数学证明题证明方法

数学证明题证明方法（通用12篇）

篇1：数学证明题证明方法

数学证明题证明方法（转）

2011-04-22 21:36:39|分类：|标签： |字号大中小 订阅

2011/04/2

2从命题的题设出发，经过逐步推理，来判断命题的结论是否正确的过程，叫做证明。

要证明一个命题是真命题，就是证明凡符合题设的所有情况，都能得出结论。要证明一个命题是假命题，只需举出一个反例说明命题不能成立。证明一个命题，一般步骤如下：

（1）按照题意画出图形；

（2）分清命题的条件的结论，结合徒刑，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论；

（3）在“证明”一项中，写出全部推理过程。

一、直接证明

1、综合法

（1）定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.（2）综合法的特点：综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.2、分析法

（1）定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做分析法.（2）分析法的特点：分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.二、间接证明

反证法

1、定义：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.2、反证法的特点：

反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.３、反证法的优点：

对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.４反证法主要适用于以下两种情形：

（1）要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；

（2）如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形

篇2：数学证明题证明方法

第二步：借助几何意义寻求证明思路。一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

篇3：解一道不等式证明题的多种方法

题目:已知a, b, c∈R, 且|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证:ab+bc+ca>-1.

即1+ab>|a+b|, ∴1+ab+bc+ca>|a+b|+bc+ca=|a+b|+c (a+b) .

根据a+b的符号分两种情况进行讨论:

(1) 若a+b≥0, |a+b|+c (a+b) = (a+b) (1+c) ≥0;

(2) 若a+b<0, |a+b|+c (a+b) = (a+b) (c-1) >0.

∴1+ab+bc+ca>0在两种情况下都成立, 得证.

证法2:由已知|a|<1, |b|<1, 有 |ab|<1, 即-1<ab<1, 根据a, b, c的符号分三种情况进行讨论:

(1) 若a, b, c中至少有一个为0 (只证明有一个为0的情况) , 不妨令c=0, 则ab+bc+ca+1=ab+1>0, 成立;

(2) 若a, b, c同为正或同为负, 显然成立;

(3) 若a, b, c中两正一负或两负一正, 不妨令a>0, b>0, c<0, ab+bc+ca+1=ab+ (a+b) c+1>ab- (a+b) +1= (1-a) (1-b) >0, 仍然成立, 得证.

证法3:根据所证不等式的对称性, 构造一次函数f (x) = (b+c) x+bc+1, x∈ (-1, 1) , 且f (-1) =- (b+c) +bc+1= (1-b) (1-c) >0, f (1) = (b+c) +bc+1= (1+b) (1+c) >0.

∴在区间 (-1, 1) 上恒有f (x) >0, 又∵|a|<1,

∴f (a) >0, ∴ (b+c) a+bc+1>0,

即ab+bc+ca>-1.

证法4:根据所证不等式的对称性, 不妨设|a|≥|b|≥|c|, 构造二次函数

f (x) =x2- (b+c) x+bc= (x-b) (x-c) , 不难看出方程f (x) =0的根都在 (-|a|, |a|) 内,

∴f (-a) >0, ∴f (-a) =a2+ (b+c) a+bc>0,

即 (b+c) a+bc>-a2>-1.

证法5:构造三次函数f (x) =x3+kx2+px+q, 设a, b, c是三次方程f (x) =0的三个实根, 由韦达定理知ab+bc+ca=p (高考不作要求) , 再由f-1 (x) =3x2+2kx+p研究原函数的单调性, 得f (1) >0且f (-1) <0, 将两式左右对应相减即得证.

评注:在不等式的问题中, 常根据不等式的结构特征, 构造辅助函数, 转化为由辅助函数的性质或函数与方程的关系来研究不等式, 这种函数与方程思想是证明不等式的重要方法.

证法6: 构造向量m= (a, b, c) , n= (b, c, a) , 则

ab+bc+ca=m·n=|m||n|cos (m, n) = (a2+b2+c2) cos (m, n) , 要证明ab+bc+ca>-1, 只须证明ab+bc+ca的最小值大于-1即可, 亦即证明当cos (m, n) <0的情况下不等式成立, 根据空间直角坐标的位置关系, m与n所成角要为钝角, 其只能在以下两种情况中产生: (1) a, b, c中一个为0, 一正一负; (2) a, b, c中两个同号一个异号. (1) 显然成立; (2) 不妨设a, b同号, c异号, 由 (1-|a|) (1-|b|) >0有1+|ab|>|a|+|b|>|c| (|a|+|b|) =-ac-bc, 而1+ab=1+|ab|, 得证.

证法7: 巧用不等式转化, 由已知可得 (1-a) (1-b) (1-c) >0, (1+a) (1+b) (1+c) >0, 将两式左右对应相加即得证.

篇4：初中数学几何证明题解题方法探讨

【关键词】树立信心  几何思想  答题思路  答题步骤

中图分类号：G4     文献标识码：A DOI：10.3969/j.issn.1672-0407.2015.05.058

几何类题目在卷面上大都体现为几何证明题，本文就如何帮助学生攻克几何证明题这一难关提出了相关建议。

一、树立面对几何证明题的信心

纵观整个数学学科，几何证明类题目称得上是初中数学的一大难点，也是初中数学试卷上占有较大分值的一个题目，多数学生在此类题目上失分，进而影响了整体的数学成绩。有的学生甚至对此类题目产生恐惧情绪，一看到几何证明类题目，就自动跳过，主观上认为这类题目的难度太大，自己一定做不出。学生的这种恐惧心理自然而然成为了他们攻克此类题目的一大障碍。作为老师应该清楚，还没读题就打退堂鼓是解题的一大禁忌。学术研究本身就具有一定的冒险精神，断然不可以对问题产生恐惧心理。老师讲解题目的时候，应当更多地引导学生自主思考，抛出一些直接的线索，让学生自然而然想到接下来的解题思路，树立学生的自信心。老师最好能总结出几何证明题的一般规律，告诉学生几何证明类题目有规律可循。最终让学生克服恐惧，树立信心，让学生能感受到其实几何证明类题目并不难，只需要掌握一定的规律，并能将理论知识与几何图相结合，这类问题就迎刃而解了。经过老师们长时间的引导，学生对于这类题目的自信心必然能够大大提高。

二、带领学生看图读图，培养几何思想

几何证明类题目最大的难点就在于读图，而解决此类题目的突破口往往隐藏在几何图形中。然而只有少数学生能够从几何图中发掘到线索，拿到高分。究其原因，大多是因为学生做惯了文字类题目，习惯性从文字中获得线索和解题关键，读图能力弱，分析几何图形的思想不够牢固，容易忽略几何图中所揭示的重要线索。作为老师，若想强化学生几何证明题的软肋，首先要做的，就是提高学生的读图能力，培养学生的几何思想。

第一类几何思想是指数形结合的思想。老师要在授课过程中给学生养成乐于读图，并能从图中获得线索的习惯，提高学生对于几何图的分析能力，最终要让学生能自如地将课本上的理论知识与几何图紧密地结合起来，树立起数形合一的几何思想，看到几何图就能轻松写出相应的数学公式和数值。老师千万不要以解题为目的进行讲解，而是要以教会学生分析几何图为目的进行讲解。例如我们做过的经典例题，老师可以反复拿出题目中的几何图，抛开例题所设的问题，就图论图，带领学生分析几何图，或者指派学生分析，检验教学成果。

第二个需要培养的几何思想就是整体变换的思想，整体变换，顾名思义就是要将部分结合到整体，从整体中分离个体。这就需要老师多在讲解题目的过程中花心思了，逐步引导，找出部分线索，向学生抛出问题，如何将这一部分线索与整体联系起来，要让学生能够主动的思考部分与整体的关系，例如，让学生养成一看到直线就要思考是否有与已知直线平行或垂直的直线。

第三种几何思想，就是分类讨论思想。我们常常遇到一些综合性强的证明类题目，既需要学生的逻辑性，也需要学生计算部分数值来作为证明的条件，这时可能会出现答案不唯一的情况，而粗心的学生往往会漏掉部分情况。例如一些题目要求证明两个三角形全等，已知某一角度，需要求出另一角度与之相等，计算时可能会出现多种答案，而答案只能取其中之一，这时，老师需要要求学生解出所有答案，分类讨论，列出某个答案不符合条件的理由，并舍去，这样学生才能拿到满分。在分类讨论的题目上失分是很可惜的，老师需要多给学生准备些需要分类讨论的题目，要让学生看到题目能及时想到分类讨论的情况。第四种必备的几何思想是逆变化思想，指的是从要证明的部分出发，倒推条件。对于某些难度稍大的题目，往往正推会比较困难，思路很难理清，这时就需要老师来教会学生逆变化的几何思想，引导他们反方向解题，平时多加训练，加深他们对逆变化思想的印象和理解。如此一来，学生做起几何证明题才能得心应手，拿到高分。有了这些几何思想，便能初步攻克几何证明题的大门。

三、帮助学生理清答题思路

证明题的解答必须要有清晰的思路和很强的逻辑性，然而很多学生答题时的思路混乱，想起什么就写什么，完全不依据逻辑，即使他们掌握了几何思想，发掘出几何图中的线索，也未必拿得到满分。混乱的思路和解题步骤必然会给阅卷老师留下思路混乱的误导，使他们对学生的解题能力产生怀疑，进而影响得分。

作为老师，在培养完成学生的几何思想之后，第二步就是要帮助学生理清答题思路。分析出题目的所有线索后，需要条理清晰地从所有线索中提取要点，并将它们有机结合，组合成一条完整的思路，最终体现到卷面上，这是完成一道几何证明题的关键一步。首先，老师上课时的思路一定要是清晰明了的，结合课本上的理论知识，让学生体会到此类题目的依据和逻辑性，要让学生明白，思路是来源于理论知识体系。再者，老师要尽可能将解题思路简单化、通俗化，采取平铺直叙，开门见山式的讲解方法，能让学生更直观地了解到老师想要表达的解题思路。这两点可以给学生建立解题需要清晰直白的思路的思维模式。同时，老师不能一味地讲解，要留给学生独立的思考空间，培养学生独立建立理清思路的习惯。

四、规范答题步骤

篇5：考研数学证明题三大解题方法

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纵观近十年考研数学真题，大家会发现：几乎每一年的试题中都会有一个证明题，而且基本上都是应用中值定理来解决问题的。但是要参加硕士入学数学统一考试的同学所学专业要么是理工要么是经管，同学们在大学学习数学的时候对于逻辑推理方面的训练大多是不够的，这就导致数学考试中遇到证明推理题就发怵，以致简单的证明题得分率却极低。除了个望对有此隐患的同学有所帮助。

2006年数学一真题第16题（1）是证明极限的存在性并求极限。只要证明

2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系F（x）=f（x）-g（x）有三个零点，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题（1）是关于零点存在y=f（x）及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点，这就证得所需结果。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

三、逆推

从结论出发寻求证明方法。如2004年第15题是不等式证明题，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性，非正常情况却出现的更多（这里所举出的例子就属非正常情况），这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果。该题中可设F（x）=ln*x-ln*a-4（x-a）/e*，其中eF（a）就是所要证的不等式。对于那些经常使用如上方法的同学来说，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的同学来说，却常常轻易丢失12分，后一部分同学请按“证明三步走”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失。

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篇6：数学证明题

在梯形ABCD中，AD∥BC，AC垂直BD，若AD=2，BC=8，BD=6，求（1）对角线AC的 长。（2）梯形的面积。

梯形

解： AC于BD交接点为O 设OC=x,OA=y,OD=z，则BO=6-y,三角形而AOD以AD为底得高h1,三角形BOC以BC为底的高h2.,因为AC垂直BD，AD=2，BC=8，BD=6。故AOD和BOC都为直接三角形，根据面积法得出两个①等式三角形AOD（2h1=yz），②三角形BOC（8h2=(6-z)x）.③三角形BDC（6x=8(h1+h2)）根据勾股定理求的2个等式，④y^2+z^2=4,⑤x^2+(6-z)^2=64 ,由①②③解得x=4y,通过这个x,y的关系带入④⑤可以解得z=6/5，y==8/5，x=32/5，h1=24/25,h2=96/25 ,故梯形的高位 24/5。则 AC=8.梯形面积为（2+8）*24/5*1/2=24在-44，-43，-42，…0，1，2，3，…2005，2006 这一串连续整数中，前100个数的和是多少？方法一 解：前100个数的和=-(1+2+----------------------+44)+(0+1+2+3+-----------------+55)

=-(1+44)*44/2+(1+55)*55/2=550方法二 解：前100个数的和

已知p[-1,2],点p关于x轴的对称点p1,关于直线y=-1的对称点为p2,关于直线y=3的对称点为p3,关于直线y=a的对称点为p4，分别写出p1,p2,p3,p4的坐标，从中你发现了什么规律？选择题 给出任意个选项，再把正确答案的序号填在括号里，而不是正确答案，但自己首先要算出正确答案，再把正确选项的序号填在括号里。(一般在答题卡是涂

“A”,“B”,“C”或“D”)例如：x+y=3 2x=y x=(1)y=(2)A1;2 B2;1 C0;0 D无解

要看清楚是不是直接写得数，如果是，就不能写过程，不是直接写得数的要写出过程，初学者过程要求详细，学的时间久些就可以适当简略些。记得要写“解”（特别是解方程），在考试时这样的题目因为解失分很不值，也要尽量不让它失分。

算完再验算一下。直接将得数代入即可。

篇7：数学证明题

数学证明题

证明：作PF∥BG，交BC于点P

∵GF∥BP，PF∥BG

∴四边形BPFG为平行四边形

∴BG=PF

∠FPC=∠B=∠FAC

又∵∠1=∠2，CF=CF

∴△CFP≌△CFA

∴FP=AF

∵∠1=∠2，∠1+∠AEC=90°=∠2+∠DFC

∴∠AEC=∠DFC=∠AFE

∴AE=AF

又AF=FP=BG

∴AE=BG

7证明 在△ABC和△ACD中

因为

AB=CD(已知)BC=AD(已知)AC=AC(公共边)

所以△ABC≌△ACD(SSS)

所以∠BAC=∠DCA(全等三角形的对应角相等)

因为∠ABC=∠BCD(已知)

所以AB‖CD(内错角相等，两直线平行)

所以∠ABC+∠BCD=180度(两直线平行，同旁内角互补)

因为∠BAC=∠DCA(已证)

所以∠BAC=180°/2=90°(等式性质)

所以AB⊥AC(垂直的定义)

8

，∠ABC=∠BCD

所以AB平行CD

所以，∠CAB+∠ACD=180

证三角形ABC与ACD相似

因为AC是公共边

所以相似比为1

所以全等,

所以，∠CAB=∠ACD=90

证明：连接BD

∵∠ABC=∠BCD

∴AB‖CD

∵AB=CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵BC=AD

∴平行四边形ABCD是矩形

9

证明：

(a+b-c)-4ab

=(a+b-c+2ab) (a+b-c-2ab)

=[(a+b) -c][(a-b) -c]

=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)

因a、b、c是△ABC的三条边的.长

则a+b+c>0, a+b>c，a +c>b， b+c>a

则a+b+c>0，a+b-c>0，a-b+c>0，a-b-c<0

则(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) <0

则(a+b-c)-4ab<

10

(a+b-c)-4ab<0

(a+b-c)-(2ab)<0

(a+b-c-2ab)(a+b-c+2ab)<0

((a-b)-c)((a+b)-c)<0

(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)<0

因为 a-(b+c)<0 (a+c)-b>0 (a+b)-c>0 a+b+c>0 (因为 三角形 任意两边的和大于第3边)

所以 原式<0

证明：原式=(a+b-c+2ab)(a+b-c-2ab)

=[(a+b)-c] [(a-b)-c]

=(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (a-b-c)0

篇8：利用概率方法证明数学命题

一、利用概率方法证明一些代数恒等式

二、利用概率方法证明一些组合恒等式

三、利用概率方法求级数的和

四、利用概率方法证明积分不等式

五、利用概率方法证明积分的极限

六、利用概率方法证明数学中的一些重要定理

摘要：概率方法的应用已成为概率论的一个很新颖的方向。下文利用概率方法证明了其他数学领域中的一些数学命题, 例如代数恒等式、组合恒等式和积分不等式等等。

关键词：概率方法,数学证明,随机模型

参考文献

[1]茆诗松.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2004.

篇9：几何证明题学习方法指导

关键词：几何;分析方法;总结技巧

中图分类号：G633.6文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2016）04-091-2

平面几何是初中生普遍认为难学，任课教师认为难教的一个知识点。之所以难，是因为从代数到几何发生了由数到形、由计算到推理的转变，学生一时难以适应;其次，概念、性质、定理比较多，而学生不能正确理解并掌握其几何语言;进而，遇到问题不会分析，予以解答。

众所周知，几何的证明就是要用合理的推断来说明因果关系的正确性，从而培养学生的逻辑思维能力。在几何证明教学中，教师对学生学习方法的指导和训练十分重要，要让学生在主动获得知识的过程中，学会有关数学思想方法和解题技巧，形成良好的思维习惯，最终达到能独立分析、解答问题的目的。通过实践教学反馈总结，我认为对几何证明学习方法的指导有以下四个方面：

一、学会读题

第一，很多学生在把一个题目读完后，还没有弄清楚题目讲的是什么意思，就开始动笔书写，这是不可取的，往往写下来也是不得分的。我们应该边读边想，给的条件有什么用，再对照图形来对号入座;思考所求结论从什么地方入手，也应在图中找到相应位置。

第二，在读题的时候每个条件要在所给的图形中标记出来。相等的边或角用相同的符号来表示;倍数关系的边或角用同类型的相应倍数来表示。

第三，图形复杂一点的题目往往有一些隐藏条件，我们读题时也要能挖掘出来。这就需要注重平时的积累，对基本知识点的掌握，对特殊图形的认识。有些是由已知条件所能直接得出的结论，也应标注在图形旁边，结合证明内容看需要用哪些。

二、学会分析

证明题的分析无非三种方法：第一，正向思维。对于一般简单的题目，从已知条件出发，通过有关定义、定理、性质的应用，逐步推导，证出结论。第二，逆向思维。从命题的结论考虑，逆推使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续往前倒推，直到已知条件。这种方法能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，拓宽解题思路。第三，正逆结合。从题目要你证明的结论出发往回推理，然后再考虑用这种方法证明还缺少哪些条件，以利于缩短条件与结论的距离，最后达到证明的目的。

三、学会看图

所谓看图，是指观察，分析和认识几何图形。通过看图，不仅找到图形中的已知条件和证明内容，还要知晓几何图形的内在构成和联系，从而达到解一题通一类的效果。激发了学生的解题兴趣，迸发出创新思维。

初中数学几何板块的模型思想非常突出，如果学生把每一道几何题目的基本构架“理”清楚，也就是几何图形的本质“看”透彻，那么学习将会事半功倍。复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。有时还需要构造基本图形，添加辅助线，把大问题细化成几个小问题，逐一击破，从而解决问题。

例如：苏科版数学用书初二下册学习四边形的时候，有这样一个问题：在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，

（1）将矩形纸片沿BD折叠，使点A落在点E处（如图①），设DE和BC相交于点F，试说明△BDF为等腰三角形，并求BF的长;

（2）将矩形纸片折叠，使B与D重合（如图②）求折痕GH的长。

这道题目中，问题（1）由平行线加角平分线就能得等腰三角形。对于BF的长度的求解，借助于方程思想，设BF=x，利用“角落里的小勾”来完成，得x2=（8-x）2+62，解方程即可，在这里就不赘述了。

问题（2）中，同是翻折，但折痕不一样，得到的翻折图形自然不一样，但两张图形在结构模型上是完全一致的，都包含了全等图形和直角三角形，看透这一点，解题就会容易许多。和图（1）一样，利用“角落里的小勾”很快求出BH、CH=AG=GF。接下来思考GH的求法，想法一：放入直角三角形求GH，那么就要添辅助线GM⊥BC于点M，这样，只要求出BM，就能得MH，放在Rt△GMH中，利用勾股定理求出GH。所以解题关键转化成求BM，而BM=AG，问题迎刃而解。想法二：GH看成四边形GBHD的对角线，因此连接GB和BD交于点O。继续由图（1）的积累，容易证四边形GBHD是菱形，对角线互相垂直平分，放于Rt△BOH中，利用勾股定理求出OH，两倍即是GH。

因此，我们认清图形的内在构成和联系，看清图形的本质，将复杂图形解析成几个基本图形，很多看似困难的问题都能轻松解答。

四、学会总结

当一道几何题证出来后，同学们会感到很高兴，事实上，这对今后的学习可以带来更大的信心。此时，如果同学们花上几分钟的时间，回顾总结一下自己在解题中所用的定理、性质，总结解题时的思路和方法，这将是学习的更高境界，也是自我升华的一个重要环节，今后会解的就不仅仅是这道题，而是这一类题。

例如：4.1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.

求证：（1）AD=CF;（2）AB=BC+AD.

此题的证明较为简单，当我们边读题边把条件标注在图形上，题目读完，解题思路也就出来了。通过证明△ADE≌△FCE，得出AD=CF;再证△ABE≌△FBE，就能得AB=BF，从而得出AB=BC+AD.

这时，我们是成功的，自然是开心的，但仍需静下心来，总结一下图形特点以及解题方法，我们说，图形中由平行线加线段的中点构成全等三角形是解题的关键。这样，遇到下面这道题，你就心中有数啦。

4.2如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，且E是DC的中点，AD、BC与AB之间有何关系？请说明理由.

此题是个开放式问题，需要我们有一定的图形积累，要有基本知识储备。正因为对4.1的总结思考，我们遇到此题时，并不慌张。从图形看，此图继续有平行线加线段的中点，和4.1结构一样，图形本质相同，因此，为了构成全等三角形，那么延长AE交BC延长线于点F，图形就变成4.1，问题解决了。

做完这道题，我们对于平行线加线段的中点构成全等三角形已经足够掌握，此时不妨从换一个角度来思考本题的另一个重点。那就是对于两条线段之和等于第三条线段的证明方法，是将两条中的一条线段通过全等或等角对等边替换成与另一条在一直线上的线段，从而转化成证两条长线段相等的模型。

篇10：初中数学证明题

初中数学证明题

在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，且BD=CE，线段DE交BC于点F，说明：DF=EF。 对不起啊 我不知道怎么把画的.图弄上来 所以可能麻烦大家了 谢谢

1.

过D作DH∥AC交BC与H。∵AB=AC，∴∠B=∠ACB.∵DH∥AC，∴∠DHB=∠ACB，∴∠B=∠DHB，∴DB=DH.∵BD=CE，∴DH=CE.∵DH∥AC，∴∠HDF=∠FEC.∵∠DFB=∠CFE，∴△DFH≌△EFC，∴DF=EF.

2.

证明:过E作EG∥AB交BC延长线于G

则∠B=∠G

又AB=AC有∠B=∠ACB

所以∠ACB=∠G

因∠ACB=∠GCE

所以∠G=∠GCE

所以EG=EC

因BD=CE

所以BD=EG

在△BDF和△GEF中

∠B=∠G，BD=GE，∠BFD=∠GFE

则可视GEF绕F旋转1800得△BDF

故DF=EF

3.

解:

过E点作EM∥AB,交BC的延长线于点M,

则∠B=∠BME,

因为AB=AC,所以∠ACB=∠BME

因为∠ACB=∠MCE,所以∠MCE=∠BME

所以EC=EM,因为BD=EC,所以BD=EM

在△BDF和△MEF中

∠B=∠BME

BD=EM

∠BFD=∠MFE

所以△BDF以点F为旋转中心,

旋转180度后与△MEF重合,

所以DF=EF

4.

已知：a、b、c是正数，且a>b。

求证：b/a

要求至少用3种方法证明。

(1)

a>b>0;c>0

1)(a+c)/(b+c)-a/b=[(a+c)b-a(b+c)]/[b(b+c)]=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)

=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/[b(b+c)]

a>b--->a-b>0; a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0

-->c(a-b)/[b(b+c]>0--->(a+c)/(b+c)>a/b

2)a>b>0;c>0--->bc

---ab+bc

--->a(b+c)

--->a(b+c)/[b(b+c)]

--->a/b<(a+c)/(b+c)

3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0

--->c/a

--->c/a+1

--->(c+a)/a<(c+b)/b

--->(a+c)/(b+c)>a/b

(2)

make b/a=k<1

b=ka

b+c=ka+c

(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-[k-1]c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)

篇11：离散数学证明题

1.用等值演算法证明下列等值式：

（1）┐(PQ)(P∨Q)∧┐(P∧Q)

（2）(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)(P∨Q)∧┐(P∧Q)

证明：（1）

┐(PQ)

┐((P→Q)∧(Q→P))

┐((┐P∨Q)∧(┐Q∨P))

(P∧┐Q)∨(Q∧┐P)

(P∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨Q)∧(┐P∨┐Q)

(P∨Q)∧┐(P∧Q)

（2）

(P∧┐Q)∨(┐P∧Q)

(P∨┐P)∧(P∨Q)∧(┐Q∨┐P)∧(┐Q∨Q)

(P∨Q)∧┐(P∧Q)

2．构造下列推理的证明：

（1）前提：(PQ)(RS)，(QP)R，R

前提：PQ。

（2）前提：Q →P, Q  S , S  M , M∧R前提：结论：P∧Q

（3）前提：P →(Q → R), S → P , Q

结论：S →R（4）前提：(P∨Q)→(R∧S),(S∨M)→ U结论：P →U（5）前提：P →┐Q,┐R∨Q ,R∧┐S

结论：┐P（6）前提：P∨Q，P →R, Q → S结论：R∨S

证明：（1）

① R前提引入

②(QP)R前提引入

③ QP①②析取三段论

④ RS①附加规则

⑤ (PQ)(RS)前提引入

⑥ PQ④⑤拒取式

⑦(PQ)(QP)③⑥合取规则

⑧ PQ⑦置换规则

（2）

① M∧R前提引入

② M①化简规则

③ S  M前提引入

④(S → M)∧(M → S)③置换

⑤ M → S④化简规则

⑥ S② ⑥假言推理

⑦ Q  S前提引入

⑧(S → Q)∧(Q → S)⑦ 置换

⑨ S → Q⑧化简规则

⑩ Q⑥ ⑨假言推理

(11)Q →P前提引入

(12)P

(13)P∧Q

（3）

① S → P

②S

③ P

④ P →(Q → R)

⑤ Q → R

⑥ Q

⑦ R

（4）

① P

② P∨Q

③(P∨Q)→(R∧S)

④ R∧S

⑤ S

⑥ S∨M

⑦(S∨M)→ U

⑧ U

（5）

① P

② P →┐Q

③ ┐Q

④ ┐R∨Q

⑤ ┐R

⑥ R∧┐S

⑦ R

⑧ R∧┐R

（6）⑩(11)假言推理⑩(12)合取前提引入附加前提引入① ②假言推理 前提引入③④ 假言推理前提引入⑤⑥假言推理附加前提引入①附加规则前提引入②③ 假言推理④化简规则⑤附加规则前提引入⑥ ⑦假言推理结论否定引入前提引入① ②假言推理前提引入③④析取三段论前提引入⑥化简规则⑤⑦合取

① ┐(R∨S)结论否定引入

② ┐R∧┐S①置换规则

③ ┐R②化简规则

④ P →R前提引入

⑤ ┐P③④拒取

⑥ ┐S②化简规则

⑦ Q → S前提引入

⑧ ┐Q⑥ ⑦拒取

⑨ ┐P∧┐Q⑤⑧合取

⑩ ┐(P∨Q)⑨置换规则

(11)P∨Q前提引入

(12)┐(P∨Q)∧(P∨Q)⑨11 合取

3．在命题逻辑中构造下列推理的证明：

（1）如果今天是星期六，我们就要到颐和园或圆明园去玩。如果颐和园游人太多，我们就不到颐和园去玩。今天是星期六。颐和园游人太多。所以我们到圆明园玩。

（2）明天是晴天，或是雨天；若明天是晴天，我就去看电影；若我看电影，我就不看书。所以，如果我看书，则明天是雨天。

（3）如果小王是理科学生，他必学好数学；如果小王不是文科生，他必是理科生；小王没学好数学。所以，小王是文科生。

解：（1）首先将命题符号化：

设P: 今天是星期六；Q: 我们到颐和园去玩；R:我们到圆明园去玩；S:颐和园游人多。

前提：P →(Q∨R), S → ┐Q , P , S

结论：R证明：

① ②假言推理

④ P前提引入

⑤ P →(Q ∨ R)前提引入⑥ Q ∨ R④⑤假言推理 ⑦ R③⑥析取三段论

（2）首先将命题符号化：令P：明天是晴天，Q：明天是雨天，R：我看电影，S：我看书。① S → ┐Q前提引入②S前提引入③ ┐Q

前提：P∨Q, P→R, R→┐S

结论： S→Q

证明：

① S

② R→┐S

③┐R

④ P→R

⑤ ┐P

⑥ P∨Q 附加前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式 前提引入

⑦ Q⑤⑥析取三段论

（3）首先将命题符号化：

令P：小王是理科生，Q：小王是文科生，R：小王学好数学。

前提:P→R, ┐Q→P, ┐R

结论：Q

证明：

① P→R

② ┐R

③ ┐P

④ ┐Q→P

⑤ Q

6.证明: 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入 ③④拒取式

①A-B=A A∩B=Φ。

②(A-B)-C =(A-C)-(B-C)

证明：①

必要性。假设A∩B≠Φ，必有x属于A∩B，则x属于A同时属于B，即x属于A但是x不属于A-B。与A-B=A矛盾。

充分性。显然A-BA。任取x∈A，则如果x属于B，则x属于A∩B，与A∩B=Φ矛盾。因此x必不属于B，即x属于A-B。从而证明了AA-B。命题得证。②

∵(A-B)-C =(A∩～B)∩～C

= A∩～B∩～C;

(A-C)-(B-C)

=(A∩～C)∩～(B∩～C)

=(A∩～C)∩(～B∪C)

=(A∩～C∩～B)∪(A∩～C∩C)

=(A∩～C∩～B)∪Φ

= A∩～B∩～C.∴(A-B)-C =(A-C)-(B-C)

7．设R是A上的二元关系，试证：R是传递的当且仅当R2R，其中R2表示RR。

（1）设R传递，（x，y）∈R2，t∈A使

，∈R（因为R2＝R R）

∵R传递 ∴∈R

∴R2 R

（2）设R2R，若，∈R

则∈R2，∵R2 R，∴∈R。即R传递。

8．设A是集合，R1,R2是A上的二元关系，证明：

若R1,R2是自反的和对称的，则R1R2也是自反的和对称的。

证明:

(1)∵ R1,R2是A上的自反关系

∴ IAR1IAR2

∴IAR1R2

∴ R1R2是A上的自反关系

又∵ R1,R2是A上的对称关系

∴ R1R11R2R21

篇12：电大离散数学证明题参考题

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等． 证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结

点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1(2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

k条边才能使其成为欧拉图．

2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2

五、证明题

1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．

证：若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．

反之，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC) A(BC)．

因此．A(BC)=(AB)(AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：设xA，yB，则AB，因为AB = AC，故 AC，则有yC，所以B C．

设xA，zC，则 AC，因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB．

故得B = C．

3、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设xA，则AA，因为AA=BB，故BB，则有xB，所以AB．

设xB，则BB，因为AA=BB，故AA，则有xA，所以BA．

故得A=B．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

1．试证明命题公式(P(QR))PQ与（PQ）等价．

证：(P(QR))PQ(P(QR))PQ

((PQR)P)Q

PQ（吸收律）

(PQ)（摩根律）

2．试证明(x)(P(x)R(x))(x)P(x)(x)R(x)．

分析：前提：(x)(P(x)R(x))，结论：(x)P(x)(x)R(x)．

证明(1)(x)(P(x)R(x))P

(2)P(a)R(a)ES(1)(存在指定规则)

(3)P(a)T(2)（化简）

(4)(x)P(x)EG(3)(存在推广规则)

(5)R(a)T(2)（化简）

(6)(x)R(x)EG(5)(存在推广规则)

(7)(x)P(x)(x)R(x)T(4)(6)（合取引入）

2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．

(1)f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}；(2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；

(3)f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．

解：(1)f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现．

(2)f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现．

(3)f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是天晴；

则命题公式为： P．

问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：PQ．

注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“”．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：PQ．

注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．

例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．