基于混沌理论教学中的几点认识

2023-01-30

非线性混沌自20世纪60年代后正式形成以来, 作为非线性科学重要成就之一的混沌理论, 得到广泛的关注与空前的发展。它与相对论、量子力学一起被誉为20世纪最重要的发现。现已应用于气象学、生物医学、经济学、地质学、电子学、物理学、化学工程、电力系统、自动控制等很多领域。因此, 混沌的教学及非线性科学思想和方法是人类进一步研究大自然, 特别是研究复杂系统行为打下了必要的知识基础和方法论的重要途径。

1 混沌是规律秩序的预兆, 是存在于杂乱现象之内潜藏的规律秩序结构

混沌原意是指无序和混乱的状态。Lorenz所提出的混沌与我们通常所理解的混沌不同, 它并不意味着无序, 也不是有序的对立面, 而是有序的“前兆和伙伴”;它是包含于无序中的有序模式, 它随机出现但却存在于杂乱现象之内潜藏的规律秩序结构。也就是说虽然混沌系统具有复杂性和不可预测性, 但期间也蕴涵着规律性: (1) 混沌系统中普遍存在奇怪吸引子, 无论系统的动态特性多么复杂以及初始状态如何不同, 系统的状态最终会回到吸引子区; (2) 系统状态的终态集具有精巧的几何结构, 奇怪吸引子具有无限嵌套的自相似性; (3) 在通往混沌的道路上, 倍周期分岔点的收敛速率是一普适常数。由此表明混沌是具有规律的, 不是混乱的, 因而有人这样定义:“混沌是非周期的有序性”, 或“混沌是确定性的非周期流”。即, 混沌不是简单的有序态, 而是一种没有确定周期性和明显对称性的有序态。混沌学的任务就是寻求混沌现象的规律, 加以处理和应用。

2 混沌理论是对牛顿力学的更进一步的认识

牛顿力学最早形成对物体运动的确定性描述, 被称为确定性理论。已知物体所受的力和初始条件, 则物体在此状态以前和以后的运动是完全确定的, 这类运动是可“重现”、可“预报”的。但在本世纪60年代, 人们利用计算机进行数值计算时发现某些非线性微分方程表现出对初值改变的敏感性, 系统呈现出长时间行为的不确定性或随机性, 从而冲破了牛顿力学的决定论观点, 揭示出牛顿力学也具有内在随机性。对于确定性的牛顿力学, 随机性是一种外在的干扰, 是一种涨落或噪声。过去人们一直认为, 个体运动服从牛顿定律, 大量粒子的整体服从统计规律, 牛顿力学与统计规律之间有着不可逾越的界线。现在, 混沌研究的进展把确定性和随机性统一起来。对牛顿力学的内在随机性的探讨绝不是要把简单的事物弄的更复杂, 而是为寻求复杂现象的简单根源, 提出新的观点和方法。混沌现象是牛顿力学内在随机性的外在表现, 是确定性的简单系统表现出来的随机性的复杂运动。随着混沌研究的进展和计算机解析法的使用, 人们认识到确定性和内在随机性都是牛顿力学固有的特征。牛顿力学在解决复杂系统的过程中将会日益重新展示出自身丰富的内涵, 使人们对它有更深入、更全面的认识。

由此可知, “混沌理论”并未否定“牛顿力学”, 而是对其有更进一步的认识。就如相对论、量子力学没有否定“牛顿力学”一样。

3 混沌改变着经典物理学的世界观

人的认识的发展总是从简单事物开始的, 所以在科学发展的早期, 首先从线性关系来认识自然事物, 较多地研究了事物间的线性相互作用。科学家们在对大自然中的许多现象进行探索时, 力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型, 至少是力求对非线性模型做线性化处理, 用线性模型近似或局部地代替非线性原型, 或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。经长期发展, 在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法。由此看来, 经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有很大进展, 在自然科学和工程技术领域, 对线性系统的研究都取得很大的成绩。

线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。从结构上看, 线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性, 部分之和等于整体, 几个因素对系统联合作用的总效应, 等于各个因素单独作用效应的叠加和。因而描述线性系统的方程遵从叠加原理、分割、求和、取极限等数学操作, 都是处理线性问题的有效方法;非线性则指整体不等于部分之和, 叠加原理失效。从运动形式上看, 线性现象一般表现为时空中的平滑运动, 可以用性能良好的函数表示, 是连续的、可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变, 带有明显的间断性、突变性。从系统对扰动和参量变化的响应看, 线性系统的响应是平缓光滑的, 成比例变化的;而非线性系统在一些关节点上, 参量的微小变化往往导致运动形式质的变化, 出现与外界激励有本质区别的行为, 发生空间规律性有序结构的形成和维持。正是非线性作用, 才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。

4 混沌提供了新的物理学研究方法

混沌从物理学孕育出来又反作用于物理学, 为物理学提供了混沌的研究方法, 使研究结果更能反映客观世界的本来面目。最典型的例子就是对湍流的解释。湍流运动遵循纳维-斯托克斯 (Nervier-Spokes) 方程, 这个方程是确定性的。按照经典物理学的观点, 流体在确定的流速和压力等力学量的影响下, 应该遵循确定的轨迹运动。1971年菇勒 (D.Ruelle) 和泰肖斯 (F.Takens) 的《论湍流的本质》发表, 提出采用混沌理论来研究湍流, 基本解决了湍流难题。它指出在湍流中规则运动包含有小尺度的混沌运动, 在混沌运动中又包含着更小尺度的规则运动。现在混沌运动已经渗透到物理学的各个分支, 采用混沌理论来研究物理问题获得了巨大的成功。如:在气象学以蝴蝶效应从理论上阐明了长期天气预报的不可能性, 消除了误导气象学研究及天气预报工作的理论盲目性。在电子学中, 通过混沌理论理解和分析电路中噪声的本质, 并可以设计混沌电路来达到特殊的使用目的, 如混沌加密、分形图象压缩等。可知, 物理学方面的某些传统学科, 如金属热处理和焊接, 冶金学等, 其研究方法还处在经验和半定量描述上, 若采用混沌理论来描述, 将大大促进此学科的发展。

5 结语

总之混沌理论改变了我们的思维, 使我们能够更实事求是地处理物理学问题, 把握物理的演化规律。我们应重视混沌理论及其应用的研究, 在实际工作中要勇于面对复杂性, 自觉利用混沌理论来解决问题;在掌握本专业的知识外, 还应重视其他科学的发展情况, 拓展知识面, 借鉴其他科学有关的实验数据和事实;最后重要的是改变我们长期形成的僵化的一成不变的思维方式而形成混沌世界观的思维。

摘要：改变经典物理学的世界观, 体验新的物理学研究方法, 提高学生的科学素质。混沌的教学及非线性科学思想和方法, 是人类深入研究大自然, 特别是研究复杂系统的重要途径。

关键词：混沌,非线性,随机