最小二乘法原理及曲线曲面应用

2022-10-27

1 引言

数学模型是用数学的表示方式来描述实际对象或进行过程中的行为轨迹和运动规律的, 常用的数学方程有微分方程、差分方程、传递函数和状态方程等。这些方程表征下的数学方法如SPSS曲线拟合、线性回归拟合曲线、最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS三次曲线拟合法和基于RBF曲线拟合法等。最小二乘法估计是一种经典的数据处理方法, 最早的应用大约在1795年是由高斯提出来的。目前, 在动态系统辨识的应用中受到广泛重视。从计算的数学模型看, 它既可以用于参数模型估计也可以用于非参数模型估计[8]。本文针对一些静态的参数数据, 通过用最小二乘法估计的思想, 在最小方差意义下建立与实验室数据最好拟合的数学模型, 从公式推导、实例验证、一般的非线性问题展开研究。

2 最小二乘法的理论

在工程测绘中, 准确测量数据之后, 用恰当的函数去模拟这些数据原型显得常见而且重要。最常用的逼近原则是让实测数据与估计数据之间的距离最小, 数学意义也就是距离和最小。本文采用的是指数幂拟合的方法, 通过改变拟合函数的次数, 找出其中的区别。

(2) 一个参数的最小二乘法表示:

(3) 线性表示的曲线模拟函数。离差的平方和标记为M, 它可以保证每个离差的绝对值都很小。

3 曲线线性拟合

下面给出一组工业的实测数据:

3.1 估计原型为一次函数y=ax+b

用最小二乘法求得ab, 运用可求得:

用最小二乘法求得a2b2c2, 运用可求得:

用最小二乘法可求得a3b3c3d, 运用MATLAB可求得:

3.4 曲线非线性拟合

根据以上工业的实测数据, 用非线性的函数原型进行拟合:

用最小二乘法可以确定函数系数:

4 模拟仿真

4.1 线性曲线的拟合

根据实测数据, 通过运用最小二乘法算法的分析运算, 最后实现在不同函数下的拟合图像。如下图1, 对于实测数值点、一阶拟合曲线、二阶拟合曲线、三阶拟合曲线进行了对比。

4.2 非线性曲线的拟合

根据实测数据, 运用非线性的思想, 先求出待定系数, 非线性和现象拟合的区别是, 非线性拟合是在已知函数原型的前提下进行。如图2:下面截取一小部分程序进行分析。

a0=[0 0 0];%最初预测值

a=lsqcurvefit (@myfun, a0, x, y) %已知函数原型, 求出待定系数, 与a0无关, @后是函数原型

5 曲面的方程拟合

一些教材上只讲了曲线方程的插值算法, 并没有提及用插值算法拟合曲面方程, 下面介绍几种曲面方程的规范化形式及系数。

如下表是空间坐标系中7个离散数据点的坐标: (用最小二乘的方法进行曲面拟合)

那么, 依据最小二乘的思想就是让总误差Q最小。

从而, 求解系数cij, 用MATLAB计算得:

所所以以, , 拟拟合合曲曲面面方方程程是是

如图3, 是用最小二乘的方法对曲面进行的拟合示意图。

6 结语

综上所述, 文中重点从曲线和曲面两方面研究了最小二乘法的应用, 从函数的选取到公式的计算, 再到最终的MATLAB的模拟仿真, 实现了曲线和曲面的拟合, 尤其是对曲线的逼近做了不同函数下的拟合比较。在最小二乘的拟合实验中发现, 用其他函数方法拟合曲线也是非常值得研究的内容, 今后将重点向优化算法转变。

摘要：基于保证直线与所有点的距离都比较接近的思想下, 提出采用最小二乘法进行拟合。本文主要研究最小二乘法理论推导的基础上, 通过MATLAB软件运用最小二乘法的思想对曲线和曲面都进行了数值模拟仿真, 最终达到丰富最小二乘研究领域的目的。

关键词：最小二乘法,曲线拟合,数值仿真