于问题1的“变式题1”）

生1：计算S1与S2，比较它们的大小.S1=a2，S2=（a+3）（a-3）=a2-3a+3a-32=a2+（-3+3）a-9=a2-9.

师：若向东增加5米，向北减少5米呢？（“变式题2”）

生1：还是一样地计算、比较，羊二还是吃亏.

师：若向东增加b米，向北减少b米呢？（“变式题3”）

生1：也是一样的.

师：同学们同意吗？

生：（大声，整齐）同意.

师：我们是不是可以借鉴刚才这位同学的方法推导一下，这样才好推广吧？（师课件出示图3示意图，并带领学生进行计算）

S3=（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2+（-b+b）a-b2=a2-b2

师：我们通过计算，进一步验证了一般情况下，正方形边长一增一减会导致面积减少.可羊二没文化，他不会算，我们有没有更直观的方法，让羊二一看就明白呢？

生2：我们可以先在这块地的南部向北裁掉一个如图4所示的矩形，再向东增加一个如图5所示的矩形，由图我们很容易看出，原来的正方形面积少了一个如图6所示、边长为3的小正方形.同样的，若正方形边长向东增加b向北减少b，则面积减少b2.

老师竖起大拇指；其他同学对这一直观的方法非常佩服，报以热烈掌声.

师：我们从两个角度，一是从代数的角度进行了精准的计算，二是从几何的角度进行了直观的验证，都得出了（a+b）（a-b）=a2-b2这个恒等式.通常二项式乘二项式展开以后得四项，为什么这组二项式相乘展开以后才有两项呢？

生：（齐声）因为有两项是同类项，互相抵消掉了.

师：为什么能互相抵消呢？

生：（齐声）因为b与-b互为相反数.

师：那么这个等式的左右两边究竟有哪些特点呢？

生3：等式左边是两个二项式的乘积，且只有a、b两项，一个二项式是a+b，一个二项式是a-b，等式右边是a与b的平方差.

师：看来同学们都是“说理大师”啊.（生笑）

在这个教学环节，教师通过激励学生对“案情”进行推理、演算，引导学生从代数和几何两个角度来验证自己的结论，再进一步追问，启发学生对平方差公式的结构进行深层次剖析，使学生得以自主发现并归纳出平方差公式这个新的知识点.

第三环节：变式应用之“代数变式的主线设计”

从一道基本题切入，运用代数的“式子变式”沿“系数变→符号变→位置变→指数变→因式变→项数变”的思维路径进行变式设计，使问题设计由浅入深、层层推进.根据平方差公式的结构特点，引导学生对公式进行多角度的变式应用，可以使学生对平方差公式有更深的理解，有利于培养学生思维的灵活性和深刻性.

[片段实录]

师：我们已经认识了平方差公式，接下来我们将——

生：（齐声）应用.

师：（调侃）看来你们很了解呀！（生喜形于色）

课件出示平方差公式基本模型及基本题“问题2”.

nlc202309090405

平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2

问题2：计算（+3）（-3）

师：问题2是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？

生4：完全符合平方差公式的结构特点，公式中的a就是a，公式中的b就是3.

师依次出示以下变式题组中的每一个变式，要求学生一题一题地说一说：该题是否符合平方差公式的结构特点？若符合，公式中的a、b分别是什么？比较这一题与上一题发生了什么变化？依次问答毕，师板写变式题组的变式过程如下.

问题2：（a+3）（a-3）

系数变↓

变式1：（2a+3）（2a-3）

符号变↓

变式2：（-2a+3）（-2a-3）

位置变↓

变式3：（3-2a）（-2a-3）

指数变↓

变式4：（3-4a2）（-4a2-3）

因式变↓

变式5：（3b-4a2）（-4a2-3b）

项数变↓（相对于公式而言）

变式6：（a+b+c）（a-b+c）

师：结合以上变式题组，你认为平方差公式中的a、b可以表示什么？

生5：公式中的a、b可以表示数，可以表示单独的一个字母，也就是说既可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式.

师：你的理解非常到位！公式中的a、b可以代表我们已经学过的任意一个整式，当然还可以推广到代数式.

师：仔细观察以上变式题组，你对代数中的变式方法有了哪些了解？

生6：我们可以从系数、指数、项数、因式、符号、位置等角度进行变式，其实就是抓住整式中的基本元素进行变式.

师：你的理解太深刻了，你能很好地抓住问题的本质，问题虽然可以千变万化，但都遵循一定的变化规律.我们不妨把以上变式方法叫做变式策略.你可以说是我们这节课的“变式大赢家”！（生喜形于色）

引导学生对变式题组中的变式题进行解答，可以使学生逐步学会分析式子结构，认清公式中的a和b分别代表什么，能够准确运用公式进行计算，同时了解代数中变式的基本策略，认清变化的规律，抓住不变的本质.

第四环节：总结升华之“思维导图归纳法”

用问题3的三个小问为思维支架，引导学生对本节课所学内容进行梳理，帮助学生自主建构知识体系，厘清知识之间的联系，并在锻炼解题的过程中训练学生的语言表达能力.最后引导学生运用“思维导图”归纳本课的知识、方法和蕴含在其中的数学思想，以此培养学生的综合素质.

[片段实录]

师：同学们的表现非常出色！那么谁又能成为本节课的“归纳之王”呢？（课件出示“问题3”）

问题3：（1）对于平方差公式，你有哪些认识？（2）本节课你印象最深的是什么？（3）你还存在哪些疑惑？

生7：我认为平方差公式的结构很特别.它是a、b两项的和与a、b这两项的差的乘积，结果等于a、b的平方之差，而且是符号相同的项a的平方减去符号相反的项b的平方，前后不能颠倒.

生8：本节课我学到的知识概括起来有两点.第一点，运用平方差公式一定要准确地找出公式中的a和b；第二，对于因式中出现三个项或以上，一定要观察各项的符号，再结合，构造出平方差公式的结构.

两名学生对平方差公式的应用做出了非常全面的概括，这让在场的老师和同学们都听呆了，继而爆发出雷鸣般的掌声.

师：好，她们都是“归纳之王”！

接下来，师课件出示本课知识思维导图（见图8）.

教师从学生的角度，启发他们思考对平方差公式有怎样的认识，鼓励他们说出这节课中印象最深的是什么，激励他们反思心中的疑惑，独立思考，小组讨论，班级交流，充分尊重学生在学习中的主体地位.

本节课将问题主线和情境主线相互交融，知、情、意有机结合.问题主线从数学学科的特点出发，设计出了一条条理清晰、逻辑严谨的问题链，问题设计抓住了本节课的核心知识即平方差公式，从平方差公式的发生、发现、发展、应用及拓展几个层次依次设计出了一个个问题串，将本课的核心能力、发散思维能力、创造能力等渗透其中，体现了数学的理性美.情境主线主要从情感态度价值观角度出发，将“授人以鱼不如授人以渔”进化为“授人以渔不如授人以欲”，从问题情境“羊二吃亏了吗？”开始，层层设疑、层层追问、步步为营，带领学生逐渐展开本课的“探索发现与应用之旅”，并运用心理暗示将学生置身于“断案高手”“说理大师”“变式赢家”“归纳之王”的角色中，引领着学生自主解决了一个个预先设定好的情境任务，让学生在挑战自我的过程中实现了自身价值，这也正是执教者想通过情境主线来开启和激励学生自主探索、自主发现的教学艺术所在.

（责编 白聪敏）