通过教学培养学生科研能力

2023-02-10

我们在多年教学中, 特别是大学一年级开设的《高等代数》课的教学中十分注意学生科研能力的培养, 并取得一定成果, 以下介绍几点做法。

1 感受科研氛围

在我们编写的《线性代数》[1]教材中, 不仅体系a有所创新, 而且许多经典定理都给出了新的证明。例如行列式乘法定理、等价分解唯一性定理、基础解系定理、实对称阵正交对角化定理和惯性定理等。象高等代数这样的课程, 其内容已经有几百年的历史, 许多定理的证明都是一再推敲。能写出与现行国内外教材不一样的证明确实是需要做一番努力的, 其实也可以说是在进行科研活动。学生学这样的教材, 在与其它教材的比较中感受了一定的科研氛围。此外, 我们编写的《高等代数方法选讲》[2], 在大量内容基础上提炼出方法来 (许多都是对科研有价值的) , 这本身就是一项研究。同时, 我们还写了自己科研成果中抽取出来的一些小命题。使学生在学习过程中尽量感受科研气氛。

2 培养问题意识

搞科研首先必须在前人研究的基础上提出问题。所以会不会提问题?有没有提问题的习惯?是否善于提出好问题?这些都与科研密切相关。

我们在平时教学中就特别注意培养学生的问题意识和质疑精神。我们实施的问题链教学法, 实际上就是把教学内容用问题串起来讲授的方法。问题可由老师提出, 也可由学生提出, 还可以师生结合提出。长期坚持使我们看到学生提问题的能力确实有所增强。

我们还在辅导答疑中发现学生会提出许多好问题, 有的恰恰是今后要讲的内容, 有的可以告诉学生去查资料加以解决, 有的甚至可以开展研究。例如当我们讲行列式按一行或一列展开公式时, 有的同学问“是否可按两行或多行展开, 有公式吗?”我们发现这个问题提得很好, 这个内容恰恰是教材没写, 而在别的教材上可以找到。我们就在课堂上赞许了这种提问题的精神, 同时告诉学生可以自己钻研解决, 也可以查资料解决。又如学完实对称正定阵, 有的学生问:“如果把定义中的阵换成一般的未必对称的阵可以吗?”我们告诉学生, 这是另一种正定性概念, 前人也已经有过研究, 并且直到现在仍有这方面成果出现, 有兴趣可以在读文献的基础上展开研究。结果写毕业论文时, 有的同学确实写出了这方面的成果。

有一年北大教材第二版新增内容有一个定理证明有误, 我们发现后立即在讲授时让同学在自学中去发现问题, 并通过课堂讨论解决了这个问题, 培养了同学不迷信, 敢质疑的精神。有一次在校内数学竞赛时一个学生发现有一个题有问题, 当场就钻研了它并举出一个反例, 原来是老师出题时写丢了条件。只凭这一点我们评卷时就给了高分并大力宣传这种敢于质疑的科学精神。

在教学中我们注意引导学生学会逻辑地提出问题。对一个命题, 可以问逆命题对否?弱化条件将如何?对一个问题可以提出反问题。对一个结论可以研究其特殊情况看有什么推论。许多问题可以通过归纳, 类比、嫁接和移植的方法提出, 在教学中加以渗透对学生是大有益处的。

3 模拟科研过程

数学教学的过程是老师引导学生学习前人得到的概念、定理及方法的过程, 需知前人得到他们是有一个科研过程的。当然不能让学生完全去走这个历史过程。但是我们认为, 在时间允许的条件下尽量模拟历史过程或者揣摩出一个思维过程在教授中体现出来对学生提高研究能力是很重要的。

例如在讲授实对称正定阵顺序主子式条件时, 我们首先启发学生:“能否找一个用行列式描述的正定性条件?”, 然后发现必要条件是行列式大于0, 但它并不是充分条件。再让学生设法增加条件, 最后得到结果, 这实际上是在展示研究过程。

1 9 9 6年, 我们发现全国硕士生统考题中的一个错题。起初我们做这个计算题得到的结果与标准答案不一样。同一问题, 方法不同不应该导致不同答案。问题在哪里?几经研究才发现, 该题给出的已知数据已经背离了线性代数的有关定理, 是编题者的错误。我们在教学中经常拿这个典型例子, 让学生重复发现这是个错题的过程, 当学生找到问题的所在时是很兴奋的。

4 学习思维方法

学习一门课程, 除掌握知识之外更主要的应该学习到一些思维方法。这些思维方法中有的对解决该门学科或分支是有效和重要的, 有的可能是有广泛的意义和价值, 它的作用是跨学科的。例如高等代数中矩阵分块和分解是最近几十年的新技术, 许多基本观点的树立对解决线性代数问题是有直接意义的。这些都需要在教学中渗透、引导学生去领会。所以教者在教授知识时必须有目地传授方法。

还有些思考问题的方法对于数学学科的所有分支具有一般意义, 就更需要在教学中将其突出和强调, 让学生有更大的收益。例如从容易解决的情况出发展开分类的方法;通过诸多特殊逼近一般的方法;实施命题等价转化或减弱转化的方法;从研究最简单情形到运用数学归纳法的方法;存在性证明的直接构造法及转化为已知存在性命题的方法;唯一性证明的反证法等。

还有一些使用更广泛的方法。例如步步为营, 迂回战术, 退一步进两步, 在可行性分析基础上前进, 突出主线, 搭桥战术, 调节控制, 构建大框架, 全局把握等思维方法和思想方法是可以在教学中渗透的, 学生即使将来不搞数学做其他工作也会大大受益。

5 加强科研训练

教者在教学中的渗透和引导代替不了学生的亲自感悟, 因此训练是培养能力的重要环节。

对学生进行科研训练, 常在数学竞赛和数学模型竞赛钱的集中辅导阶段进行。此外, 在学生的课外小组活动中, 在学生直接参加校科技杯竞赛及大学生挑战杯竞赛过程中会得到更深入地训练。训练无非是读一些文献, 选择一些比较小的题目, 在一段攻关的努力后写出一些小论文。在这些训练中教师要教会学生选择课题, 粗读和精读文献的方法, 构思解决问题的大思路, 然后分解成各个小部分, 最后解决问题。当然, 这只是部分学生的事, 不能设想每个学生都能达到这种层次, 但教师的努力和引导, 学生之间的相互启发, 会不断使更多的学生感兴趣和有能力参与。

更有效的训练是指导学生做毕业论文。对有兴趣做代数, 特别是高等代数课题的学生我们有更充分的时间按步骤对学生进行全面训练。这里包括科研真实过程的实际感受。例如在资料全面查询的基础上确定题目, 一个解决问题的思路失败后的再努力, 如何具体由一点点积累到解决一个有价值的问题, 如何产生灵感等等。学生会在实际中真正领教, 不断增长才干, 最终达到解决问题。