高中数学证明题

2024-04-25

高中数学证明题（精选6篇）

篇1：高中数学证明题

新课标立体几何常考证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点

（1）求证：EFGH是平行四边形

（2）若

BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。

C D H证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG

(2)90°30 °

考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 1BD 21BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。

22、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;

（2）平面CDE平面ABC。E BCAC证明：（1）CEAB AEBE

同理，ADBDDEAB AEBEB C 又∵CEDEE∴AB平面CDE

（2）由（1）有AB平面CDE

又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定

D3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证： AC1//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

∴AC1//平面BDE。考点：线面平行的判定

4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．证明：∵ACB90°BCAC

又SA面ABCSABC

BC面SACBCAD



又SCAD,SCBCCAD面SBC考点：线面垂直的判定

9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M



∴MQ//BC，∵ CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取 AB的中点D，连结 PD，∵PAPB,∴C

PDAB，又AN3NB，∴BNND

N ∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNAB B

1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且

MQBC

1，∴MN

2考点：三垂线定理

12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．

（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE ∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE

又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角

在Rt

PAD，PDRt

DCE中，DE在RtDEP中，PD2DE，DPE300 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形

15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．

∵ADBD，∴DFAB．

又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．

∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴ AH平面BCD．考点：线面垂直的判定

篇2：高中数学证明题

2011-04-22 21:36:39|分类：|标签： |字号大中小订阅

2011/04/2

2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：

（1）按照题意画出图形；

（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；

（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。

一、直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.2、分析法

（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.二、间接证明

反证法

1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：

反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：

对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.４反证法主要适用于以下两种情形：

（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

篇3：高中数学证明题

问题已知a>0, b>0, 且a+b=1.求证:

思路一从结论逆行考虑问题, 去寻觅结论成立的一些条件, 往往会收到“柳暗花明又一村”的效果.

要证原式, 即证4 (ab) 2+4 (a2+b2) -25ab+4≥0, 又由a>0, b>0, a+b=1, 即证4t2-33t+8≥0, 即证或t≥8 (舍) .易知显然成立, 从而得证.

思路二“作差”后因式分解比较与0的大小.

思路三“作差”后分离常量.

法1“作差”法.

法2 基本不等式法之一.

$t + \frac{2}{t} = t + \frac{1}{16 t} + \frac{31}{16 t} \geq 2 \sqrt{t \cdot \frac{1}{16 t}} + \frac{15}{16 t} \geq \frac{1}{2} + \frac{15}{16} \cdot 4 = \frac{33}{4} .$

法3 基本不等式法之二.

$t + \frac{2}{t} = 32 t + \frac{2}{t} - 31 t \geq 2 \sqrt{32 t \cdot \frac{2}{t}} - 31 t \geq 2 \cdot 8 - \frac{31}{4} \geq \frac{33}{4} .$

点评法4比法3更为简洁.

法4 考察结论“对号函数 $y = t + \frac{k}{t} (t > 0, k > 0)$ 在 $(0, \sqrt{k}]$ 上单调递减, 在 $[\sqrt{k}, + \infty)$ 上单调递增”.

∵函数 $f (t) = t + \frac{2}{t}$ 在 $(0, \frac{1}{4}]$ 上单调递减,

$∴ f (t) \geq \frac{1}{4} + 8 = \frac{33}{4} .$

法5 求导法.

令 $f (t) = t + \frac{2}{t} ‚ t \in (0, \frac{1}{4}] .$

求导: $f^{'} (t) = 4 \cdot \frac{t^{2} - 2}{t^{2}} < 0$ , 则函数f (t) 在 $(0, \frac{1}{4}]$ 上单调递减, $∴ f (t) \geq \frac{1}{4} + 8 = \frac{33}{4} .$

思路四利用数形结合思想探索命题的证明.

法6 利用二次函数的图像.

令 $m = t + \frac{2}{t} ‚ t \in (0, \frac{1}{4}]$ .作g (t) =t2-mt+2, 则函数g (t) 在 $(0, \frac{1}{4}]$ 上至少有一个实根, 从而可得 $m \geq \frac{33}{4} .$

法7 联想直线斜率的结构式.

$m = \frac{t^{2} - (- 2)}{t - 0} = Κ_{A Μ} ‚ t \in (0, \frac{1}{4}]$ , 其中A (0-2) , M (t, t2) , 则动点M的轨迹是抛物线y=x2的一段弧 $y = x^{2} ‚ 0 < x \leq \frac{1}{4}$ .由数形结合, 可得 $m \geq \frac{33}{4} .$

思路五对T直接化简变形.

$∵ Τ = \frac{a^{2} b^{2} + a^{2} + b^{2} + 1}{a b} = \frac{a^{2} b^{2} + (a + b)^{2} - 2 a b + 1}{a b} = a b + \frac{2}{a b} - 2 = t + \frac{2}{t} - 2 .$

利用以上对不等式①的证明的任一方法均可.

思路六由“ $t \leq \frac{1}{4}$ ”朝着“目标式”步步逼近.

$\begin{array}{l} 由 t \leq \frac{1}{4} ‚ 可知 1 - t \geq 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} ‚ ∴ (1 - t)^{2} \geq \frac{9}{16} ‚ \\ ∴ (1 - t)^{2} + 1 \geq \frac{25}{16} \end{array}$

, 又由 $\frac{1}{t} \geq 4$ , 故 $\frac{(1 - t)^{2} + 1}{t} \geq \frac{25}{4} ‚$

∴命题成立.

思路七考虑问题条件的转化.通过“均值换元”“三角换元”达到减元的目的.

法8 均值换元.

令 $a = \frac{1}{2} + t ‚ b = \frac{1}{2} - t ‚ | t | < \frac{1}{2}$ , 则有 $Τ = \frac{(a^{2} + 1) (b^{2} + 1)}{a b} = \frac{t^{4} + \frac{3}{2} t^{2} + \frac{25}{16}}{\frac{1}{4} - t^{2}} \geq \frac{\frac{25}{16}}{\frac{1}{4}} = \frac{25}{4} .$

法9 三角换元.

$\begin{array}{l} 令 a = \sin^{2} θ ‚ b = \cos^{2} θ ‚ θ \in (0, \frac{π}{2}) ‚ \\ Τ = \frac{\sin^{4} θ + \cos^{4} θ - 2 \sin^{2} θ \cos^{2} θ + 2}{4 \sin^{2} 2 θ} = \frac{(4 - \sin^{2} θ)^{2} + 16}{4 \sin^{2} 2 θ} . \\ ∵ \sin^{2} 2 θ \leq 1 ‚ ∴ 4 - \sin^{2} 2 θ \geq 4 - 1 = 3 . \\ ∴ 4 - 2 \sin^{2} 2 θ + 16 \geq 25 . 又 \frac{1}{\sin^{2} 2 θ} \geq \frac{1}{4} ‚ \end{array}$

$∴ \frac{(4 - \sin^{2} 2 θ)^{2}}{4 \sin^{2} 2 θ} \geq \frac{25}{4} ‚ ∴$ 命题成立.

点评各种思路和方法间不是相互孤立的.

等的关系体现了数学的对称美和统一美, 不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美.等与不等形影不离, 存在着概念上的亲缘关系, 是中学数学中最广泛、最普遍的关系.

摘要：不等式的证明, 方法灵活多样, 是高考数学中常见的一类题型, 也是高中数学中的难点之一.本难点着重培养学生数学式的变形能力, 逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.但是学生面对这类问题往往无从下手, 本文就一道高考题给出了一些解题的思路, 以供参考.

篇4：议论文不是数学证明题

各位看官，《老残游记新编》主打篇目“近年目睹作文之怪现状”——遍观议论，文将不文。乍看观点鲜明，实例丰富，洋洋洒洒，论证有力，齐整有序，而至滴水不漏；再看结构呆板，数学模式，死守步骤，干瘪无味，套路刻意，实为简单肤浅。且劝诸生：文章不是无情物，老师都是有心人，作文不是纯粹证明，思维不可浅尝辄止，有我有感手写我心，多想心思拓展引申。文之为文，有情有魂！

【考纲概述】

高考议论文写作要求：观点明确，论证有力，论据充实。因此有些老师和同学据此得出一个写作公式：论据1+论据2+论据3=观点。这样，就把议论文当成数学证明题了。

走在最前，落于最后

不要总羡慕那些站立云端之上的人，其实站得太高更容易跌落，他们害怕跌落；不要总轻视最底层的人，他们在承受巨大的压力。所以说，世上最痛苦的人有两种：一种是走在最前端的人；一种是走在最后的人。

一条犹如长龙的队伍，第一个人很快地就买到了物品，而最后一个在焦急不安中等待着。第一个之所以能是第一，说明他必须比其他人来得更加早，他害怕，他担心：“我会不会是第一个？不是怎么办？”最后一个人痛苦地等待，他也害怕，他也担心：等轮到他了是否还会有；轮到他了是不是变凉了，变烂了，变质了。

中国经济快速发展，超越日本，位居世界第二。美国一直在围堵中国，企图阻碍中国的发展。美国为什么这样做？美国是世界上最强大的国家，站立云端。但美国又处在痛苦之中，他自己被中国超越，因此总是处处提防着中国，与中国为敌，甚至叫嚣“中国威胁论”。而非洲一些国家因历史原因，在世界队伍中，落于最后。他们处在水深火热的痛苦之中，忍受着饥饿、寒冷、疾病等一系列常人无法想象的痛苦。身处云端，走在最前，便就幸福，便就没有痛苦吗？不，他们最为痛苦，因为他们害怕跌落，害怕自己领先的位置被人取代。落于最后的人就无忧虑吗？不，他们最为痛苦，因为他们忍受着种种苦难，承受着最为巨大的压力，被忽略，被轻视。世界上最痛苦的人莫过于此：身处云端，害怕跌落；落于最后，压力巨大。

“本是同根生，相煎何太急”。是啊，相煎何太急！曹丕、曹植都是曹操的儿子。曹操死后，曹丕子承父业，建立魏国，正所谓“最前面的人”。曹丕却处在痛苦中，害怕兄弟夺权，便命曹植作七步诗，若作不出来，便要杀他。至亲兄弟却如此，不就是因为曹丕身处云端，害怕跌落吗？身处云端并不幸福，甚至最为痛苦。害怕跌落，因为不知道下面是不是无底深渊。

好比学生，第一名的人总是害怕被超越，虽然第一总会喜悦，但也最为痛苦；最后一名的人得面对家长、老师，在巨大的压力中痛苦徘徊。世界上最为痛苦的两种人：第一名、最后一名。

大雁南飞，带头的大雁会时刻担心后面的一群大雁是否都能跟上；最后一只会害怕跟不上，迷了路，回不了家。群雁南飞：二雁最苦，第一与最后。

世界上最痛苦的人便是身处云端的人，他们害怕跌落；落于最后面的人，他们承受巨大压力。所谓“最穷人”与“最富人”。“最穷人”每天都在忧虑生活问题：“下一顿呢？下一顿怎么办？”最富人每天都在担心：“钱藏哪儿？被偷了怎么办？”

不要落于最后，要勇往直前；不要担心跌落，云端之上风景未必最好。世界上最痛苦的是两种人：走在最前，落于最后。走在最前的人跌落也没关系，沿途风光无限。

[范文解析]

本文开篇提出论点：走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人。然后罗列众多自然的、社会的、中国的、外国的、现在的、过去的事例来证明论点。最后重申观点，仅此而已。显然，本文除了证明“走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人”这个观点之外，没能给读者提供有益的人生启示。只是为证明而证明，像是在解答一道数学证明题。这是对议论文写作的一种误解。

我们写文章，特别是写议论文，不仅要提出观点，证明观点，更重要的是在论证观点的同时，对读者进行规劝引导，为读者提供有益的人生启示。

[范文例举]

走在最前，落于最后

有人认为，世界上有两种人最痛苦：一种是走在最前面的人，另一种是走在最后面的人。可是，我并不认为走在最后面的人最痛苦。

生活速度的加快逼着我们加快脚步，可是我们为什么不能试着让自己的生活慢下来呢？为什么有那么多的压力呢？何为压力？不过是人与人相比，落后的那个人感受到的痛苦。生活那么美好，他们仅仅因为走在别人后面而选择了最愚蠢的方法；如果他们愿意用乐观的心态面对落后，那么将会有多少家庭可以继续快乐的日子。为什么总要争第一呢？走在最后的人也有一鸣惊人的机会。别为你的落后感到痛苦，落后只是为了让你更好地前进。

古人云：“胜者为王，败者为寇。”难道失败的人就是最痛苦的人吗？不，看看轨道上行驶的火车吧。几百年前，史蒂芬将他发明的火车在轨道上试行时，当时一辆马车的速度都能超过火车，于是人们认为史蒂芬的火车只是一堆烂铁，可史蒂芬并不认为自己是一个失败者，他并不为失败而感到痛苦。在他的努力下，高速火车终于问世。在高速发展的现代，当时的马车早已不见踪影。试想：如果当时的史蒂芬为自己的落后感到失望、痛苦，也许也就不会有今天的高铁了。

走在最后的人未必痛苦，人生总是要面对各种失败，如果只是因为一次失败而痛苦，因为走在最后而痛苦，我们的人生岂不少了很多乐趣？落后只是为了让我们更好地前进。

时间会忘记很多人，但是时间不会忘记那些蓄势待发的人。作为一名歌手，朴树的歌真是少之又少：10年前的一张专辑和一首《平凡的路》。整整相距10年，10年中，朴树应当是走在最后面的人，可他并不为此感到痛苦，而是蓄势待发，等待那个不平凡的《平凡的路》。落后的人也许是个幸福的人，未必是痛苦的人。走在最后，也许会看到别样的风景。

落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人。

[范文解析]

本文作者论证观点时，不是为证明而证明，而是给了读者几个启示，比如，“落后只是为了让你更好地前进”和“落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人”等句充满了人生教益。

[类文生成]

一篇议论文，首先要有启发性。那种为说理而说理、心中没有读者的议论文，既没有说服力，也没有启发性；其次要有现实性，所谓现实性就是在论证完观点后，一定要与现实生活联系起来，不要脱离现实生活，空说道理。比如一篇《人生的“出”与“入”》的高考满分作文，作者论证完数学家“在推算过程中经常客观地审查自己的步骤和数据，就可能不会留下这个遗憾了”这一观点后，进一步引申“科学如此，人生又何尝不是？常常有人后悔自己什么做得不好，什么不该做，事后再多的悔恨也于事无补，我们应该从中吸取教训，对‘出’的意义有一个更好的认识”。这种引申说理的写法会使读者得到启发和教育。

[有感写作]

请以“逼，然后飞”为题写一篇议论文，不少于800字。切忌当成数学证明题。

篇5：电大离散数学证明题参考题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等．证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结

点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1(2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

k条边才能使其成为欧拉图．

2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2

五、证明题

1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．

证：若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．

反之，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC) A(BC)．

因此．A(BC)=(AB)(AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：设xA，yB，则AB，因为AB = AC，故 AC，则有yC，所以B C．

设xA，zC，则 AC，因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB．

故得B = C．

3、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设xA，则AA，因为AA=BB，故BB，则有xB，所以AB．

设xB，则BB，因为AA=BB，故AA，则有xA，所以BA．

故得A=B．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

1．试证明命题公式(P(QR))PQ与（PQ）等价．

证：(P(QR))PQ(P(QR))PQ

((PQR)P)Q

PQ（吸收律）

(PQ)（摩根律）

2．试证明(x)(P(x)R(x))(x)P(x)(x)R(x)．

分析：前提：(x)(P(x)R(x))，结论：(x)P(x)(x)R(x)．

证明(1)(x)(P(x)R(x))P

(2)P(a)R(a)ES(1)(存在指定规则)

(3)P(a)T(2)（化简）

(4)(x)P(x)EG(3)(存在推广规则)

(5)R(a)T(2)（化简）

(6)(x)R(x)EG(5)(存在推广规则)

(7)(x)P(x)(x)R(x)T(4)(6)（合取引入）

2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．

(1)f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}；(2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；

(3)f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．

解：(1)f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现．

(2)f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现．

(3)f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是天晴；

则命题公式为： P．

问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：PQ．

注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“”．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：PQ．

注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．

例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．

篇6：经典数学证明题

（25分）2．AB为y1x2上在y轴两侧的点，求过AB的切线与x轴围成面积的最小值．（25分）

3．向量OA与OBOA1OB2，OP(1t)OA，OQtOB，0≤t≤1PQ

1在t0时取得最小值，问当0t0时，夹角的取值范围．（25分）

5，使得sinx,cosx,tanx,cotx为等差数列．（25分）

25.圆内接四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。求圆半径。

6.已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。求证：2009为数列中一项。4．存不存在0x

7.是否存在实数x使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？

8.已知对任意x均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b的最大值

9.某次考试共有333名学生做对了1000道题。做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。问不及格和优秀的人数哪个多？

15.的整数部分为a，小数部分为b 1求a,b；

2求a2b2ab； 2

bb2bn 3求limn

2n2n16.1x,y为实数，且xy1，求证：对于任意正整数n，xy

122n1

2a,b,c为正实数，求证：abc3，其中x,y,z为a,b,c的一种排列 xyz

17．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论

x2y2

18．已知椭圆221，过椭圆左顶点Aa,0的直线L与椭圆交于Q，与y轴交于R，ab

过原点与L平行的直线与椭圆交于P

求证：AQ，AR成等比数列

19．已知sintcost1，设scostisint，求f(s)1ss2sn

20．随机挑选一个三位数I

1求I含有因子5的概率；2求I中恰有两个数码相等的概率

21．四面体ABCD中，ABCD，ACBD，ADBC

1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；

2设三个面与底面BCD所成的角分别为,,，求证：coscoscos1

222.．证明当p,q均为奇数时，曲线yx2px2q与x轴的交点横坐标为无理数

23．设a1,a2,,a2n1均为整数，性质P为：对a1,a2,,a2n1中任意2n个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n个数，使得两组所有元素的和相等

求证：a1,a2,,a2n1全部相等当且仅当a1,a2,,a2n1具有性质P

24.已知a,b,c

都是有理数；

25.（1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形；

（2）四面体一个顶点处的三个角分别是

二面角； 23，arctan2，求的面和arctan2的面所成的326.求正整数区间m,n(mn)中，不能被3整除的整数之和；

27.已知sincos的取值范围；

28.若limf(x)f(0)1,f(2x)f(x)x，求f(x)； x02

29.证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。

30.求f(x)的单调区间及极值.x

31.设正三角形T1边长为a，Tn1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求limnAk1nk.32.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.求：（1）能听到立体声效果的概率；

（2）听不到声音的概率.33.(1)求三直线xy60，y

1x，y0所围成三角形上的整点个数； 2

y2x1(2)求方程组yx的整数解个数.2xy60

34.已知A(1,1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy1(x0)一支上.(1)求证B、C关于直线yx对称；

(2)求△ABC的周长.2r0，使得35.对于集合MR，称M为开集，当且仅当P0M，{PR2PP0r}M.判断集合{(x,y)4x2y50}与{(x,y)x0,y0}是否为开集，并证明你的结论.36．求最小正整数n，使得I(

12123i)n为纯虚数，并求出I．

37．已知a、b为非负数，Ma4b4,ab1，求M的最值．

n、si、n38．已知sic为o等差数列，sin、sin、cos为等比数列，求

1cos2cos2的值．

239．求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

40．随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．

41．yx2上一点P(非原点)，在P处引切线交x、y轴于Q、R，求PQ