直线与圆位置关系复习

直线与圆位置关系复习（精选11篇）

篇1：直线与圆位置关系复习

《直线与圆的位置关系》教案

教学目标：

根据学过的直线与圆的位置关系的知识，组织学生对编出的有关题目进行讨论.讨论中引导学生体会

（1）如何从解决过的问题中生发出新问题.（2）新问题的解决方案与原有旧方法之间的联系与区别.通过编解题的过程，使学生基本了解、把握有关直线与圆的位置关系的知识可解决的基本问题，并初步体验数学问题变化、发展的过程，探索其解法.重点及难点：

从学生所编出的具体问题出发，适时适度地引导学生关注问题发展及解决的一般策略.教学过程

一、引入：

1、判断直线与圆的位置关系的基本方法：

（1）圆心到直线的距离

（2）判别式法

2、回顾予留问题：

要求学生由学过知识编出有关直线与圆位置关系的新题目，并考虑下面问题：

（1）为何这样编题.（2）能否解决自编题目.（3）分析解题方法及步骤与已学过的基本方法、步骤的联系与区别.二、探讨过程：

教师引导学生要注重的几个基本问题：

1、位置关系判定方法与求曲线方程问题的结合.2、位置关系判定方法与函数或不等式的结合.3、将圆变为相关曲线.备选题

1、求过点P（-3，-2）且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切的直线方程.备选题

2、已知P(x, y)为圆(x+2)2+y2=1上任意一点，求（1）（2）2x+3y=b的取值范围.备选题

3、实数k取何值时，直线L：y=kx+2k-1与曲线: y=两个公共点；没有公共点.三、小结：

1、问题变化、发展的一些常见方法，如：

（1）变常数为常数，改系数.（2）变曲线整体为部分.有一个公共点；=m的最大、最小值.（3）变定曲线为动曲线.2、理解与体会解决问题的一般策略，重视“新”与“旧”的联系与区别，并注意哪些可化归为“旧”的方法去解决.自编题目：

下面是四中学生在课堂上自己编的题目，这些题目由学生自己亲自编的或是自学中从课外书上找来的题目，这些题目都与本节课内容有关.①已知圆方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圆外一点，求过P点的圆的两切线的夹角如何计算？

②P（x0, y0）是圆x2+(y-1)2=1上一点，求x0+y0+c≥0中c的范围.③圆过A点（4，1），且与y=x相切，求切线方程.④直线x+2y-3=0与x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B两点，且OA⊥OB，求圆方程？

⑤P是x2+y2=25上一点，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圆方程x2+y2=4，直线过点（-3，-1），且与圆相交分得弦长为3∶1，求直线方程.⑦圆方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦长为

2，求m.⑧圆O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圆一点，求过P点弦长最短的直线方程？

⑨求y=的最值.圆锥曲线的定义及其应用

[教学内容]

圆锥曲线的定义及其应用。

[教学目标]

通过本课的教学，让学生较深刻地了解三种圆锥的定义是对圆锥曲线本质的刻画，它决定了曲线的形状和几何性质，因此在圆锥曲线的应用中，定义本身就是最重要的性质。

1．利用圆锥曲线的定义，确定点与圆锥曲线位置关系的表达式，体现用二元不等式表示平面区域的研究方法。

2．根据圆锥曲线定义建立焦半径的表达式求解有关问题，培养寻求联系定义的能力。

3．探讨使用圆锥曲线定义，用几何法作出过圆锥曲线上一点的切线，激发学生探索的兴趣。

4．掌握用定义判断圆锥曲线类型及求解与圆锥曲线相关的动点轨迹，提高学生分析、识别曲线，解决问题的综合能力。

[教学重点]

寻找所解问题与圆锥曲线定义的联系。

[教学过程]

一、回顾圆锥曲线定义，确定点、直线（切线）与曲线的位置关系。

1．由定义确定的圆锥曲线标准方程。

2．点与圆锥曲线的位置关系。

3．过圆锥曲线上一点作切线的几何画法。

二、圆锥曲线定义在焦半径、焦点弦等问题中的应用。

例1．设椭圆+=1(a>b>0)，F1、F2是其左、右焦点，P(x0, y0)是椭圆上任意一点。

（1）写出|PF1|、|PF2|的表达式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及对应的P点位置。

（2）过F1作不与x轴重合的直线L，判断椭圆上是否存在两个不同的点关于L对称。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是椭圆上三点，且x1, x2, x3成等差，求证|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2，求证：ΔPF1F2的面积S=btg

（5）当a=2, b=最小值。

时，定点A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知双曲线-=1，F1、F2是其左、右焦点。

（1）设P(x0, y0)是双曲线上一点，求|PF1|、|PF2|的表达式。

（2）设P(x0, y0)在双曲线右支上，求证以|PF1|为直径的圆必与实轴为直径的圆内切。

（3）当b=1时，椭圆求ΔQF1F2的面积。

+y=1 恰与双曲线有共同的焦点，Q是两曲线的一个公共点，2例3．已知AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F为焦点，求证：

（1）以|AB|为直径的圆必与抛物线的准线相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD长4p, 则CD弦中点到y轴的最小距离为

2（4）+为定值。

（5）当p=2时，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定义判断曲线类型，确定动点轨迹。

例4．判断方程=1表示的曲线类型。

例5．以点F（1，0）和直线x=-1为对应的焦点和准线的椭圆，它的一个短轴端点为B，点P是BF的中点，求动点P的轨迹方程。

备用题：双曲线实轴平行x轴，离心率e=，它的左分支经过圆x+y+4x-10y+20=0的2

2圆心M，双曲线左焦点在此圆上，求双曲线右顶点的轨迹方程。

篇2：直线与圆位置关系复习

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交 d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r= 时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

（1）直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

（2）已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6。5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

（3）⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L 与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

（A）d=3（B）d≤3（C）d<3 d="">

3（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

（4）⊙O半径=3cm。点P在直线L上，若OP=5 cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A（—3，—4），以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。（有五种情况）

六、作业：P100—

篇3：直线与圆位置关系复习

关键词：直线,圆,位置关系,合作,主动,能力

一、教学设计思路

《直线与圆的位置关系》是九年级下册《圆》这一章的重点内容，是学生在认识了圆、圆的对称性、圆周角等知识的基础上学习的，它在这一章中也是一个难点，同时为后面学习切线、利用直线与圆的位置关系进行证明、计算等打下基础．根据教学内容和学生的实际情况，创造一种现实而富有吸引力的学习环境，以激发学生学习的兴趣与动机，让学生在轻松、自然、融洽而又具有挑战性的情境中，通过动手、动脑或与他人合作去学习数学．用观察、猜测和归纳的方法获取知识，使数学课堂变为学生主动探索、自主参与的一个舞台，从而培养学生获取新知识及与同学交流合作的能力．

二、教学目标

1．探索和理解直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．

2．会运用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系．

三、教学过程

现以苏教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册《5.5直线与圆的位置关系》（第一课时）为例，进行如下设计．

教学片断（一）：板书课题

出示这节课的学习目标，指导学生自学：看课本P127到P129，练习前面的内容并思考：（1）直线与圆的位置关系有哪几种？（2）如何判断直线与圆的三种位置关系？（6分钟后请学生完成相关的练习）

点评：《直线与圆的位置关系》第一课时，学生在已有知识的基础上，有能力自学．为使学生学得紧张，最大化地提高课堂效率，可让学生带着思考题自学，逐步培养学生的自学能力．

教学片断（二）：完成自学检测一

自学检测一的设计构想：主要检测学生自学指导中的问题一．

检测方式：口答竞赛，有困难的可以让其他学生补充．

教学片断（三）：自学检测二

自学检测二的设计构想：围绕本节课的第二个目标：“会运用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系”而设计的．

检测方式：口答竞赛，让学生说出答案的同时，说出依据或方法，若说不完整，由其他学生补充，教师适时点拨．

点评：这是一个从自学实践到感知内化的过程，在自学的基础上，学生参与课堂的欲望得以激发．部分学生的回答出错，其他学生帮纠错，及时反馈了学生的自学情况，培养了学生团结合作的精神，使他们真正成为课堂的主角，在课堂这一舞台上充分展示自己．

教学片断（四）：小试牛刀

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm，则以C为圆心、r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.

设计构想：这节课的重点是用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系，这道题主要培养学生严谨的解题习惯．

检测方式：三位学生到黑板板演，其余学生在作业本上完成．大家都做完后，开展“大家来找茬”的活动，鼓励学生找出板演过程中的问题，积极到黑板上纠错．

教师点拨：横向分布点评．先评第一步：要判断直线与圆的位置关系，应比较圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系．本题已知圆的半径，由此要求圆心到直线的距离，应过点C作AB的垂线．再评第二步：运用相似法或面积法求出圆心到直线的距离．最后评第三步：位置关系判断正确与否．

四、教学反思

1．本节课的教学过程，采用“先学后教，当堂训练”的教学模式，根据学生的实际情况设计教学过程．

为学生提供展示、交流的学习平台，使学生经历知识的形成过程，提高动手、动脑的能力，让学生通过自己的努力获得成功的喜悦，增强自信心．

2．本节课实现了教师角色的转变．

这节课教师成为学生学习的组织者、引导者和研究者．组织学生自学，完成自学检测，引导学生归纳、小结，教师成为学生的导师和伙伴．在课堂上教师除了引导学生活动外，更多的关注学生在学习过程中遇到的疑难，适时点拨，帮助学生归纳数学思想方法，形成自己构建知识体系的方法．学生会在教师的指导下自主学习，并能主动参与到教学活动中，使个性得到了张扬．把时间和空间还给了学生，真正使学生走上了课堂的舞台，使他们意识到自己才是学习的主人，变“要我学”为“我要学”．

3．课堂检测的完成及纠错、小结都由学生完成，其余学生作出判断和补充，以竞赛的方式组织完成自学检测题．

篇4：漫谈“直线与圆的位置关系”

直线与圆的位置关系的判定方法:

一是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系,即①Δ>0,直线和圆相交;②Δ=0,直线和圆相切;③Δ<0,直线和圆相离.

二是几何的观点,即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较,即①dR,直线和圆相离.

关于直线和圆相切的问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知直线斜率和已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.关于直线和圆相交的问题主要是求弦长以及弦的中点.下面分几种类型加以说明.

类型一:位置关系的判断

例1 判断直线l:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0与圆O:x2+y2=9的位置关系.

解法一 因为直线l:(1+m)x+(1-m)y+2m-1=0恒过点P-12,32,

而点P在圆O:x2+y2=9内,所以直线l与圆O相交.

解法二 由题意,圆心O到直线l的距离为d=2m-1(1+m)2+(1-m)2=2m-12m2+2.

令d<3,则(2m-1)2<9(2m2+2),即14m2+4m+17>0.而它对任意m∈R恒成立,

所以直线l与圆O相交.

解法三 联立直线与圆的方程,消去y,得2(1+m2)x2+(4m2+2m-2)x-5m2+14m-8=0.

令Δ=56m4-96m3+92m2-120m+68=4(m-1)2(14m2+4m+17).

当m≠1时,Δ>0,直线l与圆O相交;

当m=1时,直线l:x=-12,直线l与圆O相交.

综上,直线l与圆O恒相交.

点评 解法二和解法三是判断直线与圆的位置关系的基本方法,但其计算量都偏大;而解法一先观察直线的特点,再结合图形,避免了大量的计算,因此体现了数形结合的优势.

例2 求圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值和最小值.

解法一 设P(cosα, sinα)为圆上的任一点,则点P到直线的距离为d=3cosα+4sinα-2532+42=5sin(α+)-255=5-sin(α+).

所以当sin(α+)=1时,dmin=4;当sin(α+)=-1时,dmax =6.

图1

解法二 如图1,设直线l过圆x2+y2=1的圆心O,且垂直直线3x+4y=25于点M,并交圆x2+y2=1于两点A,B.

因为原点O到直线3x+4y=25的距离OM=5,

所以圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y=25的距离的最大值为AM=OM+r=5+1=6,

最小值为BM=OM-r=5-1=4.

点评 解法二是几何做法,充分体现了其计算量较小的优势.

类型二:直线和圆相切

例3 圆x2+y2-4x=0在点P(1, 3)处的切线方程为.

解法一 由x2+y2-4x=0,y=kx-k+3,得

x2-4x+(kx-k+3)2=0.该一元二次方程应有两个相等的实根,即Δ=4(k2-3k+2)2-4(k2+1)(k-3)2=0,解得k=33.

所以切线方程为y-3=33(x-1),即x-3y+2=0.

解法二 因为点P(1, 3)在圆x2+y2-4x=0上,

所以点P为切点,从而圆心与点P的连线应与切线垂直.

又因为圆心为(2, 0),所以0-32-1•k=-1,

解得k=33.

所以切线方程为x-3y+2=0.

点评 一般地,已知点P(x0, y0)是圆C:x2+y2=r2上的任一点,则过点P的圆C的切线方程为x0x+y0y=r2.

图2

事实上,如图2,设M(x, y)为所求切线上除点P外的任一点,则OM2=OP2+PM2,

即x2+y2=r2+(x-x0)2+(y-y0)2,

即x0x+y0y=r2,且P(x0,y0)满足该方程.

所以所求的切线方程为x0x+y0y=r2.

例4 已知圆O:x2+y2=16,求过点P(4, 6)的圆O的切线PT的方程.

解 当PT的斜率不存在时,它是圆O的切线,其方程为x=4.

当PT的斜率存在时,设其方程为y-6=k(x-4),即kx-y-4k+6=0,则圆心O到PT的距离d=-4k+61+k2=4,解得k=512.所以PT的方程为y=512x+133,即5x-12y+52=0.

综上,切线PT的方程为x=4或5x-12y+52=0.

点评 ①判断直线与圆的位置关系有两种方法,但利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系来判断在计算上更简捷.

②过圆外一点向圆引切线,应有两条;过圆上一点作圆的切线,只有一条.

例5 已知圆C:x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1, 2),要使过定点A的圆C的切线有两条,求实数a的取值范围.

解 将圆C的方程配方,得x+a22+(y+1)2=4-3a24,故圆心C为-a2, -1,半径r=4-3a24,且

4-3a2>0.

若过点A的圆C的切线有两条,则点A必在圆C外,即1+a22+(2+1)2>4-3a24,

化简得a2+a+9>0.

由4-3a2>0,

a2+a+9>0,得-233

即a的取值范围是-233,233.

类型三:直线和圆相交

例6 已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点),求该圆的圆心及半径.

分析 由于OP⊥OQ,所以kOP•kOQ=-1,从而问题可解.

解 将x=3-2y代入x2+y2+x-6y+m=0,得5y2-20y+12+m=0.

设P(x1, y1),Q(x2, y2),则y1+y2=4, y1y2=12+m5.

因为OP⊥OQ,所以x1x2+y1y2=0.

而x1=3-2y1,x2=3-2y2,故x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2.

所以9-6(y1+y2)+5y1y2=0,得m=3.

所以已知圆即x+122+(y-3)2=254,所以圆心为-12, 3,半径r=52.

点评 这里,我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解题技巧,但必须注意这样的交点是否存在,这可由判别式是否大于零来检验.

例7 已知直线l:2mx-y-8m+3=0和圆C:x2+y2-6x-8y+20=0.

(1)证明:对任意m∈R,l与C总相交;

(2)m取何值时,l被C截得弦长最短?求此弦长.

解 (1)直线l的方程可化为y-3=2m(x-4),它过定点A(4,3),

圆C的方程可化为(x-3)2+(y-4)2=5,它的圆心C为(3,4),半径r=5.

因此定点A在圆C内,故l与C总相交.

(2)当l⊥AC时,弦长最短.

此时,圆心到直线的距离为|AC|=2,

又圆的半径r=5,故弦长为23.

点评 解决直线与圆的位置关系问题时,要善于挖掘题目中的隐含条件,且能灵活运用圆的几何性质.

类型四:综合题探索

例8 求经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.

解 因为所求的圆经过两圆(x+3)2+y2=13和x2+(y+3)2=37的交点,

所以可设所求圆的方程为(x+3)2+y2-13+λx2+(y+3)2-37=0.

展开、配方、整理,得x+31+λ2+y+3λ1+λ2=4+28λ1+λ+9(1+λ2)(1+λ)2.

故圆心为-31+λ, -3λ1+λ,代入方程x-y-4=0,得λ=-7.

故所求圆的方程为x-122+y+722=892.

点评 设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,若圆C1,C2相交,那么除圆C2以外的过两圆公共点的圆系方程为(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R且λ≠-1).

特别提示:若令λ=-1,则可得两圆C1,C2的公共弦所在的直线方程.当然本题也可设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,但这样做比较麻烦.

例9 过原点作圆x2+y2+2x-4y+4=0的割线l,交圆于A,B两点,求弦AB的中点M的轨迹.

解法一 设M(x, y)为所求轨迹上的任一点,直线l的方程为y=kx,A(x1, y1),B(x2, y2).

由y=kx,x2+y2+2x-4y+4=0消去y,

得(1+k2)x2+(2-4k)x+4=0.

所以x1+x2=4k-21+k2x=2k-11+k2.①

将k=yx代入①,得x2+y2+x-2y=0.

又点M在圆内,所以所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分.

解法二 设M(x, y)为所求轨迹上的任一点,而圆心C为(-1, 2).

因为CM⊥OM,

所以kCM•kOM=-1.

当x≠0且x≠-1时,有y-2x+1•yx=-1,即x2+y2+x-2y=0.①

当x=0时,点M不存在;当x=-1时,点M与C重合,符合方程①.

又点M在圆内,所以所求轨迹为圆x2+y2+x-2y=0在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分.

解法三 设M(x, y)为所求轨迹上的任一点,而圆心C为(-1, 2).

因为CM⊥OM,所以点M在以OC为直径的圆上,故其轨迹方程为x+122+(y-1)2=54.

又点M在圆内,

所以所求轨迹为圆x+122+(y-1)2=54在圆x2+y2+2x-4y+4=0内的部分.

巩固练习

1. 设P是圆x2+y2=4上的动点,定点Q(4,0).

(1)求线段PQ的中点的轨迹方程;

(2)设∠POQ的平分线交PQ于点R,求点R的轨迹方程.

2. 直线l:(m+1)x+2y-4m-4=0 (m∈R)恒过定点C,圆C是以点C为圆心,4为半径的圆.

(1)求圆C的方程;

(2)设圆M的方程为(x-4-7cosθ)2+(y-7sinθ)2=1,过圆M上的任一点P分别作圆C的两条切线PE,PF,切点为E,F,求CE•CF的最大值和最小值.

3. 已知以点Ct,2t(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.

(1)求证:△OAB的面积为定值;

(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程.

篇5：《直线与圆的位置关系》教学反思

《直线与圆的位置关系》是人教版九年级（下）第三章第一节的内容，它和点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系同是研究图形之间位置关系的重要内容。下面谈谈自己的做法和体会：

一、重视定义的形成和概括过程：

“直线与圆的位置关系”是由公共点的个数来定义的。定义的教学是在教师引导下，通过学生观察、思考、交流、概括等探究活动亲身经历概念的形成过程，形成新知识的建构。首先引导学生回忆点和圆的位置关系及判定方法，通过对已有研究方法的揭示，增强学生运用迁移方法研究新问题的意识。接着，借助多媒体引导学生观察并思考：在不同的位置关系下，直线和圆的公共点的个数有什么不同？从而引导学生揭示出直线与圆的位置关系与公共点的个数之间存在着对应关系的本质特征。到此，我并没有急于给出定义，而是进一步引导学生在定义的形成上下工夫，又提出两个问题：一是直线与圆有三个或三个以上公共点吗？二是通过刚才的研究，你认为直线和圆的位置关系可分为几种类型呢？分类的标准是什么？定义的教学不只是以直接感知教材为出发点，而是力图还原定义的形成过程，这样既加深了学生对定义本身的理解，又提高学生对定义形成过程中所涉及的思想、方法的认识。而多媒体课件在这里的作用主要是通过“直线动圆不动”“圆动直线不动”“圆心直线不动半径变”三种运动方式的演示，有效创设符合教学内容的情景，把知识的形成过程直观化，提高学生的兴趣，增强学生的参与性。

二、重视定理的发现和总结过程：

本课内容的第二个知识点是运用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判定直线与圆的位置关系，并反过来得到直线与圆的位置关系下所具有的数量特征。难点是如何引导学生去发现隐含在图形中的这两个数量并加以比较，为此，我设计了一个问题串，以问题为导向，以探究问题的方式引导学生自学自悟，为学生提供了自主合作探究的舞台，闪现了学生思维创新的火花。引导1：通过刚才的研究我们知道，利用公共点的个数可以判定直线与圆的位置关系，请同学想一想，能否像判定点与圆的位置关系那样，通过数量关系来判定直线与圆的位置关系？

引导2：点与圆的位置关系的判定运用了哪两个数量之间的关系？直线与圆的位置关系中可以出现哪两个量呢？

引导3：如何用图形来反映半径和圆心到直线的距离这两个量呢？ 引导4：如何由数量关系并结合图形判定相应的位置关系呢？

引导5：运用数量关系判定直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，这两者之间有何区别与联系？

引导6：以上三个判定反过来成立吗？

通过以上问题，学生不仅加深了对判定直线与圆的位置关系的方法的理解，更重要的是使学生学会运用联想、化归、数形结合等思想方法去研究问题，这无疑促进学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。而多媒体课件在这里的作用在于把“形”和“数” 的关系及其变化动态呈现在屏幕上，成为学生探索验证的好帮手。

三、尊重学生的主体地位：

教学设计应为学生自主学习，实现知识的建构服务。这节课为学生提供了大量问题情境、活动方式，使学生通过“做一做”“想一想”“练一练”“议一议”充分地实践与探索，不断地归纳与总结，引导学生发现规律、拓展思路。而多媒体的介入，为学生实现“意义建构”创设了更为逼真的“情景”，改善了认知环境，有利于提高课堂效率，有利于学生思维和技能的训练。如“议一议”：（1）已知⊙O半径为4cm，直线l上的点A满足OA=4cm，能否判定直线l和⊙O相切？为什么？（2）已知⊙O半径为4cm，直线l上的点A满足OA=5cm，能否判定直线l和⊙O相离？为什么？ 此题重在强调判定方法中圆心到直线的距离，利用多媒体演示，更直观地说明：（1）中当OA不是圆心到直线的距离时，直线l和⊙O相交；当OA是圆心到直线距离时，直线l是⊙O相切。（2）方法同（1），通过此题练习提高了学生思维的深刻性和批判性。

四、重视规律的揭示和提炼过程：

某个数学知识的教学可以在短期内完成，数学技能也可通过强化训练形成，而掌握学习的规律是一个长期渐进的过程，我认为教师在教学过程中应增强揭示规律的意识，引导学生从学习、研究的过程加以提炼，通过日积月累产生认识的飞跃。因此，在回顾与反思中，我组织学生以小组交流的形式讨论以下问题：一是通过刚才的学习，你对如何研究图形之间的位置关系有什么收获和体会？二是“点与圆的位置关系”与“直线与圆的位置关系” 有哪些联系？通过比较你有何启发？这一设计的做法虽小，作用却大，它使学生的认识上升到一个新的高度。也确保了学生在学会数学的过程中顺利地向“会学”的方向发展。

五、拓宽学习的时间和空间：

课后作业的设计不仅要达到巩固知识的目的，更重要的是有研究性和探索性。本节的课后作业有一道探究价值的题目：在Rt△ABC 中，∠C=Rt∠，AC=8cm，BC=6cm，若要以C为圆心，R为半径画圆，请根据下列条件，求半径R的值或取值范围。

1、AB与圆相离

2、AB与圆相交

3、AB与圆相切。

学生需通过动手动脑来完成，使学生的探索精神由课内延伸到课外。多媒体课件的作用在于通过圆的半径的动态变化，为学生研究直线与圆的位置关系提供思路和分类方法。

篇6：《直线与圆的位置关系》说课稿

答：先利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再和半径比较大小。

3、 在直线与直线的方程这一节里，我们是如何利用代数的方法判断直线与直线的位置关系的?它对你在思考直线和圆的位置关系时有何启迪?

篇7：《直线与圆的位置关系》说课稿

1、知识目标：

能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系。

2、能力目标：

要使学生体会用代数方法处理几何问题的思路和“数形结合”的思想方法。

四、教法分析：

1、教学方法：启发式讲授法、演示法、辅导法。

2、 教材处理：

(1)例题1(1)(2)用两种不同的办法求解，让学生自己体会这两种方法。

通过老师引导和让学生自己探索解决，反馈学生的解决情况。

(2)增加一个过一点求圆的切线方程的题型，帮助学生增加对直线与圆的认识。

3、学法指导：本节课的学法是继续指导学生把新问题转化为已有知识解决的化归思想。

4、教具：多媒体电脑、投影仪、自做多媒体。

五、过程分析：

教学

环节

教学内容

设计意图

新课引入

1、学生观察日出照片，把观察到的情况用自己的语言说出来，抽象出几何图形，在学生回答的基础上，通过多媒体演示圆与直线的三种位置关系。 让学生感受到数学产生于生活，与生活密切相关，并能使学生更好的直观感受直线和圆的三种位置关系。然后引入本节课的课题。

2、在上一章，我们在学习了直线的方程后，研究了点和直线、直线与直线的位置关系，本章我们已经学习了圆的方程，现在我们要研究直线与圆以及圆与圆的位置关系。

1数学产生于生活，与生活密切相关

2、以实际问题引入有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于扩展学生的视野。

新课讲解

一、知识点拨：

1、 在初中的学习中我们知道直线和圆有三种位置关系，分别是相离、相切、相交，那么在初中我们怎样判断直线和圆的位置关系呢?

篇8：直线与圆位置关系复习

一、求直线斜率的范围

已知直线和圆有公共点时, 即直线和圆相交或相切时, 求解直线的斜率.

例1 若过点A (4, 0) 的直线l与曲线 (x-2) 2+y2=1有公共点, 则直线l的斜率的取值范围为 ( ) .

undefined

解析 利用数形易求出l与圆相切时的倾斜角分别为150°和30°, 然后再由直线l绕A点在两切线间转动时, 始终保持与曲线 (x-2) 2+y2=1有公共点, 得知符合条件的直线的倾斜角的范围为[0°, 30°]∪[150°, 180°) , 故答案为C.

评注 本例的求解方法是数形结合法, 它的优点是形象直观.事实上, 该例的求解除了数形结合法外, 还可以用代数法解, 解时可将l的点斜式方程与题中曲线方程联立方程组, 由方程组有解便可得该题答案为C.

二、求直线方程

已知直线和圆相交, 所得弦中点满足一定条件时, 求解直线方程.

例2 直线l与圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a<3) 相交于两点A, B, 弦AB的中点为 (0, 1) , 则直线l的方程为.

解析 记圆x2+y2+2x-4y+a=0 (a<3) 的圆心为C, 则C的坐标为 (-1, 2) .又弦AB的中点D为 (0, 1) , ∴kCD=-1, 由平面几何性质知直线l垂直CD, ∴直线l的斜率k1=1, ∴由点斜式可得直线l的方程为y-1=1· (x-0) , 即x-y+1=0.

评注 解决此类题的关键是要正确地求解直线l的斜率, 然后用点斜式写出直线方程.在该题的求解过程中利用了弦的中点与圆心的连线垂直于弦这一性质加以求解.

三、求圆方程

已知直线和圆相交, 所得弦长满足一定条件时, 求圆的方程.

例3 已知圆C的圆心与点P (-2, 1) 关于直线y=x+1对称, 直线3x+4y-11=0与圆C相交于A, B两点, 且|AB|=6, 则圆C的方程为.

解析 由于点P (-2, 0) 关于直线y=x对称的点为 (0, -2) , ∴点P (-2, 1) 关于直线y=x+1的对称点坐标为 (0, -1) , 即所求圆心为 (0, -1) .此点到直线3x+4y-11=0的距离为undefined, 由勾股定理求出圆的半径为undefined的方程为x2+ (y+1) 2=18.

评注 解决这类问题的关键在于正确地求解圆心坐标和圆的半径, 然后写出所求圆的标准方程.

四、求相关参数的值或范围

已知直线和圆的位置关系, 求解直线方程或圆方程中的参数的值或范围.

例4 已知圆C:x2+y2+2x+ay-3=0 (a为实数) 上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上, 则a=.

解析 圆C的圆心坐标为undefined, 依题意知圆心在直线l上, 则有undefined, 所以a=-2.

评注 该题利用了圆上任意一点关于一直线的对称点都在该圆上, 则该圆关于这一直线对称这一性质加以求解的.

五、求圆内接四边形的面积

已知两直线和圆相交得到的四交点连接而成圆的内接四边形, 求此圆的内接四边形的面积的最大值.

例5 已知AC, BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦, 垂足为undefined, 则四边形ABCD的面积的最大值为.

解析 ∵四边形ABCD的面积等于undefined, 又AB与CD均是过M点的弦, 它们的最大长度是直径4, 最小长度等于过M点且垂直OM的弦的长undefined, 只有当|AB|=|CD|时, undefined取得最大值, 这时, 弦AB与CD关于线段OM对称, 过点O作弦AB的垂线段ON, 则△ONM为等腰直角三角形.又undefined, 在Rt△OAN中, undefined

∴四边形ABCD的面积的最大值为undefined

评注 解决此类问题的关键是要正确找出圆的内接四边形的面积取得最大值的条件.在该题的求解过程中, 利用了弦AB与CD关于线段OM对称加以求解的.

六、求解直线存在性问题

已知直线和圆的方程形式, 讨论题中符合条件的直线的存在性.

例6 已知圆C:x2+y2-8x+4y+16=0, 是否存在直线l:mx- (m2+1) y=4m, m∈R, 使得直线l将圆C分割成弧长的比值为undefined的两段圆弧?为什么?

解 假设直线l能将圆C分割成弧长的比值为undefined的两段圆弧.设直线l与圆C交于A, B两点, 则∠ACB=120°.

∵圆C: (x-4) 2+ (y+2) 2=4,

∴圆心C (4, -2) 到l的距离为1.

故有undefined, 整理得3m4+5m2+3=0.

∵Δ=52-4×3×3<0, ∴3m4+5m2+3=0无实数解.

因此满足该题条件的直线l不存在.

篇9：直线与圆位置关系的应用

【关键词】高中数学;直线与圆;位置;关系

直线与圆位置关系这章节要求学生掌握直线和圆的位置关系的性质和判定，因为它是本单元的基础，如：“切线的判断和性质定理”是在它的基础上研究的，也是高中解析几何中研究“直线和圆的位置关系”的基础。在对性质和判定的研究中，既要有归纳概括能力，又要有转换思想和能力，所以是本节的难点。另外对“相切”要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同，这一点到直线和曲线相切时很重要，学生较难理解。

一、直线与圆位置关系的判断

直线与圆的位置关系的判断依据比较简单，直线与圆有两个公共点时，那么直线和圆相交;直线和圆有唯一公共点时，那么直线和圆相切;直线和圆没有公共点时， 那么直线和圆相离。

例如：设圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，直线l的方程（m+1）x-my-1=0，对任意实数m，圆C与直线l的位置关系是       。

分析：求出直线恒过的定点，确定点与圆心的距离与半径的关系，推出结论。

解：由直线l的方程（m+1）x-my-1=0，可得m（x-y）+x-1=0，直线恒过（1，1）点，

圆C的方程x2+y2-2x-2y-2=0，的圆心（1，1），所以圆C与直线l的位置关系是：相交。

故答案为：相交。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，还考查了转化思想，将直线与圆的位置，转化为点与圆的位置来解决。

二、圆上的点到直线距离

求圆上的点到直线距离，学生在遇到没见过的题目时，往往不知道从何下手，点到直线的距离即点到直线的垂线段的长，何时达到最大或最小值，要引导学生观察、分析、猜测、验证、下结论。

例如：圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是    。

分析：先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。解：圆心（0，0）到直线的距离为：=1，∴圆上的点到直线的最小距离为：5-1=4。

故答案为：4。

考点：直线与圆的位置关系

点评：本题主要考查了直线与圆的位置关系。考查了学生数形结合的思想，转化和化归的思想。

又如：圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是（   ）

A.2 B.1+ C.2 D.1+2

分析：此题考查解析几何初步中的圆和直线的相关知识、点到直线距离公式、数形结合能力和等价转化能力;圆x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离的最大值是：圆心到直线的距离加上半径，此圆的标准方程是（x-1）2+（y-1）2=1，圆心是（1，1），半径是1，所以dmax=+1=+1，所以选B。

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径。

三、截距相等问题

截距相等问题，首先考虑截距都为0的情况，截距不为0时要考虑符号必须相同，截距不同于距离，距离是非负的，而截距可以是负的。

例如：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在x、y轴上截距相等的直线有（   ）

A.4条 B.3条 C.2条 D.1条

分析：与圆（x-3）2+（y-3）2=8相切，且在两坐标轴上截距相等的直线，必有过原点的2条直线，还有斜率为-1的两条直线。

解：由圆的方程（x-3）2+（y-3）2=8，可得圆心坐标为C（3，3），半径是r=2，由|OC|==3>r，故原点在圆外。当所求直线的方程的截距为0时，直线过原点，显然有两条直线满足题意。当截距不为0时，设所求直线的方程为：x+y=a（a≠0）。

则圆心到直线的距离d==e=2，由此求得a=2，或a=10，由于满足题意a的值有2个，所以满足题意的直线有2条。

综上可得，与圆（x-3）2+（y-3）2=8 相切，且在两坐标轴上截距相等的直线中，过原点的切线有两条，斜率为-1的切线也有两条;共4条。

故选A。

点评：考查学生理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，灵活运用点到直线的距离公式解决实际问题。

四、直线与圆相交

例如：若直线l与圆（x+1）2+（y-2）2=100相交于A，B两点，弦AB的中点为（-2，3），则直线l的方程为   。

分析：由圆的方程找出圆心C的坐标，连接圆心与弦AB的中点，根据垂径定理的逆定理得到此直线与直线l垂直，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由圆心与弦AB中点的连线的斜率，求出直线l的斜率，再由直线l过AB的中点，即可得到直线l的方程。

解：由圆（x+1）2+（y-2）2=100，得到圆心C的坐标为（-1，2），由题意得：圆心C与弦AB中点的连线与直线l垂直，

∵弦AB的中点为（-2，3），圆心C的坐标为（-1，2），

∴圆心与弦AB中点的连线的斜率为=-1，

∴直线l的斜率为1，又直线l过（-2，3），

则直线l的方程为y-3=x+2，即x-y+5=0。

故答案为：x-y+5=0。

点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，正确处理直线与圆的位置关系时解题的关键，考查计算能力。

本节课是在学习了点和圆的位置关系的基础上进行的，是为后面的圆与圆的位置关系作铺垫的一节课。本节的主题是直线和圆，在解析几何中，直线与圆的关系是一个非常重要的知识点，可以对学生的思维有一个很好的锻炼。

【参考文献】

[1]刘耀忠.例谈求直线方程的常用方法[J].新高考（高一语数外）;2011年Z1期

[2]周栋梁.“显而易见”下的缺失——《直线与圆的位置关系》听课后的感想[J].中学数学2013年02期

篇10：《直线与圆的位置关系》数学试卷

对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是________.

已知点在圆外，则直线与圆的位置关系是________.

篇11：直线与圆的位置关系评课稿

数学课堂教法如何结合现代教育教法理论、结合学生的实际来实施素质教育，优化课堂教法，提高教法效益呢？这是每个老师在今天的课改面前都有的困惑．那么我们应如何从困惑面前走出来呢？我有幸听了高老师的一堂课《直线与圆的位置关系》．

整节课的学习我发现高老师准备得比较充分，清楚知道学生应该理解什么，掌握什么，学会什么．她是学生学习活动的组织者、指导者和合作者，而学生是一个发现者、探索者，有效地发挥他们的学习主体作用．高老师是让学生“体会知识”，而不是“教学生知识”，学生成了学习的主人，突出学生的主体地位．另外高老师教态自然大方，语言、表情亲切，面部表情丰富，声音抑扬顿挫，有助于调动课堂气氛，引起学生的兴趣和注意．情绪控制较好，能较好地组织教学，教师的基本功扎实，能较好地起到示范的作用．总的来说高老师的这节课上得非常成功．

我一直都有这种教法观念：让“学生学会求知”比让学生掌握知识本身更重要，在教法过程中我们要从人的固有特性出发发展学生的自主性、独立性和创造性，教师的教要为学生的学服务，数学教法要注重学生思维能力的提高，联系学生的生活实际，发展学生的数学思想和数学方法，提高学生应用数学的意识和解决问题的能力．高老师对知识的形成过程也比较重视，但对有些细节方面没有能够阐述清楚．在从几何特征过渡到数量特征时，也让学生去探索总结，但对于为什么要作垂直，没能告诉学生其中的道理，这样学生可能只知其然，而不知其所以然，不能理解数学的本质．

高老师开始的时候都是叫学生个人来回答完成，后面几个问题干脆让学生一起来回答，这样做的后果就是不能让学生感觉到这是“我的参考答案”，感觉不到同学、老师那肯定的眼光，长此以往课堂的气氛会低迷，学生的思维会变得懒惰．因为学生思考的参考答案可能会得不到肯定，学生思考也没用．渐渐的学生学习的积极性、主动性就会削弱，与我们老师的初衷、教改的意图相违背．

我觉得教师应通过自己的“创造”，为学生展现出“活生生”的思维过程．