化三角形法计算行列式

行列式是代数学中的一个基本概念, 它源于求解线性方程组, 是一个基本的数学工具, 是线性代数的重要研究对象之一, 无论是在高精尖端科学领域, 还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着极其广泛的应用.因此, 高等数学把行列式列为基本而又重要的内容之一, 并把行列式的计算作为线性代数的教学重点, 然而直接计算行列式往往是困难和繁琐的, 特别当行列式的元素是字母时就更加明显, 因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的.本文主要分析行列式的计算方法, 浅谈化三角形法对计算行列式的重要作用。

一、特殊的行列式

(1) 下三角形行列式的值

(2) 上三角形行列式的值

二、化三角形法

把已知行列式通过行列式的性质化为上 (或下) 三角形, 以及化为阶梯形.一般做法为:总是先把第一个元素是1或-1而其他元素又比较简单的行 (列) 调到第一行 (列) 的位置, 或者把某一行 (列) 的整数倍加到第一行 (列) 上去使a11变为1或-1, 然后把主对角线下方的所有元素都变为0, 依次类推, 直到化为三角形行列式为止.

例1.计算行列式

解由于上三角行列式的值等于其主对角线上元素的乘积, 所以我们只要设法利用行列式的性质将行列式化为上三角行列式, 即可求出行列式的值。

ab型行列式公式

n阶行列式

将第一列后面的所有列都加到第一列上有

用后n-1列分别减去第1列的b倍得

点评b型行列式的计算过程充分展现了化三角形法对计算行列式的有效之处.

爪型行列式公式

除了第一行、第一列元素及主对角线元素非零外 (或最后一行、最后一列和主对角线元非零外) 其余位置全为零的行列式我们称之为爪型行列式, 它的一般做法为:利用行列式性质把外围两条边中的一条边消掉, 把此行列式化为上三角或者下三角, 从而计算出行列式值.

例2计算下面的行列式

解加边得

用行列式的第行的倍分别去减第一行得

点评通过对该题的观察, 对行列式加边进行计算, 化为了爪型行列式, 最后把爪型行列式化为了上三角行列式从而得到行列式的值.

以上关于计算行列式的求解过程, 都用到了化三角形法, 而且大大的简化行列式的运算过程, 为计算这一类的行列式提供了一种简单有效的计算方法。

摘要：线性代数是大学本科重要的基础课程, 而行列式又是线性代数这门课程的主要内容之一, 其中行列式的计算, 特别是高阶行列式的计算是行列式这一章的重点, 同时也是难点.因此懂得如何利用行列式特点, 巧妙地计算行列式尤为重要.本文主要介绍一种计算行列式的方法——化三角形法.

关键词：计算,行列式

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