整数加减法中整体与部分关系的本质教学

2022-09-12

一、引言

“数与代数”是整个数学知识体系的基石, 在义务教育阶段的数学课程中居重要地位。其中, 整数加减法在小学数学的运算知识系统中又占有基础性地位, 学生从一年级入学就开始接触, 同时也贯穿在图形与几何、概率与统计和综合与实践的课程内容里, 在小学数学教学内容中占有很大比重。可以看出, 整数加减法作为小学数学最基础、最重要的内容之一, 研究其教学方法的必要性。

从儿童思维发展特点来看:小学生的思维是从以具体形象思维为主逐步向抽象逻辑思维过渡, 逻辑思维比较简单[1]。正因为思维发展水平还不够成熟, 理解抽象的整数加减法计算还比较困难, 但他们对直观的、形象的内容比较容易理解。新课改提倡教师应创造更多的机会, 让学生真正理解数学知识。但是大多数的教师仍然呈现“知识中心”的倾向, 以“会计算整数加减法, 能计算准确结果”为中心。缺乏从加减法联系与区别的角度, 挖掘出加减法本质的即整体与部分的合并与分割关系。

二、加减法学习中缺乏对整体与部分关系的认知

加法本质上是等价类, 是两个类 (部分) 与一个类 (整体) 相等关系的认识。皮亚杰把“加法”作为类的运算来使用, 主张“类和数都产生于同一个群集的运算机制, 无论哪一个, 离开另一个都不能被充分地理解”[2]。在其认知发展理论中, 儿童若不能解答类包含中“是木念珠多还是棕色念珠多”、“是男孩多还是孩子多”等问题, 说明儿童缺少部总知识。一些研究者[3]也采用相同的观点, 认为儿童不能解答此类算术题或者是加法运算的准确率降低, 都是因为这些儿童对部总知识的掌握还不够造成的。比如3+2和5, 通常可写成3+2=5, 用符号“=”连接可视为3与2这两个类与5这一个类的相等关系。但是在教学过程中, 教师常常把3+2单纯地视为数的增加和数数活动的开展, 从3开始往后数两个, 即体现出的是计数的顺序性, 而并非把加法看作成一种把部分归成整体的运算。相对而言, 减法就是从整体中分离部分。如5=3+?, 可以看成整体5可以分割成部分3和部分几。在加减法的运算中, 部总知识的主要表现为:加法“部分+部分=整体”和减法“整体-部分=部分”的等式知识[3]。

加减法作为系统学习的四则运算的起始课, 人教版教材将加、减法的初步认识编排在1—5的认识、比多少、第几、分与合之后进行。这样的安排对于学生掌握加、减法中的核心思想有了足够的经验。在人教版一年级教材加法的认识中呈现出小丑一手拿着3个红气球, 一手拿着1个蓝气球并合在一起的过程, 直观表示出把两部分气球合成一个整体时用加法计算。下方还增加了点子图, 利用集合圈, 更明确地表现整体与部分的关系, 由直观逐渐过渡为抽象。在减法的认识中, 教材的编排与加法类似, 由直观的动画图到抽象的点子图, 把事理表现出来, 同时也凸显出减法是从整体中分离部分的过程。从两个情境图中所表达的信息可以看出, 教材想要表达的是在加减法学习中学生对整体与部分关系认知的重要性。

但是在“做一做”的巩固练习中, 不论是加法还是减法, 可以看出在7个习题中牵引学生从整体和部分的关系去认识加法和减法的却只有1个。学生更多的是经历点数、接着数和倒着数等活动进行计算, 皮亚杰已经指出一年级儿童是缺乏部总概念的[2], 那么要达到课标提出的体会加减法意义的目标, 就需要加强操作活动来加深学生对加减法本质中的类和部总关系的理解。

三、借助数形结合理解加减法间整体与部分的本质关系

皮亚杰认为:“6—12岁儿童 (小学生) 的认知结构由前运算阶段的表象图式演化为运算图式, 该时期的心理操作着眼于抽象概念, 属于运算性 (逻辑性) 的, 但思维活动需要具体内容的支持[5]。数形结合作为基本思想的表现形式之一, 不仅能使抽象的数学运算问题更加直观具体, 也能帮助小学生把握数学运算问题的本质。那么, 在小学数学加减法的计算教学中, 教师怎样合理地把数形结合思想渗透进去呢?按照儿童的心理发展, 学生在学习“加减法的认识”时, 思维处在以具体形象思维为主, 逻辑思维开始萌芽的阶段。低年级学生往往在加减法的运算过程中容易对纯粹的数字产生厌烦心理, 而大多数的教师更多地注重题海战术, 重视算法的多样化, 忽视了学生对加减法中实质关系的理解运用, 所以教师需要借助更多的图形语言去帮助学生理解加减法的实质, 将抽象的算理直观化。

课例:6—10的加减法 (人教版一年级上册)

计数器是小学数学课堂上必不可少的教具之一, 常用于数的认识和运算教学。如在进行3+4=7的计数器演示中, 我们可以发现:左边展示计数器用灰、蓝不同颜色的数珠表示3和4两个部分合在一起, 右边展示计数器用颜色相同的红色数珠表示7这一整体, 学生由左右数珠相同可以得到“3+4=7”这一加法算式, 同时也可以直观的看出7是由3和4这两部分合成, 用部总关系表示为“部分+部分=总体”。反过来, 与事件发生顺序相逆的运算可以表征为减法, 把7作为一个整体将其分为3和4两个部分, 即“总体-部分=部分”。在此过程中, 计数器实质上就是一个整体与部分的实物原型, 在理解加减法实质中起到了极其重要的作用, 通过呈现拨算珠的过程, 数形结合的直观化, 学生能有效构建出类的加法中的部总关系。

图形的拼组和割裂运动可以更直观的引导学生理解加法和减法的本质, 把两个图形拼成一个感知加法的意义, 把一个图形割裂为两个感知减法的意义[6]。以减法为例, 先呈现一个小方块, 引导学生用数字“1”表示。再呈现下图, 并让学生说出左下的图形是用几个小方块组成的, 又可以用什么数字来表示? (用数字“7”表示)

课堂上动画演示:把一个大长方体拆分成两个小长方体 (如上右) , 在这一过程

可以让学生描述自己看到什么, 并尝试用分成的形式表示出来。最后写出算式“7-3=4”或“7-4=3”并说说每个数字所表达的含义, 引导学生联系减法的部总关系理解“减法是从整体中分离部分的运算”, 即“一个整体 (类) 与两个部分 (类) 的相等关系”的本质意义。同样, 从右边到左边的教学, 也从直观层面上帮助理解“加法是把两个数合并为一个数的运算”这一本质。把数形结合的思想渗透到整个教学过程中, 使之成为解决数学问题的灵魂。

摘要：整数加减法是小学数学最重要的教学内容之一。在小学阶段, 理解加减法运算是发展学生其他数学能力的基础。目前小学整数加减法教学中未重视从整体与部分视角解读加减法本质关系, 因此可从教材的主题内容及编排特点着手, 结合儿童思维能力的发展特点, 探索培养学生对整数加减法本质关系认知的教学方法。

关键词：小学数学,整数,加减法,本质