勾股定理全章测试

第一篇：勾股定理全章测试

七年级数学勾股定理全章复习

勾股定理全章复习

一、复习要求：

1.体验勾股定理的探索过程;已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

2.会用勾股定理知识解决简单问题;会用勾股定理逆定理判定直角三角形。

3.会用勾股定理解决有关的实际问题。

二、知识网络：

三、知识梳理：

1、勾股定理

(1)重视勾股定理的三种叙述形式：

①在直角三角形斜边上的正方形等于直角边上的两个正方形(《几何原本》).

②直角三角形直角边上的两个正方形的面积之和等于斜边上的正方形的面积.

③直角三角形斜边长度的平方，等于两个直角边长度平方之和.

从这三种提法的意义来看，勾股定理有“形的勾股定理”和“数的勾股定理”之分。

(2)定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。

②证明三角形中的某些线段的平方关系。

③作长为的线段。

勾股定理揭示的是平面几何图形本身所蕴含的代数关系。利用勾股定理探究长度为，，„„的无理数线段的几何作图方法，并在数轴上将这些点表示出来，进一步反映了数与形的互相表示、相互交融，加深对无理数概念的直观认识。

(3)勾股定理的证明：

经典证法有：①欧几里得证法②赵爽《勾股圆方图注》证法③刘徽《青朱出入图》证法④美国总统加菲的证明⑤印度婆什迦罗的证明⑥面积法证明;除此之外，还有文字证明、拼图证明和动态证明。 (4)勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。

2、勾股定理的逆定理

(1)勾股定理的逆定理的证明方法，也是学生不熟悉的，引导学生用所学过的全等三角形的知识，通过

构造一个三角形与直角三角形全等，达到证明的目的。

(2)逆定理的作用：判定一个三角形是否为直角三角形。

(3)勾股定理的逆定理是把数转化为形，是利用代数计算来证明几何问题。要注意叙述及书写格式。

运用勾股定理的逆定理的步骤：

①首先确定最大的边(如c)

②验证：

若

当

当

与

是否具有相等关系：

，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 时，△ABC是锐角三角形; 时，△ABC是钝角三角形。

(4)通过总结归纳，记住一些常用的勾股数。如：3，4，5;5，12，13;6，8，10;8，15，17;9，

40，4l;„„以及这些数组的倍数组成的数组。勾股数组的一般规律：

丢番图发现的：式子

毕达哥拉斯发现的：

柏拉图发现的：

，

，，，

(，，

的整数)

(

的正整数) (

的整数)

3、注意总结直角三角形的性质与判定。

(1)直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。

边的关系：直角三角形斜边大于直角边。

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。

双垂图中的线段关系。

(2)直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形)

4、已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：得：，

，

，

，

。变形，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条边。

5、当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。

(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：1：2：3，则三边

的比为1：：2)

。

：2。(一个三角形的三个内角的比为

(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1：

(3)等边三角形的边长为

，则高为，面积为。

6、典型方法的总结：

(1)斜三角形转化为直角三角形

(2)图形的割、补、拼接

(3)面积法与代数方法证明几何问题

四、例题分析

1.如图，把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠

，D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△如图乙.这时AB与

(1)求

(2)求线段

(3)若把三角板

相交于点O，

与AB相交于点F.

的度数： 的长.

绕着点C顺时针再旋转30°得

，这时点B在

的内部、外部、还是边上?证明你的判断.

解：(1)∵ ∠2=15°，∠

=90°，

∴ ∠1=75°.又∵ ∠B=45°，

∴

(2)连结

∵

又∵

∴

又∵

∴

， ， 。

，

.

,

，

.

，

∵

又∵

在

(3)点B在

，∴ ， ∴ 中，内部。

于点

，

。 。

。

理由如下：设BC(或延长线)交

∵

，

在中，

又∵

，即，∴ 点B在内部。

2.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ.

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.

(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由.

解：(1)猜想：AP=CQ

证明：在△ABP与△CBQ中，

∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ

∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a

连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a

于是在△PQC中，∵

∴ △PQC是直角三角形

3.如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示.已知展开图中每个正方形的边长为1.

(1)求在该展开图中可画出最长线段的长度?这样的线段可画几条?

(2)试比较立体图中∠BAC与平面展开图中

的大小关系?

解：(1)在平面展开图中可画出最长的线段长为

如图(1)中的

∵

∴

，

，在

中

，由勾股定理得：

。 .

答：这样的线段可画4条(另三条用虚线标出).

(2)∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴ ∠BAC=45°.

在平面展开图中，连接线段

又∵

由勾股定理的逆定理可得

又∵

∴ △

，

为等腰直角三角形. ∴

.

，

为直角三角形. ，由勾股定理可得：

，

。

所以∠BAC与相等.

第二篇：清华附中第9章不等式全章测试

C12级不等式与不等式组单元测试

2013.

5不等式与不等式组单元测试

一、选择题(每小题6分，共36分)：

1.若ab，则下列不等式中正确的是()

11Aa3b3Bab0CabD2a2b 3

32.若不等式组的解集为1≤x≤3，则以下数轴表示中正确的是()

3.不等式4x13x2的正整数解的个数是()

A0B1C2D3

4.一个不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组

的解集为()

111A0x≤Bx≤C 0≤xDx0 22

25.如果点Pm,12m在第四象限，那么实数m的取值范围是()

A0m111Bm0Cm0Dm 222

6.如果x2x2，那么实数x的取值范围是()

Ax≤2Bx≥2Cx2Dx2

二、填空题(每小题6分，共24分)：

17.x的与5的差不小于3，用不等式表示为.

28.某饮料瓶上有这样的字样“保质期18个月”.如果用x(单位：月)表示保质期，那么该饮料的保质期可以用不等式表示为.

9.当x时，式子3x5的值大于5x3的值.

10.商店为了对某种商品促销，将定价为3元的产品，以下列方式优惠销售：若购买不超过5件，按原价付款;若一次性购买5件以上，超过的部分打八折.现有27元钱，最多可以购买该商品的件数是.

三、解答题(第

11、12题每题10分，第13题20分，共 40分)：

1x12x≤11.(1)解不等式，并在数轴上表示它的解集; 37

5x13x1,(2)解不等式组1

3x1≤7x.2

212.x为何值时，代数式2x15x11的值是负数?

32

13.每年的5月20日是中国学生营养日，某校社会实践小组在这天开展活动，调查快餐营养情况.他们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据此信息，解答下列问题： (1)求这份快餐中所含脂肪质量;

(2)若碳水化合物站快餐总质量的40%，求这份快餐所含蛋白质的质量; (3)若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%，求其中所含碳水化合物量的最大值.1.快餐的成分：蛋白质、脂肪、矿物质、 碳水化合物;2.快餐总质量为400g;3.脂肪所占的百分比为5%;4.所含蛋白质质量是矿物质质量的4倍

附加题(第

14、15题4分,第

16、17题6分，共20分)： 14.如果关于x的不等式abx2ab0的解集是x

，则关于x的不等式

2baxa2b≤0的解集是________

15.已知关于x的不等式组aa2ax≤3的整数解是1，0，1，2，则实数a的取值范围是________

16.某次射击比赛，甲队与乙队人数相同，甲队有9人得10环，其余人都得8环;乙队有6人得10环，6人得9环，其余人(非零人)都得7环.已知两队的平均环数相差不超过0.2环.求每个队人数的可能取值.

17.某公司计划用24辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共43吨到A地销售，每辆车必须载同一种水果，且必须满载，每类水果不少于1车.下表所示为装运甲、乙、丙三种水果到A地销售的重量及利润.如何安排装运使公司获利润w最大，并求出最大利润.

不等式与不等式组单元测试答题纸

(2)12.13.

附加题14.;15. 16.17.

答案：

25、x

5

426、2a<

27、设每个队有x人，

0.2x[109+8(x9)][106+96+7(x12)]0.2x， 10x15，且x>6+6=12， 每队人数可能取值是13，14，1

528、设甲、乙、丙三种水果分别装x，y，z辆车，

xyz24x190.5z1

，，z=2，4，6，8 

2xy1.5z43y50.5z1w=2×5x+7y+1.5×4z=10(190.5z)+7(50.5z)+6z=2252.5z 当z=2时，w有最大值220(万元)

第三篇：清华附中第12章全等三角形全章测试

第12章 《全等三角形》全章测试

学号：______________姓名：_____________分数：_____________

一、选择题(每题4分，共32分)

1.使两个直角三角形全等的条件是()

A、一锐角对应相等;B、两锐角对应相等;C、一条边对应相等;D、两条边对应相等.2.下列条件中，能够证明两个三角形全等的有()

①两边及其中一边上的中线对应相等;②两角及第三个角的角平分线对应相等;

③两个直角三角形任意两条对应边相等;④两个等腰三角形任意两条对应边相等

A、1个B、2个C、3个D、4个

3.若△ABC≌△DEF，△ABC的周长为100，AB=30，EF=25，则AC=()

A、55B、45C、30D、2

54.如图，OAOB，OCOD，O50，D35，则AEC等于()

A、60B、50C、45D、30

5.如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE交于O，连结AO，则图中共有全等的三角形的对数为()

A、2对 B、3对 C、4对D 、5对

6.如图，AB//DE，CD=BF，若△ABC≌△EDF，还需要补充的条件可以是()

A、AC=EFB、AB=DEC、∠B=∠ED、不用补充

O AB

D AC

第4题图第5题图第6题图

7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC

交BC于D，若BC=64，且BD：CD=9：7，

则点D到AB边的距离为()

A、18B、

32C、28D、2

4第7题图C D B

18.如图，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使P到OA、OB的距离都等于a，做法如下：

(1)作OB的垂线NH，使NH=a，H为垂足. (2)过N作NM∥OB.

(3)作∠AOB的平分线OP，与NM交于P. (4)点P即为所求. 其中(3)的依据是()

A.平行线之间的距离处处相等第8题图 B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上 C.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

D.到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上

二、填空题(每题4分，共16分)

9.如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，AB=5，CD=2，则△ABD的面积是______; 10.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，则∠EAB是____度 11.如图，△ABC≌△ADE，且∠EAB=120°，∠B=30°，∠CAD=10°，∠CFD=______° 12.如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为

第9题图第10题图第11题图第12题图

答题纸

三、解答题(第16题12分，其余每题10分，共52分)

13.如图，公园有一条“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在E,M,F处各有一个小石凳，且

BECF，M为BC的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上?说出你推断的理由

14.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.A

F

E

15.如图，AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC，试说明：BE=CF.

EB

D

C

16.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，

B，C，E在同一条直线上，连结DC.

(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母); (2)证明：DCBE.

D

图

1图

217.已知：如图，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE垂直BD交BD延长线于点E，

求证：∠DCE=∠CAD

四、附加题(共20分)

18.如图，在△ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，

则PB+PC与AB+AC的大小关系是什么?

19.如图，已知△

20.如图，已知：

ABC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD，求证：DC⊥AC.

B

C

D

CD=AB，∠BAD=∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC=2AE.

第四篇：2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试(1)

2017-2018学年八年级数学《勾股定理》 单元测试(1)

一、选择题(共13小题)

1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(

)

A.48 B.60 C.76 D.80 2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(

)

A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理

3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(

)

A.10 B.11 C.12 D.13 4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(

) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4

C.a=2，b=4，c=5

D.a=3，b=4，c=5 5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(

) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，

，

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(

)

第1页(共20页)

A.5 B. C. D.5或

7.设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(

) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (

)

A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(

)

A. B. C. D.

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(

)

A.2 B.4 C. D.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(

) A.只有1个 B.可以有2个

C.有2个以上，但有限 D.有无数个

12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(

) A.1 B.1或 C.1或

D.

或

第2页(共20页)

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(

)

A. B. C.2 D.

二、填空题(共15小题)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 .

15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 .

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S

1、S

2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= .

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 .

第3页(共20页)

18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= .

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 .

20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 .

21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 cm.

22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .

第4页(共20页)

第14章 勾股定理

参考答案与试题解析

一、选择题(共13小题)

1.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是(

)

A.48 B.60 C.76 D.80 【考点】勾股定理;正方形的性质.

【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE求面积.

【解答】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8， ∴在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2=100， ∴S阴影部分=S正方形ABCD﹣S△ABE， =AB2﹣×AE×BE =100﹣×6×8 =76. 故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质.关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解.

2.如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是(

)

第5页(共20页)

A.黄金分割 B.垂径定理 C.勾股定理 D.正弦定理 【考点】勾股定理的证明. 【专题】几何图形问题.

【分析】“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明. 【解答】解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理. 故选：C.

【点评】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明.

3.如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC.若DE=10，AE=16，则BE的长度为何?(

)

A.10 B.11 C.12 D.13 【考点】勾股定理;直角三角形斜边上的中线.

【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半这一性质可求出AB的长，再根据勾股定理即可求出BE的长. 【解答】解：∵BE⊥AC， ∴△AEB是直角三角形， ∵D为AB中点，DE=10， ∴AB=20， ∵AE=16， ∴BE==12，

第6页(共20页)

故选C.

【点评】本题考查了勾股定理的运用、直角三角形的性质：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，题目的综合性很好，难度不大.

4.下列四组线段中，能组成直角三角形的是(

) A.a=1，b=2，c=3 B.a=2，b=3，c=4

C.a=2，b=4，c=5

D.a=3，b=4，c=5 【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解：A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误; D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确. 故选D.

【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键.

5.下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是(

) A.1，2，3 B.2，3，4 C.4，5，6 D.1，【考点】勾股定理的逆定理.

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可.

【解答】解：A、12+22≠32，不能组成直角三角形，故错误; B、22+32≠42，不能组成直角三角形，故错误; C、42+52≠62，不能组成直角三角形，故错误; D、12+(故选D.

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断.

6.一直角三角形的两边长分别为3和4.则第三边的长为(

)

第7页(共20页)

，

)2=()2，能够组成直角三角形，故正确.

A.5 B. C. D.5或

【考点】勾股定理. 【专题】分类讨论.

【分析】本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边，故应该分情况进行分析. 【解答】解：(1)当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5， (2)当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为故选：D.

【点评】题主要考查学生对勾股定理的运用，注意分情况进行分析.

7.(2013•德宏州)设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是(

) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3

，

【考点】勾股定理. 【专题】压轴题.

【分析】由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值.

【解答】解：∵三角形的周长为6，斜边长为2.5， ∴a+b+2.5=6， ∴a+b=3.5，①

∵a、b是直角三角形的两条直角边， ∴a2+b2=2.52，② 由①②可得ab=3， 故选D.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用.

8.如图，若∠A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m) (

)

第8页(共20页)

A.34.64m B.34.6m C.28.3m D.17.3m 【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形.

【分析】首先计算出∠B的度数，再根据直角三角形的性质可得AB=40m，再利用勾股定理计算出BC长即可.

【解答】解：∵∠A=60°，∠C=90°， ∴∠B=30°， ∴AB=2AC， ∵AC=20m， ∴AB=40m， ∴BC=故选：B.

【点评】此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

9.如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN.若四边形MBND是菱形，则等于(

) =

=

=20

≈34.6(m)，

A. B. C. D.

【考点】勾股定理;菱形的性质;矩形的性质.

【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系. 【解答】解：∵四边形MBND是菱形，

第9页(共20页)

∴MD=MB.

∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=90°.

设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，(x、y均为正数). 在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=(2x﹣y)2， 解得x=y， ∴MD=MB=2x﹣y=y，

∴==.

故选：C.

【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理.解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用.

10.如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为(

)

A.2 B.4 C. D.

【考点】勾股定理.

【分析】连接AE，求出正六边形的∠F=120°，再求出∠AEF=∠EAF=30°，然后求出∠AEP=90°并求出AE的长，再求出PE的长，最后在Rt△AEP中，利用勾股定理列式进行计算即可得解. 【解答】解：如图，连接AE，

在正六边形中，∠F=×(6﹣2)•180°=120°， ∵AF=EF，

∴∠AEF=∠EAF=(180°﹣120°)=30°， ∴∠AEP=120°﹣30°=90°， AE=2×2cos30°=2×2×=

2，

第10页(共20页)

∵点P是ED的中点， ∴EP=×2=1， 在Rt△AEP中，AP=故选：C.

=

=

.

【点评】本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

11.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值(

) A.只有1个 B.可以有2个

C.有2个以上，但有限 D.有无数个 【考点】勾股定理;相似三角形的判定与性质. 【专题】分类讨论.

【分析】两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，即已知边均为直角边或者8为斜边，运用勾股定理分别求出第三边后，和另外三角形构成相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【解答】解：根据题意，两条边长分别是6和8的直角三角形有两种可能，一种是6和8为直角边，那么根据勾股定理可知斜边为10;另一种可能是6是直角边，而8是斜边，那么根据勾股定理可知另一条直角边为.

所以另一个与它相似的直角三角形也有两种可能， 第一种是第二种是故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理和三角形相似的有关知识.本题学生常常漏掉第二种情况，是一道易错题.

第11页(共20页)

，解得x=5; ，解得x=

.所以可以有2个.

12.在等腰△ABC中，∠ACB=90°，且AC=1.过点C作直线l∥AB，P为直线l上一点，且AP=AB.则点P到BC所在直线的距离是(

) A.1 B.1或 C.1或

D.

或

【考点】勾股定理;平行线之间的距离;等腰直角三角形. 【专题】压轴题.

【分析】如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E，可得四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC;等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，所以，可求出BC=1，AB=在直角△AEP中，可运用勾股定理求得DP的长即为点P到BC的距离. 【解答】解：①如图，延长AC，做PD⊥BC交点为D，PE⊥AC，交点为E， ∵CP∥AB，

∴∠PCD=∠CBA=45°， ∴四边形CDPE是正方形， 则CD=DP=PE=EC，

∵在等腰直角△ABC中，AC=BC=1，AB=AP， ∴AB=∴AP=; =，

，又AB=AP;所以，∴在直角△AEP中，(1+EC)2+EP2=AP2 ∴(1+DP)2+DP2=(解得，DP=

②如图，延长BC，作PD⊥BC，交点为D，延长CA，作PE⊥CA于点E， 同理可证，四边形CDPE是正方形， ∴CD=DP=PE=EC，

同理可得，在直角△AEP中，(EC﹣1)2+EP2=AP2， ∴(PD﹣1)2+PD2=(解得，PD=故选D.

第12页(共20页)

)2，

;

)2，

;

【点评】本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答;考查了学生的空间想象能力.

13.如图，四边形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面积是(

)

A. B. C.2 D.

【考点】勾股定理;含30度角的直角三角形. 【专题】计算题.

【分析】如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.构建矩形AEFD和直角三角形，通过含30度角的直角三角形的性质求得AE的长度，然后由三角形的面积公式进行解答即可. 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F.设AB=AD=x. 又∵AD∥BC，

∴四边形AEFD是矩形， ∴AD=EF=x.

在Rt△ABE中，∠ABC=60°，则∠BAE=30°，

第13页(共20页)

∴BE=AB=x， ∴DF=AE==x，

在Rt△CDF中，∠FCD=30°，则CF=DF•cot30°=x. 又∵BC=6，

∴BE+EF+CF=6，即x+x+x=6， 解得 x=2 ∴△ACD的面积是： AD•DF=x×故选：A.

x=

×22=

，

【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积以及含30度角的直角三角形.解题的难点是作出辅助线，构建矩形和直角三角形，目的是求得△ADC的底边AD以及该边上的高线DF的长度.

二、填空题(共15小题)

14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8).以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为 (4，0) .

【考点】勾股定理;坐标与图形性质.

【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，因为OC=AC﹣AO，所以OC求出，继而求出点C的坐标.

【解答】解：∵点A，B的坐标分别为(﹣6，0)、(0，8)， ∴AO=6，BO=8， ∴AB= =10，

第14页(共20页)

∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧， ∴AB=AC=10， ∴OC=AC﹣AO=4， ∵交x正半轴于点C， ∴点C的坐标为(4，0)， 故答案为：(4，0).

【点评】本题考查了勾股定理的运用、圆的半径处处相等的性质以及坐标与图形性质，解题的关键是利用勾股定理求出AB的长.

15.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9

，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为 6 .

【考点】勾股定理;等腰直角三角形;锐角三角函数的定义.

【分析】根据等腰直角三角形的性质可求AC，BC的长，在Rt△ACD中，根据锐角三角函数的定义可求CD的长，BD=BC﹣CD，代入数据计算即可求解. 【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，CA=CB，AB=9∴CA2+CB2=AB2， ∴CA=CB=9，

∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=3，

∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6. 故答案为：6.

，

【点评】综合考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，线段的和差关系，难度不大.

16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)).图(2)由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S

1、S

2、S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3= 12 .

第15页(共20页)

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出CG=KG，CF=DG=KF，再根据S1=(CG+DG)2，S2=GF2，S3=(KF﹣NF)2，S1+S2+S3=12得出3GF2=12. 【解答】解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形， ∴CG=KG，CF=DG=KF， ∴S1=(CG+DG)2 =CG2+DG2+2CG•DG =GF2+2CG•DG， S2=GF2，

S3=(KF﹣NF)2=KF2+NF2﹣2KF•NF，

∴S1+S2+S3=GF2+2CG•DG+GF2+KF2+NF2﹣2KF•NF=3GF2=12， 故答案是：12.

【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出S1+S2+S3=3GF2=12是解题的难点.

17.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形.如果AB=10，EF=2，那么AH等于 6 .

【考点】勾股定理的证明.

【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b=2，解得a，b的值代入即可. 【解答】解：∵AB=10，EF=2，

第16页(共20页)

∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，

∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96，设AE为a，DE为b，即4×ab=96， ∴2ab=96，a2+b2=100，

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196， ∴a+b=14， ∵a﹣b=2， 解得：a=8，b=6， ∴AE=8，DE=6， ∴AH=8﹣2=6. 故答案为：6.

【点评】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值.

18.如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE= 3 .

【考点】勾股定理;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的性质.

【分析】根据等腰三角形的性质可知：两腰上的高相等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长.

【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC， ∴AD=BE=4， ∵AB=5， ∴AE=故答案为：3.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单.

=3，

第17页(共20页)

19.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是 10 .

【考点】勾股定理.

【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积.

【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，于是S3=S1+S2， 即S3=2+5+1+2=10. 故答案是：10.

【点评】本题考查了勾股定理的应用.能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积.

20.在△ABC中，∠C=90°，AB=7，BC=5，则边AC的长为 2【考点】勾股定理. 【专题】计算题.

【分析】根据勾股定理列式计算即可得解. 【解答】解：∵∠C=90°，AB=7，BC=5， ∴AC=故答案为：2

.

=.

=2.

第18页(共20页)

【点评】本题考查了勾股定理的应用，是基础题，作出图形更形象直观.

21.如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，矩形ABCD的周长是20cm，AE=5cm，则AB的长为 4 cm.

【考点】勾股定理;矩形的性质.

【分析】设AB=x，则可得BC=10﹣x，BE=BC=即求出了AB的长.

【解答】解：设AB=x，则可得BC=10﹣x， ∵E是BC的中点， ∴BE=BC=，

)2=52，

，在Rt△ABE中，利用勾股定理可得出x的值，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+(解得：x=4. 即AB的长为4cm. 故答案为：4.

【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理的知识，解答本题的关键是表示出AB、BE的长度，利用勾股定理建立方程.

22.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形与大正方形的面积之比为1：13，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比值为 .

第19页(共20页)

【考点】勾股定理的证明. 【专题】计算题.

【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据(a+b)2=a2+2ab+b2即可求得(a+b)的值;则易求b：a. 【解答】解：∵小正方形与大正方形的面积之比为1：13， ∴设大正方形的面积是13，边长为c， ∴c2=13， ∴a2+b2=c2=13， ∵直角三角形的面积是

=3，

又∵直角三角形的面积是ab=3， ∴ab=6，

∴(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+2×6=13+12=25， ∴a+b=5.

∵小正方形的面积为(b﹣a)2=1， ∴b=3，a=2， ∴=. 故答案是：.

【点评】本题考查了勾股定理以及完全平方公式，正确表示出直角三角形的面积是解题的关键.

第20页(共20页)

第五篇：八年级数学第十七章勾股定理单元测试-常考试题

人教版八年级数学下册第十七章

勾股定理

单元测试-常考试题

一、选择题（每小题5分，共40分）

1.下列说法正确的是(　　　)

A.若a，b，c是△ABC的三边，则a2

+

b2

=

c2

B.若a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2

+

b2

=

c2

C.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A

=

90°，则a2

+

b2

=

c2

D.若a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A

=

90°，则c2

+

b2

=

a2

2.如图，做一个长80厘米、宽60厘米的长方形木框，需在相对角的顶点钉一根加固木条，则木条的长为(　　　)

A.90厘米

B.100厘米

C.105厘米

D.110厘米

3.下列几组数中，为勾股数的一组是(　　　)

A.0.3，0.5，0.4

B.

-

15，8，7

C.21，45，20

D.15，20，25

4.历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形:其中两个全等的直角三角形边AE，EB在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是(　　　)

A.S△EDA=

S△CEB

B.

S△EDA

+

S△CEB

=

S△CDE

C.

S四边形CDAB

=

S四边形CDEB

D.

S△EDA

+

S△GDE

+

S△CEB

=

S四边形ABCD

5.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是(　　　)

A.b2

=

c2

-

a2

B.a:b:c

=

3:4:5

C.∠C

=

∠A

-

∠B

D.∠A:∠B:∠C

=

7:24:25

6.如图，若∠BAD

=

∠DBC

=

90°，AB

=

3，AD

=

4，BC

=

12，则CD

=

(　　　)

A.5

B.13

C.17

D.18

7.一个圆柱形的油桶高120

cm，底面直径为50

cm，则桶内所能容下的最长的木棒长为(　　　)

A.5

cm

B.100

cm

C.120

cm

D.130

cm

8.如图，若圆柱的底面周长是30

cm，高是40

cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处作装饰，则这条丝线的最小长度是(　　　)

A.80

cm

B.70

cm

C.60

cm

D.50

cm

二、填空题（每小题5分，共30分）

9.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且b2

-

a2

=

c2，则

_________

是直角.

10.

如图，在长方形纸片ABCD中，AB

=

4，BC

=

6.将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_________.

11.某天我国海监船驶向钓鱼岛海域执法时，海监船甲以15海里/时的速度离开港口向北航行，海监船乙同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距

_________

海里.

12.小红要求△ABC中最长边上的高，测得AB

=

8

cm，AC

=

6

cm，BC

=

10

cm，则可知最长边上的高是

_________

.

13.一渔船从点A出发，向正北方向航行5千米到B点，然后从B点向正东方向航行12千米至C点，则AC长为

_________千米.

14.如图，长方体的高为3

cm，底面是正方形，边长为2

cm，现有一苍蝇从A点出发，沿长方体的表面到达C点处，则苍蝇所经过的最短距离为

_________

.

三、解答题（7

+

7

+

8

+

8

=

30分)

15.已知等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，求等腰三角形的腰长.

16.如图所示是一农民建房时挖出地基的平面图，按标准为长方形，挖完后测得AB

=

CD

=

8

m，AD

=

BC

=

6

m，对角线AC

=

9.2

m，请你帮他判断一下挖的地基是否合格，并说明理由.

17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足c

+

a

=

2b，c

-

a

=

1

2

b，则△ABC是直角三角形吗?为什么?

18.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:小汽车在城市道路上行驶速度不得超过70

km/h.如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30

m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50

m.这辆小汽车超速了吗?