实变函数作业1解读

实变函数作业1解读（精选8篇）

篇1：实变函数作业1解读

学习实变函数这们课已经一个学期了，对于我们数学专业的学生，大学最难的一门课就是实变函数论与实变函数这门课了。我们用的教材难度比较大，所以根据我自己学习这门课的心得与方法，有以下几点：

1、复习并巩固数学分析等基础课程。学习实变函数这门课程要求我们以数学分析为学习基础，因此，想学好这门课必须有相对比较扎实的数学分析基础。

2、课前预习。实变函数是一门比较难的课程，龙老师上课也讲得比较快、比较抽象，因此，适当的预习是必要的，了解老师即将讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。

3、上课认真听讲，认真做笔记。龙老师是一位博学的老师，上课内容涵盖许多知识。因此，上课应注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，实变函数这门课比较难，所以建议听课是一个全身心投入——听、记、思相结合的过程。

4、课后复习,做作业，做练习。我们作为大三的学生，我们要学会抓住零碎的时间复习实变函数课堂的学习内容，巩固学习。复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某些定理证明的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，理解并掌握其证明思路。做作业、做练习时，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。

所以，我们学习实变函数总的来说要把握课前、课时与课后的任务，学习内容要多下功夫掌握基本概念和原理及其证明思路，尽可能地掌握作业题目，在记忆的基础上理解，在完成练习中深化理解，在比较中构筑知识结构的框架，是提高学习实变函数课程效率的重要途径。

篇2：实变函数作业1解读

1.基本概念

（1）补集,可数集合,内点,集合E的内部intE,外点,边界点, 集合E的边界E聚点,集合E的导集E, 集合E的闭包E,孤立点,开集和闭集的概念.（2）集合对等,集合外侧度,可测集,可测函数,处处收敛,几乎处处收敛,近一致收敛和依测度收敛的概念.2.基本定理

（1）Demorgan律.（2）直线上开集的构造定理.（3）叶果洛夫(Eropob)定理.(4)鲁津定理.(5)集合G为开集的几个等价条件.(6)集合F为闭集的几个等价条件.3.基本计算

（1）集列En

n1的上限集limAn和An下限集的计算.nn

（2）计算康托集G0的测度为1.4.基本证明

(1)设x0Rn为一给定点,d(x,x0)指Rn中任意一点x到x0的距离.证明d(x,x0)是Rn上的连续函数.(2)证明康托集P0的外测度为零,从而证明P0是可测集.(3)设SRn.如果对任意的正整数k,存在可测集EkSRn使得mSEk1,证明S是可测集.k

E={xR|f(x)a}(4)设f(x)是R上的实值连续函数，对任意aR，证明：

篇3：实变函数作业1解读

1 材料与方法

1.1 实验动物

2013年12月-2014年5月期间选择清洁级雄性Wistar大鼠40只, 大鼠的质量为250~300 g, 由吉林大学白求恩医学院实验动物中心提供及喂养, 实验动物生产许可证:SCXK (吉) 2012-0005, 实验动物使用许可证:SYXK (吉) 2012-0012, 实验在吉林大学基础实验室进行。

1.2 实验动物分组及模型制备

实验动物进行Morris水迷宫检测, 检测期间统计40只大鼠在6 d里的训练成绩, 其总平均潜伏期为 (30.85±9.45) s, 期间死亡1只, 另有3只大鼠不符合标准。将大鼠随机分为假手术对照组12只, 模型组24只 (30 d组12只, 60 d组12只) 。大鼠称重, 按10%水合氯醛300 mg/kg腹腔注射麻醉, 采用2VO法复制慢性前脑缺血致血管性痴呆的动物模型。假手术对照组除不结扎、不剪断颈总动脉, 其余过程与模型组相同。造模后第5天开始水迷宫试验, 5次/d, 2 min次/, 共5 d。测试第3天, 开始记录成绩, 如测试第5天, 逃避潜伏期仍超过20 s或2次误入其他盲端即为血管性痴呆模型。术后30 d和60 d将模型组大鼠和相应对照组大鼠用10%水合氯醛麻醉。然后在冰盘上快速断头取脑, 将出脑组织置于玻璃匀浆器中研磨, 2000 r/min离心15 min, 取上清, 无菌过滤后-80℃保存备用。

1.3 NF155的检测方法

标准品按以下浓度稀释:3 ng/m L、6 ng/m L、12 ng/m L、24 ng/m L、48 ng/m L。 (NF155抗体, 产地:中国上海, 规格:1.0 g) , 分别设定样品孔、标准品孔和空白孔。将稀释后的不同浓度标准品加入准品孔中, 样本孔内先加入10μL待测样本, 然后用稀释液稀释5倍, 空白孔不加。各样本孔和标准品中每孔均加入100μL辣根过氧化物酶 (HRP) 标记的检测抗体, 封板膜密封, 37℃水浴60 min。弃去液体后拍干, 加洗涤液300μL/孔, 静置1 min后拍干, 如此重复5次, 然后拍干。分别加入底物A和底物B 50μL/孔, 37℃避光孵育15 min。取出酶标板, 加终止液终止反应50μL/孔。以空白孔调零, 在450 nm波长下测量各孔的吸光度值 (OD值) 。终止后15 min内检测完成, 以标准品的浓度和OD值作标准曲线, 然后根据样品的OD值和标准曲线所对应的公式计算出NF155的浓度值即可。

1.4 统计学处理

使用SPSS 20.0统计软件进行分析, 计量资料用 (±s) 表示, 比较采用t检验, 各组间样本均数行方差分析, 以P<0.05为差异有统计学意义。

2 结果

2.1 各组的Morris水迷宫结果比较

造模前水迷宫实验发现, 模型组小鼠逃避潜伏期与假手术对照组之间的差异没有统计学意义 (P>0.05) 。造模后水迷宫实验发现, 术后30 d组第6天开始, 大鼠逃避潜伏期均明显长于假手术组, 差异有统计学意义 (P<0.05) ;术后60 d组第5天开始, 逃避潜伏期均明显长于假手术组, 差异有统计学意义 (P<0.05) , 见表1~2。

s

s

注:t1、P1为术后30 d组与假手术对照组的比较;t2、P2为术后60 d组与假手术对照组的比较

2.2 各组的NF155检测结果比较

经检测, 假手术对照组的NF155浓度为 (85.07±6.75) ng/m L, 术后30 d组的NF155浓度为 (48.27±7.32) ng/m L, 术后60 d组的NF155浓度为 (37.65±6.88) ng/m L, 比较分析发现, 术后30 d组和术后60 d组的NF155浓度均明显低于假手术对照组, 差异均有统计学意义 (t=12.803、7.043, P=0.000、0.000) ;而术后30 d组NF155浓度又明显高于术后60 d组, 两组比较差异有统计学意义 (t=3.662, P=0.001) 。

3 讨论

血管性痴呆的发病原因主要是由缺血性、缺氧性、出血性脑血管病等导致脑组织损害引起的, 其主要临床特征是认知功能障碍, 临床上患者通常表现为认知能力减退、学习能力和记忆功能衰退以及行为障碍等[7]。随着我国人口老龄化程度加深, 脑血管病发病率以及血管性痴呆的发病率逐渐上升。临床流行病学研究资料显示, 我国血管性痴呆的发病率明显高于阿尔茨海默病 (Alzheimer’s disease, AD) , 不仅严重危害老年人生活质量, 同时也给患者的家庭和社会带来沉重的负担[8]。国外研究显示VD是防治痴呆的主要突破口, 因此探讨其发病机制同时寻求切实有效的治疗方法是解决这一问题的关键[9]。

前期病理研究表明, 当慢性脑缺血大鼠额、颞叶皮质神经细胞以缺血性改变为主时, 脑白质会出现神经纤维断裂及髓鞘脱失的改变, 证明全脑缺血的大鼠脑白质损伤也是重要的病理改变之一[10,11,12]。因此本课题专注于研究慢性脑缺血所致血管性痴呆大鼠白质相关的改变。

神经束蛋白 (Neurofascin, NF) 是由脑内胶质细胞产生的一种细胞表面蛋白, 根据分子量不同可分为NF-l86和NF-155。其中, NF-155属于免疫球蛋白家族中L1亚群中的细胞黏附分子, 分子量155k D[13]。国内外研究表明, NF155在髓鞘的稳定中具有重要的作用[14]。因此, 其在脑白质损伤 (Cerebral white matter lesion, CWML) 性疾病中的作用受到了研究者越来越多的重视。然而, 目前对NF155的研究主要集中于多发性硬化及急性缺血性脑损伤, 对于NF155与蛋白质疾病关系之类的报道极少, NF155与慢性脑缺血致血管性痴呆的相关性研究尚未见报道[15]。然而, 结合慢性缺血后脑白质损伤的病理学改变, 推测在维持髓鞘的结构及功能的稳定中起关键作用的NF155在慢性缺血脑组织中的含量肯定发生了实质性变化, 因而选择NF155作为研究血管性痴呆的相关性因子是可行的。通过本研究结果证实, 术后30 d组和术后60 d组的大鼠的逃避潜伏期均明显长于假手术对照组, 且慢性前脑缺血致血管性痴呆大鼠脑内NF155的含量较假手术对照组明显降低, 数据显示随着大鼠痴呆程度加深, NF155的表达量逐渐减少, 表明VD大鼠认知功能、记忆功能减退可能与NF155的减少有关, 表明NF155的减少与血管性痴呆的发生具有一定的相关性, 推测NF155参与了血管性痴呆的形成过程。

篇4：“实变函数”课程教学改革探讨

关键词：课程改革；教学改革；实变函数

中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2014）23-0082-02

“实变函数”主要是由法国数学家Lebesgue于19世纪末、20世纪初创立的。它是大学数学专业本科课程中的一门重要基础课，可以拓展大学生的数学知识面，培养大学生的创新意识，提高大学生的抽象思维能力，深化大学生对现代分析数学理论的理解。它是普通微积分学的延续，其主要内容是克服了Riemann积分的缺点、以Lebesgue测度理论为基础的Lebesgue积分理论。[1]它是从事数学教学和科学研究必不可少的基础课程，其理论已被广泛应用到基础数学和应用数学的许多分支，诸如复分析、泛函分析、算子理论与算子代数、微分方程、概率论等。

“实变函数”是数学专业课程中既难教又难学的一门课程。它的诸多思想方法源于数学分析，然而又高于数学分析。该课程理论性强，内容抽象且对初学者的基础知识要求较高，其难度较高。另外，随着高等教育的普及化，数学专业的大学生成倍、甚至几十倍增加，学生的整体学习水平较之从前有了较大的下滑。[2]目前大部分高等院校的“实变函数”教学都面临着以下困境：教师投入的时间和精力越来越多，而学生的学习积极性和学习效果却越来越差；期末考核难度越来越低，而学生的考核成绩却越来越差。从教学内容、教学方法和考核方式三个方面探讨了“实变函数”课程的教学改革。

一、教学内容

1.“实变函数”的教学内容是一个动态概念

一方面，“实变函数”的教学内容在不同历史时期是不同的，在不同的院校也是不同的。20世纪70年代，“实变函数”教学主要是在大学基础数学专业中开展，其内容是全面的集合论、测度论和积分论，讲解过程中强调严谨的推理和证明。目前绝大部分高等院校的数学专业都已经开设了“实变函数”课程，其中大部分工科类院校的实变函数主要是介绍相关的概念和常识，讲解过程中强调证明思想和证明方法。另一方面，“实变函数”的教学内容以课程定位为基础，需要在教与学的实践过程中不断完善和发展。准确的课程定位是课程改革和教学改革成功的前提，[2，3]是撰写教学大纲和授课计划的基础。即使有了一份定位准确的教学大纲和一份合适的授课计划，如果在讲授过程中不能根据学生的学习情况进行合理调整，而只是严格按照教学大纲和授课计划进行教学，那么必然不会达到理想的教学效果。要保持良好的教学效果，就要根据教与学的实践情况不断对教学内容进行完善和发展。从这个意义上讲，“实变函数”的教学内容也不是一成不变的，它是一个动态的概念。

2.“实变函数”的内容抽象，初学者往往会感到枯乏难懂

为了激发学生的学习兴趣，笔者在教学内容中合理地植入了一些问题的研究背景和Hilbert等数学家的传奇人生故事。实变函数中许多定理的证明思想美妙而独特，证明过程却繁冗而复杂。教学过程中如果过于坚持严谨会使学生产生厌倦甚至选择放弃。[4]为了增加趣味性，笔者将教学内容中的一些定理证明过程调整为证明思想和方法的讲解。习题是课本内容的延续和补充，它可以帮助学生加深对教学内容的理解，习题课是教学内容不可或缺的一部分。实变函数课本中的习题大部分都是难度较大的典型题目，其中分析题较多。为了让习题更加贴近授课内容，让学生能够积极思考实变函数的相关问题，笔者在课本习题中增加了若干易于学生上手的过渡性习题。这些对传统教学内容的变革，在“实变函数”教学过程中取得了较好的效果。

二、教学方法

“实变函数”课程教学往往采用“满堂灌”式的板书教学，课堂是教师一个人的舞台，学生只是被动的接受。这种传统的教学方式必然会影响到教学效果，在“实变函数”课程教学改革过程中应该重视教学方法的改革。在教学过程中，笔者将多媒体和板书组合使用，注重和学生交流互动，将教学与科研相互结合，采用了教学内容的分层教学法。

第一，伴随着教育现代化，计算机已经融入到大学课程的教学之中。在“实变函数”教学过程中，合理使用多媒体可以拓展课堂上有限的时间和空间，切实提高教学质量。“实变函数”多媒体教学需要和板书教学有机的组合使用。基本概念、定理、性质、图像等都可以使用多媒体呈现，这样既节省了课堂上有限的时间和空间，又提高了教学内容的阅读性。而理论性的推导过程和证明的思想方法仍然需要通过板书呈现，这样可以培养学生的逻辑推理能力和抽象思维能力。

第二，实变函数是数学分析的延续，是“泛函分析”等课程的基础。在“实变函数”教学过程中，合理类比这些学科的相关知识点，可以促使大学生形成完整的知识面，加深对“实变函数”课程的理解，也可使大学生认识到该课程的重要性。例如在讲授“实变函数”课程中抽象度量空间的距离概念时，笔者将度量空间中的距离概念与直线上两点之间的距离进行类比，学生容易发现前者是后者的推广，从而比较容易理解和接受度量空间中的距离概念，取到了较好的教学效果。

第三，目前在大多数高等院校中，实变函数的主讲教师都具有硕士或者博士学位，在相关专业方向也都具有一定的科学研究背景。在“实变函数”教学过程中，教师应该将教学与科研相结合，利用科学研究的成果深化“实变函数”教学，通过“实变函数”教学促进科学研究。在课堂上，提出与教学内容相关的科研问题，并且让学生参与到问题的谈论和研究之中。这样可以激发学生的学习兴趣，培养学生的创新意识，帮助学生树立从事科学研究的理想。

第四，授课内容的分层教学是指将授课内容由浅入深、由简单到复杂合理分层，再循序渐进引导学生学习。例如可测集类这一章节的主要教学内容是介绍n维欧几里得空间中可测集。教学中，笔者先从最简单的零测度集出发，然后过渡到区间和开（闭）集合，再延伸到Borel集，最后和学生一起利用Borel集和零测度集来讨论可测集的构造。通过由易入难的分层教学，往往可以收到较好的教学效果。

三、考核方式

教与学的真实效果需要通过考核来检验，考核是“实变函数”课程教学过程中的一个必不可少的重要环节。建立合理的考核体系是实现考核目标的前提。在“实变函数”课程的平时成绩测算过程中，笔者综合考虑了学生的考勤、作业、课堂讨论、听课记录以及平时测验等因素，将学生的平时表现分别细化和量化并且加权平均产生平时成绩。对于“实变函数”课程的期中和期末考核，笔者采用了卷面考核（开卷或闭卷），也尝试了问答型口试考核。最后，将平时成绩、期中成绩和期末成绩进行合理的加权平均产生期末总评成绩。

四、结束语

以上是笔者从教学内容、教学方法和考核方式三个方面对“实变函数”课程教学改革的几点思考。教学过程中仍需具体问题具体分析，根据实际的教学情况灵活处理。

参考文献：

[1]程其襄，张奠宙，魏国强，等.实变函数和泛函分析基础[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2]关洪岩，郝妍，张明.实变函数论的教学改革[J].沈阳师范大学学报（自然科学版），2012，30（1）：115-118.

[3]童武.关于《实变函数》课程建设的实践与思考[J].首都师范大学学报（自然科学版），1998，19（1）：15-19.

[4]刘晓波.“教学做合一”理论在实变函数课程教学中的实践[J].高等理科教育，2013，110（4）：82-85.

篇5：实变函数与泛函分析-教学大纲

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

适用专业：信息技术专业 课程编号： 教学时数：72学时 学 分：4 课程性质：专业核心课

开课系部：数学与计算机科学院 使用教材：《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版 曹广福.高等教育出版社 参考书

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，Functional Analysis, 3rd Edition； [4]周民强《实变函数论》第2版.北京大学出版社.二、课程介绍

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力。

三、考试形式

考试课程，考试成绩由平时成绩和期末考试组成，平时作业占百分之二十，期末考试百分之八十。期末考试是闭卷的形式，重点考察学生的解题能力和基础理论。

四、课程教学内容及课时分配

第一章 集合与点集 要求

1、掌握集合的势，可数集

2、熟悉欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

主要内容

集合的势，可数集，n维欧氏空间上的拓扑，Canchy收敛原理

重点

集合的势，可数集 课时安排（4学时）

1、集合的势，可数集

2学时

2、欧氏空间上的拓扑，Cauchy收敛原理

2学时

第二章 Lebesgue测度 要求

1、熟练掌握外测度、可测集以及它们的性质

2、掌握可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

3、熟练掌握可测函数的收敛性

主要内容：

Lebesgue外测度，可测集（类），可测函数及其性质，可测函数的收敛性

重点

外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性 课时安排（12学时）

1、外测度、可测集以及它们的性质

4学时

2、可测函数及其性质，以及非负可测函数的构造

4学时

3、可测函数的收敛性

4学时

第三章

Lebesgue积分 要求：

1、熟练掌握可测函数的积分及性质

2、熟练掌握Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

3、弄清重积分与累次积分的关系，Fubini定理

主要内容：

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理，Riemann可积的充要条件，重积分与累次积分的关系，Fubini定理

重点

可测函数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理 课时安排：（16学时）

1、可测函数的积分及性质

6学时

2、Lebesgue积分基本定理，Fatou引理，控制收敛定理，Riemann可积的充要条件

6学时

3、重积分与累次积分的关系，Fubini定理

4学时

第四章

L空间 要求：

1、熟练掌握L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

2、熟悉L空间的内积，标准正交基

3、了解卷积与Fourier变换 ppp主要内容：

p

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性，L空间的内积，标准正交基，卷积与Fourier变换

重点

Lp空间的范数、完备性、收敛性、可分性 课时安排（10学时）

1、L空间的范数、完备性、收敛性、可分性

4学时

2、L空间的内积，标准正交基，正交化方法

4学时

3、卷积与Fourier变换

2学时 pp

第五章 Hilbert空间理论 要求：

1、熟练掌握距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

3、熟悉共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱

主要内容：

距离空间的定义，紧致性，Hilbert影算子，紧算子性质及其谱。课时安排（16学时）

空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投

1、距离空间的定义与紧致性的定义，Riesz表示定理

4学时

2、Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性

6学时

3、共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱 6学时

第六章 Banach空间理论 要求：

1、掌握Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

2、熟悉开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

3、熟悉连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach定理

4、弄清弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

主要内容：

范数、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子，开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理，Hahn-Banach定理，弱收敛、弱-*收敛，弱列紧、弱-*列紧性

重点

Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛

课时安排（14学时）

1、Banach空间的定义，模等价，有界线性算子

4学时

2、开映象定理，逆函数定理，闭图像定理，共鸣定理

6学时

3、连续线性泛函的存在性与Hahn-Banach

4学时

《实变函数与泛函分析》考试大纲

院 系：数学与计算机科学学院

课程名称：实变函数与泛函分析（第二学期）使用专业：数学与信息科学专业

学 时：72 其中，理论学时：72 实践学时：0 学 分：4

一、设课目的：

《实变函数与泛函分析》以掌握Lebesgue测度空间，Lebesgue积分，Hilbert空间和Banach空间的基本知识，培养学生从几何、拓扑上来认识抽象函数空间，以抽象空间为工具来研究、解决实际问题的能力.二、课程教学内容和教学目标：

通过本门课程的教学，使学生了解函数理论的基本体系，理解实变函数的基本概念、基本原理，使学生较好的掌握集合论基础、Lebesgue测度与Lebesgue积分、线性赋范空间与Hilbert空间的基本理论和有界线性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，为进一步学习分析数学中的一些专门理论，如函数论，泛函分析，概率论，微分方程，群上调和分析等提供必要的测度和积分论基础，为从事中学数学教育提供知识储备.三、课程考核的基本形式、内容和要求：

本课程考核分为两部分：形成性考核和课程期末考试

（一）形成性考核

形成性考核部分分为：平时考勤（占20%）、作业（占70%）、课堂提问情况（占10%）这三个部分。要求随时检查学生考勤，批改作业，敦促学生边学边做。

学生应按时完成各阶段的平时作业。对于抄袭作业的或不按时完成的应给予说服教育，严重者应给予扣分处理。

（二）课程期末考试

期末考试采用笔试闭卷形式。考试命题由教研室集体讨论，任课教师可参与命题。本课程期末考试的命题依据是专业教学计划、课程教学大纲以及使用教材。本课程的试卷涉及该教材所含的有关知识内容及练习，其中重点内容为：集合的势，可数集；外测度、可测集以及它们的性质、可测函数的收敛性；可测函

p数的积分及性质，Lebesgue积分的极限定理；L空间的范数、完备性、收敛性、可分性；距离空间的定义，紧致性，Hilbert空间上线性算子的有界性和连续性，共轭算子、投影算子，紧算子性质及其谱；Banach空间的定义、模等价、有界线性算子、开映象定理、Hahn-Banach定理、弱收敛、弱-*收敛.四、考核的组织：

本课程的平时作业由任课教师根据学生完成情况进行批阅、评分。课程期末考试教研室统一组织，以集体流水作业的方式进行批阅。根据班级学生的学习情况形成性考核成绩可占总成绩的30%，期末考试成绩可占总成绩的70%。

五、教材

[1]夏道行《实变函数论与泛函分析》（上、下册）第2版修订本.高等教育出版社；

篇6：实变函数作业1解读

一、复习引入: 1.弧度定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2.正、余弦函数定义:设α是一个任意角,在α的终边上任取(异于原点的一点P(x,y , P 与原点的距离r(0222 2>+=+= y x y x r , 则比值r y 叫做α的正弦,记作:r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦,记作:r x =αcos

3.正弦线、余弦线:设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ,y,过P 作x 轴的垂线,垂足为M , 则有MP r y == αsin ,OM r x

==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线,有向线段OM 叫做角α的余弦线.二、讲解新课:

1、用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象(几何法:(1函数y=sinx 的图象

第一步:在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ,以1O 为圆心作单位圆,从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12等份.(预备:取自变量x 值—弧

度制下角与实数的对应.第二步:在单位圆中画出对应于角6, 0π,3π,2 π ,…,2π的正弦线正弦线(等价于“列表”.把角x 的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点就是正弦函数

图象上的点(等价于“描点”.第三步:连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象.r y(x,α P

根据终边相同的同名三角函数值相等,把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π,就得到y=sinx ,x ∈R 的图象.把角x(x R ∈的正弦线平行移动,使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合,则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.(2余弦函数y=cosx 的图象

正弦函数y=sinx 的图象和余弦函数y=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法: 正弦函数y=sinx ,x ∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0(2π,1(π,0(23π ,-1(2π,0

余弦函数y=cosx ,x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1(2π,0(π,-1(2 3π ,0(2π,1

只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时,常采用五点法作正弦函数

和余弦函数的简图,要求熟练掌握.优点是方便,缺点是精确度不高,熟练后尚可以.3.讲解范例: 例1 作下列函数的简图

(1y=1+sinx ,x ∈[0,2π],(2 y=-cosx.y=cosx y=sinx π2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11 y x-1 1 o x y 解:(1(2

三、小结: 本节课学习了以下内容: 1.正弦、余弦曲线 几何画法和五点法;2.注意与诱导公式,三角函数线的知识的联系.四、练习: o 1 y x 2

π2 3π2 π-π π 2-1 2 y x o 1-1 2 π2 3π2 π-π π 2 在同一直角坐标系内画出 和 的图象.3sin(2 y x =-

篇7：实变函数作业1解读

江苏省高等教育自学考试大纲

0201

2实变与泛函分析初步

江苏教育学院编

江苏省高等教育自学考试委员会办公室

一 课程性质及其设置目的与要求

（一）课程性质与特点

实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容.总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）设置目的与要求

课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。

本课程设置目的是使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。

二 课程内容与考核目标

第一章

集合

（一）课程内容

集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。

（二）学习与考核要求

1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章

点集

（一）课程内容

度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直上开集、闭集、完备集的构造.（二）学习与考核要求

1、理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d及用邻域u来描述），掌握两集之距离，一集之直径及n维区间等概念.2、掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c、测度为零等）.第三章

测度论

（一）课程内容

外测度，可测集，可测集类。

（二）学习与考核要求

1、掌握勒贝格外测度的定义（m* E）及其基本性质（包括非负性，空集外测度规定、单调性和可次可加性等）.能够根据勒贝格外测度的定义来证明性质和验证零测度集.2、了解勒贝格内测度（m* E）概念、勒贝格可测集的第一定义

**mEmEm*（），理解对于区间I有I|I|及mI|I|的结论.了解不可测集的存在性.3、掌握勒贝格可测集的第二定义：

对任意点集T: m*Tm*(TE)m*(TCE)测集的第一、第二、定义的等价性.成立.能够用第二定义证明某些集的可测性.了解可

4、掌握可测集的两个充要条件定理.5、掌握两可测集之并为可测集定理，可列个可测集之并为可测集定理，并能够正确地证明它们.6、掌握两可测集之交为可测集定理，可列个可测集之交为可测集定理.7、掌握递增可测集列

{Sn}之极限可测定理及递减可测集列{Sn}之极限可测定理.并能够正确证明它们,还要能够用反例说明后一个定理中mS1的重要性.8、掌握波雷耳集,集,还是G型集、F型集等概念.能够根据概念正确判别具体集合是G型F型集.G型集、F型集的关系.9、掌握可测集与开集及闭集的关系;可测集与

第四章

可测函数

（一）课程内容

可测函数及性质，叶果洛夫定理，可测函数的构造，依测度收敛。

（二）学习与考核要求

1、掌握全体有限实数R上、下确界+∞、-∞的概念，掌握R∪{±∞}内的四则运算的意义及法则.2、掌握可测函数的定义及其等价性定理.3、掌握定义在任意点集E上连续函数的概念及连续函数可测性定理.掌握简单函数的概念及其可测性叙述.4、掌握可测函数的性质（包括可测子集上的可测性，并集上的可测性，函数四则运算及取绝对值的可测性，可测函数列的上、下确界函数的可测性、上、下极限函数可测性、极限函数可测性等）

5、掌握可测函数与简单函数关系定理.6、掌握叶果洛夫定理的引理.7、掌握叶果洛夫定理和鲁津定理，能够对应地写出与某些可测函数的“基本上”相等的连续函数.8、掌握依测度收敛的概念，能够用实例说明依测度收敛与收敛概念的不同性.9、掌握黎斯定理及勒贝格测度收敛定理.掌握依测度收敛在几乎处处意义下的唯一性定理.能够应用相关定理证明一些简单命题.第五章

积分论

（一）课程内容

黎曼积分，勒贝格积分定义及性质，一般可积函数，积分极限定理，富比尼定理。

（二）学习与考核要求

1、掌握可测分划D，关于D的Darboux大和及Darboux小和、有界函数F{x}在E上的上、下积分、在E上的（L）积分概念.掌握有界函数（L）可积的两个充分条件定理.2、掌握有界函数F(x)在[a.b]上（R）可积时（L）积分与（R）积分相等的定理并且能够正确地证明之.3、掌握有界函数的（L）积分的性质（包括和、差、积、商、取绝对值的可积性、可测子集上函数可积性、线性、不等号性质、绝对值放大性质，被积函数几乎处处为零的充分条件及绝对连续性.）

4、掌握一般非负函数（L）积分概念，一般函数（L）积分概念.掌握一般函数积分确定时或可积时的全部性质.能够证明积分绝对连续性.5、掌握（L）可积函数是具有绝对可积性的结论，能够用函数是否（R）绝对可积来判别其是否（L）可积的.6、掌握积分的极限定理（包括L-控制收敛定理和推论，列维定理，L-逐项积分定理，积分可数可加性定理，法都引理、积分号下求偏导定理）并能应用这些定理证明题目.7、理解直积、截面和下方图形等概念及性质.理解截面定理、直积测度定理、非负可测函数积分的几何意义定理及其推论.8、掌握富比尼定理,能够用富比尼定理来检验函数的不可积性.三 有关说明

（一）教材：

自学教材：程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社,2003年。

（二）补充资料

自学和命题以考试大纲为主要依据，但考虑到本课程的定理证明较难，故对本课程参考课本中的主要定理证明不作要求，但定理结论的和定理结论本身的内容必须掌握，并能利用定理来计算和判断一些命题。故须补充一些定理应用的例子和习题。具体内容可以参考下列教材：

赵静辉主编：《实变函数简明教程》，华中理工大学出版社，1996版。

烟台师范学院等九院校编著：《实变函数论简明教程》，山东科学技术出版社，1985版。

（三）自学方法的指导

本课程作为一门专业课程，逻辑性强，自学者在自学过程中应该注意以下几点：

1、学习前，应仔细阅读课程大纲的第一部分，了解课程的性质、地位和任务，熟悉课程的基本要求，使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

2、所配教材只是一个参考，自学中应结合本课程大纲、补充习题、多做练习，熟练掌握基本概念，能利用基本概念定理计算判断，从而切实提高自身的数学分析问题能力和解决问题能力。

（四）对社会助学的要求

1、应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章的知识点。

2、对应考者进行辅导时，除了以指定的教材为基础外，应以考试大纲为依据，注意补充练习，注重提高学生应用概念定理分析问题、解决问题能力的发展。

（五）关于命题和考试的若干规定

1、本大纲各章所提到的考核要求中，各条细目都是考试的内容，试题覆盖到章，适当突出重点章节，加大重点内容的覆盖密度。

2、试题难度结构要合理，记忆、理解、综合性试题比例大致为3：5：2。

3、本课程考试试卷可能采用的题型有：单项选择题、填空题、简答题、计算题、证明题等题型（见附录题型示例）。

4、考试方式为闭卷笔试，考试时间为150分钟，评分采用百分制，60分为及格。

附录：题型举例

选择题 1．设是有理数，则下列正确的是（B）

A． 填空题： [0,1]； Ｂ．[0,1]；

Ｃ．[0,1]；

Ｄ．以上都不正确。

2．康托尔集P的测度为mP 0。集合A简答题：

4．叙述叶果洛夫定理？

[0,1]的测度为mA 0。

参考答案： 设mE,fn是E上一列几乎处处收敛于一个几乎处处有限的函数f的可测函数，则对任意0，存在子集EE,使得fn在E上一致收敛，且m(EE)。计算题： ,1,x[1,2]5．设f(x) 求f(x)dx？

[1,2]0,x[1,2].参考答案：由于m([1,2])0，据L积分的可加性及绝对连续性可得

证明题： [1,2]f(x)dx0dx[1,2]f(x)dx[1,2]f(x)dx[1,2][1,2]1dx0。

6．证明：Ea2b|a,b为可数集。

参考答案：令:a2b(a,b)，其中a2bE,(a,b),显然是单

射，故Ea。另外，显然，Ea。即Ea2b|a,b为可数集。

篇8：实变函数作业1解读

1. 高等教育与地方经济之间的关系

在我国, 高等教育和地方经济发展之间的关系互相制约, 但又互相支持。从高等教育角度讲, 一是为地方经济发展培养了许多各个层次的人才, 培养了许多能够适应不同产业发展需求的人才。通过高等教育培育出的人才, 某些就职于高校所在地成立的企业, 为地方经济的发展提供了人才保证。二是为地方经济发展奠定了科技基础。近年来, 地方企业的很多课题都由高校承担, 研究得到很多新的科技成果通过与高校的合作, 企业在新技术与科研成果的指导下, 提高生产经营水平, 提高了经济效益, 明显促进地方经济的发展。

从地方经济发展看, 一是地方经济的发展给高等教育的生存与发展提供了强有力的物质保障。高等教育是在高等院校中产生的, 存在于地方中, 生存与发展必须依靠物质支撑。地方财政的主要来源与地方经济的发展水平有直接关系, 经济水平好的地区财政收入就会比较高, 可以在资金等方面给予高等教育更多的支持。同时, 地方经济发展好的区域, 能够提供更多的工作机会, 吸纳更多的高校毕业生, 从而影响高等教育。

基于二者之间互相促进和互相制约的关系, 所以必须保证二者之间协调发展, 但不能要求二者做到同步发展。高等教育的发展在某一时期可以超前地方经济的发展, 也可以稍微落后一些, 这完全不影响二者之间的良性互动。但从高等教育近些年的实际的发展看, 发展水平还是要超前于地方经济的发展水平, 主要原因是高等教育的客观规律和滞后性人才培养的特点。

2. 高等教育在促进地方经济发展过程中产生的问题及原因

2.1 人才培养结构缺乏科学指导

据有关研究表明, 在高等教育中, 科学合理的本科与专科比例应该在1∶1~1.5。梯形或宝塔形人才结构是最合理的一种结构, 纺锤形人才结构很容易导致地方经济乃至整个社会经济发展失衡。在当前高等教育的现实情况中, 很多地方的高等院校都是由一些中专或高等职业院校合并产生, 随后进行资格升级, 学科建设水平不高, 师资队伍综合素质较差, 难以适应本科教学, 甚至某些高校为增加生源, 盲目开发社会上需求量比较大的专业或学科, 不但抢占地方有限的教育资源, 而且对原本高校中专业特色强、学科实力强的发展产生很大负面影响, 最严重的后果是培养出来的人才难以适应地方经济的发展, 不能满足地方经济的发展需求。

2.2 科研环境有待进一步完善

高等院校在选择科研项目时, 大多是围绕国家级、自然科学基金、省部级等这些较重大的课题, 很少对地方经济发展进行考虑, 也很少考虑地方企业的客观需要, 导致高校科研投入与地方经济发展需求不一致;评价科研成果时, 大多量化论文数量, 很少考虑科研成果是否能真正转化为生产力, 可以服务于地方经济发展, 服务于地方企业发展。当前, 还没有专门的机构负责科研成果的转化, 还没有专项资金支持科研成果的进一步验证, 导致高校的很多科研成果难以促进地方经济发展。

2.3 地方经济发展水平不高

地方经济水平是否发达, 与高校科研经费的投入有直接的关系。当前, 很多东方企业拿出资金进行科研投入时, 通常要与经济利益挂钩, 因为科技研究及科研成果的转化本身具有很大的风险。如果没有足够的科研经费, 则会对参与科研的工作人员的积极主动性产生很大的影响, 很多成果的中试环节难以进行, 就难以保证科研成果带来企业的经济效益, 难以保证很好地促进地方经济发展。

3. 高等教育促进地方经济发展的有力措施

3.1 调整人才培养结构

高等教育必须建立合理的人才培养结构, 以保证更好地促进地方经济发展, 在高等院校中研究生、本科生、专科生等人才层次培养要呈现梯形结构, 这样才能保证培养出的各层次人才与地方经济发展需要相协调。就地方而言, 政府教育行政主管部门必须以当前某一阶段经济发展的实际情况和未来经济的发展趋势规划科学合理的人才培养计划, 正确引导地方高等院校持续开展人才培养工作。政府教育行政主管部门要对专升本院校、专业进行严格控制与管理, 保证高等院校的特色专业和优势学科不断发挥特长优势, 加强专业性、技术性、实用性人才的培养;高等院校要以地方产业的发展为战略目标, 对当前设置的专业、学科依据地方经济发展的实际需求做出改革与调整, 保证地方高等院校中的专业结构、学科建设、地方经济发展三者相互协调发展。

3.2 争取更多的科研资金

地方高等院校要进一步拓宽筹集科研经费的渠道, 仅仅依靠国家和地方政府资金投入是远远不够的, 要全面发动社会上企业的力量, 争取企业更多的专项补助资金, 争取地方企业家、社会名流等各项资金资助补充科研经费, 确保高校中的各项科研项目顺利进行, 促进科研成果的中试、转化, 确保科研成果能促进地方经济发展, 给企业带来经济效益。高等院校在进行科研项目的选题方面, 必须立足地方经济发展和地方企业需求实际, 选择可以为地方中小企业排忧解难、解决实际问题、提高生产经营管理水平、带来实际经济效益的科研项目, 开展联合攻关, 保证地方中小企业的发展更持续健康, 地方大企业能够顺利转型, 为地方政府带来可观的财政收入。

3.3 加强校企合作

高等院校与地方企业之间要加大合作力度, 不断推进产学研更好地合作, 在校企之间的人才交流方面, 一定要建立完善的校企人才交流机制, 在高等院校内可以将企业内部的优秀管理人员和技术骨干聘为某个专业或学科的兼职教师, 定期到学校开展教学工作, 在课堂上对学生讲述企业生产经营过程面临的机遇和困难, 引导学生更积极主动地思考企业在生产经营管理、技术改造升级等方面的客观问题, 不断提高高校学生找出问题、分析问题和解决问题的能力;同时, 企业可以在高校中聘请理论知识丰富、实践能力强的教师参与企业的生产经营管理, 定期深入企业一线, 对企业发展所面临的管理、资金、技术等难题进行调研, 然后提出针对性强的发展建议, 保证企业更好地发展。校企双方要以便捷沟通、提高办事效率为前提搭建信息交流平台, 双方可以定期召开研讨会, 一是让高校的科研团队及时掌握企业为何难以更好地发展, 做好客观实际的调研工作, 以便展开更有针对性的课题研究;同时企业可以进一步掌握科研项目的研究现状, 以便更好地对科研成果进行及时转化;在转化科研成果为企业生产力的过程中, 校企双方要成立专门的机构, 具体负责评估科研成果的产权归属、商业价值及利益分配, 确保高等教育更好地服务于地方经济。

3.4 转变办学观念

高等院校不但要培养研究型人才, 而且要培养更多的创业型人才, 这就需要转变高校办学观念, 将高校定位于创业型大学。在地方, 创业型大学是地方知识创新和技术创新的主体, 密切联系地方政府和地方企业, 使三方更好地合作;创业型高校必须保证高校的研究质量, 为企业的创业注入新鲜的血液。

3.5 兴建科技园区

地方政府可以在高校相对密集的区域, 兴建特色明显、优势集中的科技园区, 加大科研成果转化为企业生产力比例, 以增加企业经济效益和政府的财政收入。科研成果的转化, 可以为地方经济发展提供更先进的科技手段和管理方式, 条件具备的地方可以以科技园区为中心, 充分发挥辐射功能, 促进地方其他企业更好更快地发展, 进而提升整个地方的经济总量和发展速度。

4. 结语

高等教育是对人才培养的基础环节, 在促进地方经济发展中针对性强, 具有全局的作用, 要稍微超前于地方经济的发展。所以为促进地方经济更好发展, 必须重视高等教育与地方经济发展之间的关系, 从资金、教育改革、专业设置等方面支持高等教育, 确保高等教育更好地促进地方经济发展。

摘要：高等教育和地方经济发展之间互相制约, 但又互相支持。本文阐述了高等教育与地方经济发展之间的关系, 详细分析了高等教育在促进地方经济发展过程中产生的问题及原因, 提出了在提高高等教育能力的基础上促进地方经济发展的有力措施。

关键词：高等教育,地方经济发展,问题,研究

参考文献

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