综合复习如何精讲精练——谈高中解析几何的复习

在高中数学的复习阶段, 让学生认识到数学的本质的一些东西是很有必要的。学生在高中数学中学习了很多知识, 比如集合、函数 (重点研究了幂函数、二次函数、反函数、指数函数与对数函数, 三角函数等) 、方程、不等式、数列、平面和空间向量、解析几何 (直线与圆, 一般曲线, 圆锥曲线等) , 直线与平面和简单几何体, 排列组合和二项式定理, 概率及统计, 极限, 导数, 复数等数学知识。同时学生在高中数学中还学到了很多的思想方法等。这些知识与思想方法, 在学生眼里是零星散乱的, 甚至认为是关联不大的。这里举的例子就是说明这些知识与思想方法之间的内部联系的, 也是开发学生思维与智慧的。希望能有助于广大的读者。

综合复习, 不仅综合数学知识, 更是融合数学思想与方法, 也是发散学生思维, 开启创新思维, 提高学生分析问题、解决问题甚至提出问题的能力的时机。再说近年高考题也正在往数学知识的综合型方向发展, 对学生的能力要求提高了, 本例题就是希望抛砖引玉, 以期能使学生能融会贯通, 提高学生综合素质与实践能力。

一、加强基础, 注重概念、公式、性质的复习, 并选例精讲

复习不要只是进行简单的知识浓缩与单纯的知识再现, 应通过对数学知识 (技巧、方法、思想) 作出更高层次的抽象与概括, 产生认识上的飞跃, 知识上的融会贯通, 技能上的举一反三, 学习上的触类旁通。不仅加深对数学知识的理解, 并牢固地掌握和发展创新。

例1:如图, 已知直线与抛物线相交于A、B两点, O为坐标原点, 求证:OA⊥OB。 (注:见高二上册数学教材 (人教版) 第八章《圆锥曲线方程·小结与复习》的参考例题的例2)

分析:解决垂直问题, 这是中学数学的一大类问题。下面提供的解法中, 横向涉及数学各分支知识的综合, 比如代数、平面几何、解析几何与向量等;纵向涉及高初中数学知识的综合;竖向涉及各种数学思想方法的综合, 比如数形结合思想, 设而不求, 计算, 转化等思想方法。可谓是全方位的综合复习, 也不失为一个很有研究价值的典型例题。

以上五种策略通过具体计算的思想方法可以说是第一大类解法, 也是比较基本的方法, 但对学生的计算能力要求比较高。下面同样是这些策略, 还可以再给出五种不同的解法, 它们优于第一类解法之处在于整体求解的功效, 通过设而不求、转化等办法, 避免了一些较为复杂的计算, 对同学们思路上的开阔和强大的对知识的综合运用能力有较强的冲击力。这两大类解法, 如果说这些是容易想到的方法, 那么下面的是第三大类方法, 这将是学生不容易想到的方法了吧。如果学生也能想到它, 就体现了学生解题的灵活性和思维的开阔性.只要紧紧抓住OA、OB都过原点这一特征, 即直线的斜率那就行了, 这也是解本题的关键和突破口, 构思巧妙, 方法独特。

策略六、韦达定理与斜率性质

从而斜率KOA, KOB是该方程的两根,

以上方法对解决曲线上垂直问题具有普遍指导意义。

除了以上方法以外, 还可以用三角函数知识求解。原理:在△AOB中, oA⊥OBsin∠AOB=1sin2A+sin2B=1sinA=另COS外B=, 由于解析几何的基本要件是点、直线与圆几何图

形与坐标系等, 所以要从中点、方程、距离、向量、三角等方面加强复习。具体地说, 1、在复习中要注意中点公式的复习与应用。中点坐标公式是解析几何中简单而常用的一个公式, 求一些动点的轨迹方程和曲线对称变换中有着重要的应用。例1:变式1:已知抛物线C:y2=2x, 直线l过点R (0, 1) 交C于点P, Q。求以OP, OQ为邻边的矩形OPMQ的顶点M的轨迹方程。2、要注意斜率的复习与应用。斜率是直线方程的基本概念, 与直线的倾斜角有关, 特别要注意斜率不存在的情况。例2:已知两点P (0, -2) , Q (0, 2) , 设长为的线段AB在直线l:y=x上移动, 求直线PA和QB的交点的轨迹方程。3、要注意点到直线距离公式的复习与应用。点到直线的距离公式, 在求线段相等, 求点的坐标, 求三角形面积等有广泛的应用。例1变式2:正方形ABCD在直角坐标平面内, 已知其一边AB在直线y=x+4上, C、D在抛物线y2=x上, 求正方形ABCD的面积 (答:18或50) 。4、要注意韦达定理及判别式的复习与应用。韦达定理及判别式, 在判别直线与曲线、曲线与曲线的位置关系;求交点间的距离等方面有较广的应用, 还要注意题型中的实际情况。例3、如图, 过点 (1, 0) 的直线与中心在原点, 焦点在x轴上, 且离心率为e=的椭圆C相交于A、B两点, 直线y=x过线段AB的中点, 同时椭圆C上一点与右焦点关于直线l对称。试求直线l与椭圆Q的方程 (答:直线方程为y=-x+1;椭圆方程为=1) 。5、要注意圆锥曲线定义的复习与应用。要特别注意圆锥曲线第一定义及第二定义的应用以及二者的结合应用。6、要注意平面几何与代数知识的综合运用。平面几何知识与解析几何知识的结合, 使解题更加直观、简捷。例4、点P是双曲线=1右分支上任意一点, F1, F2分别为左右焦点, △PF1F2的内切圆切x于Q点, 求Q点的横坐标。

二、注意课本例题、习题的挖掘与延伸, 并达到精练

在复习阶段, 应深入研究课本的例题、习题, 才能全面完整掌握解析几何的基本知识及基本解题思想方法。

1、在公式的推导及某些例题、习题的解答过程中, 充分挖掘其潜在的数学思想与方法。

例1变式3:已知直线y=mx (m>0) 和曲线y=x2-2x+2交于A、B两点, 点P在线段AB上。

且 (O为坐标原点) , 求当m变化时, 点P的轨迹方程 (答:2x+-4=0 (0

2、对课本例题、习题要引导学生进行一题多解, 促使知

识纵横联系, 尽量想出更多的知识与思想和方法, 达到精练的目的。比如上述例1。

3、注意课本例题、习题的延伸与推广。

以下几例, 可以作为例1的变式, 也就是延伸与推广。例1变式4:《解几》P125第10题在椭圆=1上求一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直。例1变式5:在椭圆=1上求一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直。例1变式6:在椭圆=1上如能找到一点, 使它与两个焦点的连线互相垂直, 求椭圆的离心率的范围。例1变式7:已知椭圆=1的左、右焦点分别为F1, F2, P是椭圆上一点, 且∠F1PF2=90°, 求△PF1F2的面积。

例1变式8:若双曲线-y2=1的焦点是F1, F2, P是双曲线上任一点, 且PF1⊥PF2, 求△PF1F2的面积。 (提示:两个妙解.一是利用双曲线第一定义和勾股定理, 一是利用双曲线方程和圆方程求P的纵坐标, 都可以轻松的求解)

4、注意课本例题、习题规律的总结。

对于课本的例习题, 不能仅满足于做、变, 还要求在解答过程中, 适时注意概括总结一般性规律。比如例1就总结出了求解有关垂直的思想和方法。再如例5:求抛物线y=x2上到直线y=2x-6的距离最小的点的坐标, 并求出这个距离。复习时, 在引导学生作出多种解答的基础上, 可作如下分析总结:总结1:求二次曲线上的动点到定直线的距离的最值的方法可用点到直线的距离公式, 或者平行直线与二次曲线相切的方法, 其中又可以用普通方程, 也可以用参数方程。总结2:由此可推广到求二次曲线上的动点到定圆 (包括点) 的距离的最值。思想与方法差不多。总结3:还可变形为求相关点的坐标等。如设A点在直线或圆 (包括点) 上运动, B (待定) 在一个含有某未知因素的二次曲线上运动, 求│AB│达到最大或最小时, B点的坐标。

当然这样的精讲精练, 苦了教师, 但幸福了学生, 对学生的未来有非常巨大的影响。只要我们通过这样的方式把学生引导好了, 学生不仅会分析和解决问题, 还学会了思考, 学会了联想, 学会了转化, 学会了变形, 也就学会了实践操作和创新发展。那么我们的抛砖引玉也就达到了目的了。

关键词：高中,数学,综合,复习,精讲,精练,创新