分步乘法计数原理公式

第一篇：分步乘法计数原理公式

高中数学说课稿《分类加法计数原理与分步乘法计数原理》

一、本课教学内容的本质、地位、作用分析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破;运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。可见，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

二、教学目标分析 1.知识目标

使学生熟练掌握两个原理的内容、区别，能够灵活的应用两个原理解决常见的计数问题。 2.能力目标 在教学过程中，凸显两个原理发现的原始过程，使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理思维，在应用原理解决问题时，体会一般到特殊的演绎推理思维，从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力。 3.德育渗透目标

通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识，激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

三、教学问题诊断

两个原理的获得过程对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力，对于两个原理的应用，尤其是分类、分步的区别是认识上的难点，事实上，经验表明：有些学生一直到高考前都难以准确的区分好两个原理，教学始终牢牢把握这一难点也是重点展开。

四、本节课的教学特点以及预期效果分析

《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不是执行者，要求教师创造出班级气氛、创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表达自己的教育理念等等。

基于以上思想，本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式教学方式。教学内容以2010年南非世界杯相关问题背景为主线展开，辅以大量的实际例子，形成学生对于两个原理的发现、归纳、总结、应用、推广、再认识的过程。 具体而言，设置以下几个环节：

【创设情境、设疑激趣】

引入采用世界杯总场数的设问，引导学生发现逐个列举所有场数不易操作，从而引出研究计数问题的必要性并给出计数问题的含义。给出课题，指明探究方向。

【问题导学、研究分类加法计数原理】

先用世界杯网络测试的背景作为引例，启发学生放飞思维，联系生活实际，举类似的例子;再引导学生充分讨论，深入探究，寻求例子的共性，归纳、概括出分类加法计数原理;接着为了加深对于原理的认识，给出“原理”的含义，并进一步对原理的内容进行解释，强调“完成一件事”“分类”“加法”三个关键词;再通过实例引导学生推广原理;最后依然用世界杯的背景例子启发学生归纳出分类的基本原则：“不重不漏”。

【类比研究、研究分步乘法计数原理】

完全类比分类加法计数原理的研究思路，充分讨论，层层设问，得出原理，延伸推广，强调分步注意“步骤完整，步步相依”。

【典型例题、区分两个原理】

把课本上的书架三层有三种书分别若干本的例子，改编为三问：第一问求任取一本书的取法数，直接用分类加法计数原理即可解决;第二问求每层各取一本书的方法数，直接用分步乘法计数原理;第三问求取两本不同学科的书的方法数，需要先分类，再分步，体现了两个原理的综合应用。本题旨在同一背景下认识两个原理，区分两个原理，尤其区分“类”和“步”。然后先讨论，再和学生一起归纳出两个原理的联系和区别，填充表格。

【课下讨论探究】

设计了两个小题，分别是参赛、夺冠两个极易混淆的背景，需要学生课下充分讨论、探究，深思熟虑再解决，是课堂教学的延伸。

【布置作业、反思小结】

布置课后作业，小结内容，提炼归纳出利用两个原理解决计数问题的一般思路。最后指出：细微的生活中往往蕴涵着深刻的数学思想方法，利用数学工具研究缤纷多彩的世界充满了无限的乐趣!这就是数学的魅力!最后预祝大家都能学好数学、用好数学、欣赏数学、热爱数学!

通过以上设计，预期达到以下效果：使学生在对于两个原理的发现过程中，体会由特殊到一般的归纳推理思维;在应用原理解决实际问题的过程中，体会主动应用数学的意识;通过大量的老师举例、学生举例、典型例题，使学生熟练两个原理的应用，体会两个原理的广泛应用。

新的课程改革的理念侧重以下四个环节：以人为本;树立开放的大课程观;树立师生交往互动的平等观;强调整合构建新的课堂教学目标体系。本节课围绕以上四个环节紧密展开，力求通过对于两个原理的探究，提高学生数学素养，增强学习兴趣，优化学习习惯，提高数学能力。

第二篇：分类计数原理与分步计数原理教案

课题: 分类计数原理与分步计数原理

授课教师:孙琼芳 班级:高二(2)班 时间:第十二周星期四第二节 ◆教学目标

1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容. 2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题. 3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用. 4.提高分析问题、解决问题的能力. ◆ 教学重点

分类计数原理与分步计数原理. ◆ 教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理. ◆ 教学方法

启发引导式 ◆ 教学准备

多媒体课件 ◆ 教学过程

一.由实际问题引入课题

2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛.它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第

三、第四名.问一共安排了多少场比赛?

要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识.排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法.

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理.

二.讲授新课 问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

图示：

(分析略)

引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m

2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 + m2 + „ + mn

种不同的方法.

问题二：

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

(分析略)

从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：

所有走法

火车1——汽车1;火车1——汽车2;火车2——汽车1;火车2——汽车2; 火车3——汽车1;火车3——汽车2

在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.

分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N = m1×m2ׄ×mn

种不同的方法.

下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.

[例1] 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

(2)从书架的第

1、

2、3层各取1本书，有多少种不同的取法?

(解答略)

教师点评：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。

[例2]电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果?

(解答略)

教师点评：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用.一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.

三、课堂练习

1、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法?

2、某人有两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束?

3 .如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种?

思考:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条?

四、小结：

1. 本节课学习了分类计数原理与分步计数原理。

2. 分类计数原理与分步计数原理的共同点是什么?不同点是什么?

3.解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用.一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理.

五、布置作业：课本P87习题10.1 第

2、3题

六、思考题：将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可用,求不同的染色方法种数?

第三篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(三)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3

1.1 分类计数原理与分步计数原理(3)

教学目标

1、进一步理解两个计数原理，会区分“分类”与“分步”，

2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.

教学的重点与难点

1、分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

一.复习引入

1.什么是分类计数原理与分步计数原理? 二.举例应用

例

1、教材的P8面的例6。 例

2、教材的P9面的例7。 例

3、教材的P9面的例8。 例

4、教材的P9面的例9。 三.课堂练习：

1.已知直线方程Ax + By = 0，若从0，1，2，3，5，7这六个数字中每次取两个不同的数作为A、B的值，则表示不同直线的条数是( C) A.2 B.12

C.22

D.25 2.从1到200的自然数中，各个数位上都不含有数字8的自然数有多少? 解：分三类：一位数，两位数和三位数. 第一类：一位数中除8外符合要求的有8个(0除外);

第二类：两位数中，十位上数字除0和8外有8种情况，而个位数字除8外，有9种情况，共有8×9个符合要求;

第三类：三位数中，百位上数字是1的，十位和个位上数字除8外均有9种情况，共有9×9种，而百位数字上是2的只有200符合. 所以，从1到200不含数字8的自然数共有N = 8 + 8×9 + 9×9 + 1 = 162 (个). 3.集合A、B的并集A∪B = {a1，a2，a3}，当A≠B时，(A, B)与(B, A)视为不同的对，则这样的对(A, B)共有多少个? 解：按集合A分类. 第一类：A =时，B = {a1，a2，a3}，有2个;

第二类：A = {a1}时，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，有4个;A = {a2}或{a3}时，同理也分别有4个，共有12个;

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长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 第三类：A为双元素集合时，以A = {a1，a2}为例，B = {a3}，B = {a1，a3}，B = {a2，a3}，B = {a1，a2，a3}，共有8个;当A = {a1，a3}或{a2，a3}时情况相同，共有3×8 = 24(个);

第四类：A = {a1，a2，a3}时，B =，{a1}，{a2}，{a3}，{a1，a2}，{a1，a3}，{a2，a3}有7个，

∴共有14个. 共有2 + 12 + 24 + 14 = 52 (个). 4.用三只口袋装小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，另一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有多少种不同的取法? 解：第一类办法：取白球、黑球，共有5×6 = 30(种)取法;

第二类办法：取黑球、红球，共有6×7 = 42(种)取法; 第三类办法：取红球、白球，共有7×5 = 35(种)以法. 由分类加法计数原理知，共有30 + 42 + 35 = 107(种)不同的取法. 5.某文艺团体有10人，每人至少会唱歌或跳舞中的一种，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与跳舞的各1人，有多少种不同的选法?

解：首先求得只会唱歌的有5人，只会跳舞的有3人，既会唱歌又会跳舞的有2人. 第一类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从只会跳舞的3人中任选1人，共有5×3 = 15(种)不同的选法;

第二类方法：从只会唱歌的5人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有5×2 = 10(种)不同的选法;

第三类方法：从只会跳舞的3人中任选1人，从既会唱歌又会跳舞的2人中任选1人，共有3×2 = 6(种)不同的选法;

第四类方法：将既会唱歌又会跳舞的2人全部选出，只有1种选法. 由分类加法计数原理知，共有15 + 10 + 6 + 1 = 32(种)不同的选法.

四.课后作业

《习案》与《学案》

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第四篇：高二数学 分类计数原理与分步计算原理同步教案 新人教A版1

《分类加法计数原理和分步乘法计数原理》教案

李应钊

2009212042

一、教学目标

知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题。

过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力;通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣;通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

二、重点与难点

重点：理解分类加法原理与分步乘法计数原理;并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理与分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，能根据具体问题的特征，正确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决计数问题。

关键：使学生从实例分析和例题学习中，正确认识分类和分步的特征。

三、教学方法：

本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式的教学方式。 教学辅助手段：多媒体辅助教学。

四、教学过程

1.创设情境，激发兴趣。

2011年10月16日，第七届城市运动会在南昌开幕，其中乒乓球比赛项目17日至24日在“乒乓球市”新余举行，共有25支代表队参加比赛。问:(1)在男单比赛中，若采用小组单循环赛，已知第一小组有A、B、C、D、四人，那么第一小组共有多少场比赛，你能一一列举出来吗?(2)比赛分循环赛、淘汰赛、交叉赛，总共有多少场比赛?

2、实例分析，归纳概念

问题

1、从天津到大连，有四种交通工具供选择：汽车、火车、飞机、轮船。已知每天汽车有1班，火车有4班，飞机有2班，轮船有2班。问共有多少种走法? 设问1：从天津到大连按交通工具可分____类方法?

第一类方法, 乘汽车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第三类方法，乘飞机，有___ 种方法; 第四类方法，乘轮船，有___ 种方法; ∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法

设问2：如果完成一件事有四类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第4类方案中有m4种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

设问3:如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢? 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn

种不同的方法.称为分类加法计数原理，简称加法原理。

问题2：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从C村去D村的道路有3条(如图所示)。李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，一共有多少条线路可以选择?

设问1：(1)整个行程必须通过几个步骤? 第一步, 由A村到B村有___种方法 第二步, 由B村到C村有____种方法, 第三步, 由C村到D村有____种方法, ∴从A村到D村共有_______种方法。 引导学生类比归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.称为分步乘法计数原理，简称乘法原理

这两个原理有什么联系与区别?(学生归纳，教师随机板书)

分类计数与分步计数原理的区别和联系：

联系

加法原理

乘法原理

“完成一件事”的计数方法

完成一件事共有n类办法，关键

区别 词是“分类”

每类办法中的每一种方法都能

完成一件事共分n个步骤， 关键词是“分步”

各步中的任何一种方法都不能独立完独立完成这件事情。(类类独立) 成这件事情，只有每个步骤完成了，才

各类方法数相加

能完成这件事情。(步步关联) 各步方法数相乘

3、合作学习，形成认识

例

1、在1,2,3，……，200中，能够被5整除的数共有多少个? 教师设置如下问题：

 在本题中“完成一件事”指的是什么?  完成这件事是分类还是分步?具体怎么做?  根据什么原理计算得出结果是多少? 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5;

因此，把1,2,3，···，200中能够被5整除的数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个。

第二类：末位数字是5的数，一共有20个。

根据加法原理，在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有20+20=4个。

例

2、有一项活动，需在3名教师，8名男生和5名女生中选人参加。(1)若只需1人参加，有多少种选法?(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法?

教师组织三位学生合作解决问题，其中甲问乙答丙补充，引导甲问如下3个问题：

(1)在本题中“完成一件事”指的是什么? (2)完成这件事是分类还是分步?具体怎么做? (3)根据什么原理计算得出结果是多少? 乙作答，丙完善补充：

第(1)问：选一人参加活动，分三类。第一类:选一名教师，有3种;第二类：选一名男生，

有8种;第三类，选一名女生，有5种。由加法原理，共有N=3+8+5=16种选法。第(2)问：需选三人参加活动，分三步完成。第一步:选一名教师，有3种;第二步：选一名男生，有8种;第三步，选一名女生，有5种。由乘法原理，共有N=3×8×5=120种选法。

4、自主探究，深化理解

练习1：课本第5页练习并组织学生作答。

练习2：①在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?

②一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?

练习3：(课本练习拓展题)有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不科目同的书，有多少种取法?

5、总结反思，提高认识 你在本节课学到了什么? 一个中心问题：计数问题

两个基本原理：

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

三个思维关键:

1、明确完成一件事的含义;

2、分清分类(类类独立)与分步(步步关联);

3、分类、分步标准明确,分类不重不漏，分步步骤完整。

6、布置作业，知识拓展 P5习题1-1:第

3、

4、5题

附：板书设计

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理

例1

分步乘法计数原理

例2

第五篇：分类计数原理

例1. 现有7个苹果分给3个人，每人至少1个，问有多少种分法?

例2.

把一元钱换成角票，有几种换法(人民币角币票有五角、二角、一角三种)? 例4. 直线上有五个点A、B、C、D、E，那么以其中每两点为端点的线段有多少条?

例4. 把12支铅笔分给三个人，每个人都得偶数支且每人至少得2支的分法有多少种?

例5. 从2，3，4，5，6，10，11，12这七个数中取出两个数组成最简真分数。问共有多少种取法?

例6. 一把钥匙只能开一把锁。现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次才能配好全部的钥匙和锁?

例7. 按顺序写数1，2，3，„，9，10，11，„一直写到1000，一共写了多少个数字?其中写了多少个0?

例8. 一位小朋友任意画了6个苹果或橘子。那么其中至少有三个苹果连画在一起的方法有多少种?

奥赛练习十二

1. 有不同的红手帕5个，粉红手帕6个，绿手帕3个，白手帕2 个。小刚从中任拿一个，则共有多少种取法。

2. 从1~9这九个数字中，每次取两个数字，这两个数字的和必须大于10，那么共有几种取法?

3.用6，7，8，9这四个数可以组成许多没有重复数字的4位数，所有这些四位数的和是多少?

4.如图，A、B、C、D、E、F、G表示7个城市，每两个城市之间要修一条不经过其他城市的高速公路。问共需要修几条这样的高速公路?

5.在一次联欢会上，有六位同学参与了表演，他们每人唱一首独唱，又每两人合唱一首歌，每四人说一段“三句半”。那么这次联欢会共表演多少节目?

6.在一次抗洪抢险任务中，某部官兵负责打桩和搬运石块。只参加打桩的180人，只搬石块的200人，既打桩又搬石块的有100 人。最后统计，打桩的平均每人打5个，搬石块的平均每人搬8块。问他们一共打了多少桩，搬了多少石块?

7.学校组织读书活动，要求每个同学读一本书，圆圆到图书馆借书时，图书馆有不同的漫画书240本，科技书520本，不同的小说120 本，不同的杂志300本。那么，圆圆借一本书可以有多少种不同的选法?

8.把1，2，3，4，5，6这六个数字分别填入下面的表格中,每格只填一个数字，使每一行右边的数字比左边的大，每一列下面的数字比上面的大，共有多少种不同的填法?