浅谈高三立体几何的专题复习

纵观近几年高考试卷中的立体几何试题, 命题形式比较稳定, 一般安排了一大一 (或二) 小题。小题背景较新或是常规题或是为了体现区分度作为难题;解答题常是一题多问, 一题两法, 既有因果关系明显的常规题, 也有开放探究性的题, 体现了知识的交汇融合, 突出了对能力的考查。立体几何考查的内容基本上可分三类:一是空间线、面位置关系的判定与论证, 二是空间角, 空间距离的计算, 三是几何体体积, 面积的求解。

高中立体几何以直观图, 空间基本图形 (点、线、面) 的位置关系, 简单体 (多面体和球) 和空间向量为载体, 在培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流能力和几何直观感知能力, 以及运用数学思想方法, 特别是数形结合和化归与转化思想, 在解决问题方面有着十分重要的作用。所以, 在复习中, 我们要以提高学生上述能力为归宿。下面就高三立体几何的专题复习浅谈笔者的几点看法。

一、构建常规问题的求解模型

在线、面平行与垂直关系的相关论证, 空间角和空间距离的计算等重点问题上要勤于归类, 立足通行通法的训练。

对空间中线、面平行和垂直的论证, 空间角和距离的计算, 是高考的重点和热点, 对于这些问题的处理需要建立求解模型, 形成通行通法, 以适应题目的各种变形。

(一) 对线、面平行和垂直的论证应抓住线线平行 (垂直) 线面平行 (垂直) 面面平行 (垂直) 这条主线索, 强化相互间的转化, 养成“证”“找”“缺”“的求解思路与方法。

(二) 对于空间角和距离的计算问题

(1) 异面直线的造角体现平移法

(2) 二面角的平面角的求解中, 定义法, 三垂线定理或逆定理法, 垂面法, 面积射影法的使用背景应让学生熟悉, 并且每种方法的具体操作方式要熟练掌握。

(3) 突破过平面外一点 (P) 引平面 (α) 的垂线问题, 常见的方法有:

直接法:当点P在面α上的射影O易于定位时, 可考虑用此法。

(1) 图 (1) 模型中, 如∠PAB=∠PAC或P到AB, AC距离相等时, O在∠ABC角平分线所在的直线上。

(2) 三棱锥P-ABC中, 射影O在△ABC内, 几个“心”的运用等。

如PA=PB=PC时, O为△ABC外心,

P到AB, BC, AC距离相等, C成各侧面与底面所成的锐二角角相等时, O为△ABC内心.

PC⊥AB, PB⊥AC, PA⊥BC中, 有两个垂直必有第三个垂直, 且O为△ABC的垂心。

(3) 利用面面垂直的性质获得线面垂直, 思路是寻找过此点的某个平面与已知平面垂直。

间接法:利用等积求高的方法, 求点面距离, 要注意下列模型的运用。

如图3, a∥α, D、E∈a, △ABC在平面α内, Vc-DAB=VD-ABC=VE-ABC=……或者利用此法求出点面距离后, 解决斜线与平面所成角问题。

如图4, PA∩α=A, 利用等积法求出P到面α的距离h后, 则斜线PA与α所成角

下面以一例说明, 如何运用通行通法分析解决线、面位置的相关论证。

例1:如图5:四边形ABCD是矩形, PA⊥面ABCD, M、N分别是AB, PC的中点, 求证: (1) MN∥面PAD, (2) MN⊥CD, (3) 如PA=AD, 求证:平面MND⊥平面PDC

析 (1) 由证线面平行的主要方法, 可按下列两种思路分析

(1) 在面PAD内寻找一条线与MN平行, 怎么找?通常找过MN的某平面与面PAD的交线 (让学生反思体会为什么?) 故可取PD中点F, 易知AF∥MN, 进而获得问题的解决。

(2) 利用面面平行的性质, 寻找过MN的一平面, 使之与面PAD平行, 如图可取DC中点E, 易证面MNE∥面PADMN∥面PAD

(2) 证异面直线的主要方法是利用线面垂直的性质, 或三垂线定理及逆定理, 因此可考虑MN与含PC的某平面 (如PDC) 垂直或由 (1) 知运用三垂线定理去证DC AF, 而MN∥AF从而得到MN⊥CD.

(3) 利用面面垂直的判定可考虑证一面内的一条线与另一个平面垂直, 如由MN⊥面PDC→面MDN⊥面PDC思路进行分析, 要证MN⊥面PDC, 由 (2) 已有MN⊥CD, 故只需证MN⊥PD (或 (DC) 即可获得MN⊥面PDC;或用平移法, 寻找与MN平行的一线, 如AF, 去证AF⊥面PDC, 从而达到让MN⊥面PDC的目的均可。总之, 反复运用“证”“找”“缺”“创”进行转化的思路完成相关论证。

二、加强向量的工具作用

空间向量的最大价值在于工具性, 能用代数的方法解决几何问题, 沟通了代数与几何的联系, 使传统几何中那些过于抽象和几何推理逻辑性较强的问题简单化, 这正是空间向量为高考青睐的原因。有了空间向量的坐标运算, 使得立体几何中诸如求空间角和距离等重难点问题的求解更加模式化、程序化。

例2:如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中, AB=2, BC=1, CC1=3, 则异面直线AB1与CD1所成角为__。

若用传统的解法, 往往需要把CD1平移到体外, 通过补体定位来求解, 要求较高。用空间向量的方法只需建立如图所示的坐标系, 易得A (1, 0, 0) , B1 (0, 2, 3) , C (0, 2, 0) , D1 (0, 0, 3) ∴

例3:如图7所示, 在三棱锥S-ABC中, △ABC是边长为4的正三角形, 平面SAC⊥平面ABC, , M, N分别是AB, SB的中点。

(1) 证明:AC⊥SB, (2) 求二面角N-CM-B的大小。 (3) 求点B到平面CMN的距离。

解 (1) 取AC中点O, 连结OS, OB

∵SA=SC, AB=BC∴AC⊥SO且AC⊥BO

∵平面SAC⊥平面ABC

平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥平面ABC, 又∵SO⊥BO

如图, 建立空间直角坐标系O-xyz

(2) 由 (1) 得, 设为平面CMN的一个法向量, 则

取Z=1, 则

∴为平面ABC的一个法向量

∴∴二面角N-CM-B的大小为

(3) 由 (1) , (2) 得为平面CMN的一个法向量

∴点B到平面CMN的距离

通过上述求解过程, 可以看出运用空间向量, 能有效地克服几何中作辅助线和几何推理逻辑性强的难点。

三、突出数学思想方法在立体几何中的运用, 以培养和提高学生的能力为目的

数学思想是数学的灵魂, 是数学知识转化为能力的催化剂。以数学思想方法为指导, 去探求解题方法的能力, 是分析、解决问题能力的重要体现。例如在立体几何中可以借助把空间问题降维到平面问题;线面关系的转化及线面关系中定性与定量的转化;等积求高;平移法的运用等有目的地深化转化与化归的思想。在处理线段长度、面积、体积的最值问题, 开放性、探究性问题等方面, 培养学生自觉运用函数与方程思想方法的意识。可以凭借几何中推理逻辑性强, 计算与推理相互印证, 对空间形式的识别、想象是其它数学内容难以充分表现的特点着重培养和提高学生的思维能力, 空间想象能力和计算能力。

四、值得注意的几个问题

1、不要忽视几何体体积的计算。虽然教材删去了体积的大部分内容, 但学生在小学, 初中对相关几何体体积的计算已学过, 故在高考试题中出现体积的计算应属正常现象。

2、几何论证与代数推理要有机结合。利用向量求解立体几何问题, 虽有统一方法可寻, 但如果全用向量的代数推理来处理, 对于点坐标难求, 运算量有时过大同样会对学生求解造成一定的困难, 因此在处理立体几何问题时, 应把几何论证与代数推理有机地结合起来。

3、计算能力要加强。高考中对诸多能力的考查又是以计算能力为媒介的, 尤其是立体几何有融计算于推理的特点, 所以平时应注意从设计合理的运算途径, 运算的准确性, 熟练性等方面, 有意识提高学生的计算能力。