分类计数原理和分步计数原理教案

分类计数原理和分步计数原理教案（精选10篇）

篇1：分类计数原理和分步计数原理教案

分类计数原理和分步计数原理教案1

教学目标

正确理解和掌握分类计数原理和分步计数原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．

教学重点和难点

重点：分类计数原理和分步计数原理．

难点：分类计数原理和分步计数原理的准确应用．

教学用具

投影仪．

教学过程设计

(一)引入新课

师：从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．

今天我们先学习两个基本原理．

(这是排列、组合、二项式定理的第一节课，是起始课．讲起始课时，把这一学科的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为下面的学习研究打下思想基础)

师：(板书课题)

(二)讲授新课

1．介绍两个基本原理

师：请大家先考虑下面的问题(找出片子——问题1)．

问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有2个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后，作补充说明)

因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有

4＋2＋3=9

种不同的走法．

这个问题可以总结为下面的一个基本原理．

(打出片子——分类计数原理)

分类计数原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．

(教师放慢速度读一遍分类计数原理)

师：请大家再来考虑下面的问题(打出片子——问题2)．

问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条(见图9－1)，从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

师：(启发学生回答后加以说明)

这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C村共有3×2=6种不同的走法．

一般地，有如下基本原理：

(找出片子——分步计数原理)

分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法．那么，完成这件事共有

N＝m1×m2×…×mn

种不同的方法．

(教师要读一遍分步计数原理)

2．浅释两个基本原理

师：两个基本原理是干什么用的呢？

生：计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．

(如果学生不能较准确地回答，教师可以加以提示)

师：比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别呢？

(学生经过思考后可以得出：各类的方法数相加，各步的方法数相乘．)

两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．

师：请看下面的分析是否正确．

(打出片子——题1，题2)

题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．

1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．

题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？

第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．

生乙：从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．

(此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力)

师：为什么会出现错误呢？

生：题1的分类可能有问题吧，题2都走北路不符合要求．

师：(教师归纳)

进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用分类计数原理，否则不可以．

如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用分步计数原理．

也就是说：类类互斥，步步独立．

(在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质)

(三)应用举例

师：现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．请看例题1．(板书)

例1书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．

(1)若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

(2)若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？

(3)若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

(让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法)

师：(1)从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据分类计数原理，得到的取法种数是

N=m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．

故从书架上任取一本书的不同取法有14种．

师：(2)从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据分步计数原理，得到不同的取法种数是

N＝m1×m2×m3＝3×5×6＝90．

故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．

师：(3)从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是

N=3×5＋3×6＋5×6=63．

即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．

师：请大家再来分析和解决例题2．

(板书)

例2由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数(各位上的数字允许重复)？

师：每一个三位整数是由什么构成的呢？

生：三个整数字．

师：023是一个三位整数吗？

生：不是，百位上不能是0．

师：对！百位的数字不能是0，也就是说，一个三位整数是由百位、十位、个位三位数字组成的，其中最高位不能是0．那么要组成一个三位数需要怎么做呢？

生：分成三个步骤来完成：第一步确定百位上的数字；第二步确定十位上的数字；第三步确定个位上的数字．

师：很好！怎样表述呢？

(教师巡视指导、并归纳)

解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据分步计数原理，得到可以组成的三位整数的个数是N=4×5×5=100．

答：可以组成100个三位整数．

(教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．

教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础)

(四)归纳小结

师：什么时候用分类计数原理、什么时候用分步计数原理呢？

生：分类时用分类计数原理，分步时用分步计数原理．

师：应用两个基本原理时需要注意什么呢？

生：分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．

(五)课堂练习

P222：练习1～4．

(对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示)

(六)布置作业

P222：练习5，6，7．

补充题：

1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？

(提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数)

2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．

(提示：需要按三个志愿分成三步．共有m(m－1)(m－2)种填写方式)

3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？

(提示：可以用下面方法来求解：(1)△△□，(2)△□△，(3)□△□，(1)，(2)，(3)类中每类都是9×9种，共有9×9＋9×9＋9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数)

4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？

(提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．(1)N=5＋2＋3；(2)N=5×2＋5×3＋2×3)

课堂教学设计说明

两个基本原理一课是排列、组合、二项式定理的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，通常教师们或者感觉很简单，一带而过；或者感觉难以开头．中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分步计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本原理，学会正确地使用这两个基本原理是这一章教学中必须抓住的一个关键．所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题．对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的．基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题．

正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件．而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥，步步独立．教学过程中的题1和题2，就是为了解决这一问题而提出的．

分类用分类计数原理，分步用分步计数原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类、分步，特别是在分类时必须做到既不重复，又不遗漏，找到分步的方法有时是比较困难的，这就要着重进行训练．教学中给出了例题

1、例题2．这两个题目都是在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就是要帮助学生发展思维能力，培养学生周密思考、细心分析的良好习惯．为了帮助学生在今后能正确运用两个基本原理解决其它排列组合问题，特别给出了4个补充习题，为下面将要进行的课打下一个基础．

考虑到这节课无论是两个基本原理，还是例题都是文字较多的，因此特别设计了使用教具——投影仪．要是有实物投影仪那就更方便了．

篇2：分类计数原理和分步计数原理教案

授课教师:孙琼芳 班级:高二(2)班 时间:第十二周星期四第二节 ◆教学目标

1.正确理解分类计数原理与分步计数原理的内容.2.正确运用两个基本原理分析、解决一些简单问题.3.了解基本原理在实际生产、生活中的应用.4.提高分析问题、解决问题的能力.◆ 教学重点

分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学难点

正确运用分类计数原理与分步计数原理.◆ 教学方法

启发引导式 ◆ 教学准备

多媒体课件 ◆ 教学过程

一.由实际问题引入课题

2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛．它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名．问一共安排了多少场比赛？

要回答上述问题，就要用到排列、组合的知识．排列、组合是一个重要的数学方法，粗略地说，排列、组合方法就是研究按某一规则做某事时，一共有多少种不同的做法．

在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们举一些例子来说明这两个原理．

二.讲授新课 问题一：

从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.一天中，火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

图示：

（分析略）

引伸1:若甲地到乙地一天中还有4班轮船可乘,那么一天中,乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法? 引伸2:若完成一件事,有n类办法.在第1类办法中有m1种不同方法,在第2类办法中有m

2种不同的方法,„„,在第n类办法中有mn种不同方法,每一类中的每一种方法均可完成这件事,那么完成这件事共有多少种不同方法?

分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，„„，在第n类办法中有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 + m2 + „ + mn

种不同的方法.问题二：

从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地.一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

（分析略）

从如下的图示中，我们可以具体地看到这6种走法。图示：

所有走法

火车1——汽车1；火车1——汽车2；火车2——汽车1；火车2——汽车2； 火车3——汽车1；火车3——汽车2

在问题二的分析过程中，就体现了分步计数原理.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„„，做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有

N = m1×m2ׄ×mn

种不同的方法.下面，我们结合例题来一起体会两个基本原理的正确运用.［例1］ 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

（解答略）

教师点评：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。

［例2］电视台在“欢乐大本营”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多种不同的结果？

（解答略）

教师点评：有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

三、课堂练习

1、现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名，从中任选一人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？

2、某人有两顶帽子，两件上衣，三条裤子，两双鞋，问穿戴整齐共有多少种不同的装束？.如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？

思考:若用2色、4色、5色等,结果又怎样呢?

4.一蚂蚁沿着长方体的棱,从的一个顶点A爬到相对的另一个顶点C1的最近路线共有多少条？

四、小结：

1.本节课学习了分类计数原理与分步计数原理。

2.分类计数原理与分步计数原理的共同点是什么？不同点是什么？

3．解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“分类计数原理”;“分步完成”用“分步计数原理”。有些较复杂的问题往往不是单纯的“分类”“分步”可以解决的，而要将“分类”“分步”结合起来运用．一般是先“分类”，然后再在每一类中“分步”，综合应用分类计数原理和分步计数原理．

五、布置作业：课本P87习题10.1 第2、3题

篇3：《计数原理》教学随感

一、教学新分析

1. 从学生的角度

( 1) 学生的认知基础

学生在初中已经学习过用列举或树状图来解决简单的计数问题, 对于分类与分步思想, 学生也不乏认知基础, 但对今天所要学习的知识在原有的认识体系中却是自发的, 模糊的, 感性的, 从而也是肤浅的.

( 2) 学生的学习障碍

分类用加法, 分步用乘法, 从字面上学生是容易理解的. 但是学生学完本节内容后普遍感到听起来容易但做起来难, 究其原因, 很大程度是学生没能完全理解两个原理所致. 应该说加法和乘法在小学就会, 那么在中学再学它与以往有什么不同? 学生往往在判断是分类还是分步去完成一件事会有一定的障碍, 这是最棘手的问题, 也是本节内容的难点.

2. 从内容的角度

返璞归真的看两个计数原理, 实际上是加法运算与乘法运算的推广, 是解决计数问题的理论基础. 在高中阶段, 本节内容相对独立, 自成体系, 但其思维方法新颖, 独特, 将计数问题与分类和分步思想结合, 与学生以往所学的数学知识有很大区别.

3. 从教学的角度

对于这节课, 大多数老师会将其上成如何进行计数的习题训练课, 这是不对的. 这是思维过程的学习, 就必须了解清楚思维是如何进行的, 如何在原有知识基础上建构自己新的认识, 在过程中应该由浅入深, 螺旋上升. 学生一般只会说结果, 而对其思维过程, 往往不会叙述, 这就需要教师引导, 帮助学生理顺思维过程.

二、教学新设计

1. 设计趣味活动, 激活基本体验

教师: 我们的教学楼每层楼有几个楼梯口? 小明从一楼到二楼, 有几个选择? 一楼到三楼, 四楼呢?

学生: 到二楼两个选择, 到三楼则可以利用树状图, 两个选择下分别又有两个选择, 所以有四个选择, 到四楼有八个选择.

教师: 在刚才的第一问中, 我们要完成什么事? 怎样去完成?

从一楼到二楼: 一步到位, 直接完成.

在第二问中, 我们要完成什么事? 又怎样完成? ( 先到二楼, 再到三楼, ……)

从一楼到六楼: 不能直接完成, 需要分步完成.

第一步: 从一到二楼; 第二步: 从二到三楼; 第三步: 从三到四楼; 第四步: 从四到五楼; 第五步: 从五到六楼.

比较两件事的过程, 你能发现它们的不同之处吗?

完成一件事: 一步到位, 直接完成; 不能直接完成, 需要分步完成.

教学随感: 选择学生身边的素材作为新课引入的实例, 更能引起学生的共鸣, 利用这个熟悉的问题情境就可以迅速激发学生学习的积极性, 让学生在强烈的驱动力下去探究.

2. 借助案例分析, 完成理性认识

教师: 小红外出郊游, 需要搭配衣服. 现在小红有1 件牛仔上衣, 2 件毛衣上衣, 2 件衬衫上衣, 小红要先选择一件上衣, 有几种选择? 小红还有3 条裤子, 假如选完上衣还要选择一条裤子, 请问小红总共可以搭配出几套? ( 上衣+ 裤子为一套) 再比如小红还有2 双鞋子, 请问上衣+ 裤子+ 鞋子, 总共可以搭配出几套?

学生: 1 + 2 + 2 = 5; 5 + 5 + 5 = 15, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15;不知道.

教师: 只选上衣, 可以选牛仔, 选毛衣, 选衬衫, 都直接完成. 在我们的选法中, 从衣服的材质来讲, 预先已经分好, 不管选哪一类, 都可以算完成选择上衣这件事情. 选上衣和裤子, 不能直接完成, 需分两步. 第一步, 选上衣, 第二步选裤子, 则上衣1 配一裤有3 种选择, 共5 件上衣, 则3 + 3 + 3+ 3 + 3 = 15 ( 树状图得出) . 也可以第一步, 选裤子, 第二步选上衣, 则裤子1 配一上衣有5 种选择, 共3 条裤子, 则5 +5 + 5 = 15 ( 树状图得出) . 当有鞋子的时候, 怎么办? 还可不可以用树状图? 可以. 那么当树状图画出的时候, 该怎么计数呢?

教学感悟: 考察案例, 分清层次, 先易后难, 逐步解决.从一步到两步, 再到三步, 从一步中渗透分类思想和加法原理, 到两步中的树状图方法, 再到三步乃至多步中的分步思想和乘法原理. 在完成的过程中, 我们还发现, 能直接完成的往往也可以按某一标准分类去完成; 不能直接完成的则需要分步去完成. 什么时候可分类完成, 什么时候需分步完成呢?

3. 启迪自主探究, 实现初步应用

一个口袋里有2 封信, 另一个口袋里有3 封信, 各封信内容均不相同.

(1) 从两个口袋里, 各取1封, 有多少种不同取法?

(2) 从两个口袋里, 任取1封, 有多少种不同取法?

( 3) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒, 有多少种不同放法?

( 4) 把这两个口袋里的5 封, 分别投入6 个邮筒 ( 每个邮筒最多放一封信) , 有多少种不同放法?

篇4：两个计数原理的应用

分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.在利用这两个原理解决排列、组合问题时要弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事的不同方法数而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.本文谈谈如何用好两个记数原理迅速解决相关问题.

一、分类问题

例1： 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？

解法一：分析个位数字，可分以下几类：

个位是9，则十位可以是1，2，3，…，8中的一个，故有8个；个位是8，则十位可以是1，2，3，…，7中的一个，故有7个；同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……个位是2的只有1个.

由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有1+2+3+4+5+6+7+8= （个）

解法二：按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.

则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.

方法归纳：本题是用分类加法计数原理解答的.结合本题可进一步加深对“完成一件事，有n类方案”的理解，所谓“完成一件事，有n类方案”，这里是指对完成这件事情的所有方案的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意满足一个基本要求：完成这类事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法.只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理.

二、分步问题

例2 ：在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_____________.

解法一：1、2、3、4、5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有

（1）形如 ，后两位只能填5、4，

∴有1种数合要求.

（2）形如 ，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.

∴符合要求的数有C ·A =4种.

（3）形如 ，第二位选4或5，后三位任选，方法数为C ·A =12种.

（4）形如 ，第二位开始，均可任选，方法数为A =24种.

（5）形如 ，第二位选1或2，后三位任选，方法数为C ·A =12种.

同理形如 ，2A =4种，形如 ，1种.

∴合要求总数为（1+4+12）×2+24=58种.

解法二：可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.

答案：58种

评述：用分步排位的方法计算排列数时，必须注意三个方面：（1）在题设条件制约下，每一步排位，哪些元素可取，哪些元素不可取；

（2）在某一步排位后，下一步排位可取元素的个数，应视具体情况而定；

（3）若某一步必须分类，则分类后各步都必须按各类分别计算.

三、分类、分步综合问题

例3：某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）

解法一：从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.

（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×3×2×2×1=48种；

（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×3×2×2×1=48种；

（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×3×2×1=24种.

所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.

解法二：记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A 种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.

根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A ×5=120.

答案：120

评述：解法一是常规解法，要先弄清什么是区域相邻的概念，如果两个区域至少有一条公共边，那么我们说这两个区域相邻，如图中1、2、3三个区域两两相邻，与不相邻，因此1、2、3三个区域的颜色两两不同，②与⑤、③与⑤、②与④及③与⑥它们可以同色，也可以不同色，由此进行分类即可解决.

解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.

篇5：分类计数原理和分步计数原理教案

选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理

（一）教学目标

1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题．

教学的重点与难点

1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。

2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。

教学过程

（一）分类加法计数原理。

问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗？

问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

图1

问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数？

归纳：

一般地，有如下原理：（出示投影）

分类计数原理

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 注意：分类适当不重不漏。

（二）分步乘法计数原理

问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图2）？

图2

这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．

这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6种不同的走法．

问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗？

归纳；完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法

长沙市第一中学高二数学备课组

选修2-3 那么完成这件事共有m1×m2种不同的方法。

问题8：完成一件事，需要分成3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少不同的方法？如果完成一件事情, 需要有n个步骤做每一步都有若干中不同的方法，应当如何计数？ 于是得到如下原理：（出示投影）

分步计数原理落千丈 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法．

问题8：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？

分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。

它们的区别在于：

分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．

（三）举例应用 例1.第4面的例2 例2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2

（四）课堂练习

1.教科书第6面的第1，3题

2．（1）将4个信封投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？

34（2）4位同学参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？

34（3）4位同学参加3项不同的竞赛，每项限报一项，有多少种不同的报法？

43（4）4位同学去3人参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？

4×3×2 3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？

解：由于1、2、3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理N3333381

（五）课堂小结

1、分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，2、“合理分类”要全面, 不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，3、“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;

4、在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,不重复、不遗漏

（六）课后作业

篇6：分类计数原理和分步计数原理教案

李应钊

2009212042

一、教学目标

知识与技能：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；会利用两个原理分析和解决一些简单的实际问题。

过程与方法：通过诱导，探索得出结论，培养学生的理解能力和抽象概括能力；通过知识应用培养学生的分析和解决问题的能力。

情感、态度与价值观：通过实例引入体会数学来源生活，并为生活服务，激发学生学习本章的兴趣；通过探索与发现的过程，使学生体会数学研究的成功与快乐，学会提出问题、分析问题、解决问题，激发学生勇于探索，敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

二、重点与难点

重点：理解分类加法原理与分步乘法计数原理；并能根据具体问题的特征，选择分类加法原理与分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，能根据具体问题的特征，正确选择分类加法计数原理与分步乘法计数原理解决计数问题。

关键：使学生从实例分析和例题学习中，正确认识分类和分步的特征。

三、教学方法：

本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式的教学方式。教学辅助手段：多媒体辅助教学。

四、教学过程

1.创设情境，激发兴趣。

2011年10月16日，第七届城市运动会在南昌开幕，其中乒乓球比赛项目17日至24日在“乒乓球市”新余举行，共有25支代表队参加比赛。问:（1）在男单比赛中，若采用小组单循环赛，已知第一小组有A、B、C、D、四人，那么第一小组共有多少场比赛，你能一一列举出来吗？（2）比赛分循环赛、淘汰赛、交叉赛，总共有多少场比赛？

2、实例分析，归纳概念

问题

1、从天津到大连，有四种交通工具供选择：汽车、火车、飞机、轮船。已知每天汽车有1班，火车有4班，飞机有2班，轮船有2班。问共有多少种走法？ 设问1：从天津到大连按交通工具可分____类方法?

第一类方法, 乘汽车，有___ 种方法;第二类方法, 乘火车，有___ 种方法;第三类方法，乘飞机，有___ 种方法;第四类方法，乘轮船，有___ 种方法;∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法

设问2：如果完成一件事有四类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第4类方案中有m4种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

设问3:如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？ 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn

种不同的方法.称为分类加法计数原理，简称加法原理。

问题2：从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从C村去D村的道路有3条（如图所示）。李明要从A村先到B村，再经过C村，最后到D村，一共有多少条线路可以选择？

设问1：（1）整个行程必须通过几个步骤？ 第一步, 由A村到B村有___种方法 第二步, 由B村到C村有____种方法, 第三步, 由C村到D村有____种方法, ∴从A村到D村共有_______种方法。引导学生类比归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1m2…mn种不同的方法.称为分步乘法计数原理，简称乘法原理

这两个原理有什么联系与区别？（学生归纳，教师随机板书）

分类计数与分步计数原理的区别和联系：

联系

加法原理

乘法原理

“完成一件事”的计数方法

完成一件事共有n类办法，关键

区别 词是“分类”

每类办法中的每一种方法都能

完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”

各步中的任何一种方法都不能独立完独立完成这件事情。（类类独立）成这件事情，只有每个步骤完成了，才

各类方法数相加

能完成这件事情。(步步关联)各步方法数相乘

3、合作学习，形成认识

例

1、在1,2,3，……，200中，能够被5整除的数共有多少个？ 教师设置如下问题：

 在本题中“完成一件事”指的是什么？  完成这件事是分类还是分步？具体怎么做？  根据什么原理计算得出结果是多少？ 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5；

因此，把1,2,3，···，200中能够被5整除的数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个。

第二类：末位数字是5的数，一共有20个。

根据加法原理，在1,2,3，···，200中，能够被5整除的数共有20+20=4个。

例

2、有一项活动，需在3名教师，8名男生和5名女生中选人参加。（1）若只需1人参加，有多少种选法？（2）若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？

教师组织三位学生合作解决问题，其中甲问乙答丙补充，引导甲问如下3个问题：

（1）在本题中“完成一件事”指的是什么？（2）完成这件事是分类还是分步？具体怎么做？（3）根据什么原理计算得出结果是多少？ 乙作答，丙完善补充：

第（1）问：选一人参加活动，分三类。第一类:选一名教师，有3种；第二类：选一名男生，有8种；第三类，选一名女生，有5种。由加法原理，共有N=3+8+5=16种选法。第（2）问：需选三人参加活动，分三步完成。第一步:选一名教师，有3种；第二步：选一名男生，有8种；第三步，选一名女生，有5种。由乘法原理，共有N=3×8×5=120种选法。

4、自主探究，深化理解

练习1：课本第5页练习并组织学生作答。

练习2：①在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

②一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

练习3：（课本练习拓展题）有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不科目同的书，有多少种取法？

5、总结反思，提高认识 你在本节课学到了什么？ 一个中心问题：计数问题

两个基本原理：

1、分类计数原理：

2、分步计数原理：

三个思维关键:

1、明确完成一件事的含义；

2、分清分类（类类独立）与分步（步步关联）；

3、分类、分步标准明确,分类不重不漏，分步步骤完整。

6、布置作业，知识拓展 P5习题1-1:第3、4、5题

附：板书设计

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

分类加法计数原理

例1

分步乘法计数原理

篇7：分类计数原理和分步计数原理教案

一、本课教学内容的本质、地位、作用分析

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是人类在大量的实践经验的基础上归纳出的基本规律，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且其基本思想方法也贯穿在解决本章应用问题的始终，在本章中是奠基性的知识。返璞归真的看两个原理，它们实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的推广。从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程。这样做的目的是为了分解问题、简化问题。可见，理解和掌握两个计数原理，是学好本章内容的关键。

二、教学目标分析 1.知识目标

使学生熟练掌握两个原理的内容、区别，能够灵活的应用两个原理解决常见的计数问题。2.能力目标 在教学过程中，凸显两个原理发现的原始过程，使学生深刻理解由特殊到一般的归纳推理思维，在应用原理解决问题时，体会一般到特殊的演绎推理思维，从而培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力以及解决实际问题时主动应用数学知识的能力。3.德育渗透目标

通过探索与发现的过程，使学生亲历数学研究的成功和快乐，感悟数学朴实无华的内在美，学会提出问题、分析问题、解决问题、推广结论进而完善结论的数学应用意识，激发学生勇于探索、敢于创新的精神，优化学生的思维品质。

三、教学问题诊断

两个原理的获得过程对于学生来讲并不难，学生已经具备了由具体问题抽象概括、总结归纳的能力，对于两个原理的应用，尤其是分类、分步的区别是认识上的难点，事实上，经验表明：有些学生一直到高考前都难以准确的区分好两个原理，教学始终牢牢把握这一难点也是重点展开。

四、本节课的教学特点以及预期效果分析

《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程。新课程标准的价值取向是要求教师成为决策者而不是执行者，要求教师创造出班级气氛、创造出某种学习环境、设计相应教学活动并表达自己的教育理念等等。

基于以上思想，本节课采用问题式教学为主线，辅以启发式、探究式、自主式、讨论式教学方式。教学内容以2010年南非世界杯相关问题背景为主线展开，辅以大量的实际例子，形成学生对于两个原理的发现、归纳、总结、应用、推广、再认识的过程。具体而言，设置以下几个环节：

【创设情境、设疑激趣】

引入采用世界杯总场数的设问，引导学生发现逐个列举所有场数不易操作，从而引出研究计数问题的必要性并给出计数问题的含义。给出课题，指明探究方向。

【问题导学、研究分类加法计数原理】

先用世界杯网络测试的背景作为引例，启发学生放飞思维，联系生活实际，举类似的例子；再引导学生充分讨论，深入探究，寻求例子的共性，归纳、概括出分类加法计数原理；接着为了加深对于原理的认识，给出“原理”的含义，并进一步对原理的内容进行解释，强调“完成一件事”“分类”“加法”三个关键词；再通过实例引导学生推广原理；最后依然用世界杯的背景例子启发学生归纳出分类的基本原则：“不重不漏”。

【类比研究、研究分步乘法计数原理】

完全类比分类加法计数原理的研究思路，充分讨论，层层设问，得出原理，延伸推广，强调分步注意“步骤完整，步步相依”。

【典型例题、区分两个原理】

把课本上的书架三层有三种书分别若干本的例子，改编为三问：第一问求任取一本书的取法数，直接用分类加法计数原理即可解决；第二问求每层各取一本书的方法数，直接用分步乘法计数原理；第三问求取两本不同学科的书的方法数，需要先分类，再分步，体现了两个原理的综合应用。本题旨在同一背景下认识两个原理，区分两个原理，尤其区分“类”和“步”。然后先讨论，再和学生一起归纳出两个原理的联系和区别，填充表格。

【课下讨论探究】

设计了两个小题，分别是参赛、夺冠两个极易混淆的背景，需要学生课下充分讨论、探究，深思熟虑再解决，是课堂教学的延伸。

【布置作业、反思小结】

布置课后作业，小结内容，提炼归纳出利用两个原理解决计数问题的一般思路。最后指出：细微的生活中往往蕴涵着深刻的数学思想方法，利用数学工具研究缤纷多彩的世界充满了无限的乐趣！这就是数学的魅力！最后预祝大家都能学好数学、用好数学、欣赏数学、热爱数学！

通过以上设计，预期达到以下效果：使学生在对于两个原理的发现过程中，体会由特殊到一般的归纳推理思维；在应用原理解决实际问题的过程中，体会主动应用数学的意识；通过大量的老师举例、学生举例、典型例题，使学生熟练两个原理的应用，体会两个原理的广泛应用。

篇8：计数原理教案

考

评

课

教

案

授课人：邹强

2008年5月 §10.1 分类计数原理与分步计数原理

授课人：邹强

教学目标：

知识目标：①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；

②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；

能力目标：培养学生的归纳概括能力；

情感目标：①了解学习本章的意义，激发学生的兴趣

②引导学生形成 “自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式..教学重点：

分类计数原理与分步计数原理的应用理解 教学难点：

分类计数原理与分步计数原理的理解 教学方法：

问题式、螺旋上升的教学方法 教学过程：

一．课题引入

中央电视台体育频道每周四次对“NBA”进行现场直播，并对参与节目交流的观众进行抽取幸运观众活动，奖品是“NBA”明星真品球衣或明星战靴，此节目深受广大篮球迷的喜欢。已知在某次直播时，共收到手机号码2万个。其中联通号码有0.8万个，移动号码有1万个，小灵通号码有0.2万个。现抽取：

（1）一名幸运观众有多少种不同类型的抽法？

（2）从联通号码、移动号码和小灵通号码中各抽取一名幸运观众共有多少种不同的抽法？ 象这种计算所有情况的问题可称为计数问题，用来解决这种问题的一般方法或计算规律叫做计数原理，今天我们就来探求它们。

二．新课讲授

问题1.1:“两会”决定,下一次会议一定要有农民工代表参加.假如现在南方有农民工代表30人,北方有农民工代表20人,现在选举一名农民工代表共有多少种选法? 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有 n 种不同的方法.那么完成这件事共有 N = m + n 种不同的方法.问题1.2:在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从这些强项专业中任选一项共有多少种？ 探究一：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有 m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，在第n类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分类计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有 m2 种不同的方法……在第n类办法中有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn 种不同的方法.问题2.1:国务院总理温家宝在十届全国人大三次会议上作政府工作报告时表示，补助贫困学生生活费。假设补助后西部某省的贫困生午饭可买两盘菜（蔬菜类 + 肉类），学校食堂的菜单如下，蔬菜类

肉类

萝卜

猪肉

白菜

牛肉

花菜 请问有多少种不同的选法? 完成一件事需要两个不同步骤，在第1步中有 不同的方法.那么完成这件事共有Nm 种不同的方法，在第2步中有 n 种

mn种不同的方法.问题2.2：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，清华大学,复旦大学,南京大学三所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

清华大学

复旦大学

南京大学

数学

生物学

新闻学

化学

会计学

金融学

医学

信息技术学

人力资源学

物理学

法学

工程学

那么，这名同学从清华大学，复旦大学，南京大学这些强项专业中各选一项共有多少种？

探究一：如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有 m

1种不同的方法，做第2步有 m种不同的方法，做第3步有

m种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？

分步计数原理： 一般归纳：

完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有 m1 种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法……做第n步有mn 种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.理解分类计数原理与分步计数原理异同点

①相同点：都是完成一件事的不同方法种数的问题

②不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成.分步时，每一步都可以看成分类；分类时，每一类也可能要有好几步才能完成。例题选讲

问题3.1 书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放2本不同的体育书.①从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

②从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？ ③从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？ 学生练习： 填空：

（1）一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是

.（2）从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有

条..（3）从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有

种.（4）.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有

种不同的推选方法.总结归纳： 1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合问题的最基本的原理，是推导排列数、组合数公式的理论依据，也是求解排列、组合问题的基本思想.2．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并加区别

分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相对独立，用其中任何一种方法都可 4 以完成这件事；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成后才算做完这件事.3．运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理的注意点：

分类加法计数原理：首先确定分类标准，其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法计数原理：首先确定分步标准，其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，这件事才算完成 作业布置：

.1．课本第９７页的习题1０.1A第1，2，3题．

2．编一道运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解答的应用题，并加以解答． 课外思考：

篇9：分类计数原理和分步计数原理教案

J1 基本计数原理

J2 排列、组合7．[2014·全国卷] 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()

A．60种B．70种

C．75种D．150种

7．C [解析] 由题意，从6名男医生中选出2名，5名女医生中选出1名组成一个医

21疗小组，不同的选法共有C6C5＝75(种)．

J3 二项式定理

6313．[2014·全国卷](x－2)的展开式中x的系数为________．(用数字作答)

6r6－rr13．－160 [解析](x－2)的展开式的通项为Tr＋1＝C6x(－2)，令6－r＝3，解得r

333＝3.因为C6(－2)＝－160，所以x的系数为－160.J4 单元综合2．[2014·汕头一模] 某同学有2本同样的画册，3本同样的集邮册，从中取出4本赠送给4位朋友，每人1本，则不同的赠送方法共有()

A．4种B．10种

C．18种D．20种

12．B [解析] 本题可分两类：一是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C4＝

24(种)；二是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C4＝6(种)．故赠送方法共有10

种．

3．[2014·惠州调研] 某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案的种数为()

A．12B．14

C．16D．10

43．B [解析] 从6人中选4人的方案有C6＝15(种)，没有女生的方案只有1种，所以

满足要求的方案共有14种.4．[2014·成都一诊] 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为()

A．12B．1.C．8D．6

篇10：分类计数原理和分步计数原理教案

（D）96 种））（A）480 种 例5 种.（A）5040 4 遗漏计算出错 某交通岗共有 3 人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（（B）1260（C）210（D）630 0）1，3 在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而出错。例6 用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的比 1000 大的奇数共有（（B）48 个（C）66 个（D）72 个（A）36 个 2 3 1 4 5 5 忽视题设条件出错 在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解.例7 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有 4 种.（以数字作答）种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 例 8 已知 是关于 x 的一元二次方程，其中 a、，求解集不同的一元二次方程的个数.6 未考虑特殊情况出错 在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会出错.例9 现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成 不同的币值种数是（）(A1024种(B1023种(C1536种(D1535种 6 明轩教育 7 题意的理解偏差出错 例 10（A）您身边的个性化辅导专家 电话： 现有 8 个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有（）种.3 5 8 6 3 3 3 8 4（B）

（C）

（D）

解题策略的选择不当出错 例 11 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自）.（C）37 种（D）48 种 由选择，则不同的分配方案有（（A）16 种（B）18 种 排列与组合习题 1．6 个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐 4 人，则不同的乘车方法数为(A．40 B．50 C．60 D．70 2．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有(A．36 种 B．48 种 C．72 种 D．96 种 3． 只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有(A．6 个 B．9 个 C．18 个 D．36 个 4．男女学生共有 8 人，从男生中选取 2 人，从女生中选取 1 人，共有 30 种不同的选法，其中女生有(A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共 10 级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用 8 步走完，则方法

有(A．45 种 B．36 种 C．28 种 D．25 种 6．某公司招聘来 8 名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三 名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有(A．24 种 B．36 种 C．38 种 D．108 种 7．已知集合 A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的 不同点的个数为(A．33 B．34 C．35 D．36 8．由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是(A．72 B．96 C．108 D．144 9． 如果在一周内(周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有(A．50 种 B．60 种 C．120 种 D．210 种 10．安排 7 位工作人员在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不 同的安排方法共有________种．(用数字作答 11．今有 2 个红球、3 个黄球、4 个白球，同色球不加以区分，将这 9 个球排成一列有________种不同的排法．(用数字 作答 12．将 6 位志愿者分成 4 组，其中两个组各 2 人，另两个组各 1 人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答． 13．要在如图所示的花圃中的 5 个区域中种入 4 种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种 不同的种法(用数字作答． 14.将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中．若每个信封放 2 张，其中标号为 1，2 的卡片放入 7 明轩教育 同一信封，则不同的方法共有（（A）12 种（B）18 种 您身边的个性化辅导专家）（C）36 种（D）54 种 电话： 15.某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙 不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，则不同的安排方案共有 A.504 种 B.（B）96 960 种 C.1008 种（D）144）D.1108 种 16.由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都不与 5 相邻的六位偶数的个数是（A）72（C）108 17.在某种信息传输过程中，用 4 个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用 数字只有 0 和 1，则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为（A.10 B.11 C.12 D.15 18.现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四

项工作 之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案 的种数是（A．152）C.90 D.54 B.126 19.甲组有 5 名男同学，3 名女同学；乙组有 6 名男同学、2 名女同学。若从甲、乙两组中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有(（A）150 种（B）180 种（C）300 种(D345 种 20.将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（）A.18 数是（A.60）B.24 C.30 D.36 21.2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种 B.48 C.42 D.36）22.从 10 名大学生毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位为（A 85 B 56 C 49 D 28 23.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种 数是（A.360）B.188 C.216 D.96）24.12 个篮球队中有 3 个强队，将这 12 个队任意分成 3 个组（每组 4 个队），则 3 个强队恰好被分在同一组的概率为（A． 1 55 B． 3 55 C． 1 4 D． 1 3 25.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 级的台阶上，若每级台阶最多站 2 人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站 法种数是（用数字作答）． 26.锅中煮有芝麻馅汤圆 6 个，花生馅汤圆 5 个，豆沙馅汤圆 4 个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 4 个汤圆，则每种汤圆都至少取到 1 个的概率为（A．）D． 8 91 B． 25 91 C． 48 91 60 91 种（用数字作答）． 27.将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 号，则不同的放球方法有（A．10 种（A）３０种）C．36 种（C）１８０种 D．52 种（D）２７０种 28.将 4 个颜色互不相同的球全部放入编号为 1 和 2 的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编 B．20 种（B）９０种 29.将 5 名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有 8 明轩教育 您身边的个性化辅导专家 电话： 30.某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去, 则不同的选派方案共有 种 个（用数字作答）． 31.用数字 0，1，2，3，4 组成没