最小交叉熵在谐振隔离式轨道电路中应用

2022-09-10

谱估计是信号处理中的重要内容, 谱估计方法可分为经典谱估计法和现代谱估计法两大类。经典谱估计法是以传统傅里叶变换 (FFT) 为主要工具, 包括周期图法与布莱克曼—图基法 (简称BT法) 。现代谱估计是融合经典变换技术、统计估计理论、信息论等方面的理论与技术而发展起来的。现代谱估计法主要包括:模型参量法、奇异值分界处理法、谱估计法等。由于最小交叉熵谱估计分析比经典谱估计分辨率高, 特别适用于短数据序列情况。

1 最小交叉熵谱估计

1.1 基本原理

信息论中的“熵”来源于热力学与统计力学中“熵”。在谱估计中, 欲使用信息论中的熵作为最优准则, 必须将熵与功率谱或者谱功率结合起来, 找到它们的函数关系。对于经典的谱估计法, 其缺点在于:计算中, 对于长度为N的数据, 自相关序列仅仅能从滞后kN, 假设自相关序列值为零。然而实际中很多信号其自相关序列值对于k>N是非零的, 这样大大限制了谱估计的分辨率的准确性, 特别对于自相关序列值随慢衰减的窄带过程更是这样。最小交叉熵谱估计要求, 一个平稳的时间序列只计算时窗内自相关函数符合已知数据要求, 对时窗之外数据不作任何确定性假定, 而仅仅假设它是随的。在交叉熵最小的前提下, 将未知的那部分相关函数用迭代方法递推出来, 从而使求得的功率谱误差减小, 分辨率提高。

1.2 离散型最小交叉熵计算原理

设随机过程是由有限N个振幅正态独立分布的简谐振动所组成, 即:

在频率fk处的功率随机变量

把描述g (t) 的联合概率密度p (x) =p (x1, x 2, ......, xN) 作为先验概率密度且具有下列分布

式中S k (k=1, 2, ......, N) 为先验谱功率。可以证明

上式表明在频率fk处功率随机变量的数学期望正好等于先验功率。

在频率fk处的谱功率为利用式 (1-1) 有:

假定已知子相关函数 () mrt的M+1个值, 而:

其中可将上式表示成下列实数形式:

式中将式 (1~2) 中kT带入上式, 得:

最小交叉熵的后验概率密度为:

经化简, 得:

由上式可见, 联合概率密度q (x) 也是指数分布的。欲求的谱功率估计为:

式中拉格朗日乘数mβ应选择使kT满足式 (3) 的自相关函数约束条件

2 频谱分辨率比较

设S (b) 是白噪声加上一正弦的背景功率, 其归一化频率为0.215, 有:

在0到0.5 (归一化奈奎斯特频率) 间有50个等间距的离散频率点fk=0.005, 0.015, ..., 0.495。信号是归一化频率0.165的正弦波, 其谱功率为:

信号与背景的真实谱频率如图1所示。自相关延时tm=m△t=0, 1, 2, 3, 4, 5, 相应的自相关函数r (tm) =9.0000, 1.4544, -2.7732, -3.2248, 0.2032, 2.6900。应用经典谱估计FFT分析所得谱功率, 如图2所示。两个谱峰未能分辨二被接合在一起成为单峰, 约在频率0.190。但应用最小交叉熵谱估计分析, 把背景项S (b) 作为先验的谱功率估计, 如图3所示。由于这种方法多了先验信息, 就能保证频率0.215处的背景谱峰值, 并能将靠近频率0.165处的信号谱峰值分辨出来。因此, 最小交叉熵谱估计分析有比经典FFT变换分析更好。

3 最小交叉熵谱估计在UM2000轨道电路分析应用

UM2000无绝缘轨道电路传输28位信息, 由28个频率、幅度、相位确定的正弦信号的有无代表对应信息位上的0和1。它的调制信号是根据要发送的数字信息码选取相应的正弦信号叠加而成。将此调制信号调制在1700Hz、2000Hz、2300Hz、2600Hz中的一个载频上得到相应移频信号, 称为UM2000移频信号。UM2000轨道电路信号可表示为:

其中, 取fi=0.88, 1.52, 2.16, 4.08, 5.36, 6.0, 6.64, 7.92, 8.56, 9.2, kA为常数, kφ为相位且kφ=0。从信号表达式可以看出, UM2000轨道信号频率间隔小, 系统要求接受响应时间小于两秒, 对于这样的信号不适合通过增大N来提高信号的分辨率, 现在本文采用最小交叉熵谱估计来分析UM2000信号轨道电路, 且取N=200, ∆f=0.05。由图4可以看出, 采用最小交叉熵估计能很好分辨信号的频率。

4 结语

现代谱估计法与经典谱估计法相比有明显的优点:分辨率高特别适用于短数据序列。但是也有其缺点:在最小交叉熵谱估计方法中, 计算是比较困难的, 因为它是求解非线性方程组的问题, 尽管很多学者研究了很多方法像牛顿—雷夫逊迭代法, 快速非线性迭代法等, 但计算的收敛速度比较慢, 多是靠不断尝试和经验。本文探讨最小交叉熵谱估计在谐振隔离式频率编码轨道电路中应用, 并证明该方法的合理性。

摘要：最小交叉熵谱估计是现代谱估计法中的一种, 其分辨率要比经典谱估计高。谐振隔离式频率编码轨道电路, 其信号特点是频率间隔比较小, 所以要求其频谱的分辨率高, 同时实时性要好.本文研究了用最小交叉熵谱估计对UM2000轨道电路信号进行频谱分析.

关键词：最小交叉熵谱估计,UM2000,模型比较