数列中不等式证明问题

第一篇：数列中不等式证明问题

用放缩法证明数列求和中的不等式

近几年，高考试题常把数列与不等式的综合题作为压轴题，而压轴题的最后一问又重点考查用放缩法证明不等式，这类试题技巧性强，难度大，做题时要把握放缩度，并能自我调整，因此应加强此类题目的训练。

高考题展示：

(2006年全国卷I)设数列an的前n项的和

Sn412an2n1，n1,2,3, 333

n32n

，证明：Ti (Ⅰ)求首项a1与通项an;(Ⅱ)设Tn，n1,2,3,2Sni1

nn解：易求an42(其中n为正整数)

4124122Snan2n14n2n2n12n112n13333333

nn232311Tnn1Sn2212n122n12n11

所以：

T22ii1n3113112n112 (2006年福建卷)已知数列an满足a11,an12an1(nN*). (I)求数列an的通项公式; (II)证明：an1a1a2n...n(nN*). 23a2a3an12解：(I)易求an221(nN*).

ak2k12k11k1,k1,2,...,n, (II)证明：ak1212(2k1)22aaan12...n. a2a3an12ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232kaaan1111n11n112...n(2...n)(1n), a2a3an12322223223an1aan12...n(nN*). 23a2a3an12

111115S ，证明：nn2122232n23

1 点评：两个高考题向我们说明了数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项(裂项法)与放缩法的结合;2.用放缩法转化为等比数列求和。 题1. 已知数列an中an

放缩一：1111(n2) 2nn(n1)n1n

111111111111111()() 222222222123n123455667n1n13121113121238924005111. =136400n36400360036003Sn

点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节? 放缩二：111111(),(n2) n2n21(n1)(n1)2n1n1

111111111111111()() 122232n2122222435n2nn1n151111151115()(). 4223nn142233Sn

点评：此种方法放大幅度较

(一)小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式? 放缩三：1111111()2(),(n1) 211111n2n12n1n2(n)(n)nn42222

Sn111111111111512()12()122232n235572n12n132n13本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。

n2n

题2.已知数列an中ann，求证：ai(ai1)3. 21i1

2i12i2i111方法一：ai(ai1)i. iiiii1i1i2121(21)(22)(21)(21)2121

ai(ai1)

i1n

211111111()()()33.121223n1nn(21)21212121212121

方法二：

2i1111ai(ai1)i.(i2) (21)22i22i22i2i22i1

2i22

11111ai(ai1)22n12(1n1)3n13. 22222i1

点评：方法一用的是放缩法后用裂项法求和;方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最后结果的精确度高(3

明的结果3。

同类题训练：

1.已知数列a

n中an，Sn是数列的前n

项和，证明：1)Sn n113)，但都没超过要证nn12122.点列P(2n,23n)到直线系ln:22nxy2n0中相应直线的距离为dn,

求证：d1d2dn1.

第二篇：数列不等式的证明

数列和式不等式的证明策略

罗红波洪湖二中高三

(九)班周二第三节(11月13日)

数列和式不等式的证明经常在试卷压轴题中出现，在思维能力和方法上要求很高，难度很大，往往让人束手无策，其实，这类不等式的证明，是有一定的规律的，利用S1

n

a1q

来证明也能事半功倍，下面用几个例子来简述数列和式不等式的证明

S1

n

a1q

常用策略。

一、基础演练：

1、 等比数列{an}，公比为q，则{an}的前n项和Sn为()

na1(q1A.)

an

a1(1q)1(1qn)a

1q(q1) B.na1C.1qD.11q

2、正项等比数列{an}，公比为q，0q1 ，{an}的前n项和Sn， 以下说法正确的是() A.S1n

a11qB. Sa11qC. Saa

nn1qD. Sn11q

3、正项数列{a}，{a的前n项和Sa

nn}n，要证明S1n1q

，其中0q1，

可以去证明() A.

an1qB. an1aqC. an1qD. a

n1aq nnanan

二、典例精讲：

例

1、等比数列{a1

n}，a11,q2

，{an}的前n项和Sn，求证：Sn2

变式

1、正项等比数列{an}，{a1n}的前n项和Sn，a11,Sn2恒成立，求证：0q

2例

2、已知数列{an}，an1

2n

1

，{an}的前n项和S5n，求证：Sn2(Sn3?)

aann变式

2、数列{n1n}，a3232n1，a11，{a3

n1n}的前n项和Sn，求证：Sn n

2例

3、(09四川理22)数列{an}的前n项和Sn，对任意正整数n， 都有a4an

n5Sn1成立，记bn1a(nN). n

(1) 求数列{bn}的通项公式;

(2) 记c

nb2nb2n1(nN)，{c3

n}的前n项和Tn ，求证：Tn

2变式

3、已知a1n

2，求证Sn(1)a1(1)2a2(1)nan1

(2)n

1

3三、小结

四、课后作业：

1、等比数列{a1

n}，a12,q

3

，{an}的前n项和Sn，求证：Sn3

2、已知数列{an}，an

14n2

，{an}的前n项和Sn，求证：S2

n

3

第三篇：放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。

注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.

类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。).

例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由.

2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列

的前项和为，满足

，

.数列

满足(1)求数列(2)若和，，且.

的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列

分别满足，其中(1)若数列(2)若数列①若数列②若数列

，设数列的前项和分别为的通项公式; ，使得

，称数列

. 都为递增数列，求数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值.

8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。.

9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式;

②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

放缩法证明数列不等式

基础知识回顾:

放缩的技巧与方法：

(1)常见的数列求和方法和通项公式特点：

① 等差数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的一次函数或常值函数)

② 等比数列求和公式：错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。(关于错误!未找到引用源。的指数类函数) ③ 错位相减：通项公式为“等差错误!未找到引用源。等比”的形式

④ 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消，进而在求和后式子中仅剩有限项

(2)与求和相关的不等式的放缩技巧：

① 在数列中，“求和看通项”，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手

② 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小(应与所证的不等号同方向)

③ 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。

④ 若放缩后求和发现放“过”了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩。从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式;第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程度更小的方式再进行尝试。

(3)放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：

① 裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项(或等距离间隔项)

② 等比数列：所面对的问题通常为“错误!未找到引用源。常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足错误!未找到引用源。 ，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手，，常数可视为错误!未找到引用源。的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可。例如常数错误!未找到引用源。，即可猜想该等比数列的首项为错误!未找到引用源。，公比为错误!未找到引用源。，即通项公式为错误!未找到引用源。 。 注：此方法会存在风险，所猜出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响

(4)与数列中的项相关的不等式问题：

① 此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形

② 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即错误!未找到引用源。或错误!未找到引用源。(累乘时要求不等式两侧均为正数)，然后通过“累加”或“累乘”达到一侧为错误!未找到引用源。，另一侧为求和的结果，进而完成证明 应用举例:

类型一：与前n项和相关的不等式 例1.【2017届江苏泰州中学高三摸底考试】已知数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。为常数，且错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。).

(1)求错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)设错误!未找到引用源。，若数列错误!未找到引用源。为等比数列，求错误!未找到引用源。的值; (3)在满足条件(2)的情形下，设错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(2)由(1)知，错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 若数列错误!未找到引用源。为等比数列，则有错误!未找到引用源。， 而错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 故错误!未找到引用源。，解得错误!未找到引用源。，

再将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。，得错误!未找到引用源。，

例2.记错误!未找到引用源。.对数列错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。的子集错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。;若错误!未找到引用源。，定义错误!未找到引用源。.例如：错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。.现设错误!未找到引用源。是公比为3的等比数列，且当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。

(1)求数列的通项公式;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (2)对任意正整数，若，求证：;错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 (3)设，求证：.【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)详见解析(3)详见解析 【解析】

试题分析：(1)根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式;(2)根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和;(3)利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。因此由错误!未找到引用源。，因此错误!未找到引用源。中最大项必在A中，由(2)得错误!未找到引用源。. 试题解析：(1)由已知得错误!未找到引用源。. 于是当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 所以数列错误!未找到引用源。的通项公式为错误!未找到引用源。. (2)因为错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。， 所以错误!未找到引用源。. 因此，错误!未找到引用源。.

综合①②③得，错误!未找到引用源。. 类型

二、与通项运算相关的不等式 例3.设函数错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足：错误!未找到引用源。. (1)求证:错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。; (2)求证:错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。); (3)求证:错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。). 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.

故错误!未找到引用源。， 则有：错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 例4.已知错误!未找到引用源。是数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和，且对任意错误!未找到引用源。，有错误!未找到引用源。.其中错误!未找到引用源。为实数，且错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时， ①求数列错误!未找到引用源。的通项;

②是否存在这样的正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成等比数列?若存在，给出错误!未找到引用源。满足的条件，否则，请说明理由. (2)当错误!未找到引用源。时，设错误!未找到引用源。， ① 判定错误!未找到引用源。是否为等比数列;

②设错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，求错误!未找到引用源。的取值范围. 【答案】(1)①错误!未找到引用源。;②不存在;(2)①当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。时，数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项，错误!未找到引用源。为公比的等比数列，当错误!未找到引用源。时，错误!未找到引用源。，不是等比数列;②错误!未找到引用源。.

方法、规律归纳: 常见的放缩变形：

(1)错误!未找到引用源。， (2)错误!未找到引用源。

注：对于错误!未找到引用源。还可放缩为：错误!未找到引用源。 (3)分子分母同加常数：错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 可推广为：错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。 实战演练: 1.【江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中】已知数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。记数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。

(1)求证：数列错误!未找到引用源。为等比数列，并求其通项错误!未找到引用源。;

(2)求错误!未找到引用源。;

(3)问是否存在正整数错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立?说明理由. 【答案】(1)错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 (3)当错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。 都成立，(3)详见解析

(3)假设存在正整数错误!未找到引用源。 ，使得错误!未找到引用源。 成立， 因为错误!未找到引用源。 ， 错误!未找到引用源。 ， 所以只要错误!未找到引用源。

即只要满足 ①：错误!未找到引用源。 ，和②：错误!未找到引用源。 ， 对于①只要错误!未找到引用源。 就可以; 对于②，

当错误!未找到引用源。 为奇数时，满足错误!未找到引用源。 ，不成立，

当错误!未找到引用源。 为偶数时，满足错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。 ， 因为错误!未找到引用源。

即错误!未找到引用源。 ，且当错误!未找到引用源。 时， 错误!未找到引用源。 ，

所以当错误!未找到引用源。 为偶数时，②式成立，即当错误!未找到引用源。 为偶数时， 错误!未找到引用源。成立 . 2.【江苏省常州市2018届高三上学期武进区高中数学期中试卷】在数列错误!未找到引用源。中， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。.

⑴ 求证：数列错误!未找到引用源。为等差数列;

⑵ 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，若当错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数时， 错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的取值范围;

⑶ 设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项的和为错误!未找到引用源。，试求数列错误!未找到引用源。的最大值. 【答案】⑴见解析⑵错误!未找到引用源。⑶错误!未找到引用源。

要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 只要使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。为偶数恒成立， 即使错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。为正偶数恒成立，

错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，故实数错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找到引用源。; ⑶由⑴得错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 设错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

因此数列错误!未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。.

【点睛】本题考查数列与不等式的综合应用，涉及等差数列的判定与证明，其中证明(1)的关键是分析得到错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。的关系式.

3.【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知数列满足，

，且

.

的前项和为，满足

，

.数列(1)求数列(2)若和的通项公式; ，数列的前项和为，对任意的

，(

，都有

，求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数，，使，请说明理由.

【答案】(1)(2)

)成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，

(3)不存在

(2)由(1)得于是所以

，

，

两式相减得所以由(1)得因为对 即所以恒成立， ，都有，

，

， 恒成立，

， 记所以因为从而数列于是， ，

为递增数列，所以当.

(

)，使

成等差数列，则

，

时取最小值

，

，

(3)假设存在正整数即 ，

若为偶数，则若为奇数，设于是当时，为奇数，而为偶数，上式不成立. ，则

，

，

与

矛盾; ，即，此时

4.已知数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。，其中， 错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。，数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。.

(1)求数列错误!未找到引用源。、错误!未找到引用源。的通项公式;

(2)是否存在自然数错误!未找到引用源。，使得对于任意错误!未找到引用源。有错误!未找到引用源。恒成立?若存在,求出错误!未找到引用源。的最小值;

(3)若数列错误!未找到引用源。满足错误!未找到引用源。，求数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和错误!未找到引用源。.

【答案】(1)错误!未找到引用源。;(2)存在， 错误!未找到引用源。;(3)错误!未找到引用源。. 【解析】试题分析：

(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2，bn+1=2bn可知{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m，满足条件，先求出错误!未找到引用源。，将问题转化成错误!未找到引用源。可求得错误!未找到引用源。的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn，然后写成分段函数的形式。

试题解析： (1)由错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 当错误!未找到引用源。时，上式成立，

因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。是首项为2，公比为2的等比数列， 故错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。为奇数时， 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。; 当错误!未找到引用源。为偶数时，

错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。. 因此错误!未找到引用源。.

点睛：数列求和时，要根据数列项的特点选择不同的方法，常用的求和方法有公式法、裂项相消法、错位相减法、分组求和等。

5.【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】设数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且满足错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。为常数.

(1)是否存在数列错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。?若存在，写出一个满足要求的数列;若不存在，说明理由.

(2)当错误!未找到引用源。时，求证： 错误!未找到引用源。.

(3)当错误!未找到引用源。时，求证：当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，两式相减得错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。，

当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。.

6.【江苏省泰州中学2018届高三上学期开学考试】已知两个无穷数列的前项和分别为(1)若数列.

分别满足，其中，设数列都为递增数列，求数列的通项公式; (2)若数列①若数列②若数列满足：存在唯一的正整数“坠点数列”，求 为“坠点数列”，数列

，使得，称数列为“坠点数列”.

为“坠点数列”，是否存在正整数，使得，若存在，求的最大值;若不存在，说明理由. 【答案】(1)

.(2)①

，② 6.

7.【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟一】已知数集错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。成立. (1)分别判断数集错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。是否具有性质错误!未找到引用源。，并说明理由;

(2)求证： 错误!未找到引用源。 ;

(2)若错误!未找到引用源。，求错误!未找到引用源。的最小值. 【答案】(1)不具有(2)见解析(3)错误!未找到引用源。.

(2)因为集合错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，所以对错误!未找到引用源。而言，存在错误!未找到引用源。，使得错误!未找到引用源。，又因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。. (3)由(2)可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，

所以错误!未找到引用源。，构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，故错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 点睛：本题是一道新定义的迁移信息并利用信息的信息迁移题。求解第一问时，直接运用题设条件中所提供的条件信息进行验证即可;解答第二问时，先运用题设条件中定义的信息可得错误!未找到引用源。，同理可得错误!未找到引用源。，再将上述不等式相加得： 错误!未找到引用源。即可获证错误!未找到引用源。;证明第三问时，充分借助(2)的结论可知错误!未找到引用源。，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。可得错误!未找到引用源。，因此构成数集错误!未找到引用源。，经检验错误!未找到引用源。具有性质错误!未找到引用源。，进而求出错误!未找到引用源。的最小值为错误!未找到引用源。. 8.记等差数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。. (1)求证：数列错误!未找到引用源。是等差数列;

(2)若 错误!未找到引用源。，对任意错误!未找到引用源。，均有错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。的等差数列，求使错误!未找到引用源。为整数的正整数错误!未找到引用源。的取值集合;

(3)记错误!未找到引用源。，求证： 错误!未找到引用源。. 【答案】(1)见解析(2)错误!未找到引用源。(3)见解析

解：(1)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，从而错误!未找到引用源。，所以当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是等差数列. (2)因为的任意的错误!未找到引用源。都是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，所以错误!未找到引用源。是公差为错误!未找到引用源。，的等差数列，又错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，显然， 错误!未找到引用源。满足条件，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。不是整数，综上所述，正整数错误!未找到引用源。的取值集合为错误!未找到引用源。. (3)设等差数列错误!未找到引用源。的公差为错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，即数列错误!未找到引用源。是公比大于错误!未找到引用源。，首项大于错误!未找到引用源。的等比数列，记公比为错误!未找到引用源。.以下证明： 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。为正整数，且错误!未找到引用源。，因为错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时， 错误!未找到引用源。，当错误!未找到引用源。时，因为错误!未找到引用源。为减函数， 错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，所以错误!未找到引用源。，综上， 错误!未找到引用源。，其中错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。，即错误!未找到引用源。. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}，{cn}满足 (n+1) bn=an+1错误!未找到引用源。，(n+2) cn=错误!未找到引用源。，其中n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为2的等差数列，求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数λ，使得对一切n∈N*，有bn≤λ≤cn，求证：数列{an}是等差数列. 【答案】(1)cn=1.(2)见解析.

10.已知各项不为零的数列错误!未找到引用源。的前错误!未找到引用源。项和为错误!未找到引用源。，且错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。， 错误!未找到引用源。.

(1)若错误!未找到引用源。成等比数列，求实数错误!未找到引用源。的值; (2)若错误!未找到引用源。成等差数列， ①求数列错误!未找到引用源。的通项公式; ②在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，共同组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，若不等式错误!未找到引用源。对任意的错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到引用源。的最大值.

【答案】(1)错误!未找到引用源。(2)错误!未找到引用源。(3)错误!未找到引用源。

(3)错误!未找到引用源。，在错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。间插入错误!未找到引用源。个正数，组成公比为错误!未找到引用源。的等比数列，故有错误!未找到引用源。，

即错误!未找到引用源。，

第四篇：关于“和式”的数列不等式证明方法

方法：先求和，再放缩

例

1、设数列an满足a10且an

n,2an11an1an，n

N*，

记Snbk,证明：Sn1.k1n

(Ⅰ)求an的通项公式;(Ⅱ)设bn

【解析】：(Ⅰ)由

11

11.得为等差数列，

1a1an11ann

前项为

1111

1,d1,于是1(n1)1n，1an,an

1

1a11annn

(Ⅱ)bn

n









Snbkk

1

11 练习：数列{an}为等差数列，an为正整数，其前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，且

a13,b11，数列{ban}是公比为64的等比数列，b2S264.

(1)求an,bn; (2)求证

1113. S1S2Sn

4解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正整数，

an3(n1)d，bnqn1

ban1q3ndd6

q642

q3(n1)d依题意有ban①



S2b2(6d)q64

由(6d)q64知q为正有理数，故d为6的因子1,2,3,6之一， 解①得d2,q8

故an32(n1)2n1,bn8

n1

(2)Sn35(2n1)n(n2) ∴

1111111



S1S2Sn132435n(n2)

11111111(1) 232435nn211113(1) 22n1n24

方法：先放缩，再求和 例

1、(放缩之后裂项求和)(辽宁卷21).

在数列|an|，|bn|中，a1=2，b1=4，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)

(Ⅰ)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测|an|，|bn|的通项公式，并证明你的结论; (Ⅱ)证明：

*

111

5…. a1b1a2b2anbn1

2本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合

运用数学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力.满分12分. 解：(Ⅰ)由条件得2bnanan1，an1bnbn1 由此可得

a26，b29，a312，b316，a420，b425. ···················································· 2分

猜测ann(n1)，bn(n1). ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：

①当n=1时，由上可得结论成立. ②假设当n=k时，结论成立，即

akk(k1)，bk(k1)2，

那么当n=k+1时，

2ak

ak12bkak2(k1)k(k1)(k1)(k2)，bk12(k2)2.

bk

所以当n=k+1时，结论也成立.

由①②，可知ann(n1)，bn(n1)对一切正整数都成立. ·········································· 7分 (Ⅱ)

11

5.

a1b161

2n≥2时，由(Ⅰ)知anbn(n1)(2n1)2(n1)n. ·············································· 9分 故

11111111

…… a1b1a2b2anbn622334n(n1)



11111111… 622334nn11111115 622n16412



综上，原不等式成立.··································································································· 12分(

例

2、(放缩之后等比求和)

(06福建)已知数列an满足a11,an12an1(nN).*

(Ⅰ)求数列an的通项公式; (Ⅱ)证明：

an1a1a2n

...n(nN*) 23a2a3an1

22n

(III).设bnan(an1)，数列bn的前n项和为sn，令Tn，

sn

(i)求证：T1T2T3Tnn;

(ii)求证：T1T2T3Tn;

本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。

(I)解：an12an1(nN),

*

an112(an1),

an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。 an12n.即 an21(nN).

*

(II)证法一：41

4k1k2

1...4kn1(an1)kn.

4(k1k2...kn)n2nkn.

2[(b1b2...bn)n]nbn,①

2[(b1b2...bnbn1)(n1)](n1)bn1.② ②-①，得2(bn11)(n1)bn1nbn, 即(n1)bn1nbn20,

nbn2(n1)bn120.

③-④，得 nbn22nbn1nbn0,

即 bn22bn1bn0,

bn2bn1bn1bn(nN*),

bn是等差数列。

证法二：同证法一，得(n1)bn1nbn20 令n1,得b12.

设b22d(dR),下面用数学归纳法证明 bn2(n1)d. (1)当n1,2时，等式成立。

(2)假设当nk(k2)时，bk2(k1)d,那么

k2k2bk[2(k1)d]2[(k1)1]d. k1k1k1k1这就是说，当nk1时，等式也成立。 bk1

根据(1)和(2)，可知bn2(n1)d对任何nN都成立。

*

bn1bnd,bn是等差数列。

ak2k12k11

k1,k1,2,...,n, (III)证明：

ak1212(2k1)

2

aa1a2n

...n. a2a3an12

ak2k11111111k1.,k1,2,...,n, ak12122(2k11)23.2k2k2232k



aa1a2n1111n11n1

...n(2...n)(1n), a2a3an1232222322

3an1aan

12...n(nN*). 23a2a3an12

方法：先放缩，再化类等差等比

例1(有界性放缩，迭加)、各项为正数的等比数列an中，a1a310，

a3a540,nN*;

(1)求数列an的通项公式;(2)设b11，

bn1nn

11，求证：bn1bn3n1 bnan

2an2;分析;(1)(2)证明：因为an1(1

所以an0，

n

n

所以an1与an同号，又因为a110，)an，

2n

n

an0，即an1an.所以数列{an}为递增数列，所以ana11， n2nn12n1

即an1annann，累加得：ana12n1.

22222

12n1112n1

令Sn2n1，所以Sn23n，两式相减得：

2222222

11111n1n1n1Sn23n1n，所以Sn2n1，所以an3n1， 22222222

n1

故得an1an3n1.

即an1an

例2(利用有界性化为类等比)、(安徽卷21).(本小题满分13分)

设数列an满足a00,an1can1c,cN,其中c为实数

*

(Ⅰ)证明：an[0,1]对任意nN成立的充分必要条件是c[0,1];

*

1n1*，证明：an1(3c),nN; 312222

(Ⅲ)设0c，证明：a1a2ann1,nN*

313c

(Ⅱ)设0c

解 (1) 必要性 ：∵a10,∴a21c ，

又 ∵a2[0,1],∴01c1 ，即c[0,1]

充分性 ：设 c[0,1]，对nN用数学归纳法证明an[0,1]当n1时，a10[0,1].假设ak[0,1](k1)

则ak1cak1cc1c1，且ak1cak1c1c0

*

∴ak1[0,1]，由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立

(2) 设 0c

，当n1时，a10，结论成立 3

当n2 时，

∵ancan11c,∴1anc(1an1)(1an1an1)∵0C

12

,由(1)知an1[0,1]，所以 1an1an13 且 1an103

∴1an3c(1an1)

∴1an3c(1an1)(3c)(1an2)(3c)∴an1(3c)

(3) 设 0c

n1

n1

(1a1)(3c)n1

(nN*)

122

，当n1时，a102，结论成立 313c

n1

当n2时，由(2)知an1(3c)

0

∴an(1(3c)n1)212(3c)n1(3c)2(n1)12(3c)n1 22222n1∴a2]1a2ana2ann12[3c(3c)(3c)

2(1(3c)n)2

n1n1

13c13c

6

第五篇：放缩法与数列不等式的证明

2017高三复习灵中黄老师的专题

放缩法证明数列不等式

编号：001 引子：放缩法证明数列不等式历来是高中数学的难点，在高考数列试题中经常扮演压轴的角色。由于放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓“放大一点点太大，缩小一点点太小”。为了揭开放缩法的神秘面纱，黄老师特开设这一专题，带领大家走近“放缩法”。 一.放缩法证明不等式的理论依据： 1.不等式的传递性：

2.同向不等式的可加性：

3.同向的正数不等式的可乘性：

二.常见的数列求和的方法及公式特点： 1.等差数列的和;an_____sn______(nN) 2.等比数列的和：ankqn,sn3.错位相减法：等差×等比

4.裂项相消法：若anan1d(d为常数)在三.常见题型分析：

1.放缩目标模型：可求和 1.1等差模型

1111()(nN)

anan1dan1ana1(1qn)(q1)(nN) 1qn(n1)n(n2)1223...n(n1)例1.(1985全国卷)求证：(nN) 22

n(n1)n(n3)1223...n(n1)变式：(nN) 22

1.2等比模型

1111例2.求证：23....n1(nN) 2222

变式.求证：1121112231......2n11(nN21)

例3.(2014全国卷Ⅱ1an满足a11,an13an1,1)证明：a1n2是等比数列.并求an的通項公式 2)证明：1a113a.......12an2

变式：求证：1211211152231......2n13(nN)

例4.(2002全国卷理22题7题)第2问已知数已知数列

列(()an满足an1an2nan1,n1,2,3.......当a13时，证明对所有的n1,nN(1)ann2(2)证明：1a11a.......11121an12

1.3错位相减模型

例5.求证：12123n222233.......2nn2(nN)

1.4裂项相消模型

例2(2013广东文19第(3)问)求证：11313515711(2n1)(2n1)2

11111例6.证明：n12n12232......n2n(nN)

(nN)

111变式1.证明：122......22(nN)

变式2.证明：

变式3.证明：

变式4.证明：

变式5.证明：

23n 111172232......n24(nN) 112115232......n24(nN)1213......1n2n(nN)1113252......(2n1)232

11

1115变式6.证明：122......235(2n1)4

常见的放缩技巧总结：