北京林业大学高等数学

第一篇：北京林业大学高等数学

大学高等数学 下考点分类

08-12年高等数学下考点分类

一、偏导数的几何应用

1.

[12]求曲面在点处的切平面和法线方程

解:

令，则

从而切点的法向量为

从而切平面为

法线方程为

2.

[08]设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数

解：方程组两端对求导，得

把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为

所求方向导数为

3.

[08]给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点。

证：令，则

从而曲面在点处的切平面为

，其中为动点。

显然时成立，故切平面均过。

二、多元函数的极限、连续、可微

1.

[12]证明函数在点不连续，但存在有一阶偏导数。

证明：因为

与有关，故二重极限不存在，因而由连续定义函数在点不连续。

又

，

或

，或

于是函数在点存在有一阶偏导数。

2.

[11]设函数。试证在点处是可微的

解

用定义求出

3.

[10]证明：在点(0,0)处连续，与存在，但在(0,0)处不可微。

解：(1)

4.

[09]

5.

[08]

函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的

必要

条件(填必要、充分或充要)，又是它在该点有方向导数的

充分

条件(填必要、充分或充要)

三、复合函数求导

1.

[12]设，则

0

2.

[12]设,则

3.

[12]设,

求

解

令，则

，于是用公式得

4.

[11]设,

则

5.

[11]设可微，且，则

6.

[11]设，其中可微，证明

证明

由于

7.

，将变换为下的表达式。

解：

8.

[09]

9.

[09]

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求。

解：

10.

[09]

求由方程组所确定的及的导数及。

解：

11.

[08]

设有连续偏导数，则

12.

[08]

设，求

解：两边取微分，得

从而，

四、多元函数的极值

1.

[12]在曲面上找一点，使它到点的距离最短，并求最短距离。

解

设点为，则

等价于求在约束之下的最小值。令

且由

解得驻点，最短距离为

2.

[11]若函数在点处取得极值，则常数

3.

[11]设长方形的长、宽、高分别为，且满足，求体积最小的长方体。

解

令，2

由，求出唯一驻点6

由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为37

4.

5.

[09]

求函数在圆域的最大值和最小值。

解：方法一：当时，找驻点

，得唯一驻点

当时，是条件极值，考虑函数

，解方程组

可得

所求最大值为，最小值为。

方法二：设，则且，这变成一个简单的线性规划问题。最大值为4，最小值为。

方法三：圆域可写成

最大值为4，最小值为。

[08]

设，则它有极小值

五、梯度、方向导数

1.

[12]函数在点处沿指向点方向的方向导数

2.

3.

[09]

求二元函数在点处沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快?沿哪个方向值不变?

4.

六、二重积分

1.

[12]

设是所围成的区域,

则

2.

[12]计算二重积分，其中

3.

[12]设函数在内有连续的导数，且满足。求

解

用极坐标

两边求导得，标准化为

于是

由得，故

4.

[11]计算二重积分，其中D是顶点为的三角形闭区域。

解:

5.

[09]

交换二次积分的积分次序：

。

6.

[09]

求锥面被柱面割下部分曲面面积。

解：

7.

[09](化工类做)

计算二重积分，其中为圆域。

8.

[08]

交换二次积分的积分次序

9.

[08]

求球面含在圆柱面内部的那部分面积

解：上半球面的部分为

七、三重积分

1.

[12]设为两球的公共部分，计算三重积分

解

由

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，

当时用垂直于轴的平面截区域得到截面为圆域，

于是分段先二后一积分，得

2.

[10]计算三重积分，其中是由所围成的闭球体.

解：

4’

4’

3.

[09]

计算。

解：此三重积分积分区域在面上的投影为，即圆域的上半部分，设此部分为，则

原式

4.

[08]

计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域.

解：由对称性

从而

八、曲线积分

1.

[12]设是抛物线介于点与点之间的那一段弧段，则曲线积分

2.

计算曲线积分，其中为摆线从点到点的弧。

解

由于

补两条直线是逆向的闭曲线，故

原式

或由曲线积分与路径无关，直接得

原式得

或取，由曲线积分与路径无关，直接得，原式

或者由是全微分表达式，凑微分，因

及

得

原式

3.

[11]假设L为圆的右半部分，则

4.

[11]计算,

其中是椭圆的正向一周

解:

由格林公式

5.

[11]计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点，为终点的光滑曲线

解

2

所求解问题与路径无关，选折线

7

6.

7.

8.

[10]计算

9.

.[10]计算

10.

[09]

11.

[09]

计算曲线积分，其中表示包含点在内的简单闭曲线，沿逆时针方向。

解：在的内部作圆并取逆时针方向，

的参数方程为

由格林公式有

12.

[08]

计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。

解：由于，

从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关

取路径，

九、曲面积分

1.

[12]

计算曲面积分

，式中是上半球面的上侧

解

补一个平面，取下侧，则原式

另法(看看:

归一化，多次换元够烦的)

即，上半球面指向上侧法线为，从而

,

原式=

2.

[12]

求曲面包含在圆柱面内那部分(记为)的面积。

解

记为在部分的面积，

或者

3.

计算,

其中是平面被圆柱面截出的有限部分

解

由题意或

从而

4.

计算曲面积分,其中为柱面介于与之间的在第一卦限部分的前侧.

解

补平面区域取上侧，

取下侧，

取左侧，

取后侧。与原来曲面形成封闭曲面的外侧,

围成由高斯公式

故

原式

5.

[10]

计算

6.

[10]

计算曲面积分其中为上半球面的上侧。

7.

[09]

向量场的散度为。

8.

[09]

计算曲面积分，其中是半球面的上则。

解：设为，并取下则，是围成的区域，由高斯公式得原式

9.

[08]

向量场的散度为.

向量场的旋度为.

10.

[08]

设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分

0

，

11.

[08]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧

解：取上侧，则原式

十、微分方程

1.

[12]求定解问题的解

解

标准化

，由标准方程的解的公式，得

由初值条件，有，于是特解为

2.

[12]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程为，解得特征根

非齐次项，与标准形式比较，从而得是单根，从而，可设特解为，从而，

，代入原来的微分方程，得

即

于是根据解的结构定理得，所求通解为

3.

[11]求微分方程的通解

解

方程即

4.

[11]求微分方程的通解

解

对应的齐次方程的特征方程为

对照非齐次项的标准形式不是特征根，故

特解的待定形式为，代入非齐次方程，得

从而原方程的通解为

5.

求解微分方程初值问题

解

是一个特解2

故通解为4

由，又

从而特解为6

6.

[10]设都是方程的解，则该方程的通解为

7.

[10]求微分方程的通解。

8.

[10]求微分方程的通解。

9.

[10]求微分方程

10.

[10]

求微分方程的通解。

11.

[09]

求如下初值问题的解

解：此为可降阶微分方程第三种类型。

设，则，原方程化为

变量分离两边积分得

由可得

解可得，

由可得

所求解为：。

12.

[09]

求方程的通解。

解：先求的通解，解特征方程得特征根，所以

的通解为

因为是单特征根，所以原方程有特解形式，代入原方程得

原方程通解为

13.

[08]

求微分方程的通解

解：，

，

14.

[08]

计算满足下述方程的可导函数，

解：原方程两端求导得

即，这是标准的一阶线性微分方程

原方程令得，代入通解得，从而

15.

[08]求解初值问题

解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为，

特征根为，从而对应通解为

容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为

从而，由初值条件可得。

因此

十一、级数

1.

[12]判别无穷级数的收敛性。

解

由于，故

而是收敛的的级数的常数倍，从而收敛。由正项级数的比较判别法可知无穷级数收敛。

2.

[12]求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性。

解

比较标准幂级数，得

，

从而收敛半径为，收敛区间为

当时幂级数化为正项级数，

由于，从而与调和级数一样发散;当时幂级数化为交错级数，不绝对收敛，但，前一部分条件收敛，而后一部分减去的级数为正项级数，由于而收敛，从而由收敛级数的性质，当时幂级数收敛。

3.

[12]将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间。

解

利用，

从而

4.

[11]求幂级数的收敛域.

解

2

当时，由于，级数发散，3

当时，由于，由交错级数的莱布尼茨判别法知该级数收敛，5

故幂级数收敛域为6

5.

[11]将函数展开成麦克劳林级数，并确定其成立的区间.

解

由于，

3

从而7

6.

[11]设函数是以为周期的函数，，将其展开成余弦级数，并确定其成立的范围。.

解:

，1

5

所以

7

7.

[10]求幂级数的收敛域。

8.

[10]将函数展开成迈克劳林级数，并确定其成立区

9.

[10]

设函数是以为周期的周期函数，它在尚的表达式为，将其展开成傅里叶级数，并确定其成立范围。

10.

[09]

证明阿贝尔定理：如果幂级数收敛，则适合不等式的一切幂级数都绝对收敛;如果幂级数发散，则适合不等式的一切使幂级数发散。

11.

[09]

将函数展成余弦级数。

12.

[09]

求幂级数的收敛半径和收敛域。

13.

[08]

设且，试根据的值判定级数的敛散性。

14.

[08]

设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将展开成傅里叶级数。

15.

[08]

设，证明满足微分方程，并求。

第二篇：大学课件 高等数学期末复习资料

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

总分

得分

一、单项选择题（15分，每小题3分）

1、当时，下列函数为无穷小量的是(

)

(A)

(B)

(C)

(D)

2.函数在点处连续是函数在该点可导的(

)

(A)必要条件

(B)充分条件

(C)充要条件

(D)既非充分也非必要条件

3.设在内单增，则在内(

)

(A)无驻点

(B)无拐点

(C)无极值点

(D)

4.设在内连续，且，则至少存在一点使(

)成立。

(A)

(B)

(C)

(D)

5.广义积分当(

)时收敛。

(A)

(B)

(C)

(D)

二、填空题（15分，每小题3分）

1、若当时，，则

;

2、设由方程所确定的隐函数，则

;

3、函数在区间

单减;

在区间

单增;

4、若在处取得极值，则

;

5、若，则

;

三、计算下列极限。

(12分，每小题6分)

1、2、

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

1、，求

2、，求

五、计算下列积分（18分，每小题6分）

1、2、

3、设，计算

六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

(7分)

七、证明不等式：当时，

(7分)

八、求由曲线所围图形的面积。

(7分)

九、设在上连续，在内可导且.

证明：至少存在一点使

四川理工学院试题(A)

参考答案及评分标准

(2005至2006学年第一学期)

课程名称：高等数学

一、单项选择题（15分，每小题3分）

1.B

2.A

3.C

4.A

5.A

二、填空题（15分，每小题3分）

1.

a=2

2.

3.

(0,

2)单减，(，)单增。

4.

5.

a=2

三、计算下列极限。

(12分，每小题6分

1.解。原式=

(6分)

1.解。原式=

(6分)

四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）

1

解。

2.解。

五、计算下列积分（18分，每小题6分）

1

解。

原式=

2.解。原式=

六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

(7分)

所以当时，函数连续。

当时，，所以

是函数的间断点。

5分

且

，所以是函数的无穷间断点。

7分

七、证明不等式：当时，

(7分)

>0时

>0，所以单增。

5分

>0时

>，即：

证毕。

7分

八、求由曲线所围图形的面积。

(7分)

解：如图所示：(略)

九、设在上连续，在内可导且.

证明：至少存在一点使

(7分)

证明：设

，显然在在上连续，在内可导(3分)

并且

,由罗尔定理：至少存在一点使

而

，

(6分)

即：

证毕。

第三篇：大学 高等数学 竞赛训练 导数、微分及其应用

导数、微分及其应用训练

一、（15分）证明：多项式无实零点。

证明：用反证法证明，设存在实根，则此根一定是负实根(因为当时，)。假设，则有。因为

由此可得，但是，这是一个矛盾。所以多项式无实零点。

二、（20分）设函数在上具有连续导数，在内二阶可导，证明：存在，使得

证明：设。对函数在区间上运用拉格朗日中值定理可得，存在使得

再对函数在区间运用拉格朗日中值定理，存在使得

由此可得

三、（20分）设是二阶可微函数，满足，且对任意的有

证明：当时，。

证明：因为，

设，则有

因此当时，

当时，。

四、（15分）设函数是可微函数，如果，证明：仅为的函数。

证明：考虑球面坐标，其中，

则有，因为

所以仅为的函数。

五、（15分）设在点处可导，且。

证明：

证明：因为在点处可导，所以

又因为，所以，由此可得

六、(15分)设函数具有三阶连续导数，并且对任意的，都为正值，并且。

证明：对任给的有。

证明：任取数，构造函数

因为，并且只有，所以

任取正数，则有

利用拉格拉日中值定理，存在使得，

所以有

又因为，所以

当时有，

由的任意性可得对任给的有。

七、

第四篇：高等数学A课程教学大纲-北京师范大学数学科学学院

大学数学(B)

Undergraduate Mathematics (B)

【课程编号】(必备项) 【学分数】(12) 【学时数】(216)

【课程类别】(学科基础课) 【适用专业】(化生电体等) 【编写日期】(2007-5-24)

一、 教学目标

目前，我国非数学专业大学数学课程教学大体上分为三类四级：理科类 (大学数学A)、工科类 (含大学数学B和大学数学C)、文科类 (大学数学D)。它是为培养我国社会主义现代化建设在各个领域所需要的高质量专门人才而设立，其中大学数学(B)是工科类本科对数学要求较高的专业学生必修的一门重要基础理论课。通常适合如下专业：化学、电子商务、工商管理、会计、资源环境、环境工程、环境系统、资源环境与工程、信息管理系统、人力资源、公共卫生、体育经济等。

通过对大学数学(B)的学习要使学生掌握以下内容：

1、函数与极限;

2、一元函数微积分;

3、空间解析几何;

4、多元函数微积分;

5、无穷级数;

6、常微分方程;

7、线性代数(某些专业还需要概率统计)等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在教授这些知识的过程中，要通过各个教学环节和各种教学手段有意识地、有目的地逐步培养学生的实际运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力和自学创新能力，尤其还要注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容和学时分配

本课程安排分大学数学B(I)和B(II)两学期授课，总学时为216= 108+108，学分为12=6+6。

(一)总论(或绪论、概论等)

学时(课堂讲授学时+课程实验学时)

选词说明：在下面的表述中，对课程教学基本内容的要求由低到高的用词通常为：“了解”、“会„”、“理解”、“掌握”、“熟悉”等。

1 具体含义解释如下：

了解：能描述所讲内容的大概意思、用途和用法，能知道这些内容的出处并在需要时能随时查找出来。

会„：在对所讲内容了解的基础上，还要会应用这些知识去解决一些比较简单的理论或实际问题。如会求、会用、会解、会算、会建立、会判断、会陈述、会举出„实例等等。

理解：对所讲内容能用自己的语言进行讲解或作出解释，并能提出为什么„的原因。在“会„”的基础上，对所得结果能进行正确的评价。

掌握：在对所讲问题理解的基础上，还要能举一反三，触类旁通;对内容的实质内涵能正确提取并加以区分;能从不同角度对内容作出正确解释;能用比较简单的方法解决一些比较复杂的问题，并对结果作出正确估计。

熟悉：能综合利用所掌握的知识对新问题进行全面、正确的分析研究并制定合理的解决方案或方法，获得正确结果，并对这些方法和结果进行总结推广。 打*号的内容未计学时也不作要求，学生可自学，老师可选讲。

(二)主要内容(BI)：(共108学时) 第一章

函数、极限、连续

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解函数的概念及函数的特性(奇偶性、单调性、周期性、有界性)。 2. 理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 4. 理解极限的概念(对于给出

求N或不作过高的要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

5. 理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。 6. 了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。 7. 理解函数的点连续和连续函数的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 8. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最值定理)。

第二章

一元函数微分学

学时28(课堂讲授22学时+课程实验与习题课6学时) 1. 理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些几何量和物理量。 2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3. 了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。

2 4. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 5. 理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

6. 会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最值应用问题。 8. 会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 9. 了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 *10. 了解求方程近似解的二分法和切线法。

第三章

一元函数积分学

学时30(课堂讲授22学时+课程实验与习题课8学时) 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2. 理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。 3. 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。

4. 掌握定积分的换元法和分部积分法。

5. 了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。 *6. 了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7. 掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

第四章

无穷级数

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2. 掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3. 了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4. 了解交错级数的莱布尼兹定理，*会估计交错级数的截断误差。

5. 了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6. 了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7. 掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。 8. 了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。

3 xe，sinx，cosx，ln(1x)(1x)9. 会用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

*10. 了解幂级数在近似计算上的简单应用。

*11. 了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(，)和(l，l)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。

第五章

常微分方程

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时)

1. 了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2. 掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。

3. 会解全微分方程。

(n)4. 会用降阶法简化下列方程：yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5. 理解二阶线性微分方程解的结构。

6. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7. 会求自由项形如P(n)(x)e、e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微

xx分方程的特解。 8. 会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

(三)主要内容(BII)：(共108学时) 第六章

向量代数与空间解析几何

学时18(课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时) 1. 理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。 2. 掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 3. 掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。 4. 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5. 了解空间曲线的参数方程和一般方程。 6. 了解曲面的交线在坐标平面上的投影。

4 第七章

多元函数微分学

学时16(课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时)

1. 理解多元函数的概念。

2. 了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3. 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4. 了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5. 掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 6. 会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。 7. 了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 8. 了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最值应用问题。

第八章

多元函数积分学

学时26(课堂讲授20学时+课程实验与习题课6学时)

1. 理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。 *3. 理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。

*4. 掌握格林(Green)公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件。

*5. 了解两类曲面积分的概念及高斯(Guass)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的计算公式。 7. 会用重积分(*曲线积分及曲面积分)求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

第九章

线性代数

学时48(课堂讲授38学时+课程实验与习题课10学时)

1.会求全排列的逆序数，了解对换的性质;理解行列式的定义，熟悉

二、三阶行列式的计算。

2.掌握行列式的运算性质和展开性质;熟悉克莱姆法则。

3.了解矩阵的定义，掌握矩阵的运算法则;会判别方阵的可逆性并掌握可逆矩阵求逆的方法。

4.了解矩阵的分块法及其运算性质。

5.了解向量的一般定义及其运算性质;掌握向量组的线性相关性及其判别法;会求向量组的秩和最大线性无关组。

6.掌握矩阵的初等变换法及其用途，了解初等方阵的定义及运算性质。

7.了解向量空间的有关定义，会求向量空间的维数和基并会用基生成该向量空间。

5 8.会判别线性方程组解的存在性，并能利用矩阵的初等行变换求解线性方程组。 9.了解向量的内积、方阵的特征值、特征向量及矩阵的相似性的定义，并会求方阵的特征值、特征向量，会判别相似矩阵的存在性。

10.掌握实对称矩阵的相似矩阵的计算法，尤其是对角化方法。会用实对称矩阵的对角化方法化二次型为标准型。会用配方法化二次型为标准型。

11.会判别矩阵及二次型的正定性。

*12.了解线性空间的定义与性质，理解线性空间的维数、基与坐标的概念。掌握基变换与坐标变换公式，熟悉线性变换及其矩阵表示式。

三、教材与学习资源：

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，《线性代数》第四版。同济大学应用数学系主编，高等教育出版社 参考书目：

1.《高等数学》上、下册，李天林编，北京师范大学出版社 2. 大学数学《一元微积分》，萧树铁主编，高等教育出版社

3. 大学数学《多元微积分及其应用》，萧树铁主编，高等教育出版社

4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育 出版社

5.《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学 出版社

6.王金金、李广民、于力编：《新编高等数学学习辅导》—— 配合同济高等数 学(第四版上、下)，西安电子科技大学出版社，1999. 7.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

8.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

9.《微积分(Calculus)(英文版)》，(美)Dale Varberg，Edwin J.Purcell，Steven E.Rigdon著，机械工业出版社

10.《Calculus》，Zhang Fengling，Yao Miaoxin，Zhang Yuhuan，Tianjin Unversity Press

四、先修课要求及教学策略与方法建议

要求学员先修完成初等数学课程; 教学策略精讲多练;

建议学员课前预习，课堂认真听讲，课后多练习。

五、考核方式：

闭卷考试 (120分钟)

北京师范大学数学科学院

蔡俊亮

2007年5月24日星期四

第五篇：华南理工大学高等数学教学课件2

第二节

数列极限

一、 整标函数与数列 ①

积分学的基本思想

高等数学的主要内容就是微积分学。积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。 怎样计算抛物线y积?

我们主要分四步处理

1)化整为零(分割)把所处理图形剪成很多小片; 2)近似代替(作乘积)把每一小片近似看着长方形; 3)积零为整(求和)把所有小片的近似面积加起来;

4)无限趋近(取极限)当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。(如图5)

131310.1481480.0348639,130.11458313,130.093333,,,13130.0787037,13130.0680272,x2和直线y0,x1所围成的平面图形的面,,0.01898420.0137603,,0.0099333,11,232n6n1容易看出，当n越来越大时，所求的近似面积会越来越接近(数

3列极限)，所以我们所求平面图形的面积为。

31②

数列的概念

以上我们得到的这一列数就称为数列。下面我们再看几个数列的例子：

11,,,,,,

2482111n (等比数列)

n1,1,1,1,1,,1,

ln1,ln2,ln3,ln4,,lnn,

数列我们通常记作an，其中an称为通项。如上面所提到的数列可分别记为

111232n6nn1,2,1n,lnn

其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。例如对于数列an对任意的自然数n有唯一的数an与之对应。所以数列有时也可以记作fn。当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。

二、极限的定义

对于数列an，我们称常数A是它的极限，是指当n越来越大时，对应的an越来越接近A。

这种说法很形象，但不够精确。当我们需要严格论证与极限有关的一些问题时，它的弊端就显露出来。例如要证明数列极限的唯一性这样一个简单命题都不太好说。

随着问题的深入，我们迫切需要一个精确的(量化的)数列极限的定义。这个定义最终由德国数学家魏尔斯特拉斯给出。

定义 ：如果数列an与A常数有下列关系，对任意给的正数(任意小)，总存在正数N，当nN时，不等式

anA成立，则称常数A是数列an的极限，或者称数列an收敛于A。记为

limanA 或 anAn

n注1 ：定义中的正数N是与任意给定的正数有关的，对任意给定的存在相应的N。

注2 ：对给定的对应的正整数N不唯一。 注3 ：数列的有限项的变化对其极限没影响。 例1 ：证明：lim3nn2n122n32。

0证明：对于任给(任意小)的3nn2n122

2n322n13225n2n252n

取N52，当nN时，有

3nn2n12232

所以limn3nn2n12232。

n1n0。

2例2 ：证明：limn证明：对于任给(任意小)的20

1n1n2n1n01212n

取N，当nN时，有

n1n02 所以limnn1n0。 2

例3 ：设0a1，证明：limann0。

1) 证明：对于任给(任意小)的0n(无妨设na0a

取Nloga，当nN时，有

a0n

na所以limn0。

注意：当0a1时，函数logax是递减函数。

三、数列极限的性质

性质1 ：(极限的唯一性)如果数A定有AB,B是数列an的极限，则一。

B证明 ：假设A。无妨设AN1时有

B，取AB2an。因为limnA，所以存在正数N1，当nanAAB2

an又因为limnB，因此存在正数N2，当nN2时有

anBAB2

取NmaxN1,N2，当nN时有

ABanBanAanBanAAB这是一个矛盾，从而证明AB成立。

如果对于数列an，存在一正数M，对任意的n都有

anM 则称数列an有界。否则称数列an无界。

性质2 ：(收敛数列的有界性)如果数列an收敛，那么数列an一定有界。

证明 ：设limannA，取1，则存在正数N，当nN时有

anA1

即有

anAanA1an1A

取

Mmaxa1,a2,,aN,1an

则对任意的n都有anM，即数列an有界。

性质3：(极限的保号性)如果数列性质an的极限为A，且A0，则存在正数N，当nN时，有an与A同号。

A2证明：无妨设A0，取当nNan，因为limnA，所以存在正数N，时有

anAA2

即有

A2anAA2anA20

N

性质4：如果数列性质an的极限为A。如存在一正数N，当n时，an0，则A0;如存在一正数N，当nN时，an0，则A0。

此命题是性质3的逆否命题。 思考题：性质4中的“

四、数列子列

,”能否换成“,”。 在数列中任意抽取无限项并保持这些项在原数列中的先后次序所得的新数列叫原数列的子数列。

定理：(收敛数列与子数列之间的关系)数列an收敛于A的充分必要条件是它的任一子数列都收敛于A。

作业：习题1—2：2题

1、2小题、4题、6题、7题。