泛函分析考研

泛函分析考研（精选15篇）

篇1：泛函分析考研

1.设X,d为距离空间。证明：d

2.（1）收敛点列为柯西列。

（2）柯西列为有界列。dx,y也是距离。1dx,y（3）有收敛子列的柯西列是收敛列。

3.（1）叙述压缩映射定理。

（2）作业的应用。

4．证明：u,vau(x)v(x)dx是一个内积。

5．利用Schwarz不等式证明：x满足三角不等式。

6．利用内积证明平行四边形公式。7．X,Y为Banach空间。T:XY线性。证明：T有界T连续。

8.H为Hilbert空间，fH线性有界泛函。

（1）证明零空间vf是闭集。

（2）叙述Riesz定理。

（3）证明：Nf是一维子空间。

9.证明投影算子，P为线性有界算子，并且P2P,P1 10.ufx,uW01,2,若fL2 ,证明解存在且唯一 b

篇2：泛函分析考研

学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue可测集的结构、可测函数、LP空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：

第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n维欧氏空间Rn中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念： 1.距离空间（或度量空间）的定义：

设X为一集合，是XX到Rn的映射，使得使得x,y,zX，均满足以下三个条件：

（1）x,y0，且x,y0当且仅当xy（非负性）（2）x,yy,x（对称性）

（3）x,zx,yy,z（三角不等式），则称X为距离空间（或度量空间），记作X,，x,y为x,y两点间的距离.学习了距离空间定义后，我们可以验证：欧式空间Rn，离散度量空间，连续函数空间C[a,b]，有界数列空间l，p次幂可和的数列空间lp，p次幂可积函数空间Lp[a,b](p1)，均满足距离空间的性质.2.距离空间的完备性

设X,是距离空间（或赋范空间），如果X中的点列xn满足

xn,xm0

n,m

则称xn是X中的基本列（或Cauchy列），若X中任意基本列都在X中收敛，则称X,是完备的距离空间（或赋范空间）.在上学期学习《实变函数论》时我们已讨论过LP1空间的完备性，除此之外，我们可知道Ca,b按距离x,ymaxxtyt是完备的、atblp1是完备的.第一章第三节的内容是内积空间，与高等代数中的欧式空间类似，但又不一样，在n维欧式空间中，向量的“夹角”是利用内积来定义的.两个向量u,v的夹角指的是arccos于u,vuv，其中u,v是u与v的内积，u是u的模或长度，它等u,v.如果抛开Rn中内积的具体形式，将其性质抽象出来，就可得到抽象空设X是复数域上的线性空间，,是XX到复数域C的二元函数，使得间上的内积概念：

对任意x,y,zX及C满足：

(1)x,x0,且x,x0当且仅当x0

(2)xy,zx,zy,z(3)x,yx,y(4)x,yy,x

则称,为X上的内积，称X为具有内积,的内积空间，也记为X,,.在学习了内积空间的定义后，我们知道若在L2E上定义

f,gEfxgxdx

f,gLE

篇3：研究生《泛函分析》课程教学探讨

作为数学专业研究生的一门基础课, 《泛函分析》的教学历来为各学校所重视。但因其独特思维方式和内容的深广性使得学生普遍感到学习困难、抽象难懂。特别是近几年来, 随着研究生招生规模的不断扩大, 入学学生的实际基础水平差异加大, 加之学时少而内容多, 《泛函分析》的教学更是困难重重。笔者从事《泛函分析》的教学多年, 为使学生能更好地掌握本课程, 对教学方法和教学内容的改革进行了多方面的探索, 取得了较好的教学效果。

一、要注意好与数学分析、实变函数论课程的衔接

有别于古典分析, 泛函分析的一大特点是把古典分析的基本概念和方法抽象化、几何化。比如, 不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或向量, 而对“函数空间”等概念做进一步的推广最后得到了“抽象空间”这个一般化的概念。如果说函数是数集与数集之间的对应关系, 那么泛函则是函数集与数集之间的对应关系, 而算子则是函数集与函数集之间的对应关系。因此, 作为泛函分析的基础和前导课程, 数学分析、实变函数的教学对学习泛函分析是十分重要的。

《数学分析》中的极限、有界、连续、开集、闭集、邻域都是泛函分析学科的基本概念;而《实变函数》中的Levi定理, Fatou定理, Lebesgue控制收敛定理和有界变差函数、勒贝格数、开映射等定理和概念在泛函分析的理论体系展开过程中起着重要的作用。比如, 在数学分析中, 我们有Cauchy收敛原理:“Cauchy列必收敛”。但这一论断在抽象空间中并不成立, 造成这一现象的原因在于这些抽象空间中的点“不够多”, 存在许多的“砂眼”, 由此引出了“Banach空间”的概念;又如在数学分析中, 我们有Bolzano-Weierstrass定理:“有界数列必存在收敛子列”, 而这一定理在无限维德抽象空间中也不成立, 从此可导出“紧集”的概念。类似地, 由“开覆盖”的概念引导出“全有界集”。最后, 我们能在抽象空间的一般框架内实现有限覆盖定理、闭集套定理与聚点原理的统一, 而且是统一于“紧集”的概念[1]。通过这种比较, 能使学生领悟到这些抽象概念的来龙去脉, 有利于培养学生从特殊的具体事物中抽出其本质特征的能力, 有助于学生对基本概念本质特征的理解和运用。

二、提高学生对课程内容的整体把握能力

在学习的过程中, 学生们普遍反映, 当老师在课堂上讲解时都能听懂, 但下课后, 若自己再去复习, 则又感到不好理解;好不容易把概念、定理弄明白了, 但合上书本后, 对课程内容又感到模模糊糊, 说不出个所以然来。之所以会出现这种情况, 主要是学生对课程内容缺乏整体的把握。

要使学生对课程内容能有“整体的把握”实际上需要一个我国著名数学家华罗庚先生所说的“把书读薄”的过程, 即对书本知识不断过滤、凝练、浓缩和“蒸馏”的过程, 也就是一个提纲挈领、归纳总结的过程。

在教学中, 我们归纳出三条主线, 通过这些主线可以将泛函分析的主要内容串起来。一是Baire纲定理。由它可以推导出泛函分析的的几个大定理:闭球套定理、开映射定理、逆算子定理、闭图像定理和一致有界原理等。二是Hahn-Banach定理。它保证在一个线性子空间上的线性泛函能够延拓到全空间上, 即无限维空间上有足够多的线性连续泛函可供研究, 因而成为线性泛函分析的一块基石。由Hahn-Banach定理出发, 推出应用十分广泛的存在定理:继而串起在凸分析、最优化理论等数学分支中有着重要应用的分离定理。三是Hilbert空间和表示定理。串起极化恒等式、Parseval等式、标准正交基、投影算子和自反性等概念, 以及一些重要的Banach空间上的表示定理和Riesz表示定理等。

通过这些归纳总结, 学生对泛函分析的全貌就有了一个大致的了解。以此三条主线为基础, 我们要求学生将书本上的概念和定理依逻辑关系联结起来, 进行更细致的研究, 形成一棵枝繁叶茂、果实累累的“大树”, 进一步深化了学生对课程内容的理解和整体把握。

三、突出数学思想, 讲深讲透重要定理和结论

由于教学时间的减少和研究生实际基础水平的参差不齐, 许多数学专业研究生教材有“快餐化”的倾向。主要表现为在内容的选取上避重就轻, 对于一些证明篇幅长学生理解困难的定理往往是蜻蜓点水式的讲解甚至略过。这种做法对学生数学思维能力和创新能力的培养是极为不利的。若只泛泛地讲数学思想而不讲数学证明, 学生将不能真正理解现代数学中深刻的数学思想和方法。“泛函分析中的共鸣定理、开映射定理和延拓定理等, 这些定理的证明长而难, 在以往的教学中历来难于过关, 如果因难教难学和学时减少而删去这些定理的证明就等于丢掉了本课程的精华部分[2]。”事实上, 一些定理的“规模宏大”的证明中往往孕涵着泛函分析的一些常用的分析方法和处理技巧。

其次考虑上的全体有界可测函数集合上的表示, 因任一有界可测函数均可表为一列阶梯函数的极限函数, 通过一个极限过程, 我们可将上述表达式从在上成立扩展到全体有界可测函数集合上成立。最后, 因有界可测函数全体在上稠密, 再次通过一个极限过程而得到定理的最终证明。

总结起来, 在定理的证明过程中, 我们涉及到了如下的定理和方法:

1、任一阶梯函数均可表成形如的区间上的特征函数的线性组合;

2、任一有界可测函数均可表为一列阶梯函数的极限函数;

3、有界可测函数全体在上稠密;

4、全连续函数的导数可积且成立Newton-Leibniz公式;

5、Lebesgue控制收敛定理;

6、在证明无界函数的可积性时, 截断函数的使用。

这一冗长的证明, 充分展示了泛函分析的思想方法和高度的证明技巧, 而这种思想方法和技巧在后面的可析空间的研究中还要用到。通过这一艰苦证明的“洗礼”, 学生将实变函数的知识用活了, 并且充分领略到了泛函分析的思想方法和英国数学家罗素所说的数学的那种“至高无上的美”, 这种效果是浮光掠影式的讲解所无法达到的。

四、重视反例的教学和学生解题能力的培养

美国数学家盖尔鲍姆认为:“数学由两大类——证明和反例组成, 而数学的发展也是朝着这2个目标——提出证明和构造反例。”在泛函分析教学中, 无论是在定义、定理或命题的教学中, 还是在纠正学生错误时, 都可以运用反例来帮助教学。

反例主要有三种, 一种是研究某命题是否成立, 只要举出一个反例即可推翻结论;第二种是在得到一个定理后, 我们希望能将定理的条件削弱, 但可以举出反例说明这些条件不能再减少或减弱;第三种是希望将在某一范围内成立的结果推广到更大的范围里去, 但因反例的存在而失败。比如:设是线性赋范空间中的单位球面

显然上不能取得最小值。

反例构造是一种重要的数学技能, 正确认识反例在泛函分析教学中的作用, 并将反例及反例构造作为泛函分析教学的基本训练内容渗透于教学过程中, 有助于学生形成批判性和创造性思维品质, 为学生的学习奠定良好的思维习惯, 提高学生分析问题、解决问题的能力。

泛函分析是一门比较艰深的数学理论课程, 要想较好地理解它、掌握它仅靠记住一些定理和命题是不够的, 必须通过学生自己去思考、琢磨并完成一定数量的习题才有可能真正领会这门学科的基本概念和处理问题的基本思想, 才能深化对课程内容的理解。

习题是教材的延伸。好的习题能激发学生的思考和探索欲, 能起到开阔视野、提高学生提出问题和解决问题的能力。为此, 我们对习题作了精心的挑选, 以基本题为主, 循序渐进, 适当地安排一些技巧性较强的题目, 而且有意识地列入一些学生在已有知识的基础上能进一步提出和解答的问题。

参考文献

[1]胡适耕.应用泛函分析[M].北京:科学出版社, 2004.

[2]匡继昌.“实函与泛函”教材与教法改革的研究与实践[J].数学教育学报, 2001 (5) .

篇4：泛函分析教学大纲

通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

二、教学重点

线性算子的谱及分类，全连续算子。

三、教学难点 紧集和紧线性算子的谱。

四、讲授要求

通过学习此章，理解线性算子的谱及分类，掌握紧集和全连续算子的定义及紧线性算子的谱。

五、讲授要点

篇5：一阶迭代泛函微分方程的解析解

一阶迭代泛函微分方程的解析解

讨论了一类迭代泛函微分方程解析解的存在性,通过构造一个辅助方程的`幂级数解来给出该方程的解析解.

作 者：刘静 LIU Jing  作者单位：滨州学院数学与信息科学系,滨州,256603;山东大学数学与系统科学院,济南,250100 刊 名：科学技术与工程  ISTIC英文刊名：SCIENCE TECHNOLOGY AND ENGINEERING 年，卷(期)： 8(19) 分类号：O175 关键词：迭代泛函微分方程   解析解   复数域  

篇6：泛函分析考研

密度泛函与分子模拟计算介孔孔径分布比较

用巨正则系综 Monte Carlo模拟 (GCMC)方法和密度泛函理论( DFT)结合统计积分方程( SIE)计算了介孔材料的孔径分布.为比较这两种方法 ,以 77 K氮气在介孔活性碳微球中的吸附数据为依据 ,求出其孔径分布.在 GCMC模拟和 DFT计算中 ,流体分子模型化为单点的 Lerrnard-Jones球 ;流体分子与吸附剂材料之间的`作用采用平均场理论中的 10-4-3模型.在 DFT方法中 ,自由能采用 Tarazona 提出的加权近似密度泛函方法 (weighted density approximation,WDA)求解.结果表明 ,对于孔径大于 1.125 nm的介孔材料 ,GCMC和 DFT两种方法都可以用来研究介孔材料的孔径分布 ;对于小于 1.125 nm的介孔材料 ,不能用 DFT方法计算孔径分布( DFT方法本身的近似产生了误差) ,只能用分子模拟方法.

作 者：邵晓红 张现仁 汪文川 作者单位：北京化工大学化学工程学院,北京,100029刊 名：物理化学学报 ISTIC SCI PKU英文刊名：ACTA PHYSICO-CHIMICA SINICA年，卷(期)：19(6)分类号：O647.3 O641.2关键词：巨正则系综 Monte Carlo方法,密度泛函理论,孔径分布,吸附

篇7：泛函分析考研

一、几点探讨

(一) 转变该课程教育教学观念

课程教育教学观念, 是人们在一定的社会实践中, 直接或间接形成的对课程教育问题的认识。教师的教育教学观念制约和支配着自身的教育教学行为。目前, 教学中普遍存在着重“数学”而轻“教育”的传统思想, 这种思想必须加以改变。首先, 教师在传授书本知识的同时要兼顾对学生分析思维能力和解决问题的能力培养。其次, 在实际教学中, 要树立学生的主体地位, 引导学生独立思考、自主学习。通过充实和丰富课堂内外的各种教学活动, 使学生由被动的接收者转变为主动的参与者和积极的研究者。

(二) 教学内容直观化、趣味化, 提高学生的学习兴趣

《实变函数与泛函分析》的许多概念有一定的抽象性, 许多重要结论异常深刻, 而为达到这些结论所需的理论推演亦不简单。教学中应尽可能注意介绍理论背景, 增强学习目的性。将抽象的概念和理论直观化, 便于理解和记忆。根据这门学科的特点, 选用大量例子与其它学科联系起来, 一方面使学生了解抽象理论或概念的产生背景、理论发展的脉络, 另一方面突出其应用, 做到理论与应用并重, 抽象的理论与具体的例子有机结合起来, 抽象的概念几何化、直观化。加强与微积分、复变函数、微分方程、代数学、拓扑学的密切联系, 是学好该课程的关键。在增加本课程的趣味性方面, 主要是在教学中注意积累素材, 吸收其它课程或生活中比较有趣味性的例子, 用于教学中。例如, 在讲到Lebesgue积分与Riemann积分的区别时, 可用Lebesgue本人的一个生动形象的描述:“我必须偿还一笔钱, 如果我从口袋中随意的摸出来各种不同面值的钞票, 逐一地还给债主直到全部还清, 这就是黎曼积分, 不过我还有另外一种作法, 就是把钱全部拿出来并把相同面值的钞票放在一起, 然后再一起付给应还的数目, 这就是我的积分”。这个例子既浅显易懂, 使人听后不忘, 又抓住了两种积分的区别。

(三) 多种教法相结合, 提升教学效果

不同的教学法, 有它不同的优点和缺点, 使用范围和条件。如“启发式”的优点是:能提高智慧潜力, 使外来动机向内在动机转移, 获得“再发现”真知的能力。学生可以自己试着寻找数学思想方法, 但花费时间较长, 缺乏经验的教师难于随机应变解决意想不到的问题, 难于驾驭课堂教学的进度。对于较简单的定理推论可采取此教学法。“讲授法”的优点是:能够快速传递大量的知识信息, 促进学生抽象思维的发展, 对掌握知识的系统性有很大的帮助, 有利于掌握教学进程。但讲授法较难促进学生积极主动的学习, 不利于学生创造能力的培养。对于理论较强的概念、定义、定理、证明思路的分析一般都采用讲授法。“讨论式”是指教师为学生创设合适的问题情景, 由师生共同完成教学任务, 在课堂教学的平等讨论中进行, 师生互相讨论与问答, 鼓励学生大胆的发表意见, 提出质疑, 进行自由辩论。通过问答与辩驳, 使学生开动脑筋, 积极思考, 激发了学生学习热情及科研兴趣, 培养了学生综合分析能力与口头表达能力, 增强了学生主动参与课堂教学的意识。学生的创新研究能力得到了充分的体现。这种教学模式是教与学两方面的双向互动过程, 教师与学生的经常性的交流促使教师不断学习, 更新知识, 提高讲课技能, 同时也调动了学生学习的积极性, 增进师生之间的思想与情感的沟通, 提高了教学效果。但此种教学法花费时间也较长, 并且由于学生知识水平有限, 对于理论性较强的内容实现有些困难, 因此, 对于理论联系具体的例子时经常采用该教学法。另外, 适当采用现代教育手段可扩大课堂容量, 多媒体教学与数学教学的整合, 节省了一些因为板书所带来的不必要的时间占用, 为讨论式和启发式的教学方法争取时间和创造条件;同时, 对极其抽象, 学生难以理解的内容, 尽可能采用动画的形式以帮助学生理解, 并克服用粉笔在黑板上板书时图形不够准确, 图形复杂时不容易看清楚的弊端。

(四) 及时总结, 注意对比

《实变函数与泛函分析》课程体系严密完整, 知识之间不是孤立的, 教师要善于总结, 理清知识之间的联系。例如:Lebesgue积分与Rie m ann积分的联系;强收敛、弱收敛、一致收敛与依测度收敛的关系等, 在教学过程中要加以重视, 建立相应的知识体系, 使学生能够较快掌握新知识的内涵, 同时能及时复习已学内容, 达到温故知新的效果。针对有些定理条件、结论理论性较强, 难以掌握的情况, 以一些重要定理作为范例, 认真分析定理成立的条件和结论, 改变学生对定理的条件和结论缺乏分析的现状, 帮助学生理解、掌握所学定理。如在可测函数列的收敛性这一节里, 把ЕΓορов定理、R iesz定理和Le be s gue定理这几个实变函数中重要的大定理作为一个定理的几个部分放在一起对比分析, 既大大简化了证明, 又突出了这些定理的实质, 把可测函数列的依测度收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛之间的相互关系揭示的一目了然。同时, 教学中要安排适当课时的习题课, 进行学习方法和解题方法的系统总结, 从而达到举一反三的作用, 便于学生掌握。

二、结语

社会在不断进步, 大学教育也在快速向前发展, 《实变函数与泛函分析》课程需要适应时代潮流, 不断创新和改革, 并付诸于实践, 才能提高这门课程的教学质量, 培养学生的数学素养, 开拓学生的创新能力, 提高综合素质, 培养出高素质的人才。

参考文献

[1]华东师范大学数学系, 数学分析[M].北京:高等教育出版社, 1995.

[2]程其襄, 张奠宙, 魏国强等.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社, 1983.

篇8：泛函分析考研

一类二阶非线性泛函微分方程的振动性

在二阶泛函微分方程振动理论研究成果的基础上,利用Riccati变换、微分与积分、不等式的放大与缩小等方法,讨论了更一般的`一类二阶非线性泛函微分方程的振动性,得到了该类方程所有解振动的新的充分条件,改进了已有文献中的某些条件,推广了文献中的一些已知的结果.

作 者：柴益琴 侯亚红 CHAI Yi-qin HOU Ya-hong  作者单位：太原理工大学,财经学院,山西,太原,030024 刊 名：太原理工大学学报  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF TAIYUAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY 年，卷(期)： 38(6) 分类号：O177.91 关键词：二阶泛函微分方程   振动性   非线性  

篇9：泛函分析考研

采用密度泛函理论DFT-B3LYP方法,在6-31G*基组水平上对3种脂肪族聚酰胺尼龙2(PA2),尼龙4(PA4)和尼龙6(PA6)的.低聚物OA2,OA4和OA6构型进行优化,得到基态稳定构型;在优化构型基础上计算了分子振动谐性力场,并对理论谐性力场进行了简正坐标分析,得到了低聚物红外光谱及拉曼光谱,用标度因子0.96对计算频率校正.对照实验值,根据振动模式对其特征峰进行了指认.并讨论了由不同长度亚甲基链组成的聚酰胺对振动光谱的影响.

作 者：高进伟 朱冬生 李新芳 王学业 Gao Jinwei Zhu Dongsheng Li Xinfang Wang Xueye 作者单位：高进伟,朱冬生,李新芳,Gao Jinwei,Zhu Dongsheng,Li Xinfang(华南理工大学传热强化与过程节能教育部重点实验室,广东,广州,510640)

王学业,Wang Xueye(湘潭大学化学学院,湖南,湘潭,411105)

篇10：泛函分析考研

研究含阻尼项的双曲型泛函微分方程.利用Riccati方法和微分不等式,得到方程的若干振动准则.推广并改进已有结果.

作 者：刘开恩 杨国为 LIU Kai-En YANG Guo-Wei  作者单位：刘开恩,LIU Kai-En(青岛大学数学科学学院,山东,青岛,266071)

杨国为,YANG Guo-Wei(青岛大学自动化工程学院,山东,青岛,266071)

刊 名：中国海洋大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：PERIODICAL OF OCEAN UNIVERSITY OF CHINA 年，卷(期)：2007 37(6) 分类号：O175.2 关键词：阻尼项   双曲型   泛函方程   振动性  

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篇11：关于泛函求极值的一点思考

1问题描述及相关理论

问题2-1:考虑泛函, 其中及x (t) 在[a b]上连续可微, a, b, 均固定, 。求解最优轨线x (t) 使J (x) 达到极值。

问题2-2:考虑泛函, 其中在[a b]上连续可微, x (t) 为分段光滑曲线 (也就是为分段连续函数) , a, b, 均固定, 。求解最优轨线x (t) 使J (x) 达到极值。

对于问题2-1, 有定理如下[1]:

定理2-1:使泛函J (x) 取极值的必要条件是轨线x (t) 满足下列欧拉方程:

及边界条件。

对于问题2-2, 为简便起见, 假定仅在某一点处是不连续的, 即, 或写成, 此时有定理如下[2]:

定理2-2:使泛函J (x) 取极值的必要条件是轨线x (t) 满足下列欧拉方程式及边界条件和如下角点条件:

2一个例题

求泛函的极小值, 已知, 边界条件满足x (0) =0, x (1) =1。

若按照定理2-1, 可求解如下:

令, 将其代入欧拉方程, 整理可得:

在边界条件下通过Matlab软件容易解得, 继而得到泛函J (x) 的极小值为-5/12。如不仔细考虑, 看起来已得出所需要的解。但实际上, 被积函数的非负性决定了泛函J (x) 的极小值不可能为负!另一方面, 容易判断最优轨线在整个积分区间中不满足, 而只有在区间时才满足。故所求的轨线并不是最优轨线。换句话说, 本题的最优轨线不能只用一个连续函数表示出来。为了保证, 现在假定其最优轨线中存在某一角点t1, 由定理2-2中的角点条件式可得:

下面不妨这样考虑, 依据起始状态x (0) =0求解欧拉方程, 以及依据终端状态x (1) =1求解欧拉方程, 均可以得出若干条带有未知参数的轨线x (t) , 若求出的两部分的轨线合理且在 (0, 1) 区间上有交点, 则此交点必为角点。轨线中的未知参数及角点t1可以通过角点条件来继续求解。

依据起始状态求解欧拉方程可得:

依据终端状态求解欧拉方程可得:

其中c1, c2为待求常数。这样就有三种曲线组合方式, 再分别代入角点条件, 可分别解出常数c1, c2和t1, 最后根据题意得出合适的解。

组合情况一:当x1=0时, 可以解出c2=0.5或4.5, t1=0.5或1.5, 又因为, 所以t=0.5, c2=0.5, 即得到一组最优解:

组合情况二:当时, 可以解出分析这四种结果发现, 前两种结果没有角点, 即还是仅用欧拉方程求解的结果, 不符合;第三种结果t1超出范围[0 1], 第四种结果x在时, 有部分不满足, 因此这四种结果都得不到最优解。

同理可分析, 对于组合情况三也得不到最优轨线的解。

综上所述, 符合本题题意的最优轨线为:

相应的泛函极小值为, 这个结果是完全合理的。

3结语

本文通过一个例题说明一个事实, 在求解一类边界条件固定的泛函极值和相应的最优轨线问题时, 如果对最优轨线的连续性没有任何说明的话, 不能盲目地认为通过求解边界条件下的欧拉方程便能得到正确的最优轨线及泛函极值。多数情况下还要进行解的合理性考查, 如不合理, 还要在最优轨线是分段光滑的假定下, 通过角点条件继续完成求解, 直至得到正确的最优轨线和泛函极值。

摘要：在最优控制中, 求解一类端点固定的泛函极值问题, 通常可以归结为固定端点条件下欧拉方程的求解。但有时如果盲目地通过这种方式求解, 不一定能得出正确的最优轨线和相应的极值, 说明最优轨线不是连续可微的。此时应该利用角点条件继续完成求解。本文将通过一个例子加以说明。

关键词：最优控制,泛函,极值,角点条件

参考文献

[1]胡寿松, 王执铨, 胡维礼.最优控制理论与系统.第二版[M].北京:科学出版社.2006:8～17.

篇12：泛函分析考研

不饱和类卡宾H2C=CLiF的密度泛函研究?

采用量子化学中的密度泛函方法,在B3LYP/6-311G*水平上全优化得到了不饱和类卡宾H2C=CLiF的`平衡构型.结果表明,不饱和类卡宾H2C=CLiF只有2种平衡构型.对这2种平衡构型之间相互转化的过渡态进行计算,求得了转化势垒.根据计算得到的微观性质,采用统计热力学及过渡态理论,研究了2种平衡构型之间相互转化的热力学及动力学性质,进而讨论了2种平衡构型在不同温度下的稳定性问题.

作 者：刘奉岭 作者单位：山东师范大学化学系,济南250014刊 名：物理化学学报 ISTIC SCI PKU英文刊名：ACTA PHYSICO-CHIMICA SINICA年，卷(期)：18(3)分类号：O641.12关键词：不饱和类卡宾H2C=CLiF,密度泛函法(ensityfunctionaltheory)B3LYP/6-311G?,热力学函数,动力学性质

篇13：泛函分析考研

CO在贵金属Pt(111)表面吸附的密度泛函理论研究

采用密度泛函理论研究CO在Pt(111)表面的吸附位和活化机理.研究采用三维周期结构取代以往的`团簇模型,消除金属表面结构选择对计算结果的影响.结果表明,CO在不同的表面活性位吸附后C-O键有不同程度的增长,即C-O键均不同程度地削弱,从而活化CO分子.经比较吸附能、化学键参数和CO重叠布居数,发现在顶位、桥位、hcp空穴位和fcc空穴位4个吸附位中,fcc空穴位是CO的最佳活性位.通过考察原子轨道电子变化,分析CO在Pt(111)表面的吸附活化机理,得到了CO分子在Pt(111)表面吸附的σ/π键作用机理.

作 者：刘实 刘丹 张海波 宋丽娟 孙兆林 Liu Shi Liu Dan Zhang Haibo Song Lijuan Sun Zhaolin 作者单位：辽宁石油化工大学石油化工学院,辽宁,抚顺,113001刊 名：计算机与应用化学 ISTIC PKU英文刊名：COMPUTERS AND APPLIED CHEMISTRY年，卷(期)：200724(5)分类号：O641关键词：密度泛函理论 CO Pt(111) 吸附位 吸附机理

篇14：泛函分析考研

实验发现金属钌的某些配合物具有大的非线性光学性能.我们的.理论研究表明金属钌配合物[Ru(NH3)4LDLA]n+(n=2,3;LD,LA=吡啶衍生物配体)的非线性光学性能取决于推电子基团LD的给电子能力以及拉电子基团LA的受电子能力,LD和LA的推拉电子能力越强越有利于提高配合物的二阶非线性光学系数β,因此带正电荷的LA能大幅度提高β值.虽然增加共轭体系的长度有利于提高β值,但在Ru的配体中,吡啶环间或吡啶环与苯环间不一定要保持共面也会有大的β值.DFT和ab initio方法的计算结果对比表明,对于含过渡金属Ru的化合物,在HF水平上难以得到满意的结论,由从头算有限场方法计算得到的β值偏小,而用TDDFT方法能得到可与实验值符合较好的结果.

作 者：林晨升 吴克琛 洒荣 陈锡华 Snijders Jaap G  作者单位：林晨升,吴克琛,洒荣,陈锡华(中国科学院福建物质结构研究所结构化学国家重点实验室 福州 350002)

Snijders Jaap G(Theoretical Chemistry Group, Materials Sciences Center, Rijksuniversiteit Groningen, AG 4797 Groningen, The Netherlands)

刊 名：化学学报  ISTIC SCI PKU英文刊名：ACTA CHIMICA SINICA 年，卷(期)：2002 60(4) 分类号： 关键词：Ru配合物   二阶非线性光学系数   密度泛函理论方法   从头算  

篇15：泛函分析考研

水电站优化调度是一个强约束、非线性、多阶段的组合优化问题, 其优化求解是一个具有实用价值的研究课题[1]。解决水库优化调度问题的关键在于两个方面,一是如何建立水库优化调度的数学模型;二是如何选择求解这种数学模型的最优化方法[2]。目前水库优化调度的方法很多,所使用的方法大致可分为两类,一类是离散型方法,如动态规划等;另一类是连续型方法,如随机动态控制等[3,4,5]。二者所得的结果分别为离散的调度策略的和连续调度函数。离散型方法是对最优结果的一种逼近,受到离散精度的制约;而连续型方法往往受到计算量的限制。两类方法各有优劣,本文将尝试从泛函极值的角度去探讨这个问题。

本文主要是建立相应的数学模型,利用变分法原理,依据满足泛函取得极大值的欧拉条件,采用maple 15.0数学软件求解微分方程以获得最优控制过程线。

1 目标泛函的建立

本文所研究的对象为非汛期内以发电量最大为目标的水库调度问题,其目的在于寻找一条最优的库容随时间变化的曲线,即最优库容变化过程线。

依据水库电站出力公式,和出力相关的因素主要有电站出力系数、发电引用流量和水头。以q(t),t∈[0,T]表示在调度期内的天然入库径流过程,以y=V(t),t∈[0,T]表示水库在调度期内的库容变化过程函数。按照水库水量平衡原理,以t表示时间,则t时刻的发电引用流量可表示为Q(t)=q(t)-y′,其中y′为库容变化过程在t时刻的一阶导数。以z1(t)表示水库上游水位函数,以z2(t)表示下游水位函数,则t时刻水头可表示为h=z1(t)-z2(t)。实际上,可依据库容特性曲线将上游水位表示为库容的函数,即z1[V(t)],下游水位是发电引用流量的函数(非汛期内不考虑弃水),即可表示为:

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以E表示在整个调度期内的总发电量,取其在t时刻的微分,即:

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则在整个调度期内,总发电量可表示为:

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式(1)中,天然入库径流过程q(t)可通过水文预报获取,可视作已知;上游水位-库容函数可由库容-水位曲线拟合得到,下游水位-流量函数也可用类似的办法拟合得到。因此二者都可视作已知。故在式(1)中,仅剩下库容随时间变化的函数y=V(t)为未知函数,即E为y的泛函。因此研究目标变成了寻找一个库容随时间变化的函数y=V(t),使得泛函E取得极大值。

y满足的边界条件为:调度期之初t=0,V(0)=V1为兴利库容对应之水位,调度期末t=T,V(T)=V2,对应为死库容。

边界条件中就包含这水库水位和库容约束,在实际问题中水库调度存在其他许多的约束条件,但本文主要是在理论上来证明泛函方法的可行性,为了简化这里先省略其他约束条件。在建立了E的表达式之后,还需要考虑的问题是该泛函是否能取到极大值。判断一个泛函问题是否能取得最大值的方法之一就是考察该问题的实际背景。而从水库调度的物理背景看,这个极大值肯定存在,其他优化方法间接证明了这一点。本文利用泛函方法寻求调度期内的极值不过是从另外一个角度来处理这个问题。

2 问题的简化与求解

2.1 完整表达式

由式(1),将其简记为:E=∫undefinedF(t,y,y′)dt的形式,取E的变分[1],即:

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泛函E取得极值的必要条件是:

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式(3)为泛函取得极值的欧拉方程。经计算,得到式(3)的具体表达式为:

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式(4)中符号含义与高等数学中表达习惯相同,即B′,B″为该函数所对应的一阶导数和二阶导数(在此假定相应函数的各阶导数存在)。由于式(4)中仅有y为未知函数,且为所要寻找的函数,故求解式(4)即可得到最优库容变化过程y=V(t)。

2.2 简化与求解

求解式(4)可以得到所要寻找的库容变化过程。该式中含有的函数较多,尤其是由于水文的随机性,天然入库径流函数q(t)难于用一个准确的表达式表达,使得要在调度期初能在未来调度期内每个时刻都获取准确的入库流量很困难。实际上,水库在非汛期内的天然入库流量变化不大(较短的调度期内,库容可以调节情况下,入库流量可以用平均流量来代替入库径流函数),因此考虑将调度期内的天然入库径流视作恒定,以该时期内的流量均值q0代替之,从而降低求解式(4)的难度。即可将式(1)简化为:

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依据其取得极大值的欧拉方程,可得到待求解的微分方程为:

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此外,根据工程经验,水库上游的库容-水位关系和下游流量-水位关系通常可用多项式拟合的办法得到近似的函数关系式,当相关系数接近1时,可以得到满足精度要求的拟合函数。把拟合的函数代入式(6)中,可得到最优库容变化过程y=V(t)。

3 应用实例

以湘江上的大源渡航电枢纽为例,首先对水库上游的库容-水位关系和下游流量-水位关系用多项式拟合的办法得到近似的函数关系式。本节中微分方程的求解利用数学软件maple15.0完成。

由关系拟合图1可知:上游库容-水位关系为z1(y)=3×10-8×y+39.54。

由尾水流量关系拟合图2可知:z2=(q0-y′)=1×10-6×(q0-y′)2+40。

把上述关系式代入式(6)中,设入库流量q0=400 m3/s,用maple解式(6)得:

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y满足的边界条件为:调度初期上游坝前水位为50 m,t=0,y=4.51亿m3;调度期末上游坝前水位为49 m,t=86 400 s,y=4.51亿m3。再次使用maple15.0解得:

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水库库容随时间变化关系见图3。

由E=∫undefinedA·{q(t)-y′}·{z1(t)-z2(t)}dt=∫undefinedA·{q(t)-y′}·{z1(y)-z2[q(t)-y′]}dt可以求出调度期内总发电量,A为水能利用系数,大源渡的水能利用系数取9.025 2,在本节的计算中,以24 h为计算周期,初始水位和结束水位相同,均为正常高水位(50 m)。用maple15.0求出大源渡在24 h内的电量E=1.12×106 kWh。

用动态规划算法计算大源渡同样条件下的发电量,水库库容变化过程线对比如图4。

用动态规划算法模拟大源渡同样条件下的发电量,水库坝上水位变化过程线对比如图5。

从水库库容变化图和水库的水位表达过程比较,可以看出泛函方法得到是一个连续的过程线,而动态规划则较为离散,同时两种方法得到的过程线的趋势是一致的。

4 结 语

本文将泛函方法应用于水库优化调度问题,针对水库调度特点,建立适当的数学模型,利用变分法原理,依据满足泛函取得极大值的欧拉条件,推导出用于求解该模型的微分方程,并用maple15.0解出用水过程线。泛函方法有以下优点:计算相对简单;可以消除离散误差;能得出相对简单的用水表达式。上述的结果只是从理论上证明泛函方法可以运用在水库优化调度中,但在实际的运用过程中还需要加入更多的约束条件以及泛函方法运用的局限性,这些问题都有待深入的研究。

摘要：变分学是一个古老的数学分支,主要研究泛函的极值问题。以发电量最大作为优化目标的水库调度问题,就是求解调度期内最优的水库用水过程.通过变换可以将发电量转化为用水过程的泛函,从而可以建立以发电量最大为目标的水库调度泛函模型。在此基础上利用变分法原理,依据满足泛函取得极大值的欧拉条件,推导出用于求解该模型的微分方程。通过求解该微分方程即可获得最优的库容变化过程。利用泛函方法求解出的库容变化过程线是一个连续的函数,没有状态离散所引起的误差,从根本上消除因离散带来的误差。在泛函方法的研究进行一个初步探索,其结论在理论上证明此方法在水库优化调度中可以实现,在水库优化调度实际运用待更进一步的研究。

关键词：水库,优化调度,泛函,变分法

参考文献

[1]赵明雁,程春田,李刚.水库群系统优化调度新进展[J].水文,2005,25(6):18-23.

[2]陈立华,梅亚东,董雅洁,等.改进遗传算法及其在水库群优化调度中的应用[J].水利学报,2008,39(5):550-556.

[3]李顺新,杜辉.动态规划-粒子群算法在水库优化调度中的应用[J].计算机应用,2010,30(6).

[4]刘卫林,董增川,王德智.混合智能算法及其在供水水库群优化调度中的应用[J].水利学报,2007,38(12):1437-1443.