医用高等数学上册

第一篇：医用高等数学上册

高等数学上册复习

第一章复习提要 第一节 映射与函数

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数;这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质(特别是大家不太熟悉的反三角函数) 第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。(重要)

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线(p37)。(重要)

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。 第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念(p41), 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。 以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。 xx0x0

2、会求有理分式函数

p(x)的极限(P47 例3-例7)(重要) q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。(p75页9(1))

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。 第六节 极限存在的准则，两个重要极限(重要)

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4(1)(2)，及其中考试题(B)卷第三题(1)

2、利用两个重要极限求其他的极限(p56习题2)

1sinxsinx0;lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0;limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较(重要)

1、会比较两个无穷之间的关系(高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小) 若分子和分母同时为零，则为

x

22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x;1cosx~

2ex1~x;(1x)~1nx n

13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，

ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x

35、会利用等价无穷小计算极限(p60页习题4)

第八节 函数的连续性与间断点(重要)

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx0

2、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续;但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4. 注意三个例题：例6-例8(重要)

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。(重要)

6、若含有根式，则分子或者分母有理化(p75页9(2))是求极限的一种重要方法。(重要)

7、利用分段函数的连续性求未知数的值(如p70页 6)(重要) 第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。(重要) 补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。 第二章复习提要

1、导数的定义

(1)利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.

x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.(重要)

hh0(2)利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。(重要)

(3)利用左右导数求未知数的值：P87页第17题(重要)

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0(4)利用导数几何意义求切线和法线方程(重要)

(5)可导连续，反之不成立!

2、求导法则

(1)复合函数求导不要掉项;

(2)幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

(1)一般的函数求到2阶即可; (2)几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax;y(n)sin(xn);(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n,

(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n! ()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n! ()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n! )[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n! )[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3) 二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n(4)间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x(5)注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题(重要) (1)yf(x2);(2)yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导(重要) (1)一般方法，两边对x球到后解出

dy。 dx(2)会求二阶导数

(3)对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数 (4)注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。(重要) dxdx2dtdxdxdt(5)相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系;



两边对t(或者是其他变量)求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。 dtdt

5、函数的微分

(1)微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx (2)利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题;下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。 解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx(3)近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考) f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理(重要)

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量;若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。(重要)

判断方程的根(存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6)(重要)

利用辅助函数和中值定理证明等式(一个函数用拉格朗日，二个用柯西) 例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

(5)请熟悉132页例1. 3.2 洛必达法则(重要)

(1)(其他类型的未定式)最终转化成

0型和型未定式 0(2)每次用前需判断

(3)结合等价无穷小效果更佳。 3.3 泰勒公式

(1)一般方法：求各阶导数代入公式即可;

(2)常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性 (1)会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间(注意一般是闭区间)，拐点。 注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点; 二阶导数不存在的点也可能是拐点。 (2)利用单调性证明不等式(重要) (3)利用单调性判断方程的根(重要) 3.5 极值和最值(重要)

(1)列表法求极值(极值可能点为驻点或不可导点) (2)最值(找出极值可能点再与端点比较)

(3)对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。 3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

(1)弧微分公式

(2)曲率和曲率半径的计算公式(重要) 第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：(填空、选择、判断) 若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是(B)。 A 1sinx; B 1sinx; C 1cosx; D 1cosx

4.2 换元积分法(重要)

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式， 因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。 ⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。 22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,) 22,) 22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)(一般要分情况讨论) 被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C;⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C;⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC;(21)lnx2a22axaC aa2x2a(22)xdxarcsinC;ln(xa2x2)C (23)ax2a2a2x2dx(24)dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法(重要)

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。 如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint;

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。 会做形如例

7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分(重要)

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式; Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2;cosx2;tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24. 被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页(42)x1dxdx，(43)x1x2P211页例

7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni0

2、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小(p235,10,13)(重要) 5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数(重要)

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数： (如p243,5题) (1)(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x) adxda(3)f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)(4) f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题(p242,例7，8)，相应习题(p243-244: 习题9，12，12，14)(重要) (2)

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10. 5.3 定积分的换元法和分布积分法(重要)

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

00

3、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：(重要) (1)偶倍寄零

00(2)2f(sinx)dx2f(cosx)dx (3)xf(sinx)dx020f(sinx)dx(p248, 例6，p270, 10(6))

(4)设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx;0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253,

0T1(26))

5、形如例9这样的积分。 5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x); F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a);f(x)dxF(x)|F()F().

bf(x)dxF(x)|bF(b)F();

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在;特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立!

2、无界函数的反常积分(瑕积分)：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a);

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a);

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a);

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。 aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在;特别的积分f(x)dx(c(a,b)ab为瑕点)收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点(如和瑕点)算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性(重要)

ap1,dx(a0) 1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题;求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa

5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。 1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积(直角坐标系和极坐标下)(重要)

2、体积(特别是旋转体的体积)(重要)

3、三个弧长公式(重要)

6.3 定积分在物理学上的应用(做功、水压力重要，引力了解) 如1

第二篇：高等数学上册总结 张守刚

一、主要内容

一元函数，极限，导数，微分，微分中值定理，不定积分，定积分，微分方程。 从某种角度来说，主要是函数。

学习的目的是认知，很小的时候我们经常被谈认识客观世界，改造客观世界，因而学习就是必经之捷径。

人类社会存在着万千事物，它们之间的纽带或联系用量的方法来陈述也许就可以用函数来表示。因此，从这种角度来说，高数主要研究函数。

二、内容探讨

1、关于函数

(1)什么是函数?为什么研究函数?

客观世界中，事物与事物之间的具有千丝万缕的联系或者关系。从哲学角度来说，研究这种联系可以更好的帮助我们认识客观世界。但这是不够的，因为事物与事物还存在着丰富的数量关系，函数就是表现这种数量关系的工具，能够更加精确的帮助人类认识客观世界，改造客观世界。

客观世界中，相互之间的联系主要有四种表现形式，一对一，一对多，多对一，多对多。 一对一表现出来的数量关系就可以用一元函数来刻画，而一对多可以分成有限个一对一，故我们需要研究一元函数，这就是上册的研究对象。(现在很多教材将一对多也看做是一元函数，我个人觉得这不好，因为我们研究的一定是最简单的，最基本的) 多对一表现出来的数量关系就可以用多元函数来刻画，同样，多对多可以分解为有限个多对一，故多元函数也是我们的研究重点，这是我们下册的主要研究对象。

因为由一元函数推广到二元函数存在着突变过程，有着显著区别，故单独分开来研究。而二元函数到多元函数是一个渐变过程，区别不大，因此，我们主要以二元函数为代表研究多元函数。

(2)如何研究函数?

第一、一元函数的定义、基本初等函数，初等函数，以及函数的结构，即加减乘除、求逆、复合六种运算法则;

第二、一元函数的基本性态，主要有：有界性，单调性，奇偶性，周期性，凹凸性，连续性等，以及单调区间、凹凸区间、最小正周期等的确定;

第三、重点要谈一下连续性。因为连续函数我高等数学的研究对象。连续的客观世界表现是渐变，间断的本质是突变。但需要注意，渐变突变都不是绝对的，客观世界的发展很多方面都是基于渐变突变的基础上所推动的。关于这方面略。客观世界中，绝对的连续也许不存在，我是这么认为的。但我们学习本来就是研究的理想状态下，因此，假定连续，理想状态下。那么，如何刻画连续呢?这需要研究渐变，从而建立极限思想。

第四、函数的构造，或者数量关系的建立，其实这里面也必须用到极限的思想。关于函数构造这是一个非常重要的问题，以后同学们的学习过程中必须经常遇到。而我们上课时却谈的很少，这也许就是所谓的教学脱离实际吧?

2、关于极限

(1)什么是极限?为什么研究极限?

客观世界是不变与变的矛盾统一。不变就跟死水一样，没有生机;变创造了客观世界的生动与美丽。而极限就是刻画客观世界变化的一个美丽的武器。有很多案例可以查询，比如我们后面要谈到的分割、近似、求和、取极限思想。在此不赘述。

简单来说，极限是对事物未来变化趋势的一种肯定。最简单的莫过于唯一的、确定的变化趋势，这就是极限。因为函数就是刻画客观世界理想变化的一种工具，因此，我们主要研究函数的变化趋势，即函数的极限。

在研究函数极限时，必须很好的认识到定义，因为这是基础。它用符号刻画了极限存在的充分必要条件。

基于定义，我们可以建立16个基本初等函数的极限公式、极限的加减乘除、求逆、复合六种运算法则，从而可以建立初等函数的极限公式，以及展开后续讨论。 (2)如何研究极限?

第一、当然是极限的定义，包括哲学定义与数学定义，以及极限的判定准则; 第

二、极限的计算方法。

1)16个基本初等函数的极限公式，应用六种运算法则。这是最最基本的。当其它方法不能解决极限时，就需要回到基本定义及基本法则。 2)两个重要准则，即夹逼准则、单调有界准则;这是判断极限是否存在的非常重要的准则; 3)两个常用极限公式;

4)等价无穷小量。其实无穷小量，无穷大量的提出不是为了求极限，其只是完善了误差理论。因为极限等价于逼近，逼近又约等于近似，这就建立了客观世界与理想世界之间的桥梁。后面我们可以看到，误差理论才是我们工科学生学习高等数学的核心。 5)L’Hospital法则。这是非常重要的求极限方法。

6)Taylor中值定理。Taylor定理非常漂亮，是误差理论的一个基础。 7)定积分。

(3)极限就是理论联系实际的桥梁，当然是在认识、改造客观世界中。这一点大家需要时间慢慢去体会。

3、关于微分学

微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。简单的来说，微分学就是从微观角度研究客观世界，而积分学从宏观角度。 微积分学中一个重要的数学符号是，微小的形变，很好的理解微小的形变是学习微积分的基础。

(1)连续函数

连续函数是微积分研究对象。连续函数等价于渐变，理想状态下的渐变通过极限刻画，即通过之间的关系刻画。 (2)导数

导数刻画了事物随事物变化的相对趋势，当一个事物发生变化时，另外一个事物也随着发生相应变化。最简单的一类是线性变化，即成比例。但客观世界当中大量的是非线性变化，导数就是刻画这种变化趋势大小的一个指标，即也通过来刻画。从哲学角度来谈的话，其等价于平均与瞬时问题。 (3)微分

微分与导数是一个相对的概念，但有着本质区别。微分概念是基于线性逼近理论基础上所提出来的，或者说是基于误差理论所提出来的。关于线性逼近或者线性近似的理论及线性近似的优越性在这里不详谈。相对于导数刻画了变化趋势大小，而微分刻画了一个事物有确定变化量时，引起的另一个事物的近似变化量，是一个相对变化量，只不过这个相对量刚好是导数而已。但可以非常美妙的诠释复杂问题简单化，呵呵。 (4)导数的计算问题 1)基本定义，可以建立16个基本初等函数的导数公式，加减乘除四则运算、求逆、复合运算法则，可以建立初等函数的导数公式; 2)隐函数求导问题，对数求导法则等; (5)微分的计算问题

一元函数微分等价于导数。 (6)导数与微分的应用 1)近似计算，逼近理论

2)5大微分中值定理：Fermat引理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor定理。该5大定理很好的从理论角度诠释了微积分学的应用。 3)利用导数刻画函数的单调区间，凹凸区间;

4)优化问题或者极值最值问题。优化问题生活中处处存在，可以说我们的生活跟优化息息相关，这点请读者自己领会。

5)不定积分。及已知导数，求原函数;

6)微分方程。包括微分方程的建立与常见微分方程求解问题。 关于微分学的应用实在是非常重要的一件事情，只不过我们在课堂上体会甚少，我们老师也是身不由己。

4、关于积分学

积分学主要包含不定积分与定积分。从本质上来说，而这风马牛不相干。但Newton-Leibniz将二者很好的统一在了一起。 (1)不定积分

不定积分是求导的逆过程。一方面为定积分建立基础，一方面为微分方程求解提供理论基础。 不定积分的计算还是一样，16个基本初等函数的积分公式，加减乘除四则运算法则，以及由复合求导法则所导出的换元法和分部积分法。 (2)定积分

定积分的本质是分割、近似、求和、取极限思想的应用。 客观世界可以分为规则或均匀与不规则或不均匀构成。当我们认识客观世界时，我们首先建立标准，确定某些基本的度量，如，我们规定单位长度、单位面积、体积;规定单位重量，等等，从而很多理想状态下规则的、或均匀问题我们都能够量化，如长度、面积、体积、质量、位移、速度等等。但记住，理想状态，客观世界很难存在的，这里面就有可以忽略的误差。

那么不规则、不均匀问题如何处理呢?有人说近似，关键是如何近似?误差大小?误差能不能接受?

古人谈到，复杂问题简单化，大事化小，小事化了，其实积分学就是这么一种道理。我们首先对不规则问题进行分割，然后对其进行近似，然后求和，从而可以得到原问题的一个近似解决方案，但误差不可控制，可以想象，分割的越细，误差肯定越小，因此，当分割的块数无穷多，每一个小块无限逼近于0时，最终求和结果能够无限逼近真实值。这就是定积分的基本思想。大量案例我就不在这里赘述。

第一、积分学三大理论：连续函数原函数存在定理、原函数之间相差一个常数定理、Newton-Leibniz定理。

该三大定理与微分学5大定理构成了微积分学8大基本定理，是整个微积分学的基础理论。 第二，定积分的计算。 第三，定积分的应用。

三、展望高等数学下册

1、解析几何 空间解析几何的产生是数学史上一个划时代的成就。法国数学家笛卡尔和费马均于十七世纪上半叶对此做出了开创性的工作。我们知道，代数学的优越性在于推理方法的程序化，鉴于这种优越性，人们产生了用代数方法研究几何问题的思想，这就是解析几何的基本思想。要用代数方法研究几何问题，就必须沟通代数与几何的联系，而代数和几何中最基本的概念分别是数和点。于是首先要找到一种特定的数学结构，来建立数与点的联系，这种结构就是坐标系。通过坐标系，建立起数与点的一一对应关系，就可以把数学研究的两个基本对象数和形结合起来、统一起来，使得人们既可以用代数方法研究解决几何问题(这是解析几何的基本内容)，也可以用几何方法解决代数问题. 平面解析几何的知识对学习一元函数微积分是不可缺少的一样，空间解析几何对多元函数的微分学和积分学将起到重要的作用。

2、多元函数微分学

多元函数中代表性函数是二元函数，由二元函数推广到多元函数是很容易的，但由一元函数到二元函数有着突变的现象。

第一、多元函数的定义，基本性态，以及基本结构。多元函数由一元基本初等函数函数通过6种运算构成。

第二、多元函数的极限。这里要强调，一元函数的极限是从两个方向逼近，而多元函数的极限是沿着任意方向逼近，更复杂。

第三、多元函数导数，包括偏导数与方向导数。二元函数的几何意义是空间曲面，因此，沿着任何方向，函数都在变化，故沿着任何方向都有变化趋势，即方向导数。但任何方向的变化趋势与X方向和Y方向都满足三角分解关系。故我们主要研究X方向变化率与Y方向变化率，即俗称偏导数，其计算跟导数计算一致。

第四、多元函数全微分，区别于一元函数微分。二元函数几何含义是空间曲面。一元函数可微等价于在某一点处可以用切线近似，故二元函数可微等价于在某一点处可用切平面近似。还是误差理论，需要好好研究。

第四、多元函数最优化问题，即极值最值问题。这是很重要的一块内容。

3、多元函数积分学

一共包含定积分(一重积分)，二重积分，三重积分，两类曲线积分，两类曲面积分。 定积分本质是沿直线分割。

二重积分本质沿平面分割，如空间几何形体体积，不均匀平板质量等。 三重积分本质沿空间分割，如空间不均匀几何形体质量等。

曲线积分本质是沿曲线分割，之所以分为两类，是包含方向与否。如教室中椅子靠背面积，可以直接对曲线分割，不带方向;如物理中变力沿曲线做功，带方向。因我们分割对象是曲线，故命名为曲线积分。

曲面积分本质沿空间曲面分割，同样分为带不带方向。如水流从曲面左侧流向右侧与右侧流向最侧，在物理学中是两个量，需要考虑方向。

总之，积分的基本思想就是分割，近似，求和，取极限。针对问题的不同，所提出的不同概念，请读者在学习过程中慢慢体会。 (1)关于定义

所有定义形式都跟定积分定义一致。 (2)关于计算

最终都是回到定积分的计算。 (3)关于应用 慢慢理解学习。

4、无穷级数 简单来说，无穷多个数之和是否是个常数?无穷多个函数之和是否是个函数?反过来，任何一个初等函数，能否找到一个多项式函数去近似?任何一个周期函数，能否用三角函数系去表示?

第一二个问题等价，我们主要研究幂函数系，对于无穷多个函数的和的问题，当确定x的取值时，就可以得到一个常数级数。如果和是确定常数，称为收敛，反之发散。对于无数多个函数，我们要做的工作有两个：在那些点处收敛，即收敛于;和是多少，或和函数。 用多项式函数去近似初等函数，实际上是taylor公式的延伸，是误差理论的核心。

第三篇：高等数学第六版上册(同济)复习重点

高数重点

1、 洛必达法则求未定式极限

2、 隐函数的求导公式(隐函数存在的三个定理)

3、 多元函数的极值及其求法(多元函数极值和最值的概念，二元函数极值存在的必要条件

和充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值)

4、 多元复合函数的求导法则(多元复合函数求导，全微分形式的不变性)

5、 全微分(全微分的定义，课微分的必要条件和充分条件)

6、 偏导数(概念，二阶偏导数求解)

7、 二重积分的计算法(利用直角坐标、极坐标求二重积分)

8、 微分方程的基本概念(微分方程及其阶，解，通解，初始条件，特解)

9、 齐次方程

10、牛顿——莱布尼茨公式

一、

1、夹逼定理

2、连续(定义证明函数连续，判断间断点类型)

二、

1、导数(证明函数是否可导)连续不一定可导，可导不一定连续

2、求导法则

3、求导公式，微分公式

三、

1、微分中值定理!!

2、洛必达法则

3、泰勒公式，拉格朗日中值定理

4、曲线凹凸性，极值

5、曲率公式 曲率半径

四、积分不定积分

1、两类换元法

2、分部积分法(注意加C)

3、定积分定义、反常积分

五、定积分的应用

极坐标求做功求面积求体积求弧长

第四篇：考研.数学 高等数学总结1

中值定理及应用

一、基本概念定理

1、极值点与极值—设连续yf(x)(xD)，其中x0D。若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极大点;若存在0，当0|xx0|时，有f(x)f(x0)，称xx0为f(x)的极小点，极大点和极小点称为极值点。

2、极限的保号性定理

定理 设limf(x)A0(0)，则存在0，当0|xx0|时，xx0

f(x)0(0)，即函数极限大于零则邻域大于零;极限小于零则邻域小于零。

A0，因为limf(x)A，由极限的定义，xx0xx02

AA0。 存在0，当0|xx0|时，|f(x)A|，于是f(x)22【证明】设limf(x)A0，取0

3、极限保号性的应用

【例题1】设f(1)0,limf(x)2，讨论x1是否是极值点。 x1|x1|

【例题2】(1)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点;

(2)设f(a)0，讨论xa是否是f(x)的极值点。

f(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，xaxa

f(x)f(a)0。 当0|xa|时，有xa【解答】(1)设f(a)0，即lim

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

(2)设f(a)0，即limf(x)f(a)0，由极限的保号性，存在0，当xaxa

f(x)f(a)0。 0|xa|时，有xa

当x(a,a)时，f(x)f(a);当x(a,a)时，f(x)f(a)。 显然xa不是f(x)的极值点。

【结论1】设连续函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0或f(a)不存在。

【结论2】设可导函数f(x)在xa处取极值，则f(a)0。

二、一阶中值定理

定理1(罗尔中值定理)设函数f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导;(3)f(a)f(b)，则存在(a,b)，使得f()0。

定理2(Lagrange中值定理)设f(x)满足：(1)f(x)C[a,b];(2)f(x)在(a,b)内可导，则存在(a,b)，使得f()

【注解】

(1)中值定理的等价形式为： f(b)f(a)。 ba

f(b)f(a)f()(ba)，其中(a,b);

f(b)f(a)f[a(ba)](ba)，其中01。

(2)对端点a,b有依赖性。

(3)端点a,b可以是变量，如f(x)f(a)f()(xa)，其中是介于a与x之间的x的函数。

定理3(Cauchy中值定理)设f(x),g(x)满足：(1)f(x),g(x)C[a,b];(2)f(x),g(x)在(a,b)内可导;(3)g(x)0,x(a,b)，则存在(a,b)，使得f(b)f(a)f()。 g(b)g(a)g()

题型一：证明f(n)()0

【例题1】设f(x)C[0,3]，f(0)f(1)f(2)3,f(3)1，证明：存在(0,3)使得f()0。

【例题2】设曲线L:yf(x)(x[a,b])，f(x)C[a,b]，在(a,b)内二阶可导，连接端点A(a,f(a))与B(b,f(b))的直线与曲线L交于内部一点C(c,f(c))(acb)，证明：存在(a,b)，使得f()0。

(a)f(b)0，证明：存在【例题3】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f

(a,b)，使得f()0。

题型二：结论中含一个中值，不含a,b，且导出之间差距为一阶

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()0。

【例题2】设f(x),g(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，f(a)f(b)0，证明：存在(a,b)，使得f()f()g()0。

【例题3】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内二阶可导，且f(0)f(1)，证明：存在(0,1)，使得f()2f()。 1

题型三：含中值,

情形一：含中值,的项复杂度不同

【例题1】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导，且f(a)f(b)1，证明：存在,(a,b)，使得e[f()f()]1。

【例题2】设f(x)C[a,b]，在(a,b)内可导(a0)，证明：存在,(a,b)，使得

f()(ab)f()。 2

情形二：含中值,的项复杂度相同

【例题1】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1。

(1)证明：存在c(0,1)，使得f(c)1c。

(2)证明：存在,(0,1)，使得f()f()1。

【例题2】设f(x)C[0,1]，在(0,1)内可导，且f(0)0,f(1)1，证明：存在,(0,1)，使得213。 f()f()

三、高阶中值定理—泰勒中值定理

背景：求极限limx0xsinx。 x3

定理4(泰勒中值定理)设函数f(x)在xx0的邻域内有直到n1阶导数，则有

f(x0)f(n)(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)nRn(x)， 2!n!

f(n1)()且Rn(x)(xx0)n，其中介于x0与x之间，称此种形式的余项为拉格(n1)!

郎日型余项，若Rn(x)o[(xx0)n]，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。 特别地，若x00，则称

f(0)f(n)(0)n2f(x)f(0)f(0)(xx0)xRn(x)， 2!n!

f(n1)(x)n1为马克劳林公式，其中Rn(x)x(01)。 (n1)!

【注解】常见函数的马克劳林公式

xn

o(xn)。

1、e1xn!x

x3(1)n

2n

12、sinxxxo(x2n1)。 3!(2n1)!

x2(1)n

2n

3、cosx1xo(x2n)。 2!(2n)!

11xxno(xn)。 1x

11x(1)nxno(xn)。

5、1x

4、

x2(1)n1

nxo(xn)。

6、ln(1x)x2n

专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限limx0xsinx。 x3

专题二：二阶保号性问题

设函数f(x)的二阶导数f(x)0(0)，这类问题主要有两个思路：

思路一：设f(x)0，则f(x)单调增加

【例题1】设f(x)在[0,)上满足f(x)0且f(0)0，证明：对任意的a0,b0有f(a)f(b)f(ab)。

【例题2】设f(x)在[a,)上满足f(x)0且f(a)2,f(a)1，证明：f(x)在(a,)内有且仅有一个零点。

思路二：重要不等式

设f(x)0，因为f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

所以有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，

其中等号成立当且仅当xx0。

【例题1】设f(x)C(,)，f(x)0，且limx0f()(xx0)2， 2!f(x)1，证明：f(x)x。 x

【例题2】设f(x)0(axb)，证明：对任意的xi[a,b](i1,2,,n)及ki0(i1,2,,n)且k1k2kn1，证明：

f(k1x1k2x2knxn)k1f(x1)k2f(x2)knf(xn)。

【例题3】设f(x)C[0,1]且f(x)0，证明：

101f(x2)dxf()。 3

第五篇：高等数学总结

FROM BODY TO SOUL

高等数学

第一讲 函数、极限和连续

一、 函数 1. 函数的概念

几种常见函数 绝对值函数： 符号函数： 取整函数： 分段函数：

最大值最小值函数：

2. 函数的特性

有界性： 单调性： 奇偶性： 周期性：

3. 反函数与复合函数

反函数：

复合函数：