计数基本原理教案

2022-07-06

在教学工作者开展教学活动前，通常会被要求编写教案，借助教案可以让教学工作更科学化。快来参考教案是怎么写的吧！以下是小编为大家整理的《计数基本原理教案》，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。

第一篇：计数基本原理教案

基本计数原理-排列组合习题%%%

基本计数原理、排列与组合

常见的解题策略有以下几种：

(1)特殊元素优先安排的策略

(2)合理分类和准确分布的策略

(3)排列、组合混合问题先选后排的策略

(4)正难则反、等价转化的策略 (5)相邻问题捆绑的策略

(6)不相邻问题插空处理的策略 (7)定序问题除法处理的策略

(8)分排问题直排处理的策略

(9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略

(10)构造模型的策略。典例精析：

题型一：分类加法计数原理、分布乘法计数原理的应用

例1.(1)在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个

. (2)已知集合M={-3，-2，-1，0，1，2}，P(a,b)表示平面上的点(a,bM)

问：(1)P表示平面上多少个不同的点?

(2)P表示平面上多少个第二象限的点? (3)P表示多少个不在直线y=x上的点?

题型二：两个计数原理的综合应用例2.用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字比2000大的四位偶数。

题型三：排列应用题例4.

7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种排法?

(1)甲排头

(2)甲不排头，也不排尾

. (3)甲、乙、丙三人必须在一起

(4)甲乙之间有且只有两

人

(5)甲、乙、丙三人两两不相邻

.(6)甲在乙的左边(不一定相邻)

(7)甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

.(8)甲不排头，乙不排当中

. 题型四：组合应用问题

例：7名男生和5名女生选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种?

(1)A、B必须当选

(2)A、B必不当选 (3)A、B不全当选

(4)至少有两名女生当选

计数原理与排列组合练习题

1、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混

合双打，共有______________种不同的选法。

2、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共____种不同的走法。

3、为了对某农作物新品种选择最佳生产条件，在分别有3种不同土质，2种不同施肥量，4种不同种植密度，3种不同播种时间的因素下进行种植实验，则不同的实验

方案共有____种。

4、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话

号码一共有________________个。

5、4个小电灯并联在电路中，每一个电灯均有亮与不亮两种状态，总共可表示

__________ 种不同的状态，其中至少有一个亮的有__________种状态。

6、(1)若1≤x≤4，1≤y≤5，则以有序整数对(x、y)为坐标的点共有多少个?(2)①每位学生必须参加一项竞赛，则有不同的参赛方法有__________种若x,y∈N且x+y≤6，则有序自然数对有多少个?

7、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成， (1)从中选出1人担任组长，有多少种不同选法?

(2)从中选出两位不同国家的人为成果发布人，有多少种不同选法?

8、(1)3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案?

(2)若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案?

9、将3封信投入4个不同的信箱，共有________________种不同的投法;3名学生走进有4个大门的教室，共有________________种不同的进法;3个元素的集合到4个元素的集合的不同的映射有________________个。

10、在一次读书活动中，有5本不同的政治书，10本不同的科技书，20 本不同的小说书供学生选用，

(1)某学生若要从这三类书中任选一本，则有多少种不同的选法? (2)若要从这三类书中各选一本，则有多少种不同的选法?

(3)若要从这三类书中选不属于同一类的两本，则有多少种不同的选法?

11、某市提供甲、乙、丙和丁四个企业供育才中学高三级3个班级进行社会实践活动，其中甲是市明星企业，必须有班级去进行社会实践，每个班级去哪个企业由班级自己在四个企业中任意选择一个，则不同的安排社会实践的方案共有___________种。

12、有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1，2，3，任取3面，它们的颜色与号码均不相同的取法有___________种

13、有四位学生参加三项不同的竞赛，

②每项竞赛只许有一位学生参加，则有不同的参赛方法有__________种

③每位学生最多参加一项竞赛，每项竞赛只许有一位学生参加，则不同的参赛方法有_________种

14、四面体的一个顶点为A，从其他顶点与棱的中点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有 A.30种

B.33种

C.36种

D.39种

15、圆周上有8个等分点，以这8个点为顶点作直角三角形，共可作不同的直角三角形的个数是

A.56

B.2

4 C.16

D.1

217、设直线的方程是AxBy0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A、B的值，则所得不同直线的条数是

A.20

B.19

C.18

D.16

18、(1)3个不同的球，放入4个不同的盒内.

(2)在(1)中每个盒内至多放一个球.

(3)3个相同的球，放入4个不同的盒内. 问各有多少种不同的放法?

19、从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( )

A.108种

B.186种

C.216种

D.270种

20、在数字1,2，3与符号+，-五个元素的所有全排列中，任意两个数字都不相邻的全排列个数是( )

A.6

B. 12

C. 18

D. 24

21、高三

(一)班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(

)

A.1800 B.3600 C.4320 D.5040

22、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?

不同的分配方案有( )

A)30种

(B)90种 (C)180种

(D)270种

23、将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有(

)

A.10种

B.20种

C.36种

D.52种

24、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，则不同的选派方案共有__________种

25、5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法共有( )

(A)150种 (B)180种

26、用0,1,2,3,4,5六个数字：

(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?

3)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数? (

第二篇：分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力.

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理.

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用.

教学用具

投影仪.

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理.它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般.虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关.至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它.

今天我们先学习两个基本原理.

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课.讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1.介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1).

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情.所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4+2+3=9

种不同的走法.

这个问题可以总结为下面的一个基本原理.

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.

(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2).

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9-1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法?

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法.

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有

N=m1×m2×…×mn

种不同的方法.

(教师要读一遍分步计数原理)

2.浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢?

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数.

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢?

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘.)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关.

师：请看下面的分析是否正确.

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数.第一类办法是找含因数2的合数，共有4个;第二类办法是找含因数3的合数，共有2个;第三类办法是找含因数5的合数，共有1个.

1～10中一共有N=4+2+1=7个合数.

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法?

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法.

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种.题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法.

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢?

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求.

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以.

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理.

也就是说：类类互斥，步步独立.

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法.从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了.请看例题1.(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书.

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法?

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法?

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法?

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法;第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法;第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法.根据分类计数原理，得到的取法种数是

N=m1+m2+m3=3+5+6=14.

故从书架上任取一本书的不同取法有14种.

师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法;第二步取1本语文书，有5种方法;第三步取1本英语书，有6种方法.根据分步计数原理，得到不同的取法种数是

N=m1×m2×m3=3×5×6=90.

故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法.

师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法;第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法;第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法.一共得到不同的取法种数是

N=3×5+3×6+5×6=63.

即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种.

师：请大家再来分析和解决例题2.

(板书)

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)?

师：每一个三位整数是由什么构成的呢?

生：三个整数字.

师：023是一个三位整数吗?

生：不是，百位上不能是0.

师：对!百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0.那么要组成一个三位数需要怎么做呢?

生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字;第二步确定十位上的数字;第三步确定个位上的数字.

师：很好!怎样表述呢?

(教师巡视指导、并归纳)

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法;第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法;第三步确定个位上的数字，仍有5种选法.根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100.

答：可以组成100个三位整数.

(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高.

教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

(四)归纳小结

师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢?

生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理.

师：应用两个基本原理时需要注意什么呢?

生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥;分步时要求各步是相互独立的.

(五)课堂练习

P222：练习1～4.

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7.

补充题：

1.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个?

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9+8+7+…+2+1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2.某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第

一、

二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数.

(提示：需要按三个志愿分成三步.共有m(m-1)(m-2)种填写方式)

3.在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个?

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4.某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法?(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法?

(提示：由于8+5=13>10，所以10人中必有3人既会英语又会日语.(1)N=5+2+3;(2)N=5×2+5×3+2×3)

课堂教学设计说明

两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过;或者感觉难以开头.中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键.所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题.对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的.基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题.

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件.而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立.教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的.

分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练.教学中给出了例题

1、例题2.这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯.为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础.

考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪.要是有实物投影仪那就更方便了.

第三篇：计数原理教案

淮北市第十二中学2007~2008学年度

考

评

课

教

案

授课人：邹强

2008年5月

1 §10.1 分类计数原理与分步计数原理

授课人：邹强

教学目标：

知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理;

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题;

能力目标：培养学生的归纳概括能力;

情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式.. 教学重点：

分类计数原理与分步计数原理的应用理解教学难点：

分类计数原理与分步计数原理的理解教学方法：

问题式、螺旋上升的教学方法教学过程：

一.课题引入

中央电视台体育频道每周四次对“NBA”进行现场直播，并对参与节目交流的观众进行抽取幸运观众活动，奖品是“NBA”明星真品球衣或明星战靴，此节目深受广大篮球迷的喜欢。已知在某次直播时，共收到手机号码2万个。其中联通号码有0.8万个，移动号码有1万个，小灵通号码有0.2万个。现抽取：

(1)一名幸运观众有多少种不同类型的抽法?

(2)从联通号码、移动号码和小灵通号码中各抽取一名幸运观众共有多少种不同的抽法? 象这种计算所有情况的问题可称为计数问题，用来解决这种问题的一般方法或计算规律叫做计数原理，今天我们就来探求它们。

二.新课讲授

问题1.1:“两会”决定,下一次会议一定要有农民工代表参加.假如现在南方有农民工代表30人,北方有农民工代表20人,现在选举一名农民工代表共有多少种选法? 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法. 那么完成这件事共有 N = m + n 种不同的方法.

问题1.2:在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从这些强项专业中任选一项共有多少种?

2 探究一：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

探究二:如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

分类计数原理：一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法. 问题2.1:国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生午饭可买两盘菜(蔬菜类 + 肉类)，学校食堂的菜单如下，

蔬菜类

肉类

萝卜

猪肉

白菜

牛肉

花菜请问有多少种不同的选法? 完成一件事需要两个不同步骤，在第1步中有不同的方法. 那么完成这件事共有Nm 种不同的方法，在第2步中有 n 种

mn种不同的方法. 问题2.2：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从清华大学，复旦大学，南京大学这些强项专业中各选一项共有多少种?

探究一：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 m

1种不同的方法，做第2步有 m

2 种不同的方法，做第3步有

3 种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方

3 法?

探究二：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法， ……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法?

分步计数原理：一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.

理解分类计数原理与分步计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.分步时，每一步都可以看成分类;分类时，每一类也可能要有好几步才能完成。例题选讲

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书. ①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?

②从书架的第

1、

2、3层各取1本书，有多少种不同的取法? ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法? 学生练习：填空：

(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是

. (2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有

条. .(3)从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种. (4).甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法. 总结归纳： 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想. 2.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可 4 以完成这件事;而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事. 3.运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即"不重不漏". 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成作业布置：

. 1.课本第97页的习题10.1A第1，2，3题.

2.编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答. 课外思考：

1.某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中1本，则该生的购书方案有_____种。课后反思：

第四篇：教案01-绪论计数原理排列组合.

教学对象计划学时 2

管理系505-

13、

14、15;经济系205-

1、2 授课时间

2006年2月28日;星期二;1—2节

一、概率绪论(用自制的教学软件进行随机游戏演示)

教学内容

二、计数原理——加法原理与乘法原理的复习

三、排列与组合

通过教学，使学生能够：

1、了解概率统计的发展史，学习内容

2、培养对概率的学习兴趣

3、利用计数原理与排列组合计算完成某件事的方法数;。

教学目的

知识：

1、了解概率的发展简史与研究内容;

2、掌握排列与排列数公式;

3、掌握组合与组合数公式;

4、排列与组合的应用;

教学重点排列与组合的概念

教学难点解决实际问题时排列与组合的区别

教学资源自编软件(用于多媒体演示)，多种颜色的玻璃球若干个(以备实验)

教学后记

培养方案或教学大纲

修改意见对授课进度计划修改意见对本教案的修改意见

技能与态度

1、对随机现象有正确的认识;

2、用科学态度对待随机现象;

3、科学计算的认真态度。

《概率与数理统计》教案01<第 1 页共 12 页> 教学资源及学时调整意见其他教研室主任：

系部主任：

绪论(15分钟)

《概率与数理统计》是研究随机现象数量规律性的数学学科，其特点是理论严谨,应用广泛,发展迅速。目前,在全国的各种高等学校中，无论是本科院校还是高职高专，很多专业都开设了这门课程。它也是很多专业的本科生报考研究生的必考内容之一，希望大家能认真学好这门重要课程。

概率论是一门研究随机现象的数量规律的学科，它是数学的一个分支。概率(或几率)——是随机事件出现的可能性的量度，它起源于对赌博等博弈问题的研究

一、概率的起源

在欧洲文艺复兴时代，15世纪末的法国和意大利盛行赌博，不仅赌法复杂，而且赌注量大，一些职业赌徒迫切需要计算取胜的机会。

比如：一位意大利贵族向天文学家伽利略请教的问题是：“掷3颗骰子，出现9点与出现10点均有6种组合，但经验发现出现10点的机会要多些，是否符合数学规律?”，伽利略从组合数的角度对问题进行了解释，被认为是概率研究的首次成果。

九点(126，135，144，225，234，333) 十点(136，145，226，235，244，334)

法国的赌徒麦尔(梅耳)(Mere)向法国的数学家帕斯卡(Pascal)提出两个问题——(1)将一颗骰子掷4次至少出现一个6点的机会是否比将两颗骰子掷4次至少出现一

《概率与数理统计》教案01<第 2 页共 12 页> 对6点的机会大?(著名的梅耳猜想)，帕斯卡与费马经过通信讨论，最终解决了这一问题;(2)“一个赌徒用一颗骰子要在八次投掷中掷出一个六点，他开始三次都未成功，如果放弃第四次，那么赌注中有多大部分应归还给他?”

16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博中的一些问题。意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。

17世纪中叶,法国数学家B.帕斯卡、荷兰数学家C.惠更斯基于排列组合的方法，研究了较复杂的赌博问题，解决了“合理分配赌注问题”(即得分问题：甲、乙两人各出同样的赌注，用掷硬币作为博奕手段。每掷一次，若正面朝上，甲得1分乙不得分。反之，乙得1分，甲不得分。谁先得到规定分数就赢得全部赌注。当进行到甲还差2分乙还差3分，就分别达到规定分数时，发生了意外使赌局不能进行下去,问如何公平分配赌注?)。1657年，荷兰著名的天文、物理、数学家惠更斯在解决合理分配赌注问题的后，写成了《论随机游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。

概率的概念是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：

甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点;若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注d。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。

帕斯卡：如果再掷一次，若甲胜：甲获全部赌注d;

若乙胜：甲、乙平分赌注d,

12《概率与数理统计》教案01<第 3 页共 12 页>

d上面这两种情况出现的可能性相同，所以，甲应得的赌金为的赌金为d。

费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：情况： 1

4 胜者：甲甲

甲乙

乙甲

乙乙 141d23d，乙应得24前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的，乙得赌金的。

帕斯卡与费马各自用不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确地定义概率的概念，但是，他们定义了使赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。

二、概率论在实践中曲折发展：

对客观世界中随机现象的分析产生了概率论，使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人是瑞士数学家J.伯努利;而概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后。在概率问题的早期研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要的概念以及它们的基本性质。后来许多社会问题和工程技术问题(如：人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等)的提出，都促进了概率论的发展，从17世纪到19世纪，贝努利、隶莫弗、拉普拉斯、高斯、普阿松、切比雪夫、马尔可夫等著名数学家都对概率论的发展做出了杰出的贡献。在这段时间里，概率论的发展简直到了使人着迷的程度。其中最值得一提的是法国数学家拉普拉斯，他发表了《概率的分析理论》和《概率的哲学探讨》，对概率的发展方向，当时他作出的预言是：“从考虑赌博问题而引起的一门学科，将会成为人类知识宝库里最重要的主题”，但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定

《概率与数理统计》教案01<第 4 页共 12 页>

3414义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。

三、概率论理论基础的建立：

经过二十多年的艰难研究，雅各·贝努利在1713年出版了概率论的第一本专著《推测术》，书中表述并证明了著名的"大数定律"。所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛的应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的奠基人。

为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本概念》，用公理化的结构，明确了概率论的基本框架。这是概率论发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展奠定了基础。

四、概率论的应用：

20世纪以来，由于物理学、生物学、工程技术、农业技术和军事技术发展的推动，概率论飞速发展，理论课题不断扩大与深入，应用范围大大拓宽。在最近几十年中，概率论的方法被引入各个工程技术学科和社会学科。目前，概率论在近代物理、自动控制、地震预报和气象预报、工厂产品质量控制、农业试验、公用事业、保险业、航海业等随机风险性问题等方面都得到了重要应用。有越来越多的概率论方法被引入导经济、金融和管理科学，概率论成为它们的有力工具。

五、软件演示：演示摸球游戏和社会福利彩票双色球的仿真过程

教学活动流程

教学步骤、教学内容、时间分配

教学目标

教学方法

《概率与数理统计》教案01<第 5 页共 12 页>

一、复习导入新课复习内容：(10分钟)

实例说明

中学阶段的计数原理是以后学习概率的基础，统

理解用途

计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关。在

日常工作和生活中，只要涉及到很多方案的选择问

题，都可以应用它们来解决。

加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，

明确加法原理的讲解

在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法

具体内容

中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn

种不同的方法.那么，完成这件事共有N= m1+ m2+…

+mn种不同的方法.

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘

汽车，还可以乘轮船.一天中，火车有4个班次，汽

车有2个班次，轮船有3个班次.那么一天中乘坐这

些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法?

乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，

明确乘法原理的

做第一步有m1种不同方法，做第二步有m2种不同的

具体内容

方法，……，做第n步有mn种不同的方法.那么，

完成这件事共有

N= m1×m2×…×mn种不同的方法.

问题2：从甲地到乙地，可以骑自行车，也可以

骑摩托车，还可以乘汽车。从乙地到丙地，可以乘座

学生回答

《概率与数理统计》教案01<第 6 页共 12 页> 飞机，也可以乘轮船。从甲地到丙地，共有多少种不同的走法?

教师归纳：(3分钟)

在学生对问题的分进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥使学生在应用两析不很清的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成个基本原理时，楚时，教这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，思路进一步清晰师及时地否则不可以.

和明确.从而深进行归纳如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不入理解两个基本和小结可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而原理中分类、分各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，步的真正含义和下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事实质的方法数时，就可以直接应用乘法原理. 导入新课：(2分钟)

计数原理能在很多情况下，求得完成某件事的方引出学习排列与法总数。但对有些问题来说，如果都用计数原理来求组合的目的解，则显得过于烦琐，为了简化求解方法，我们还要学习排列与组合的概念及方法——这是今天要学习的内容。

1.正确理解排列、组合的意义.

2.掌握写出所有排列、所有组合的方法，加深对分类讨论

二、明确学习目标

方法的理解.

3.培养学生的概括能力和逻辑思维能力。

三、知识学习

1、排列(8分钟)

《概率与数理统计》教案01<第 7 页共 12 页>

例.北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线，需要准备多少种不同的飞机票?

生甲：首先确定起点站，如果北京是起点站，终点站是上海或广州，需要制2种飞机票，若起点站是上海，终点站是北京或广州，又需制2种飞机票;若起点站是广州，终点站是北京或上海，又需要2种飞机票，共需要2+2+2=6种飞机票.

师：生甲用加法原理解决了准备多少种飞机票问题.能否用乘法原理来设计方案呢?

生乙：首先确定起点站，在三个站中，任选一个站为起点站，有3种方法.即北京、上海、广泛任意一个城市为起点站，当选定起点站后，再确定终点站，由于已经选了起点站，终点站只能在其余两个站去选.那么，根据乘法原理，在三个民航站中，每次取两个，按起点站在前、终点站在后的顺序排列不同方法共有3×2=6种.

定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成的一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.

找学生用加法原理求解

逐步引导

找学生用乘法原理求解

老师点评，得出结论：乙的方法更

理解并掌握排列简洁。由的概念

掌握计算公式

明确相同排列的含义

此引出排列概念

逐步推导

排列数计算公式(由乘法原理求得)

Amn=n(n-1)…(n-m+1) 排列说明：取出的元素要“按照一定的顺序排成一列”，只要交换位置，就是不同的排列.如飞机票、通信封数、减法

《概率与数理统计》教案01<第 8 页共 12 页> 与除法运算的结果都属于这一类。

2、组合(10分钟)

下面考虑另一类问题：取出的元素，不必管顺序，只有取不同元素时，才是不同的情况，如飞机的票价，打电话的次数、加法与乘法的运算结果都属于这一类.

定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

说明：如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合;只有当组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合。

一定要认真体会排列与组合的区别在于与顺序是否有关，在以后的各种实际应用题中要区别清楚才能寻找正确解题途径.

和排列一样，还需要区分清楚“一个组合”和“组合种数”这两个概念.一个组合不是一个数，而是具体的一件事

理解并掌握组合的概念

明确相同组合的含义

掌握计算公式

组合数公式(将排列数的计算分成两步)：

mm由Amn= CnAm得

mAnn(n1)(nm1)C=m=

m !Ammn

四、技能学习(20分钟)

排列与组合的应用

1、有条件限制的排列问题

例

1、5个不同的元素a，b，c，d，e每次取全排列. (1)a，e必须排在首位或末位，有多少种排法?

《概率与数理统计》教案01<第 9 页共 12 页> (2)a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法? (3)a，e排在一起有多少种排法? (4)a，e不相邻有多少种排法?

(5)a在e的左边(可不相邻)有多少种排法?

掌握有关排列组合问题的基本解(教师出题后向学生提出要求;开动脑筋，积极思维，法，提高分析问畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法)

教师小结：排列应用题是实际问题的一种，解应用问题的指导思想，弄清题意、联系实际、合理设计.调动相关的知识和方法是合理设计的基础.例1是排列的典型问题，解题方法可借鉴.排列问题思考起来比较抽象，“具体排”是一种把抽象转化具体的好方法.

例

2、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有().

(A)6种(B)9种(C)11种(D)23种

先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法.

(二)有条件限制的组合问题

例

3、已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，求含有5个元素，且其中至少有两个是偶数的子集的个数.

(三)排列组合混合问题

例

4、从6名男同学和4名女同学中，选出3名男同学和2名女同学分别承担A，B，C，D，E这五项工作，一共有多少种分配方案.

题与解决问题的能力.

通过对典型错误的剖析，使学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误.

培养思维的深刻错误分析

五、态度养成

性与批判性品质

六、实际解题训练(10分钟)

通过实际训练，学生练习1.设有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取1个红球记2分，取1个白球记1分，使得总分不大于5分的取球方法数为

2.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有[

] A.60个

B.48个

C.36个

C.24个

使学生掌握解排老师巡列组合问题基本视，解答思想和基本方法问题

《概率与数理统计》教案01<第 10 页共 12 页>

七、课堂小结(2分钟)

解排列组合应用问题，首先要抓典型问题.如例1是排列常见的典型问题，例3是组合问题，例4是排列组合混合问题.通过典型问题掌握基本方法，这是解排列组合应用问题首先要做到的.

排列组合应用题与实际是紧密相连的，但思考起来又比较抽象.“具体排”是抽象转化为具体的桥梁，是解题的重要思考方法之一.“具体排”可以帮助思考，可以找出重复、遗漏的原因.有同学总结解排列组合应用题的方法是：“想透、排够不重不漏，”是很有道理的.

解排列组合应用题最重要的是，通过分析构想设计合理的解题方案，在这里抽象与具体、直接法与间接法、全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到广泛运用.

概括总结，帮助学生构建知识体

简要概括

系、明确排列组

本节内容

合的解题目标和对态度的要求。

八、布置作业

1.空间有五个点，其中任何四点不共面，以每四个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体?(5个)

2.用0，2，3，5可以组成多少个数字不重复且被5整除的三位数?(10个)

3.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种?(9种)

4.3个人坐在一排9个座位上，每人左、右两边都有空位子，这样的排法有_____种.

5.将5名学生分配到4个不同的科技小组、每组至少1人的分配方案有_____种.

6.预习第一章第一节

要求：

1、了解随机现象的规律性

2、了解随机试验与随机事件的概念

3、了解基本事件与样本空间的概念

4、了解随机事件发生的含义

巩固所学的知识和方法，培养锻炼分析问题、解决问题的能力，

书面作业说明：

1、纸张要求：16K白纸

2、写清题号，并抄题，解题步骤全面

3、写清班级、姓名、学号

4、时间要求：下次上课前交到办公室，

以便课上订正讲解

5、作业要清楚工整，仔细认真。

6、作业质量，占平时成绩的50%

预习新课，培养提出要求学生的自学能力适当引导

《概率与数理统计》教案01<第 11 页共 12 页>

培养做事认真的态度和习惯

《概率与数理统计》教案01<第 12 页共 12 页>

第五篇：长沙市一中教案_高二理科数学《1.1分类计数原理与分步计数原理(一)》

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理

(一)

教学目标

1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，

2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题.

教学的重点与难点

1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

(一)分类加法计数原理。

问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗?

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，

一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，

乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?

图1

问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法? 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法?如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数?

归纳：

一般地，有如下原理：(出示投影)

分类计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法. 注意：分类适当不重不漏。

(二)分步乘法计数原理

问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法(如图2)?

图2

这个问题与前一个问题不同.在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地;而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地.

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2=6种不同的走法.

问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗?

归纳;完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法

长沙市第一中学高二数学备课组