经济数学-微积分

经济数学-微积分（精选十篇）

经济数学-微积分 篇1

作为财经类高等院校经管类专业开设的经济数学基础课———微积分, 是这些专业的核心课程之一。它是学生学习相关后续课程的基础, 是培养大学生理性思维品质和思辨能力的重要载体, 也是开发大学生潜在能动性和创造力的重要手段, 其对经管类专业教育发展的重要性是不言而喻的。经济数学基础课程一般包括微积分、线性代数和概率论统计三门课程。学生第一学年学习微积分, 第二学年学习线性代数与概率统计。作为新生入学后所接触到的经济数学的第一门课程《微积分》, 在整个两年的经济数学课程的学习中起着重要的作用。其教学质量的好坏不仅影响着学生学习微积分课程的效果, 也会对后续两门数学课程的学习产生不可忽视的影响。根据笔者多年的微积分课程教学体会, 目前微积分教学的实际情况不容乐观。课时少, 内容多, 教师受教学计划和教学大纲的制约, 往往忙于赶进度, 不易照顾到学生的感受。课堂教学仍然是教师讲、学生听的模式, 学生没能成为教学过程中的主体, 没有真正融入教学过程, 学生与教师主客体倒置, 这在相当大的程度上降低了学生学习大学数学的兴趣, 一定程度上挫伤了学生的学习积极性。教学内容抽象, 理论性强, 教材偏向于纯数学的理论和计算, 学生得到的是一大堆的数学定理、公式, 缺乏直观的演示, 导致学生对微积分这门课程产生畏难情绪。缺乏数学与经济之间的相互渗透, 使学生学习微积分的目的不明确, 为学微积分而学微积分, 许多学生学完微积分后不会具体应用, 从而造成学生的学习兴趣不高, 教学效果不好, 微积分学习形成了一种不良循环。尤其是新形势下市场经济的快速发展对大学毕业生技能素质提出了更高的要求, 经济数学的教学工作必须跟上时代发展的步伐。微积分的教学改革势在必行。

2 存在问题的原因分析

笔者认为, 造成上述情况的原因是多方面的, 大体上可以分为教学内容、教学方法和教学手段等三个方面的原因。

2.1 从教学内容方面看, 目前的微积分教材十分注重理论的严谨性。微积分的教学内容和体系长期以来基本沿用过去已形成的相对稳定的固有模式, 以传授基本概念、基本理论和基本方法为主要目的。从内容展开的层次看, 大多仍沿用传统的“概念 (定义) →定理 (结论) →例题”固定模式, 过分强调了形式倾向严格化的东西, 如极限的定义等, 注重严密的逻辑推理和解题技巧, 而忽视了微积分教育最本质的东西应是直观化和形象化。理论介绍缺少实际背景的铺垫。课堂上学生的思维总是被按部就班地朝着固定的方向引导, 往往重视理论知识而忽略了其实际背景和应用价值。这使学生感到微积分课程非常抽象, 非常难学, 非常神秘。

2.2 从教学方法方面看, 目前大多数微积分的教学, 出于对理论性和知识体系的严谨性考虑, 教学方法仍显得抽象而陈旧, 讲课中往往过于注重知识的系统传授而忽略了知识的产生和应用背景;偏重符号演算和解题技巧的训练, 忽视从直观 (主要来自应用和美感) 和问题背景方面的引导。往往走的是一条只讲推理不讲道理的“最捷”路线, 使学生难以生动活泼、主动地学习。不少高校微积分课的教学, 一直延用着传统的教学模式———讲授法、问答法。很少把学生真正理解并掌握了多少微积分知识作为尺度, 也很少思考如何用最少的语言和最新的教学技术和手段去启发学生自主学习和思考的能力, 经常用单一的考试成绩来衡量学生的学习效果和成绩, 而不注意考察学生的学习过程和考核学生的认知能力。缺少实验课程环节, 学生应用数学困难。缺乏微积分的验证性实验、计算性实验、探索性实验和综合设计性实验。在这种教学方式下, 学生只是被动地接受知识, 难以发挥学习的主动性、灵活性和创造性, 学习效率低是高校微积分课教学目前普遍存在的问题。

2.3 从教学手段方面看, 目前许多教师仍然还停留在一支粉笔黑板教学的阶段, 多媒体教学运用不够, 过分强调教师的讲解, 学生听与练, 与数学发展和应用现状极不适应。缺乏数学软件包括Matlab、Mathematica等的使用。缺乏对网络平台和网络资源的利用。

3 微积分教学改革的对策措施

3.1 教材改革

微积分教学内容改革的成败, 教材是至关重要的因素之一。一方面, 我们可以借鉴世界其他国家的微积分教材改革经验, 另一方面, 根据我国微积分教学的实际情况加以调整。近几十年来, 美国在微积分教材建设和改革方面做了许多有益的探索和研究, 不少改革者为了达到更好的教学效果, 使用自编讲义进行教学, 并对原有教材内容作了比较大的改变和调整。在微积分教材改革中, 由哈佛大学编写的《微积分》是最有影响的一个。作者在编写这本教材时采用了两个指导原则。其一, 全书采用“三原则”的模式介绍定理和概念, “三原则”是指:每一个概念以几何, 文字描述和代数形式呈现出来。其二, “阿基米德方法”。这实际上是对建构性学习理论的重述:该学习理论认为正式的定义来源于对实际问题的研究。这两个原则的采用有利于加深学生对概念和定理的理解, 使学生能够从不同的侧面和不同的角度为切入点, 深入概念和定理的本质。后来, “三原则”又发展为“四原则”, 即在原来的基础上加上“写作”, 换句话说就是让学生用自己的语言来表述所学的定理或概念, 从而加深对所学内容的理解和认识。改革微积分教材中使用了大量的图形、表格, 而且大多数的改革微积分都没有对证明进行严格的要求。改革者认为, 帮助学生理解抽象的定理比证明定理更有价值。改革微积分教材应遵循着“精简而生动”的思路, 在充分考虑到对学习要求较高的学生的要求的同时, 可以将那些认为“不重要”的内容从微积分教材中删掉。我国的微积分教材大都是严谨的思辨的微积分体系。各种教材和教师讲课通常都是从极限理论开始讲授, 并以极限为线索贯穿始终。缺乏以直观、具体的方式来描述微积分, 不利于学生系统地学习微积分的思想和方法。美国的微积分教材通过几年的改革, 已涌现出一批优秀教材。这些教材注意以多种表现形式向学生展现微积分的概念, 处处从学生对概念的理解出发。通过比较可以发现, 美国优秀微积分教材概念介绍详细、直观、通俗易懂, 有着丰富的应用例题, 涉及面广泛, 有物理、化学、生物、经济、地质、气象、天文、心理、社会科学等。这对在教材编写过程中过分强调微积分自身体系的我国教育工作者来说无疑是很好的借鉴。如何在保持我们的优势与特点的同时, 加强微积分的几何直观教学、注重概念的理解以及实际应用, 是值得我们思考与探索的问题。笔者认为现在必须加大微积分教材改革的力度, 在适当考虑微积分自身体系的基础上, 一定要跟上时代的发展, 满足社会和经济发展的需要。以前, 我国使用教材中的应用部分内容多为传统的教学范畴内容, 而反映经济学科、生命学科等目前比较活跃的学科的内容太少, 换言之, 微积分教学在应用方面的内容还远远滞后于时代的发展。因此, 一方面在教材建设中必须加强应用方面的内容和例题, 另一方面, 在微积分教学中要充实和加强应用知识, 特别是反映经济学科、生命学科等方面的内容。

3.2 教学方法改革

改革微积分教学可考虑从以下几个方面着手。首先, 改变传统微积分以教师为中心, 教学以讲授为主, 在教学中学生起着次要作用的弊端, 强化参与式教学。教师的重要职责是为学生自主学习创造条件, 帮助学生学习, 学生成为教学的主角。学生也不是以听课为主, 而是在教师创建的环境下经过实践将知识变成自己的。在学习中理解知识, 体会数学本质, 学会应用;第二, 处理好所讲述内容的严密性和清晰性。在教学过程中, 部分定理可以给出严格证明, 部分定理只提示定理证明的主要思路, 而部分定理则可以不加证明, 只需从一些简单的例子中总结出定理的内容, 并解释如何应用即可。当严密性和清晰性相抵触时, 应该选择清晰性;第三, 处理好微积分教学中形式化和直观化这对矛盾。当形式化和直观化相抵触时, 应该选择直观化。加强学生对知识的直观理解, 降低学习的难度;第四, 在教学过程中, 巧妙植入数学文化, 激起学习兴趣。教师在教学过程中要有意识地渗透相关的数学文化, 让学生换个角度去观察数学, 以一种欣赏的眼光去看待数学, 使学生感受到数学的美感与魅力, 从而激发学习的兴趣;第五, 适时融入数学建模思想, 增强实用训练。如运用微积分中的导数知识解决实际生活中的用料最省、体积最大以及经济理论中的最大利润、最小成本、边际、弹性分析等问题。定积分中的微元法也是应用中的有效方法, 可以用来计算面积、旋转体的体积、图形的重心等。在教学过程中适时融入数学建模思想, 对各专业特别是经济管理类专业的学生更有助于专业课的学习及抽象思维能力的提高, 使得学习经济学和管理学变得容易, 而且可以更完整、更深刻地理解和解释经济和管理理论;第六, 加强微积分的验证性实验、计算性实验、探索性实验和综合设计性实验。将微积分看作实验科学课程, 强调实际操作和发现式学习。在实验过程中, 鼓励学生通过执行计算机任务, 自己发现最重要的数学结论。这些任务都是教师精心设计的, 以促进学生数学概念的思维构建;第七, 重视培养学生的创新能力。为了拓宽学生的知识面, 培养学生的创新能力和应用能力, 可以在加强应用性教学的基础上, 开始增设研究性课题作业。让学生自己设计、参与探索知识和体验道理的过程。它能使学生像研究者那样, 自主地发表自己的观点, 自主地进行创造性探索。研究性课题作业将学生置于发现者、探索者的位置, 可更大限度地挖掘和培养学生应用数学的意识和能力。

3.3 教学手段改革

首先, 加强多媒体教学的运用。这样一方面可以加大课堂教学的容量, 另一方面可以进行图形、动画的直观演示, 强化教学效果;其次, 将计算机和数学软件引入微积分的教学过程。提倡、鼓励学生利用计算机、计算器和数学软件来研究微积分的概念和定理, 研究函数的性质, 让学生学会在计算机的帮助下, 利用所学知识解决实际问题。计算机的引入还可以减轻学生进行代数运算的负担, 使学生从繁重的计算中解放出来, 将更多的时间用在概念上, 加强概念的理解。此外, 网络技术的成熟和发展也使微积分教学可以考虑采用新的模式。可以考虑开设网上微积分课程, 使教学不再局限于课堂, 教学时空得到延伸, 网络使师生之间的交流更加方便, 网上微积分教学论坛、网上微积分教学资源可以为学生提供更好的学习平台。

参考文献

[1][美]路易斯·伏利德勒.美国的微积分教学 (1994-2004) [J].高等数学研究, 2005, 8 (3) :6-11.

[2]高尧来, 王世龙.美国微积分教学改革及其启示[J].理工高教研究, 2007, 26 (3) :42-44, 48.

[3]郭志军.经济管理类专业经济数学教学改革研究[J].北方经贸, 2008 (2) :157-158.

[4]李延敏, 郭平.转变教育思想探索经济数学教学改革新路[J].吉林省经济管理干部学院学报, 2006, 20 (2) :98-100.

[5]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学, 2006 (1) :9-11.

微积分在经济学中的应用 篇2

【关键词】微积分;经济学;边际分析

微积分是高等数学的伟大成就。微积分产生于生产技术和理论科学，同时又影响着科技的发展。

在经济学的领域内，将一些经济理由利用相关模型转化为数学理由，用数学的策略对经济学理由进行研究和分析，把经济活动中的实际理由利用微积分的策略进行量化，在此基础上得到的结果具有科学的量化依据。

1.微积分在经济学中的应用

1.1边际分析

经济学中的边际理由，是指每一个自变量的变动导致因变量变动多少的理由，所以边际函数就是对一个经济函数 的因变量求导，得出 ，其中在某一点的值就是该点的边际值。

例1：已知某工厂某种产品的收益 (元)与销售量 (吨)的函数关系是 ，求销售60吨该产品时的边际收益，并说明其经济含义。

解：根据题意得，销售这种产品 吨的总收益函数为 。因而，销售60吨该产品的边际收益是 元。其经济学含义是：当该产品的销售量为60吨时，销售量再增加一吨(即 =1)所增加的总收益是188元。这个理由看起来很简单，但是在实际生活中的应用作用很大。又如：

例2：某工厂生产某种机械产品，每月的总成本C(千元)与产量x(件)之间的函数关系为 ，若每件产品的销售价为2万元，求每月生产6件、9件、156件、24件时的边际利润，并说明其经济含义。

解：根据题意得，该厂每月生产x件机械产品的总收入函数为 。因此，该厂生产的x件产品的利润函数为： ，由此可得边际利润函数为 ，那么每月该厂生产6件、9件、15件、24件时的边际利润分别是： (千元/件)， (千元/件)， (千元/件)， (千元/件)。

这个经济学的含义是：当该厂月产量为6件时，若再增产1件，此时的利润将会增加18000元;当该厂的月产量为9件时，若再增产1件，利润将增加1元，有所降低;当月产量增加到15件时，再增产1件，利润反而不会增加;当月产量为24件时，若再增产1件，此时的利润反而会相应的减少18000元。

由此我们可以得出结论，产品的利润最大，并不是出现在最大量的时候，也就是说多增加产量必定能够增加利润，只有合理统筹安排工厂的生产量，这样才能取得最大的利润。

由此可得结论，当产品的边际收益等于产品的边际成本时，此时就已经达到了最大利润，如果再进行扩大生产了，产品反而会亏本。

1.2弹性分析

在经济学中，某变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数[2]。

在经济工作中有很多种的弹性，研究的理由不同，弹性的种类也不同。如果是价格的变化与需求之间的反映，这个反映我们称为需求弹性。由于消费需求的不同以及商品自身属性的差异，同样的价格变化给不同的商品的需求带来不同的影响。有些商品反应很灵敏，弹性大，价格的变动会造成很大的销售变动;有的商品反应较缓慢，弹性小，价格的变动对其没什么影响。

①需求弹性。对于需求函数 ，由于价格上涨时，商品的需求函数 为具有一定单调性，是一个单调减函数， 与 异号，所以定义需求对价格的弹性函数为 。

例3：设某种商品的需求函数为 ，求需求的弹性函数; ， ， 的需求弹性。

解： ， ，说明当 时，价格上涨1%，需求减少0.6%，需求变动的幅度小于价格变动的幅度; ，说明当 时，价格上涨1%，需求也减少1%，需求变动的幅度与价格变动的幅度是相同的; ，说明当 时，价格上涨1%，需求减少1.4%，需求变动的幅度大于价格变动的`幅度。

②收益弹性。收益R是商品的价格 与其销售量Q的乘积。在任何的价格水平条件下，收益弹性与需求弹性之和总是等于1。若 时，商品的价格上涨(或下降)1%，收益增加(或减少) ;若 时，价格变动1%，收益不变;若 时，价格上涨(或下降)1%，收益减少(或增加) 。

1.3最值分析

在生产理论中，研究长期生产理由通常主要是以两种可变生产要素的生产函数来表示[3]。假如企业利用劳动和资本这两种可变的生产要求来生产一种产品，那么可变生产要求的生产函数是：

公式中L为可变要求劳动的投入量多少，K为可变要求资本的投入量的多少，Q为产品的产量。生产的产品厂商可以通过对两个投入的可变生产要素的不断调整来实现一定成本条件下的最大产量的最佳生产要素组合。

假定生产要素市场上核定的劳动的价格即工资率为ω，核定的资本的价格即利息率为r，产品厂商核定的成本支出为C，则依据相关函数可得成本方程为： ，C 在一定的条件限制下，即： ，由此建立的拉格朗日方程：

产品产量最大化的一阶条件为： ，

由以上两式可得： ，由此得出核定条件下要想实现最大产量的要素组合原则是：即产品的厂商不断通过对劳动和资本这两种可变要素投入量的调整，使得最后一单位的成本支出不管用来购买哪种生产要素所获得的边际产量都是最高的，从而实现核定成本条件下的产量最大化。

1.4 最优化分析

边际分析研究的是函数边际点上的极值[4]。也就是来研究变量在边际点是递增变为递减，还是由递减变为递增，像这种边际点的函数值就是函数的极大值或极小值。经济研究的重点就是研究边际点是的最佳点，因为这是做出最优决策的最合理的边际点。因此，微积分法是研究最优化理由是必不可少的策略。

最优化理论是经济学中经济分析的基础，也是进行经济决策的依据。实现经济学的最优化，就是要求经济学中的一切经济活动都处于最佳的顶峰位置，任何一点偏离都要从顶峰向下倾斜，这个必定会用到微分的思想。

例4：设生产 个产品的边际成本 ，其固定成本为 元，产品的单价规定为500元.假设产销平衡，问生产量为多少时利润最大，并求出最大利润。

解：总成本函数为，总收益函数为 ，总利润 ， ，令 ，得 。因为 ，所以当生产量为200个时，利润最大，最大利润为L(200)=400 200-200 200-1000=39000(元)。

2.总结

微积分在经济学中的地位是非常重要的。现如今在经济学领域，很多经济学研究均需要量化研究，所以越来越多地运用到了微积分的知识，这不但有利于微积分的发展，还能够帮助经济学更加的定量化、精密化和准确化。

微积分在经济学中的应用使得经济学得到重大发展，并最终导致了微观经济学的形成。

参考文献：

[1]陈朝斌.微积分在经济学最优化理由中的应用[J].保山师专学报，(5)：34-36.

[2]张丽玲.微积分在经济学中的应用[J].百色学院学，2009(5)：49-52.

[3]蔡洪新.微积分在经济学中的应用分析[J].数学学习与研究，(9)：99-100.

浅谈高等数学中微积分的经济应用 篇3

[关键词]微积分；经济应用；高中生审视角度

近年来，国民生产总值不断提高，现代经济的发展也较为快速，这就要求有相应的理论基础来支持不断与时俱进的经济的发展。高等数学是现代经济管理的基础知识，其中的微积分对现代经济彰显得尤为重要，微积分与现代经济两者互相作用、互相促进。结合教学现状，高中数学起着承上启下的过渡性作用，这要求高中生不仅提高对高等数学的微积分在现代经济管理中的应用的意识，还要不断提高学习能力，彻底掌握基础知识，不断将所学运用于实际经济生活当中。

一、高等数学中的微积分与经济学的联系

1.微积分思想在经济学中具有重要作用

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，包含了极限、微分学、积分学及其应用，是数学的一个基础学科。而经济学是研究价值的生产、流通、分配、消费的规律的理论，通过数学知识及微积分思想实现稀缺资源的有效分配和最大分配，满足人类的经济活动和生产需求。

（1）拓宽了经济学的研究领域。经济学的研究领域非常广泛，研究了个人、企业、政府及相关组织如何在社会生活中进行选择，以及这些选择将会对稀缺资源产生怎样的决定的一门科学。这种特性就决定了经济学在学科分支上与其它学科有着必然的联系和交叉点。微积分思想在经济学中的运用恰好可以发挥着桥梁的作用，将经济学与其它学科紧密联系起来，很大程度上拓展了经济学领域在生活中的应用。

（2）提供了科学的指导方法。微积分中的微分学和积分学将经济问题通过数学函数及方法表示出来，可以帮助国家或政府制定符合社会经济背景的经济政策，在解决经济问题、达到一定的经济目的层面上有一定的指导作用。同时，微积分思想的严谨性、科学性及准确性也对多样化和复杂化的经济学问题起着规范作用，实现经济学问题中如效益最大化、收支平衡、供求匹配等等问题评判的相对准确性。

2.经济的发展反作用于高等数学中的微积分的拓展

快速发展的经济需要与时俱进的理论指导的支持，不仅需要经济学理论的不断发展，同时作为经济学的基础，即高等数学也要不断延伸和拓展，如此才能跟上不断进步的社会。现实生活中越来越多的经济问题具有高难度、涉及知识面广的特性，所以在高等数学领域也不断发现和探索，特别是微积分的探索与延伸。因此，现代经济的发展反作用于高等数学以及微积分知识的延伸与拓展、发现与创新。

3.两者相互作用、互相促进

高等数学中微积分思想在经济学中的运用促进了经济学问题的有效解决和逻辑思维的严谨性，而不断发展的经济又反作用于微积分知识的探索与延伸，促进了知识的全面性和综合性。因此，现代经济与微积分知识相互作用、互相促进。

二、高等数学中的微积分在经济领域的应用

1.微分学的应用

（1） 极限理论在经济学中的应用。极限理论普遍运用于经济学中，利用其极限值或最优值，对经济问题进行分析、预测，以达到资源的最优配置或利润的最大化。例如，利用微积分中的极限值可以预估需求价格弹性中在一定时期内一种商品的需求量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度，预测后进行分析，对商品与价格的关系做出相应的平衡。在边际收益递减规律中，利用极限理论知识，通过转换为数学方法求解，求出在生产中不断增加某一种可变要素的投入量的极限值，使得每增加一单位可变投入所带来的总产量的增加量达到最优。还可以利用极限值理论处理国际收支平衡中一国在一定时期内全部对外交易所引起的收入总额与支出总额的对比平衡关系。

（2）导数和微分在经济学中的应用。在将经济学中复杂的问题转换为对数学建模的处理时，必然会反复并且大量地用到导数和微分知识。因此，导数和微分在经济学中发挥着必不可少的作用。

2.积分学的应用

积分学主要包括定积分和不定积分两个层面，积分是微分的逆运算，在经济学中的应用主要是通过已知的数学函数来积分求得原函数，简化函数的建立与求解，快速而又高效的解决问题。例如经济学中的金融利率、贷存款问题以及医疗保险问题等等都会用到积分学的知识，可谓是必不可少的基础应用。

三、站在高中生的角度审视微积分在经济领域的应用

随着学生年龄的增加，知识的不断积累和丰富，其接受能力、理解能力、思考能力以及逻辑思维能力也随着提高。然而，高中数学难度自然也增加，知识的抽象性越来越大，知识的密度越来越大，知识综合性也越来越大。同时，微积分是高等数学中的一个重点知识，要求学生具有高强度的思考能力、演算能力和推导能力。常常出现学生基础较差，学习习惯较差，对知识的不理解和不会运用。学生对高中数学知识在现代经济管理中的作用认识度不够高，对知识的运用较为局限，因此需要老师及家长耐心的循循诱导，增强学生对高等数学中微积分的知识在现代经济管理中的应用的认识，促进其高效学习能力的培养，增强其数学知识学习的透彻性和运用的广泛性意识。学以致用，理论结合现实，将学习中的微积分与现实问题更多的联系起来运用。

四、结语

当今，高等数学知识在现代经济中的应用具有普遍性和广泛性，而微积分在经济中的作用也彰显得越来越重要。高中生是学好微积分的关键期，在此阶段须得在老师耐心的辅导下好好学习，学会将所学所得运用的发展快速的经济当中。

参考文献：

[1]陆振刚.高等数学中的微积分经济应用探究[J].高等教育与专家论坛，2015-05-11.

[2]赵军健.微积分在经济分析中的应用[J].科技风，2014-08-12.

[3]于何.浅谈微积分在经济分析中的应用[J].辽宁对外贸易学院，2014-09-10.

微积分在经济方面的应用 篇4

数学科学首次就用于解决经济方面问题是在17世纪的90年代, 当时威廉配第在他的经济学论文当中, 把算术方法应用于经济学问题。在19世纪以前, 经济学通常只运用数学科学当中的初等数学, 自19世纪开始, 变量及函数的概念被就用于经济学问题的解决, 到20世纪40年代, 世界爆发了第三次科技革命, 使得数学的应用与经济学的关系更加紧密。发展至20世纪70年代, 索洛和罗曼将经济的增长以模型的方式表现, 使得有关在经济方面运用数学方法来解决问题的论著在当时的世界产生一个大爆炸。不过这些论著有着一个共同点, 就是在运用传统经济方法及一般经济概念的同时, 将数学的应用从只使用最简单的数学符号, 发展到在经济学研究当中引用最新的数学计算方法及分析方法, 运用数学方法分析经济学问题, 使经济学中研究及分析方法的定性化向定量化转变。一定程度上来说, 经济学与数学科学的结合推动了经济学向真正科学的迈进。微积分是高等数学的基础, 也是各大院校经济管理类专业学生必须学习的重要。微积分对于经济分析有着不可替代的作用, 经济学研究当中对于微积分的应用非常广泛, 它运用定量分析法研究经济理论、解决经济学问题, 将经济学当中要研究的问题都进行量化, 使经济学问题更直接地面向经济学研究者, 促进了经济学的发展。

1. 边际分析

在经济函数领域, 我们可以通过边际分析来对经济函数的绝对改变量进行描述, 同时, 边际分析也可以用来诠释经济函数中的绝对变化量。某个经济量的变化会引起另一个经济量的绝对改变, 是经济函数中边际分析所要研究的问题。边际分析中有两个概念“平均”和“边际”。“平均”是指某个经济量的改变引起另一个经济量的变化率, 而“边际”是指当某个经济量的变化趋向于0时, 这个经济量与因这个经济的改变而引起的另一个经济量变化值的比值, 也就是对于某个经济量引起另一个经济变量变化的描述。如果假设

(x) 时的变化率”, 也就是我们所说到的经济领域当中的“边际”。

其实, 我们所说到的存在于经济领域的“边际”就是在数学领域中属于微积分概念下的导数。在经济领域, 如果将所要分析的问题进行量化, 那么在数学领域当中, f’ (x) 表示函数y=f (x) 对于x的一阶导数, 我们就将f’ (x) 称为边际函数, 可用My来记。

被称为边际函数的My=f’ (x) , 在经济领域也有它独特的含义:在x所取值的范围内, 某个经济量的改变引起的另一个经济量的改变的具体变化值。如果, 在经济领域当中, x与y所代表的经济变量不一样, 那么边际函数所能代表的经济意义当然也会发生改变。以下, 用一个例子来说明边际函数在经济领域当中的具体涵义。

例:如果某公司生产某个产品a单位时所耗费的总成本函数为C=C (a) , 那么其一阶导数MC=C’ (a) 就是这个产品的边际成本, 它所表示的意义是:当公司产某产品的产量为a时, 若再要增加一个产品的生产, 其所需要耗费的成本将增加C’ (a) 。

在经济领域当中, 对于一个企业来说, 企业要获得更好的发展, 不仅需要分析边际成本, 而且对于边际收益、边际利润等都需要分析, 而这些, 都可将所要研究的影响因素进行量化后转变成为数学中的微积分应用。

2. 弹性分析

在经济函数领域中, 边际分析是对绝对改变量和绝对变化量的描述。但在现实的经济活动当中, 对于函数的相对改变量和相对变化率也是我们所必须研究的, 弹性分析就是在经济领域中用来对这两个量的研究方法, 研究改变一个经济量会使得另一个经济变量发生改变率的大小, 就是弹性分析在经济函数中的应用。它主要是体现一个经济变量对另一个经济变量变化的敏感程度。弹性分析的应用不仅广泛存在于经济活动中, 它在现实生活中的应用也是非常普遍的, 弹性可以用来诠释很多经济现象。“弧弹性”和“点弹性”是弹性分析中所用到的两个名词。以下分三种情况讨论分析需求价格弹性的意义。

需求函数:Q=Q (p)

需求弹性:

(1) 当时, 表示对于该商品来说, 目前市场的需求量越来越大, 商品需求量的升降幅度要比价格的升降幅度更大。当企业出现这个状况时, 企业如果将价格适当降低, 那么商品的需求量将会增加很多, 使公司获得的效益最大。

(2) 当时, 表示对于该商品来说, 目前市场的需求量并没有太大变化, 商品的需求量的升降幅度与价格的升降幅度相同。当企业出现这个状况时表示不管企业将商品的价格降低或上提升, 对于企业来说, 公司获得的效益基本是没多大变化的。

(3) 当时, 表示对于该商品来说, 目前市场的需求量越来越小, 商品的需求量的升降幅度要比价格的升降幅度小, 当企业出现这个状况时, 企业应该考虑将价格提升, 价格的升高虽然会导致需求量的减少, 但需求量的减少幅度要比价格上涨的幅度小, 因此, 企业还是可以获得更大效益的。

所以, 在现实的市场竞争当中, 企业的经营者就对商品的需求价格弹性了如指掌, 正确把握市场方向, 及时调整商品价格, 只有这样, 企业才能在激烈的市场竞争中获得更大的市场份额, 使企业得以更好的发展。

3. 最值分析

在平时的经济工作中, 企业总是要考虑关于怎么样才能最节省材料、怎么样才能达到最大容量、怎么样才能使得企业的生产及销售成本降到最低、怎么样才能产生更高的效益、怎么样才能让企业利润达到最大化等众多问题, 像这类经济问题都可以将其量化到数学上来, 在数学上, 这些经济问题的解决就相当于对最大值、最小值的求解。利用函数可将一个经济变量用另一个经济变量来表示, 这样我们就可以得出这个经济函数的最大值以及最小值会在什么时候出现。在对经济领域中的最值的求解, 我们需要用到对于微积分来说比较重要的一个概念—导数来要进行计算。下面就用一个例子来说明最值的求解。

例:若C' (x) =1000+5/3 x (元/台) 表示公司某个产品的边际成本, 该产品的固定成本是300元, 产品的边际收入为R' (x) =2000+x, 求利润最大时的产量。

∵驻点是唯一的, 而且利润有最大值

∴此驻点x=1500一定是利润最大值的点

∴当产量x=1500台时, 企业获最大利润

4. 经济总量及变动分析

经济总量及变动值影响着企业经营者的经营决策, 将经济总量变动值进行对比及分析, 及时调整企业的经营决策对于企业发展起着非常重要的作用。在经济学的研究分析当中, 我们通常是利用微积分来算出企业的经济总量及其变动值的。下面通过实例来分析企业经济总量。

例:若C' (x) =6+1/2 x (万元/吨) 表示公司某个产品的边际成本, C (0) =7万元是该产品的固定成本, 边际收入为R' (x) =12-x (万元/吨) , 求:企业要想获取最大利润, 此时产品的产量为多少, 此时的最大利润是多少;若在此时增产1吨, 企业获得的总利润会有怎样的变化?

解:产品在获得最大利润时的产量及利润

总成本函数为

总收益函数为

总利润是收益及成本之差, 即L (x) =

∵驻点是唯一的, 而且利润有最大值

∴此时驻点x=4一定是最大值的点

∴当企业产品的产量为4吨时利润最大, 并且最大利润为:

L (4) =-3/4×42+6×4-7=5 (万元)

(2) 若增产1吨, 总利润的变化:

∴利润最大时, 若产量增加1吨, 总利润反而会减少0.75万元

因此, 对于平时的工作中出现问题, 企业不要一味得只增加产量, 而要结合各因素结合考虑最后的总利润, 在产量适当的情况下才可能获得企业利润最大化。

二、结语

以上对于微积分在经济学当中的应用实例只是微积分经济应用的一小部分, 即使是这么一小部分的应用, 我们还是可以看出, 微积分对于经济学研究分析及经济学的数学化、定量化起到了很大的作用。但微积分对于在经济学研究中的作用远不止这些。在高等数学的所有内容当中不仅仅只有微积分, 高等数学还包括偏导数的微分方程、对数学模型的建立、精算最优化以及很多几何方面的问题等, 像这些方法目前也正运用于实际的经济学研究分析当中。数学在经济学当中的应用使得经济学中的很多抽象概念都以具体、客观、精确的数值呈现在了企业的经营者面前, 帮助企业经营者做出科学、正确的经营决策。因此, 当今社会无论是国内还是内外, 对于高等数学知识的运用越来越广泛, 把数学作为将经济问题变得定量化、准确化和精密化的分析工具的现象也变得越来越多。现在, 微积分对于经济学方面的管理及分析都有着无法替代的作用。微积分只是数学科学当中的一个小分支, 相信随着经济、计算机技术和其它技术的不断发展和普及, 微积分的应用会更加广泛, 它不仅会应用于经济学的研究和分析当中, 而且在日常生活当中也将日益凸显出它的重要性, 从而将数学也带入到各加广阔的领域当中。

参考文献

[1]陈坚.浅谈微积分在经济学中的应用[J].科技风.2009 (07)

[2]向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息.2009 (26)

[3]张先荣.谈微积分在经济分析中的应用[J].濮阳职业技术学院学报.2009 (04)

在高中数学中如何进行微积分教学 篇5

教学大纲微积分数学教学我国近20年间高中数学课程内容一直相对稳定，尽管教学大纲和教材也经过了几次修订，但教学内容仍然是代数、三角、立体几何、解析几何四大部分。然而，从2001年起，全国所有省市都已开始使用依照新大纲思想编写的教材，在新教材中微积分、概率统计和向量这些在大学中重点学习的知识走进了高中，这无疑给高中数学教师提出了新的课题。在新的形势下，采用合理的教学策略有效地组织新内容的教学，变得十分迫切。本文将探讨一下，在高中数学中如何进行微积分教学，如何贯彻微积分思想，以期获得一些较为可行的教学方法。

微积分学可以说是博大精深，高中学生不可能像大学生那样来学习它，那么对我们的高中生来说应该怎样学呢？高中教师又应该怎样教呢？我们的高考对这部分内容又是怎样要求的呢？下面我们就来讨论一下这些问题。

一、微积分进入高中课堂并纳入高考范围的原由

微积分从本世纪初开始进入中学并作为高考的重点，那么新世纪制订并使用的新大纲，为什么要打破二十多年的稳定局面，在课程设置上做如此大的改革呢？

这是由微积分学在数学以至整个自然科学中的重要地位所决定的。微积分学是人类思维的伟大成果之一，它的产生和发展被誉为“近代技术文明所产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后数学的发展起决定性作用的思想”。微积分的思想方法是17世纪产生的关键性的数学思想方法，不仅是学生以后学习高等数学以及许多数学分支的基础，而且对于培养学生的数学思维，增强学生的解题能力也有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具，也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题，如变速运动的瞬时速度、变力作功、曲线的切线与长度、封闭曲线形的面积、立体体积等。从微积分学的创立至现在的三百年中，微积分学不仅对数学，而且对整个人类文明产生了不可估量的影响。而且我国进行了二十多年的改革开放，教育也得到了很大发展，当今不论教师的整体素质还是学生的数学能力，与二十年前相比已有了很大提高。所以学习微积分的初步知识，决不是高不可攀的，微积分知识进入中学是可行的。

二、教学大纲对“微积分”部分的要求与特点

虽然新大纲仍然将微积分作为选修内容，但却是广大希望进入高校继续深造的学生的“必修”功课。新大纲对这部分的要求总体上看，有如下几个特点：

1.对微积分的定位比较好，充分考虑到学生的实际水平。没有过多地涉及极限的理论知识，也没有要求严格的论证，只需直观认识。例如选修Ⅱ只需让学生借助几何直观理解连续函数有最大最小值的性质，这样既能对极限的一些重要性质有所认识，也不会因严格的论证望而却步。但涉及到核心内容“变化率的思想”，即引入导数时，大纲则没有一味降低难度。因为变化率的思想是人类思维进步的里程碑，是高中生学习微积分的价值所在——既为大学作铺垫，也为日后不学微积分的学生提供理解变化率思想的机会。

2.重视微积分在中学阶段的应用。尽管选修Ⅰ和选修Ⅱ课时相差很大，但都用了足够的课时讲授导数的应用（选修Ⅱ还有定积分的应用）。因为如果不谈应用，学生不仅学习该内容无甚兴趣，而且也不能对微积分有一个全面的了解。况且，在讲授微积分的应用时，也能加深学生对中学数学其他知识的理解。比如，讲导数的应用有助于进一步理解函数的变化状态，从观察基本函数的斜率开始，判断它的单调性，下降、上升区间和极值。

3.教学大纲要求“通过微积分初步的学习，了解微积分学的文化价值”，说明教师不仅应讲授微积分的基本知识和原理，还应该让学生了解微积分发展的社会背景及有关人物的资料，体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。形成一定的数学思维并能上升到哲学的高度。

三、高中数学课堂中组织微积分教学应遵循的一些原则和策略

中学生与大学生的认知水平不同，高中教师与大学教师的教学水平不同，所以微积分在高中课堂中的教学与大学中的教学是有很大区别的。本人结合在教学中学生学习微积分出现的困难，探索了一些较为可行的教学方案，总结起来有一下几点：

1.不断加强变量概念的教学，树立以变量为思维对象的数学观

由于学生在长期的数学学习中接触的均为常量，即使在高中阶段系统学习函数、自变量，并研究了一些基本函数的性质和图像，但其思维和认识方式仍然比较习惯于常量，常量数学在头脑中已根深蒂固，缺乏变量思维。但在学习极限、连续、导数、微分等概念时，没有变量的思维是不行的。所以在组织教学时，需加强变量概念的教学，让学生逐步熟悉和适应变量，并能思考变化过程。

中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域。增加这部分内容，可以加强对考生的辩证思维的教育，使考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简便的手段，加强对函数及其性质的深刻理解和直观认识。同时，使学生掌握一种科学的语言和工具，学习一种理性的思维模式。

2.要以直观描述为主，鼓励“合情推理”和“合情猜想”

这是对微积分在中学教学中较为合理的定位。对此部分的教学应当以直观性的描述为主，以掌握方法、计算为主，对理论上的严谨性不宜要求过高，更无须严格的证明。涉及的一些概念和结论，既要使学生正确地理解和掌握，也要适可而止。例如，极限中最基本的一个结论，学生通过作图很容易从孤立点的变化趋势得到此结论。学生此时“合情推理”并得到的“合情猜想”，在高中阶段的学习便已经足够了，无须用数学分析的方法加以严格论证。

3.防止微积分教学退化成仅让学生记住一些公式和结论

考虑到高中生的实际水平，不需要在理论上过分要求严格。但无论是用直观图形引入还是给予一定的推理，都应让学生主动的参与，引导学生观察和发现图形的“变化趋势”或亲自动手进行推导，这样才有利于培养学生的“变量思维”，感受微积分的内涵和与初等数学的差异。否则，如果为了纯粹的“应试心理”，微积分教学变成了让学生在不理解的状况下死记一些公式和结论，那么在高中教授微积分就失去了意义和价值，学生的能力也不会提高。

4.加强对复合函数求导的训练

复合函数是高中学生学习的难点，所以复合函数的导数也将是学生容易出错的地方，关键是有一些学生不会合理地引入中间变量，函数的复合过程中各个环节分别是什么样的函数关系没有搞清楚。对此，本人认为应先让学生多做一些分解函数复合过程的练习，然后按照复合过程逐步计算出复合函数的导数，待分步动作熟练之后再省略中间过程。

微积分在经济分析中的应用浅析 篇6

一、重要极限与连续复利公式

利用重要极限 可以推得连续复利公式 。设本金为A.期利率为r, 每期结算一次, 第一期终了本利和为

如果将第一期终了的本利和为第二期的本金, 第二期终了的本利和为

依此类推, 到第t期终了的本利和为

现将每期平均分成m次结算, 此时每次结算时利率是 , 第一期结算时共结算m次, 所以满第一期的本利和是 , 满两期时共结算2 m次, 满两期的本利和是, 以此类推, 满t期的本利和是。 。

若将每期结算的次数无限增大 , 也就是可以瞬时结算, 则满t期的本利和为

既为连续复利公式。使用此公式不仅可以计算所谓连续复利问题, 此公式还反映了现实世界中一些事物增长和衰减的数量规律。如设备的折旧, 人口的增长等。例如设有一机器原来价值1 0万元, 因逐年损耗, 每年价值减少0.9%, 利用此公式可以知道10年后, 该机器的价值大约是91393.48元。再如假如已知人口的自然增长率 (出生率与死亡率之差) 为1%, 利用此公式我们可以知道大约在6 0年后人口将翻一番。

二、导数与边际分析和需求的价格弹性分析

1. 导数与边际分析

设函数y=f (x) 是可导函数, 则f′ (x) 称为f (x) 的边际函数。在西方经济学中, 它的含义是:当x=x0时, 若自变量x再增加一个单位, 函数y将增加的量的近似值。经济学中有边际效用、商品的边际替代率、边际产量、边际成本、边际收入、边际利润等。

(1) 边际效用

在效用论中效用是指消费者在消费商品时所感受到的满意程度。基数效用论者所说的总效用TU是指消费者在一定时间内从一定数量的商品中所得到的效用量的总和。假定消费者对一种商品的消费数量为Q, 则总效用函数为TU=f (Q) , 相应的边际效用函数为 。是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量。边际效用具有递减的规律, 这一点可以从 体现。

(2) 商品的边际替代率

序数效用论者所说的效用函数表示某一商品组合给消费者所带来的效用水平。假定消费者只消费两种商品, 则效用函数为 , 其中 表示两种商品的数量;U为效用水平。在维持效用水平不变的前提下 (既=U常数) , 消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要放弃另一种商品的消费数量, 被称为商品的边际替代率 (MRS) 。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为 。

(3) 边际产量

在短期生产理论中, 在资本投入量固定时, 短期生产函数Q=f (L) 表示:由劳动投入量变化所带来的最大产量的变化。其中Q表示劳动的总产量, L表示劳动投入量。劳动的边际产量MPL指增加一单位的劳动投入量所增加的产量, 其定义公式为 。当劳动投入量固定时, 资本的总产量Q可看作是资本投入量K的函数, 既短期生产函数Q=f (K) , 资本的边际产量 指增加一单位的资本投入量所增加的产量。

(4) 边际成本

在成本论中, 总成本函数C=C (Q) 反映的是厂商的总成本C与生产水平Q (产量) 间的关系。边际成本MC=C′ (Q) 表示产量为Q时, 再增加一个单位产品的生产, 总成本将增加的数量。若产品的单价为P, 则当MCP时, 意味着此时扩大生产反而是亏损的。

(5) 边际收入和边际利润

设销售某种商品Q单位时的总收入函数为R=R (Q) , 则MR=R′ (Q) 称为销售量为Q单位时的边际收入, 其经济含义是:在销售量为Q单位时, 再增加一单位产品销售总收入所增加的量。设销售某种商品Q单位时的利润函数为L=L (Q) , 则L′ (Q) 称为Q销售量为单位时的边际利润。

(6) 利润最大化的均衡条件

厂商的利润等式为:L (Q) =R (Q) -C (Q)

由微积分知识可得, 满足上式利润最大化的条件是:

既厂商应该选择最优的产量使得边际收入等于边际成本, 既MR=MC, 且边际收入曲线的斜率小于边际成本曲线的斜率, 既MR′

2. 导数与需求的价格弹性

设某种商品的需求函数为Q=f (P) , 其中Q表示需求量, P表示价格。则 称为需求的价格弹性。其经济含义是:在价格为P的水平上, 若价格上升 (或下降) 1%, 需求量将下降 (或上升) ed%。需求的价格弹性反映了价格变化时, 需求量变化的灵敏程度。当ed>1时, 说明需求量变化的幅度大于价格变化的幅度, 此时称该商品需求对价格是富有弹性的;当ed<1时, 说明需求量变化的幅度小于价格变化的幅度, 此时称该商品需求对价格是缺乏弹性的;当ed=1时, 说明需求量变化的幅度等于价格变化的幅度, 此时称该商品需求对价格是单位弹性的。

需求的价格弹性对于厂商进行市场分析预测和商品定价有重要参考价值。实际的经济生活中会发生这样一些现象:有的厂商提高自己的产品价格, 能使自己的销售收入得到提高, 而有的厂商提高自己的产品价格, 却反而使自己的销售收入减少了。这意味着, 以降价促销来增加销售收入的做法, 对有的产品适用, 对有的产品却不适用。这些现象可以从需求的价格弹性与销售收入的关系得到解释。

设总收入函数R=P· Q, 需求函数为Q=f (P) , 其中P为价格, Q为销售量或需求量, 则总收入R可写成价格P的函数R=p· Pf (P) , 求对的导数可得:

当ed<1时, , 表明总收入函数R=P·f (P) 是单调递增的, 提高价格会使厂商的销售收入增加, 降价会使厂商的销售收入减少, 既商品的价格与销售收入成同方向的变动。

当时, , 表明总收入函数R=P·f (P) 是单调递减的, 提高价格会使厂商的销售收入减少, 降价会使厂商的销售收入增加, 既商品的价格与销售收入成反方向的变动。

三、微分方程在经济上的应用

微分方程在经济数量分析, 特别是动态经济模型中有重要用途, 现举两例说明之。

例1 (信息传播问题) 这里所指的信息, 可以是一条新闻, 或是市场上某项新产品的消息, 也可以指有待于推广的技术革新成果。设在t时知道某信息的人数为P (t) , 不知道这一信息的人数为N-P (t) , P (t) 对时间的变化率和P (t) 成正比, 也和N-P (t) 成正比, 比例系数K>0, 求P (t) 的函数表达式。

解此可分离变量的微分方程可得: (其中C为任意常数)

例如, 信息为某商品的调价, 起初有1 0%的市民知道了这一信息, 2小时后有2 5%的市民知道了这一信息, 那么多长时间有7 5%的市民知道这一信息呢?由上式计算可知6小时全市有7 5%的市民了解到商品调价的信息。

例2 (市场价格的时间路程) 已知某商品在市场上供给函数Qs和需求函数Qd分别为:Qs=-c+p·d, Qd=a-p·b其中P为价格, a, b, c, d均为大于零的常数。令均衡价格为 , 当Qs=Qd时解得 。在市场上, Qs, Qd, P都随时间而变化, 假定在变化中, 价格对时间的变化率总和当时的超额需求 (Qd-Qs) 成正比, 比例系数K>0 (调节系数) , 求价格的时间路程。

解此一阶线性微分方程可得 , 其中C为任意常数

令t=0时初始价格为P (0) , 则有 , 称为市场上价格的时间路程。表明, 无论初始价格如何, 随着时间的推移, 价格将趋近于均衡价格。 。

类似的应用问题还有很多很多, 在经济活动的定量分析中, 微积分起着十分重要的作用, 愿我们的广大学生和经济工作者, 学好用好微积分这个数学工具, 更好的为祖国的经济建设服务。

参考文献

[1]高鸿业:西方经济学[M].中国人民大学出版社, 2006

[2]杨学忠:微积分[M].中国商业出版社, 2001

论微积分在经济分析中的应用 篇7

一、导数在经济分析中的应用

在经济学中, 经常会遇到边际这一概念, 如边际成本、边际收入、边际利润、边际需求、边际供给等.从数学角度看, 经济学中的边际问题, 就是相应的经济函数的变化率 (或变化速度) 问题.即把一个经济函数f (x) 的导数f′ (x) 称为该函数的边际函数, 边际函数在某点的值称为边际值.总成本函数的导数称为边际成本, 需求函数的导数称为边际需求, 等等.对某个经济问题的边际情况进行分析和研究, 则是为了能够科学地指导经济活动.应当指出, 经济函数中的自变量的取值一般是不连续的 (即离散的) 量.例如, 产量单位一般为件、台……不会出现0.6件毛衣, 0.5台冰箱等, 劳动力单位一般为人, 不会出现0.3人.在应用导数这个工具去分析认识问题时, 必须将“离散”的量看作“连续”的量 (可导必连续) , 但是在对求导的结果进行经济解释时, 又须将“连续”的量作为“离散”的量来看待, 而且它们的最小变化是一个单位.

1.边际问题

在经济学中, 把某些经济函数对自变量的变化率叫做边际变化.一般来说如果两个经济量y和x间存在函数关系y=f (x) , 且y对x的导数y′=f′ (x) 存在, 那么这个经济量y对x的边际变化可以通过y对x的导数而得到.

例1 某企业生产某种产品, 每月的总成本C (千元) 是产量x (件) 的函数, 如果每件产品的销售价格为2万元, 求每月生产8件、10件、15件、20件时的边际利润, 并说明其经济意义.

解 依题意, 每月生产x件产品的总收入函数为

R (x) =20x.

因此, 生产x件产品的利润函数为

L (x) =R (x) -C (x) =20x- (x2-10x+20) =-x2+30x-20.

于是, 边际利润函数为

L′ (x) = (-x2+30x-20) ′=-2x+30.

则每月生产8件、10件、15件、20件时的边际利润分别是

L′ (8) =-2×8+30=14 (千元/件) ,

L′ (10) =-2×10+30=10 (千元/件) ,

L′ (15) =-2×15+30=0 (千元/件) ,

L′ (20) =-2×20+30=-10 (千元/件) .

其经济意义为:当月产量为8件时, 再增长1件, 利润将增加14000元;当月产量为10件时, 再增产1件, 利润将增加10000元;当月产量为15件时, 再增产1件, 利润则不会增加;而当月产量为20件时, 再增产1件, 利润反而减少10000元.

2.最大最小化问题

在经济工作中, 为提高效益, 许多问题的解决涉及求最大值和最小值问题.例如怎样使投入量最少, 产出最多, 成本最低, 利润最大等问题.这一节将从实际出发解决经济活动中的最值问题.利润是衡量企业经济效益的一个主要指标.在一定的设备条件下, 如何安排生产才能获得最大利润, 这是企业管理中的一个现实问题.

例2 某厂生产某种产品, 其固定成本为3万元, 每生产一百件产品, 成本增加2万元, 其收入R (单位:万元) 是产量q (单位:百件) 的函数:undefined, 求达到最大利润时的产量.

解 由题意, 成本函数为C=3+2q.

undefined

, 令L′=0, 得q=3 (百件) .

因为L″ (3) =-1<0, 所以当q=3时, 函数取得极大值, 因为是唯一的极值点, 所以就是最大值点.

即产量为300件时取得最大利润.

3.弹性在经济分析中的应用

弹性分析是一种简单易行的定量分析方法.它在经济研究、经济计划工作中有着广泛的应用, 如用于经济预测、经济分析、经济决策、政策研究等.学习和掌握弹性分析方法, 并能加以灵活运用, 对于各级计划人员都是非常重要和有益的.弹性亦称弹性系数, 弹性是一个相对量, 它衡量某一变量的改变所引起另一变量的相对变化.弹性总是针对两个变量而言的.例如, 需求的价格弹性所考察的两个变量是某一特定商品的价格和需求量.而能源弹性则可能是考察工农业总产值和能源消费量之间的关系.弹性的另一个重要特点是, 它是一个与被衡量对象的计量单位无关的数, 即是一个无量纲的数.正因为如此, 弹性分析可以单独作为一种定量分析方法而存在, 并常被用作研究和分析某一问题时的独立衡量标准, 或用于比较分析.

经济学中, 把需求量对价格的相对变化率称为需求弹性.我们已经知道, 需求弹性指的是由于价格的变化而给商品的需求量造成的影响程度.影响商品需求的因素很多, 有的商品价格一有变化, 其需求员就会发生很大影响;而有的商品则完全不一样, 当价格发生变化时, 对需求量的影响很小.按照需求的一般规律:价格下降, 则商品需求量增加;价格上升.则商品需求量减少.由于具体商品本身属性的不同以及消费需求的差异, 同样的价格变化给不同商品的需求带来的影响是不同的.有的商品反应灵敏, 弹性大, 涨价降价会造成剧烈的销售变动;有的商品则反应呆滞, 弹性小, 价格变化对其没什么影响.

在经济学中某个变量对另一个变量变化的反映程度称为弹性或弹性系数.在实际工作中有多种多样的弹性, 这决定于所考察和研究的内容, 如果是价格的变化与需求反映之间有关系, 那么这个反映就称为需求弹性.

二、微分方程在经济分析中的应用

微分方程在经济数量分析、特别在动态经济模型中十分有用, 列举经济中的实例, 着重讨论其经济数量关系.

例3 设某商品的需求价格弹性η=-k (k为常数) , 试求该商品的需求函数Q=Q (P) .

解 根据需求价格弹性的定义undefined, 可得微分方程

undefined

这显然是一阶可分离变量微分方程, 将变量分离为

undefined

两边同时积分lnQ=-klnP+lnC, 因此Q=Q (P) =Ce-klnP.

这就是所求的需求函数.

三、结 语

当前的职业教育与社会经济的关系越来越紧密, 教育服务于社会、服务于经济的任务越来越迫切.对于正在接受教育的学生来说, 高职数学教育工作者要正面引导学生认知数学与经济的密切关系, 并结合具体事例教会学生掌握诸如需求函数、供给函数、总收益函数、消费函数、生产函数、成本函数、投资函数等等的实际应用, 既能增强学生的学习兴趣, 又能提高学生的实操能力.在当今国内外, 越来越多地应用数学知识, 使经济学走向了定量化、精密化和准确化.

高职数学教育工作者, 要提高服务社会的能力, 适当参与开展讲学活动, 积极引导他们认识到, 在经济环节进行定量分析是非常必要的, 教会他们将数学作为分析工具, 以便为企业经营者提供精确的数据, 提供企业经营者新的视角, 为企业决策和经营运作提供辅助作用.

参考文献

[1]孙昌龙.微积分在经济中的一些简单应用[J].考试周刊, 2007, 9.

[2]谭瑞林, 刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化, 2008, 4.

[3]孙少葆.微积分思想和方法在最优问题中的应用研究[J].武汉科技学院学报, 2008, 11.

微积分中数学符号的由来 篇8

1积分符号∫的由来

积分的本质是无穷小的和, 拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。将“Summa”的头一个字母“S”拉长就是∫。

发明这个符号的人是德国数学家莱布尼茨 (Friedrich, Leibniz) 。莱布尼兹具有渊博的知识, 在数学史上他是最伟大的符号学者, 并且具有符号大师的美誉。莱布尼兹曾说:“要发明, 就要挑选恰当的符号, 要做到这一点, 就要用含义简明的少量符号来表达和比较忠实地描绘事物的内在本质, 从而最大限度地减少人的思维劳动。”莱布尼兹创设了积分、微分符号, 以及商“a/b”, 比“a:b”, 相似“∽”, 全等“≌”, 并“∪”, 交“∩”等符号。

牛顿和莱布尼茨在微积分方面都做出了巨大贡献, 只是两者在选择的方法和途径方面存在一定的差异。在研究力学的基础上, 牛顿利用几何的方法对微积分进行研究;在对曲线的切线和面积的问题进行研究的过程中, 莱布尼兹采用分析学方法, 同时引进微积分要领。在研究微积分具体内容的先后顺序方面, 牛顿是先有导数概念, 后有积分概念;莱布尼兹是先有求积概念, 后有导数概念。在微积分的应用方面, 牛顿充分结合了运动学, 并且造诣较深;而莱布尼兹则追求简洁与准确。另外, 牛顿与莱布尼兹在学风方面也迥然不同。牛顿作为科学家, 具有严谨的治学风格。牛顿迟迟没有发表他的微积分著作《流数术》的原因, 主要是他没有找到科学、合理的逻辑基础, 另外, 可能也是担心别人的反对。与此相反, 莱布尼兹作为哲学家, 富于想象, 比较大胆, 勇于推广, 主要表现为, 在创作年代方面:牛顿比莱布尼兹领先10年, 然而在发表时间方面, 莱布尼兹却领先牛顿3年。对于微积分的研究, 虽然牛顿和莱布尼兹采用的方法不同, 但是却殊途同归, 并且各自完成了创建微积分的盛业。

2无穷大符号∞的由来

将8水平置放成“∞”来表示“无穷大”符号。

有人说这个符号的创意来自莫比乌斯带, 因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去, 他就永远不会停下来。但有人反驳说“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。

罗马人将“∞”表示为1000, 后来用于表示任意的非常大的数, 无穷大。牛津大学的教授约翰·威廉在公元1665年第一次将这个符号表示为无限。但该符号直至1713年贝努利使用它之后, 才被广为采纳。

3极限符号lim的由来

“极限”一词源于拉丁文“limes”, 缩写为“lim”。1786年瑞士数学家鲁易理 (Lhuillier) 首次引入, 后人不断完善, 发展了长达122年之久, 由英国数学家哈代 (Haddy) 的完善极限符号才成为今天通用的符号。

4自然对数底数符号e的由来

就像圆周率π和虚数单位i, e是数学中最重要的常数之一, 是瑞士数学家及自然科学家欧拉 (Euler) 通过极限而发现的, 它是个无限不循环小数, 其值等于2.71828……以e为底的对数叫做自然对数, 用符号“ln”表示。上述求极限e的公式被英国科学期刊《物理世界》2004年10月号公布为读者选出的科学界历来“最伟大的公式”之一, 并且名列第二。

在父亲的教育下, 欧拉13岁进入巴塞尔大学, 15岁大学毕业, 16岁获得硕士学位。在一场重病中, 他的左眼完全失明, 凭借惊人的记忆力和心算技巧, 欧拉继续科学创作, 他与助手们通过讨论或者直接口授的方式完成大量的科学著作。欧拉在18世纪的数学界作为最杰出的人物, 为数学界做出杰出的贡献, 同时将数学推至几乎整个物理的领域。另外, 欧拉还创设了许多数学符号, 其中他将曲面表示为z=f (x, y) 并引入一系列标准符号以表示z对x, y的偏导数, 至今这些符号仍通用。欧拉对数学的研究如此广泛, 因此以他的名字命名的重要常数、公式和定理等在许多数学的分支中也可经常见到。

5数集符号由来

自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R, 复数集C是分别由单词natural number (英语“自然数”的意思) 、Zahlen (德语“整数”的意思, 一位德国数学家在整数环中首次用这个字母, 后来被沿用) 、quotient (英语“商”的意思, 因为有理数是两个整数相比的结果, 有理数的英文是rational number, 但如果取头一个字母就会和实数集符号相重) 、real number (英语“实数”的意思) 、complex number (英语“复数”的意思) 。

6判别式符号△的由来

一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根的判别式△b2-4ac, 判别式符号“△”是由“Discriminate” (判别式) 一词的第一个字母D得来的, 而字母D相当于希腊字母△。

7属于符号∈的由来

“∈”表示一个元素属于某一集合的记号, 是意大利数学学家皮亚诺 (Peano) 在1889年的数学著作中首先使用的。

在数系理论研究方面, 皮亚诺做出了重大贡献。在1889年出版的《算术原理新办法》一书中, 皮亚诺提出“皮亚诺自然数公理”举世闻名, 在书中他还对许多逻辑符号进行了创新。在1891年创建了《数学杂志》, 皮亚诺在这个杂志上利用数理逻辑符号写下自然数公理, 并对它们的独立性进行了证明。皮亚诺于1893年发表《无穷小分析教程》, 该书被德国的数学百科全书列在“自L.欧拉 (Euler) 和A.L, 柯西 (GAUCHY) 时代以来最重要的19本微积分教科书”之中。皮亚诺撰写的《数学百科全书》中有很多地方引人注目, 例如推广微分中值定理;多变量函数一致连续性的判定定理;隐函数存在定理以及其可微性定理的证明;部分可微但整体不可微的函数的例子;当时流行的极小理论的反例等。

8平方根符号的由来

“根”的拉丁语是radix, 它是阿拉伯语的译名, 在数学上具有双重意义;一方面表示方程的未知数, 另一方面又表示一个数的平方根。1637年, 法国哲学家、数学家笛卡尔在光辉的《几何学》著作中, 他巧妙地在路多尔夫、斯蒂文创用的符号“”上面添上一个括线“—”, 即用表示平方根 (且多了一个小钩) 。

将代数和几何巧妙地联系在一起, 这是笛卡尔在数学上的杰出贡献, 从而创造了解析几何这门学科。笛卡尔于1760年2月, 病逝于斯德哥尔摩, 由于教会的阻止, 为其送葬仅有几个友人。在他死后其著作也被教会列为禁书。但是, 广大科学家和革命者却对这位对科学做出巨大贡献的学者充满了敬仰和怀念。笛卡尔的骨灰和遗物在法国大革命之后被送进法国历史博物馆。其骨灰在1819年被移入圣日耳曼圣心堂中。墓碑上镌刻着:笛卡尔, 欧洲文艺复兴以来, 第一个为争取和捍卫理性权利而奋斗的人。

9其它数学符号由来

(1) 任意符∀。任意号来源于英语中的any一词, 因为小写和大写均容易造成混淆, 故将其单词首字母大写后倒置。

(2) 存在符号埚。存在符号来源于英语中的exist一词, 因为小写和大写均容易造成混淆, 故将其单词首字母大写后反置。

(3) 函数符号f (x) 。函数符号来源于英语中的来源于英语中fuction, 是由欧拉最终创建的。

(4) 微分符号dx。1684年, 莱布尼茨发表了一篇论文《一种求极大极小和切线的新方法, 它也运用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》, 这是世界上最早的微积分文献。这篇论文正式出现了微分符号, 他取拉丁字“differentia”即“分细”的第一个字母。导数符号也是莱布尼茨创建的。今天普遍使用的用撇表示导数f′ (x) , 是1797年由法国数学家拉格朗日第一个给出的。

(5) 偏导数符号坠。1786年拉格朗日用“坠” (rounded, 读作圆d) 表示偏导数。

在数学、力学和天文学三个学科中, 拉格朗日都有重大历史性的贡献, 但他主要是数学家, 研究力学和天文学的目的是表明数学分析的威力。全部著作、论文、学术报告记录、学术通讯超过500篇。

摘要：介绍了积分符号∫、无穷大符号∞、极限符号lim、数集符号、判别式符号△、自然对数底数符号e、属于符号∈等微积分中常见数学符号的由来, 帮助学生更好地掌握这一学科知识, 激发学生学习兴趣, 培养学生的数学素质。

关键词：微积分,数学符号,由来

参考文献

[1]徐品方, 张红.数学符号史[M].科学出版社, 2005.

经济数学-微积分 篇9

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期, 学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学, 作为微积分研究的基础, 早在我国古代就已经开始应用, 只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪, 人类的知识体系还不是很完善, 对于一些计算问题束手无策, 这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问, 于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类, 第一类问题出现在物体运动中, 即速度问题.第二类问题出现在曲线中, 即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中, 即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中, 即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪, 各个领域的科学家在微积分领域开始了研究, 他们的国度不同, 语言不通, 信仰不同, 但对于研究的目标是一致的, 那就是解决问题, 虽然没有最终总结出完整的理论, 但他们的探索为后世的研究奠定了道路, 也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶, 英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说, 但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》, 提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》, 这本书提出了精确的数学符号, 也规范了微积分学说.

19世纪初, 以柯西为首的法国科学家, 开始整理前人的微积分理论, 并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究, 最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出, 微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程, 人类解决任何问题都是从直观的认识开始的, 运用抽象思维, 最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实, 高等数学的教学也是这样, 下面从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点建议

(一) 教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础, 是每个大学都会开设的一门基础学科.然而, 学生们学习微积分, 往往是为了应付考试, 根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点, 微积分教学时, 教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度, 只有持有一个端正明确的学习态度, 学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级, 而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期, 对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它, 且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味, 对于学生们和老师来说都感觉“食之无味, 弃之可惜”, 最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识, 它还是解决很多实际问题的金钥匙, 学生们要想做一个对社会有用的人, 就要端正学习态度, 绝对不能知难而退, 要打好高等数学的基础, 就要认真学习微积分.

(二) 理论联系实际, 具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受, 尤其是微积分这种生涩的知识, 更是不易掌握.针对这一点, 应该多借鉴微积分的发展史, 科学家开始也只是借鉴了生活中的实例, 高等教学也可以这样做, 可以引进一些恰当的教学模型, 如讲解极限时, 可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解, 也要学生看到讲解的过程, 便于学生全面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题:已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同, 而顶部厚度为侧面厚度的2倍, 容积为V=3π, 求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中, 教师直接运用公式解答, 最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式, 教师可以先找一个易拉罐来当模型, 然后让学生们实际接触并加以研究, 理论结合实际, 一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识, 并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念, 微积分学说的成功提出正是验证了这一点, 我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务, 不仅考验学生的认知能力, 也考验教师的传授方式, 只有提高学生对微积分的认识, 再将理论与实际有机地结合起来, 才能帮助学生掌握微积分理论.

参考文献

[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报, 2007 (87) .

经济数学-微积分 篇10

【关键词】微积分 教学 数学文化 高等数学

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）36-0193-02

在《高等数学》教学中，每位老师都注重数学的逻辑思维、严密性，同时只注重各种公式、公理、定理的证明等。这样会使得学习变得枯燥无味，并降低学生的学习热情。在这种教学过程中出现了截然不同的局面，老师在讲台上滔滔不绝的讲课，学生在下面各做各的，漠不关心的样子。数学具有抽象性，对逻辑思维要求高，需要严密地解决每个问题。致使好多人对其失去学习的热情与兴趣，很容易在学习过程中感到乏味、枯燥；尤其对于数学基础较差或者文科学生而言更加困难。数学老师在教学的过程中为了能够解决此问题都在寻求一种好方法，通过一些实践教学经验证明，在上课教学过程中适当讲述一些关于数学文化的概念，对于提高学习者的学习兴趣起到很重要的作用。渗入数学文化可以激发学生学习的热情，对知识的渴望增强。

一、微积分的来源与发展过程

微积分是微分学和积分学的统称，经过长时间的发展出现了现在意义上的微积分学。近现代微分学的初步是在阿基米德的研究项目中，主要是抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中出现。在中国也出现了微积分概念，三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是微积分学的最初来源地方。现如今，微积分在我们的生活中处处可见，各种数据分析工具、理论计算结构尺寸等显著地促进了微积分产生的快速发展。

作为一位教育工作者，在微积分教学课程中，讲述微积分在数学历史的发展进程中所处的历史地位显得非常重要。不仅能够使学生从历史的角度认识所学习的内容，也能在很大的程度上鼓励、激发学生们的学习热情和兴趣。微积分的发展过程主要经历了以下几个发展过程：

首先，数学史上的第一次伟大的革命，即解析几何和微积分的发现。“有了解析几何和微积分，才使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程，即运动。”这是一位伟大思想家的论述，可见微积分是多么的重要。

其次，从微积分创立到现在的三百年发展过程中，最为经典的是牛顿和莱布尼兹十七世纪初对微积分的开创，这在数学界是非常重要的里程碑。至此之后，数学获得了极大的发展，尤其是微积分思想、思维，被许多学者、科研工作人员等广泛的认可，获得了空前的繁荣。因此，微积分在数学学科引起了巨大变革，而且也对其他的自然科学和工程科学产生了巨大的作用。没有微积分就没有今天科学界的发展，离开微积分就不可能有现代物理、力学、电学还是光学、热学等。

最后，一定要指出的是十七世纪牛顿和莱布尼兹建立的微积分存在着明显的逻辑缺陷，正所谓任何事物都不是完美的，需要在每一步的进步中修改不足，做的更加完美。同样，数学界的微积分也不例外，但这种缺陷并没有抑制它旺盛的生命力，十八世纪微积分获得了蓬勃的发展。十九世纪，经过大量科学家的论证、完善，在总结了许多人的失败的尝试的基础上，在前人积累的大量成果的基础上，数学家柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯在微积分的严格化方面做出了各自重要的贡献，出现了许多我们现在用的定理。特别重要的一点是，柯西建立的极限理论，为这一学科最终奠定了牢靠的逻辑基础。所以，书本中的每一个定理、理论都多多少少的渗透着数学思想、数学文化。

二、数学文化在微积分教学中渗透的意义

微积分学是高等院校的基础数学课程，其目的是为学习工科类专业和经济类专业的知识提供了必要的工具，培养学生理性思维、严密思维的一种学习结构体系。笔者通过十几年的“微积分”课程教学实践和对高等数学理论体系的理解，深切体会到在微积分教学中适时恰当的融入数学文化元素，能使学生们了解到微积分的开创、发展的不易。我们应该好好学习这种来之不易的数学理论，进而能对今后的发展奠定基础，贡献社会，服务人民。

三、 微积分与其它学科的关系

每一种学科都不是单一存在，它肯定与许多学科息息相关，如今研究的课题大多是交叉学科，这就需要多学科交叉学习的人才。这就促使教育工作者更应该注重多学科交叉普及，培育大量多学科交叉人才，特别是利用微积分思想。事物的价值体现在它的实用性上，所以说，数学文化的价值不仅在于知识本身，而且在于它的应用价值。从这个角度讲， 把数学应用的教学与实际理论相结合是数学学科与数学文化结合的最佳点。函数是所有人非常熟悉的一个概念，通过研究函数的性质，如函数是否线性、函数曲线的形状等，就可以对所研究的事情做出一定的判断。如利用函数你可以指出数学与经济学的交叉学科计量经济学，用数理统计的方法，建立经济现象的数学模型，建立函数关系为数学的应用做铺垫。进过模型、数理统计、函数极值等的计算，就可以知道下一步如何投资。

四、结论

高等数学中的一个分支----微积分是其中的一部分，它在实际生活中处处可见。微积分的模型建立需要理解它的思想，不仅仅是一些公式、定理的堆积，微积分的奇妙之处是可以体会人类数学思想方法对人类文明的贡献。只有在教学过程中多多渗透数学文化、数学思维、解决问题的方法，这样才能真正实现对大学生的素质教育。通过上面的讨论研究，数学文化渗透在高等数学微积分教学中意义重大，可以利用微积分思想结合其它学科，创造出不一样的价值，提高学者积极性，更加有投身教学研究的队伍中。

参考文献：

[1]曾艳妮.微积分教学中如何融入数学文化[J].湖北经济学院学报（人文社会科学版），2014，（12）：188-189.

[2]隋永庆.“微积分”教学中融入数学文化的教学设计思路探析[J].教师，2014，（23）：52-52.

[3]李伟.高中微积分教学中融入数学文化的初步研究[J].广东科技，2014，（14）：202-202，201.

[4]木紹良.数学文化在微积分教学中的渗透[J].课程教育研究，2016，（14）：150-151.