例谈数学探究问题的设计

探究学习是新课程理念下的最重要的学习方式, 如何为学生提供探究材料是教师在探究式教学中必须面对的问题, 除可以直接从有关资料中获取相关材料外 (根据实际也要重新加工) , 更需要自己编拟、设计探究材料, 如何设计, 设计的方法、原则有哪些?以达到什么目的?笔者据此通过事例谈谈自己的认识和做法, 与大家共同商讨。

探究问题的设计应在明确教学要求的前提下完成, 要有利于学生通过亲身体验获得知识技能, 有利于学生主动学习、积极参与, 有利于学生能力的有效提升。在设计中要充分挖掘教材中问题的潜在功能, 由此引申、拓展、变通, 让学生视野更开阔, 认识更深刻, 创新能力得到进一步发展。

1 展示概念内涵, 在探究中完善学生认知结构, 实现感性到理性的升华

如在“反函数概念的理解”中, 可设计如下问题:

[例1]已知函数, 这个函数没有反函数, 为什么?

[探究1]请适当改变定义域使之存在反函数, 并写出反函数。

通过探究, 完善学生对反函数本质的理解, 只要改变定义域, 使每一y值仅有唯一的x值与之相对应即可。如:

(1) 反函数;

(2) 反函数;

(3) 反函数。

[探究2]函数y=x2-2ax+2在 (-∞, 1) 上有反函数的条件是什么?

[探究3]在上面的三个区间上函数都是单调函数。我们还可以继续提问:是否一切单调函数都有反函数?为什么?反过来, 有反函数的函数是否一定单调?你能否举一些例子。

概念类问题设计不必追求高难度, 防止冲淡主题。由于起点低、层次多, 答案不唯一, 策略多样化, 学生易下手, 基础差的学生也能进行自己的思考, 体验成功, 因此, 学生能积极参与, 使探究富有实效, 能体现“人人掌握数学, 不同的人学习不同的数学”的大众数学思想。

2 设计一题多解, 在探究中拓展思维空间, 在比较中优化解题途径

对同一个问题, 从多方位、多角度地进行分析、理解和反思, 充分提取已有知识信息, 合理挖掘题目的隐含条件, 就可以找到不同的解题途径, 拓宽思维广度, 优化解题思路。

[例2]如图1:过P (3, 4) 向圆O:引两切线, A, B为切点, 求直线A B的方程。

思路一:利用切线方程和圆的方程, 解方程组从而求出A、B两点坐标, 再用两点式。

思路二:求出A、B中一点, 用点斜式。

思路三:求出|OM|、|OP|, 用M分的比为λ, 求出M, 再用点斜式。思路四:用O、A、P、B四点共圆求出过O、A、P、B的圆的方程, 求出两圆的公共弦方程, 即为A B的直线。

思路五:用方程的观点求解, 设A、B的坐标为 (xA, yA) 、 (xB, yB) , 由, 得:, 又知 (xB, yB) 也满足此等式, 又过两点有且只有一条直线, 由方程的观点可知直线A B的方程, 即为

当然, 这样的材料更重要的是在课堂中如何组织学生进行探究, 要随机应变, 要恰当引导, 充分调动学生参与热情, 或许在你设计材料的基础上会有新的发现或突破。

3 设计一题多变, 在探究中寻求思维突破, 在变通中培养创新能力

我国数学家华罗庚指出:“‘人’之可贵于能创造性地思维。”改变会产生创造, 要通过对问题的变通和重组, 通过条件或结论的改变, 或特殊化或一般化, 或具体或抽象, 或变更问题的背景, 或回归为实际问题, 提升学生的观察、联想、类比、创新等探究能力。是发展学生创造性思维的重要途径。[例3]求曲线上与原点距离最近的点P的坐标。

在学生解决上述问题的基础上, 引导学生探究下列问题。

[探究1]在曲线上求一点M, 使此点到A (a, 0) 的距离最短, 并求最短距离。

解:设点M的坐标为 (x, y) , 则

若a≥1, 则当a=2时, , 这时点M的坐标为 (2, 0) ;

若a<1, 则当时x=a+1, 。这时点M的坐标为。本题应引导学生在探究中体会到a的变化对M的坐标的影响。认识到M点实质就是以A (a, 0) 为圆心且与抛物线相切圆与抛物线的切点。善于从数和形两方面理解。对a的讨论实质就是对圆心在抛物线内或抛物线外的讨论。这样有利于对探究2、探究3的探究的展开。将问题向纵深推进, 促进思维能力理性化、抽象化。

[探究2]抛物线与动圆没有公共点, 求a的取值范围。

让学生在探究中认识到:从数的角度看, 就是方程组无解, 从形的角度看, 就是抛物线上点到A (a, 0) 的距离大于1。[探究3]已知抛物线, 圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点, 求动圆半径r的取值范围。

[探究4]一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分, 它的函数解析式是, 在杯内放一个玻璃球, 要使球触及酒杯底部, 求玻璃球的半径r的取值范围。解由抛物线的对称性可知, 圆的圆心在y上, 又因为球触及酒杯底部, 所以圆与抛物线相切于顶点, 设圆的方程为:

要使 (*) 式有且只有一根y=0, 只需, 即玻璃球的半径的取值范围r≤1。

探究3实质是探究4数学模型, 探究4设置了新的问题情境, 有利于培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。

[探究5]是否存在同时满足下列条件的抛物线: (1) 准线是; (2) 顶点在轴x上; (3) 点O (0, 0) 到此抛物线上动点M的距离的最小值为。若存在, 有几条?并求出方程;若不存在, 说明理由。解题过程略。

与前面问题相比, 探究5是动抛物线定圆, 而前面问题是定抛物线动圆。并由封闭式变为探索式。

当然, 在探究教学过程中要鼓励学生大胆创新, 自主编拟, 激发学生的探求欲望, 在碰撞中产生思维的火花, 不仅让学生学会了知识, 更培养了他们认识事物的深刻性和敢于创新的开拓性, 开发学生的创新能力。

摘要：需要自己编拟、设计探究材料, 如何设计, 设计的方法、原则有哪些?以达到什么目的?要有利于学生通过亲身体验获得知识技能, 有利于学生主动学习、积极参与, 有利于学生能力的有效提升。在设计中要充分挖掘教材中问题的潜在功能, 由此引申、拓展、变通, 让学生视野更开阔, 认识更深刻, 创新能力得到进一步发展。

关键词：数学,探究问题,设计